加强练08 相似三角形综合专练（解析版）-2023年中考数学二轮复习讲练测（上海专用）

加强练08相似三角形综合专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2023·上海青浦·校考一模）如图，已知在中，，点G是的重心，，垂足为E，如果，则线段GE的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】因为点是的重心，根据三角形的重心是三角形三条中线的交点以及重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是，可知点为的中点，，根据，可得，进而证得∽，从而得到，代入数值即可求解．【详解】解：如图，连接并延长交于点．点是的重心，点为的中点，，，，，，，，（公共角），∽，，，，，．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心的定义及其性质，熟练运用三角形重心的性质是解题的关键．2．（2023·上海徐汇·统考一模）如图，正方形与在方格纸中，正方形和三角形的顶点都在格点上，那么与相似的是（

）A．以点、、为顶点的三角形 B．以点、、为顶点的三角形C．以点、、为顶点的三角形 D．以点、、为顶点的三角形【答案】C【分析】根据勾股定理求出三角形的边长，根据相似三角形的判定判断即可．【详解】由图可知，，由勾股定理得：，A．最大的角为，∴两三角形不相似，故A选项不符合题意．B．最大的角为，∴两三角形不相似，故B选项不符合题意．C．由图可知的边，由勾股定理得两条边分别为，，∴，∴与三边成比例，∴两三角形相似，故C选项符合题意．D．由图可知的边，由勾股定理得两条边分别为，，∴与三边不成比例，∴两三角形不相似，故D选项不符合题意．故选C【点睛】本题考查了勾股定理和相似三角形的判定定理的应用，解题的关键是熟练应用相似三角形的判定定理．3．（2023·上海杨浦·统考一模）如图，在中，平分，点D在边上，线段与交于点E，且，下列结论中，错误的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由，，可直接证明，即可判断A；由角平分线的定义得出，再结合三角形外角的性质即可得出，从而可证，即可判断B；由，，可直接证明，即可判断C；没有条件证明，即可判断D．【详解】∵，，∴，故A正确，不符合题意；∵平分，∴．∵，，∴，∴，故B正确，不符合题意；∵，，∴，故C正确，不符合题意；在和中只有，不能证明，故D错误，符合题意．故选D．【点睛】本题考查三角形相似的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质．掌握三角形相似的判定定理是解题关键．4．（2023·上海虹口·统考一模）如图，点分别在Δ边上，，且，那么的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据与，即可得到ΔΔ，即可得到，结合即可得到的值；【详解】解：∵，，∴ΔΔ，∴，∵，∴，∴，∴，故选A．【点睛】本题考查三角形相似的性质与判定，解题的关键是根据分式的性质得到与的关系．二、填空题5．（2023·上海宝山·校考一模）已知线段，点在线段上，且，那么线段的长___________．【答案】【分析】根据黄金分割的定义得到点C是线段AB的黄金分割点，根据黄金比值计算得到答案．【详解】∵，∴点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，∴AC＝AB=×8=故答案为：.【点睛】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为是解题的关键．6．（2023·上海浦东新·校考一模）如图，已知，且经过的重心．若，则等于________．【答案】4【分析】连接AG并延长交BC于点N，证明即可得解；【详解】连接AG并延长交BC于点N，∵是的重心，，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴．故答案是：4．【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质以及相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．7．（2023·上海宝山·校考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在边BC上，∠DAE=∠B=30°，且，那么的值是______．【答案】．【分析】由已知可得，从而可知，，设AB=3x，则BE=2x，再利用勾股定理和等腰三角形性质用x表示DE和BC，从而解答【详解】解：∵∠BAE=∠DAE+∠BAD，∠ADE=∠B+∠BAD，又∵∠DAE=∠B=30°，∴∠BAE=∠ADE，∴，∴，，过A点作AH⊥BC，垂足为H，设AB=3x，则BE=2x，∵∠B=30°，∴，，∴，在中，，又∵，∴，∴，∵AB=AC，AH⊥BC，∴，∴，故答案为：.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，利用三角形相似得到AB与BE的关系是解题的关键．三、解答题8．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）如图，已知在四边形中，，为边延长线上一点，联结交边于点，联结交于点，且．(1)求证：；(2)如果，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据，得，再根据相似三角形的判定和性质，即可；由，则，得，可得，再根据相似三角形的性质，即可．【详解】（1）∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．（2）∵，∴且是公共边，∴，∴，∵，∴，∴，∵是公共角，∴，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．9．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、．(1)如果，，，求的长；(2)如果，，，求的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得到，把已知数据代入计算即可；（2）连接，交于，先证明，根据相似三角形的性质求出，进而求出，再证明，根据相似三角形的性质计算，得到答案．【详解】（1），，，，，，解得：；（2）连接，交于，，，，，，即，解得：，，，，，即，解得：．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．10．（2022秋·上海静安·九年级校考期中）如图，在中，点D、E分别在边BC、AC上，AD与BE相交于点F，，．(1)求证：；(2)若，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先证明，可得，结合可证，从而可证成立；（2）先证明，然后通过证明可证结论成立．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）∵，∴．∵，∴，由（1）知，∴，∵，∴，∴，∴，由（1）知，∴，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例．11．（2023·上海宝山·校考一模）已知，如图，点E在平行四边形ABCD的边CD上，且＝，设．（1）用表示（直接写出答案）．（2）设，在答题卷中所给的图上画出的结果．【答案】（1）；（2）见解析【分析】（1）根据平面向量的平行定理即可表示；（2）由（1）中结论得到，延长AE交BC延长线于点G，通过平行四边形的性质得到，再根据对应边成比例得到，从而有，即可求解．【详解】解：（1）∵＝，即，，∴，（2）由（1）知，∴，延长AE交BC延长线于点G，如图所示，则．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∴，又∵（对顶角相等），∴，∴，∵＝，∴，∴，∵，∴，即．【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算、平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握平面向量的线性运算、平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质．12．（2023·上海浦东新·上海市建平实验中学校考一模）如图，已知在△ABC中，AC＝6，D为BC上一点，CD＝4．△ADC与△ABD的面积比为4：5．(1)求证：△DAC∽△ABC；(2)如果点D在AB的中垂线上，求cosB．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）作于点，，得，，证明出，结合，即可证明出；（2）由得，求出的长，根据点D在AB的中垂线上，为等腰三角形，过点作的垂线交于，根据等腰三角形三线合一的性质，得，，最后根据余弦函数的定义可得．【详解】（1）解：如图，作于点，，，，则，，，，；（2）解：，，点D在AB的中垂线上，为等腰三角形，，即，，过点作的垂线交于，如下图：根据等腰三角形三线合一的性质，，且，．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．13．（2023·上海嘉定·校考一模）如图，已知点在△的外部，，点在边上，．(1)求证：；(2)在边取一点，如果，，求证：．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】（1）欲证明，只要证明即可；（2）由，可得，再根据，推出，即可解决问题；【详解】（1）∵，∴∵，∴，∴，∴．（2）由（1）得∴，，∵，∴，∴∴∴∵，∴，【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．（2023·上海·校考一模）如图，在中，点在边上，点、在边上，且，．(1)求证：；(2)如果，，求的值．【答案】(1)见解析(2)16【分析】（1）由可得，再结合已知比例，可得，即可得证；（2）由图可知与等高，根据等高的两个三角形面积比等于底边的比，再由，得出，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解．【详解】（1）证明：，，又，，．（2）解：，，，，又，，又，，，．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，平行线分线段成比例．关键是利用平行线得出相似三角形及比例，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解题．15．（2022秋·上海·九年级校考期中）已知：如图，已知△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA＝BC，DA＝DE．如果点D在BC边上，且∠EDC＝∠BAD．点O为AC与DE的交点．(1)求证：△ABC∽△ADE；(2)求证：DA•OC＝OD•CE．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据三角形的外角的性质和角的和差得到∠B＝∠ADE，由于，根据SAS得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到∠BAC＝∠DAE，于是得到∠BAD＝∠CAE＝∠CDE，证得△COD∽△EOA，根据相似三角形的性质得到，由∠AOD＝∠COE，推出△AOD∽△COE，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝∠ADE+∠EDC，∴∠B＝∠ADE，∵，∴△ABC∽△ADE；（2）∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE＝∠CDE，∵∠COD＝∠EOA，∴△COD∽△EOA，∴，∵∠AOD＝∠COE，∴△AOD∽△EOC，∴DA：CE＝OD：OC，即DA•OC＝OD•CE．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．16．（2022秋·上海·九年级校考期中）如图，已知，在锐角中，BD和CE分别是边AC、AB上的高．(1)求证：；(2)联结AF，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）通过证明，根据相似三角形的性质可得结论；（2）通过证明，根据相似三角形的性质可得结论．【详解】（1）证明：BD和CE分别是边AC、AB上的高，又（2）证明：如图，连接AF又【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟记相似三角形的性质和判定定理并能灵活运用是解决本题的关键．17．（2022秋·上海静安·九年级上海市华东模范中学校考期中）已知：如图，梯形中，，，、是对角线，点是延长线上一点，且，联结．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)求证：．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）由等腰梯形的性质得出，由证明，得出，由等腰三角形的性质和已知条件得出，证出，即可得出结论；（2）证出，证明，得出对应边成比例，即可得出结论．【详解】（1）梯形中，，，，在和中，，，，，，，，，，又，四边形是平行四边形；（2）由（1）得：四边形是平行四边形，，，，，，，又，，，即，．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰梯形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形相似得出比例式是解决问题（2）的关键．18．（2022秋·上海静安·九年级上海市华东模范中学校考期中）如图所示，中，平分，．(1)求证：；(2)若，，，求．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）利用角平分线及等腰三角形性质，可得出，同时两个三角形有一个公共角，即可得出两个三角形相似；（2）由得到，利用，，即可求解．【详解】（1）平分，，，，又，；（2），，，，，，，，，．【点睛】本题考查角平分线及等腰三角形性质、相似三角形的判定及其性质的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定及其性质．19．（2023·上海奉贤·统考一模）已知：如图，在梯形中，，点在对角线上，．(1)求证：；(2)如果点F在边DC上，且，求证：．【答案】(1)证明过程见详解(2)证明过程见详解【分析】（1）根据，可得，，可证明即可求解；（2）由（1）可知，可得，可证，根据相似三角形的性质可知对应角相等，根据平行线的判定即可求解．【详解】（1）证明：∵，∴，又∵，∴，∴，∴．（2）证明：由（1）可知，，∴，∵，∴，且，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查相似三