专题14 全等三角形、相似三角形（讲义）（原卷版）

专题14全等三角形、相似三角形核心知识点精讲理解全等三角形的概念、全等三角形的表示方法以及性质；理解掌握三角形全扽的判定方法、定理、全等变换；理解掌握相似三角形的概念；理解掌握相似三角形的基本定理以及运用；掌握三角形相似的判定方法以及综合运用；理解掌握相似三角形的性质以及运用。考点1全等三角形的概念和性质1.全等三角形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。2.全等三角形的表示和性质全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。考点2三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。（4）角角边定理：有两角和其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）考点3直角三角形全等的判定对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）考点4全等变换、全等三角形的应用1.只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。全等变换包括一下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。2.全等三角形的实际应用考点5相似三角形的概念、性质1.对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。2.平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。用数学语言表述如下：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC相似三角形的等价关系：（1）反身性：对于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC；（2）对称性：若△ABC∽△A’B’C’，则△A’B’C’∽△ABC；（3）传递性：若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，则△ABC∽△A’’B’’C’’。3.相似三角形的性质相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．考点6三角形相似的判定（1）三角形相似的判定方法①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似（2）直角三角形相似的判定方法①以上各种判定方法均适用②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。考点7相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形周长的比等于相似比（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方【题型1：全等三角形的性质】【典例1】（2022•龙岗区模拟）如图，△ABC≌△A′B′C，且点B′在AB边上，点A′恰好在BC的延长线上，下列结论错误的是（）A．∠BCB′＝∠ACA′ B．∠ACB＝2∠B C．∠B′CA＝∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′1．（2023•高州市校级二模）如图，△ABC≌△DEF，AC∥DF，则∠C的对应角为（）A．∠F B．∠AGE C．∠AEF D．∠D2．（2023•广东模拟）如图，△ABC≌△BAD，A的对应顶点是B，C的对应顶点是D，若AB＝8，AC＝3，BC＝7，则AD的长为（）A．3 B．7 C．8 D．以上都不对3．（2023•澄海区模拟）将两块全等的三角板如图摆放，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠D＝30°，BC＝1，AB与CD交于点Q，在CE上取一点P，连接BP、PQ，当PB⊥QB时，△PBQ面积的最大值为36【题型2：三角形全等的判定】【典例2】（2023•海珠区校级二模）如图，AB＝AD，AC平分∠BAD．求证：△ABC≌△ADC．1．（2023•香洲区校级一模）如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD＝∠DAB的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS2．（2023•光明区校级三模）如图，点A，B，C，D是⊙O上的四点，AB为⊙O的直径，OC∥AD，CE⊥AB，垂足为E，则△ACE和四边形ABCD的面积之比为（）A．1：3 B．1：2 C．2：23．（2023•增城区一模）如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF．求证：△ABE≌△DCF．【题型3：直角三角形的全等判定】【典例4】（2023春•禅城区校级期中）已知：如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD．求证：OB＝OC．1．（海珠区校级模拟）下列判断一定正确的是（）A．有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 B．有一个角和一边对应相等的两个直角三角形全等 C．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 D．有两边对应相等，且有一个角为30°的两个等腰三角形全等2．（宝安区校级一模）下面四个条件，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两条直角边分别相等 B．两个锐角分别相等 C．斜边和一直角边对应相等 D．一锐角和斜边分别相等【题型4：全等三角形的性质与判定】【典例4】（2023•南海区三模）如图，已知∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．（1）求证：△OPD≌△OPE．（2）如果OE＝3，PD=3，求四边形OEPD1．（2023•香洲区二模）如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件可能是（）A．∠A＝∠D B．AC∥DF C．BE＝CF D．AC＝DF2.（2023•福田区模拟）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，点P是BC上一点，BD⊥AP交AP延长线于点D，连接CD，若图中两阴影三角形的面积之差为32（即，S△ACP﹣S△PBD＝32），则CD＝8．3．（2023•香洲区校级一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D在BC上点E是AC延长线上一点，且BE＝AD．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）若∠BAD＝22°，求∠ABE的度数．【题型5：全等三角形的应用】【典例5】（2023•顺德区校级一模）如图，AC＝BC＝BE＝DE＝10cm，点A、B、D在同一条直线上，AB＝12cm，BD＝16cm，则点C和点E之间的距离是（）A．6cm B．7cm C．8cm D．101．（2022•东莞市校级一模）一块三角形玻璃不慎被小明摔成了四片碎片（如图所示），小明经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店，就可以让师傅配一块与原玻璃一样的玻璃．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（）A．带其中的任意两块去都可以 B．带1、4或2、3去就可以了 C．带1、4或3、4去就可以了 D．带1、2或2、4去就可以了【题型6：相似三角形的性质】【典例6】（2023•汕头二模）若两个相似三角形的周长之比是1：2，则它们的面积之比是（）A．1：2 B．1：2 C．2：1 D．1：41．（2023•蓬江区一模）如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B＝∠ACD，AC：AB＝1：2，则△ADC与△ABC的面积比是（）A．1：2 B．1：2 C．1：3 D．1：42．（2023•东莞市校级二模）如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：3，BC=2，则DEA．6 B．22 C．32 D3．（2023•禅城区校级三模）已知一个三角形的三边长分别为2，3，4，与其相似的另一个三角形的周长为36，则它的最长边的长为（）A．8 B．12 C．16 D．20【题型7：相似三角形的性质与判定】【典例7】（2023•南海区校级模拟）已知BD是平行四边形ABCD的对角线，E是AB上一点，连接EC，交BD于点F，若△BEF与△DCF的面积比是1：9，则BEABA．13 B．23 C．14 1．（2023•深圳模拟）下列说法中错误的是（）A．同角或等角的补角相等 B．圆周角等于圆心角的一半 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．两边成比例及其夹角相等的两个三角形相似2．（2023•雷州市一模）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DPC＝75°；②CF＝2AE；③DFBC=23；④△A．4 B．3 C．2 D．13．（2023•天河区校级三模）如图，正方形MNPQ内接于△ABC，点M、N在BC上点P、Q分别在AC和AB边上，且BC边上的高AD＝6，BC＝12，则正方形MNPQ的边长为（）A．6 B．5 C．3 D．4【题型8：相似三角形的实际应用】【典例8】（2023•高州市校级二模）如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）A．67 B．3037 C．127 1．（2024•深圳模拟）如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像．已知蜡烛的高AB为5.4cm，蜡烛AB离凸透镜MN的水平距离OB为6cm，该凸透镜的焦距OF为10cm，AE∥OF，则像CD的高为（）A．15cm B．14.4cm C．13.5cm D．9cm2．（2024•深圳模拟）击地传球是篮球运动中的一种传球方式，利用击地传球可以有效地躲避对手的拦截．传球选手从点A处将球传出，经地面点O处反弹后被接球选手在点C处接住，将球所经过的路径视为直线，此时∠AOB＝∠COD．若点A距地面的高度AB为1.5m，点C距地面的高度CD为1m，传球选手与接球选手之间的距离BD为5m，则OB的长度为（）A．53m B．2m C．2.5m D．33．（2023•南海区校级模拟）如图，身高1.6米的小慧同学从一盏路灯下的B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE的长是2米，则路灯AB的高为（）A．5米 B．6.4米 C．8米 D．10米一．选择题（共7小题）1．在△ABE与△DBC中，BC＝BE，AB＝DB，要使这两个三角形全等，还需具备的条件是（）A．∠E＝∠C B．∠ABD＝∠CBE C．∠ABE＝∠DBE D．∠A＝∠D2．如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．BD＝CD B．AB＝AC C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA3．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙4．图中的小正方形边长都相等，若△MNP≌△MEQ，则点Q可能是图中的（）A．点A B．点B C．点C D．点D5．如图，点P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（）A．ABAP=ACAB B．BCBP=ACAB C．∠ABP6．如图，△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，DE＝4，则BC的长度为（）A．6 B．8 C．12 D．167．我国古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”，它的题意是：如图AB＝DE＝5尺，BF＝0.4尺，问井深BD是多少．如图，设井深为x尺，所列方程正确的是（）A．55+x=0.45 C．x5+x=50.4二．填空题（共5小题）8．如图，点B的坐标为（0，1），点A是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠ABC＝90°，设点A的横坐标为x，点C的纵坐标为y，则y与x的关系式为．9．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G，下列结论：①BF＝AC；②2AE＝BF；③S四边形ADGE＝S四边形GHCE；④△DGF，△ABC都是等腰三角形．其中正确的是．10．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC=42，AE＝CF=2，则四边形BEDF的周长是11．如图，在平面直角坐标系中已知点A（8，0）和点B（0，6），C是AB的中点，若有一动点P在折线AOB上运动，直线CP截△AOB所得的三角形为直角三角形，则点P的坐标为．12．在某一时刻，测得一根高为1.2m的竹竿的影长为2m，同时测得一栋楼的影长为90m，这栋楼的高度是m．三．解答题（共3小题）13．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝CE，∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE．求证：△ABC≌△DEF．14．如图，点B、C、D、E在同一直线上，BC＝DE，AB＝FC，∠B＝∠FCE，求证：AD∥FE．15．如图，一块直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的边BC上，并且使一条直角边经过点D．另一条直角边与AB交于点Q．求证：△BPQ∽△CDP．一．选择题（共6小题）1．如图，已知△CAD≌△CBE，若∠A＝30°，∠C＝80°，则∠CEB＝（）A．50° B．60° C．70° D．80°2．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝7，AD＝5，则AC的取值范围为（）A．3＜AC＜17 B．3＜AC＜15 C．1＜AC＜6 D．2＜AC＜123．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，AD＜AB，且点E在线段CD上，则下列结论中不一定成立的是（）A．△ABD≌△ACE B．BD⊥CD C．∠BAE﹣∠ABD＝45° D．DE＝CE4．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（）A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m5．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP≌△ACB，添加下列一个条件，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．APAB=BPBC6．如图所示，王华晚上在路灯下散步，已知王华的身高AB＝1.6米，灯柱的高OP＝O'P'＝4.8米，两灯柱之间的距离OO'＝10米，王华在两路灯之间行走时（O、A、O'三点在一条直线上），则他身子前后的两个影子之和DC的长为（）米．A．6 B．5 C．4 D．3二．填空题（共4小题）7．如图所示的“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲．它巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，若大正方形边长为4，M为边FG的中点，则AM＝，当正方形ABCD变化时，则MD的最小值为．8．如图，把△ABC放置在平面直角坐标系中，已知AB＝BC，∠ABC＝90°，A（3，0），B（0，﹣1），点C在第四象限，则点C的坐标是．9．如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上撬起，石头就被撬动了．在图②中，杠杆的D端被向上撬起的距离BD＝9cm，动力臂OA与阻力臂OB满足OA＝3OB（AB与CD相交于点O），要把这块石头撬起，至少要将杠杆的C点向下压cm．10．如图，N是线段AB上一点，AC⊥AB，BD⊥AB，NM⊥AB，联结CM并延长交AB于点P，联结DM并延长交AB于点Q．已知AB＝4，AC＝3，BD＝2，MN＝1，PN＝1.2，那么QN＝．三．解答题（共3小题）11．已知：如图，点E、F在线段BC上，BF＝EC，且AB∥CD，∠A＝∠D，求证：AE＝DF．12．