数学复习构想检测：第二章函数、导数及其应用（十二）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课时作业(十二)函数模型及其应用一、选择题1．小明骑车上学，开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()ABCD解析：距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动,故前段是直线段,途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降得快，故应选C.答案:C2．某种商品进价为4元/件,当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件,试计算该商品在销售过程中,若每天固定成本为20元，则预计单价为多少时，利润最大（)A．8元/件B．10元/件C．12元/件D．14元/件解析：设单价为6＋x,日均销售量为100－10x，则日利润y＝(6＋x－4)（100－10x）－20＝－10x2＋80x＋180＝－10（x－4）2＋340(0<x〈10)．∴当x＝4时，ymax＝340.即单价为10元/件，利润最大，故选B。答案:B3．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的图象如图所示．则杯子的形状是()解析：从题图看出，在时间段［0，t1]，[t1，t2]内水面高度是匀速上升的，在［0,t1］上升慢，在［t1，t2]上升快，故选A.答案：A4．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元,B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差(）A．10元B．20元C．30元D。eq\f(40，3）元解析：依题意可设sA（t）＝20＋kt，sB（t)＝mt,又sA(100）＝sB(100)，∴100k＋20＝100m得k－m＝－0.2，于是sA（150）－sB（150）＝20＋150k－150m即两种方式电话费相差10元．选A。答案:A5．（2017·北京朝阳统一考试）设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数）．公司决定从原有员工中分流x(0<x<100，x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产．分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%。若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是(）A．15B．16解析:由题意，分流前每年创造的产值为100t(万元),分流x人后，每年创造的产值为（100－x）（1＋1.2x％）t,则由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(0〈x<100，x∈N＊，，100－x1＋1。2x%t≥100t，)）解得0<x≤eq\f（50，3）。因为x∈N*，所以x的最大值为16。答案：B6．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent。若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等,又过了m分钟后甲桶中的水只有eq\f（a,8)升，则m的值为（)A．7B．8解析:令eq\f（1，8）a＝aent,即eq\f（1,8）＝ent，由已知得eq\f(1,2)＝e5n，故eq\f(1，8）＝e15n，∴t＝15，m＝15－5＝10。答案：D二、填空题7．一高为H,满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h）的大致图象可能是图中的________．解析：当h＝0时,v＝0可排除①、③；由于鱼缸中间粗两头细，∴当h在eq\f（H,2)附近时，体积变化较快；h小于eq\f(H，2)时，增加越来越快，h大于eq\f(H，2）时,增加越来越慢．答案：②8．某市出租车收费标准如下：起步价为8元,起步里程为3km（不超过3km按起步价付费）；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2。85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22。6元，则此次出租车行驶了________km.解析:设出租车行驶xkm时，付费y元，则y＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（9,0〈x≤3，,8＋2。15x－3＋1，3<x≤8，,8＋2.15×5＋2。85x－8＋1，x>8，））由y＝22.6，解得x＝9。答案：99．计算机的价格大约每3年下降eq\f（2，3），那么今年花8100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________元．解析:设计算机价格平均每年下降p%,由题意可得eq\f(1，3)＝（1－p％）3，∴p％＝1－（eq\f(1，3)），∴9年后的价格大约为y＝8100×＝8100×（eq\f（1,3））3＝300(元)．答案：300三、解答题10．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元,根据市场调查,销售商一次订购量不会超过600件．(1）设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元,写出函数p＝f(x)的表达式；（2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少?解析：(1)当0〈x≤100时，p＝60;当100<x≤600时，p＝60－(x－100)×0。02＝62－0。02x.所以p＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(60，0<x≤100，，62－0.02x,100〈x≤600。))(2)设利润为y元，则当0<x≤100元，y＝60x－40x＝20x；当100〈x≤600时,y＝(62－0。02x）x－40x＝22x－0。02x2.所以y＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（20x,0〈x≤100，,22x－0。02x2，100<x≤600。)）当0〈x≤100时，y＝20x是单调递增函数，当x＝100时，y最大，此时ymax＝20×100＝2000；当100〈x≤600时，y＝22x－0.02x2＝－0.02(x－550)2＋6050,所以当x＝550时，y最大，此时ymax＝6050.显然6050〉2000。所以当一次订购550件时，该厂获得利润最大，最大利润为6050元．11．近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网,安装这种供电设备的工本费(单位:万元）与太阳能电池板的面积(单位:平方米）成正比，比例系数约为0。5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米)之间的函数关系是C(x）＝eq\f（k,20x＋100)（x≥0，k为常数)．记y为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共将消耗的电费之和．(1）试解释C（0）的实际意义，并建立y关于x的函数关系式；（2）当x为多少平方米时,y取得最小值?最小值是多少万元？解析:(1）C（0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用,即未安装太阳能供电设备时，该企业每年消耗的电费．由C(0)＝eq\f(k,100）＝24，得k＝2400，所以y＝15×eq\f(2400，20x＋100）＋0。5x＝eq\f(1800,x＋5)＋0。5x，（x≥0)．（2）因为y＝eq\f(1800,x＋5）＋0.5（x＋5)－2。5≥2eq\r（1800×0。5)－2.5＝57.5，当且仅当eq\f(1800,x＋5)＝0。5（x＋5)，即x＝55时取等号,所以当x为55平方米时，y取得最小值为57.5万元．12．如图所示,已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．(1）设MP＝x米,PN＝y米,将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM面积的最大值．解析：（1）作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝（8－y)米,EQ＝(x－4)米．又△EPQ∽△EDF,所以eq\f(EQ,PQ)＝eq\f（EF,FD),即eq\f(x－4，8－y)＝eq\f(4，2)。所以y＝－eq\f（1，2）x＋10，定义域为