2022-2023学年八年级数学下册举一反三系列三系列专题9.8 四边形中的折叠问题专项训练（30道）（举一反三）（苏科版）含解析

2022-2023学年八年级数学下册举一反三系列专题9.8四边形中的折叠问题专项训练（30道）【苏科版】考卷信息：本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对折叠问题的理解！一．选择题（共10小题）1．（2022•绥化一模）如图，在一张矩形纸片ABCD中AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的点H处，点D落在点G处，连接CE，CH．有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②CE平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF＝5．以上结论中，其中正确结论的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2022•沿河县二模）如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△OPD，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP＝45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP＝30°时，△OAD的面积为15；③当P在运动过程中，CD的最小值为234−6；④当OD⊥AD时，BPA．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2022春•溧阳市期末）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在直线折叠后展开，折痕为MN；再过点D折叠，使得点A落在MN上的点F处，折痕为DE，则EMFNA．3 B．3−1 C．2−3 4．（2022•衢州模拟）如图矩形ABCD纸片，我们按如下步骤操作：（1）以过点A的直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于点E；（2）将纸片展开后，再次折叠纸片，以过点E所在的直线为折痕，使点A落在BC或BC的延长线上，折痕EF交直线AD或直线AB于F，则∠AFE的值为（）A．22.5° B．67.5° C．22.5°或67.5° D．45°或135°5．（2022•嘉兴二模）如图，矩形纸片ABCD中，AD＝6，E是CD上一点，连结AE，△ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为G．若AD＝3GD，则DE的值为（）A．5 B．52 C．6556．（2022春•宝安区期末）如图，在长方形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，E在AD上．AD＝m，AE＝n（m＞n＞0）．将长方形沿着BE折叠，A落在A′处，A'E交BC于点G，再将∠A′ED对折，点D落在直线A′E上的D′处，C落在C′处，折痕EF，F在BC上，若D、F、D′三点共线，则BF＝（）A．m+12n B．m−n2 C．m+n2 7．（2022春•普洱期末）有一张长方形纸片ABCD，按下面步骤进行折叠：第一步：如图①，点E在边BC上，沿AE折叠，点B落在点B'处；第二步：如图②，沿EB'折叠，使点A落在BC延长线上的点A'处，折痕为EF．下列结论中错误的是（）A．△AEF是等边三角形 B．EF垂直平分AA' C．CA'＝FD D．EA'＝AF8．（2022•槐荫区二模）如图，菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，P是AB上一点，BP＝3，Q是CD边上一动点，将四边形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′．当CA′的长度最小时，CQ的长为（）A．5 B．7 C．8 D．6.59．（2022春•泰兴市月考）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF．若菱形ABCD的边长为8，∠B＝120°，则EF的值是（）A．23 B．4 C．43 D．610．（2022•资阳）如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O，且EG∥BC，将矩形折叠，使点C与点O重合，折痕MN恰好过点G若AB=6，EF＝2，∠H＝120°，则DNA．32 B．6+32 C．二．填空题（共10小题）11．（2022•成华区模拟）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E是AD的中点，点F是AB上一动点．将△AEF沿直线EF折叠，点A落在点A'处．在EF上任取一点G，连接GC，GA'，CA′，则△CGA'的周长的最小值为．12．（2022•安徽二模）如图（1），四边形ABCD是正方形，点E是边AD上的点，将△CDE沿着直线CE折叠，使得点D落在AC上，对应点为F．（1）CDEF=（2）如图（2），点G是BC上的点，将△ABG沿着直线AG折叠，使得点B落在AC上，对应点为H，连接FG，EH，则S正方形ABCDS13．（2022•邓州市一模）如图（1）是一张菱形纸片，其中∠A＝135°，AB=3+1，点E为BC边上一动点．如图（2），将纸片沿AE翻折，点B的对应点为B'；如图（3），将纸片再沿AB'折叠，点E的对应点为E'．当AE'与菱形的边垂直时，BE的长为14．（2022春•成都期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AD上的点，连接EF，将四边形ABEF沿EF折叠，点B的对应点G恰好落在CD边上，点A的对应点为H，连接BH．则BH+EF的最小值是．15．（2022•微山县一模）已知矩形ABCD中，AB＝6．点E为AD上一个动点，连接CE，将△CDE沿CE折叠，点D落在点F处，当点F为线段AB的三等分点时，AE的长．16．（2022春•蜀山区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，∠DAC＝30°，点M是BC边的中点，点P是对角线AC上一动点（0＜CP＜1.5），将△CPM沿PM折叠，点C落在点C'处，线段MC′交AC于点N，连接AC，当△ANC′是直角三角形时，线段AC′的长度为．17．（2022春•江汉区期末）如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点A与点C重合，点B落在点G处，折痕交AD于点E，交BC于点F，若△CEF的面积与△CDE的面积比为4：1，则EFDE的值是18．（2022•庐阳区校级三模）如图1，在五边形纸片ABCDE中，AB＝1，∠A＝120°，将五边形纸片沿BD折叠，点C落在点P处，在AE上取一点Q，将△ABQ和△EDQ分别沿BQ、DQ折叠，点A、E恰好落在点P处．（1）∠C+∠E＝°；（2）如图2，若四边形BCDP是菱形，且Q、P、C三点共线时，则BQAB=19．（2022•长春模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点，点F在AD上运动，沿直线EF折叠四边形CDFE，得到四边形GHFE，其中点C落在点G处，连接AG，AH，则AG的最小值是．20．（2022•沈河区二模）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠A＝60°，点E为边AD上一点，将点C折叠与点E重合，折痕与边CD和BC分别交于点F和G，当DE＝2时，线段CF的长是．三．解答题（共10小题）21．（2022•遵义）如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．（1）求证：CM＝CN；（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求MNDN22．（2022•张家港市模拟）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF、CE和EF，设EF与AC的交点为O．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=213cm，△ABF的为面积12cm2，求△23．（2022•淮安）已知：平行四边形ABCD的对角线交点为O，点E、F分别在边AB、CD上，分别沿DE、BF折叠四边形ABCD，A、C两点恰好都落在O点处，且四边形DEBF为菱形（如图）．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）在四边形ABCD中，求ABBC24．（2022•南岗区模拟）已知：将矩形ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，其中点E，F分别在AB，CD上，点D的对应点为点G，连接AF．（1）如图1，求证：四边形AECF为菱形；（2）如图2，若∠CFG＝60°，连接AC交EF于点O，连接DO，GO，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的等边三角形．25．（2022春•浦东新区期末）如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（﹣6，8）．矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、x轴分别交于点D、F．（1）求点D的坐标；（2）若点N是平面内任一点，在x轴上是否存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．26．（2022春•江岸区期中）如图，将矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再通过折叠使B点落在折痕MN上的B'，设两条折痕的交点为F，连接BF、EB'、BB'、AB'．（1）求∠ABB'的度数；（2）请判断四边形BFB'E的形状，并说明理由．27．（2022•西固区校级模拟）在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AE与BF相交于点G．（1）如图1，求证：AE⊥BF；（2）如图2，将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，延长FP交BA的延长线于点Q，若AB＝4，求QF的值28．（2022秋•梅列区校级期中）如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．（1）求∠EDG的度数．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．29．（2022•道外区三模）将等腰三角形ABC折叠，使顶点B与底边AC的中点D重合，折线分别交AB，BC于点F，E，连接DF，DE．（1）如图1，求证：四边形DFBE是菱形；（2）如图2，延长FD至点G，使FD＝DG，连接GC，并延长GC交FE的延长线于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有平行四边形（不包括以BF为一边的平行四边形）．30．（2022秋•宜宾期末）如图矩形纸片ABCD的边长AB＝a，BC＝b（a＜b），点M、N分别为边AD、BC上两点（点A、C除外），连接MN．若对角线BD与MN交于点O，分别沿BM、DN折叠，折叠后点A、C恰好都落在点O处，并且得到的四边形是菱形BNDM．请你探索a、b之间的数量关系，并求出当a=3时，菱形BNDM专题9.8四边形中的折叠问题专项训练（30道）【苏科版】考卷信息：本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对折叠问题的理解！一．选择题（共10小题）1．（2022•绥化一模）如图，在一张矩形纸片ABCD中AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的点H处，点D落在点G处，连接CE，CH．有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②CE平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF＝5．以上结论中，其中正确结论的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF＝FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；②根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH＝∠ECH，然后求出只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，判断出②错误；③点H与点A重合时，设BF＝x，表示出AF＝FC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF＝CD，求出BF＝4，然后写出BF的取值范围，判断出③正确；④过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④错误．【解答】解：①∵FH与EG，EH与CF都是原来矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，∴FH∥CG，EH∥CF，∴四边形CFHE是平行四边形，由翻折的性质得，CF＝FH，∴四边形CFHE是菱形，故①正确；②∵四边形CFHE是菱形，∴∠BCH＝∠ECH，∴只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，故②错误；③点H与点A重合时，设BF＝x，则AF＝FC＝8﹣x，在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，点G与点D重合时，CF＝CD＝4，∴BF＝4，∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，故③正确；④如图，过点F作FM⊥AD于M，则ME＝（8﹣3）﹣3＝2，由勾股定理得，EF=MF2综上所述，结论正确的有①③，共2个．故选：B．2．（2022•沿河县二模）如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△OPD，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP＝45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP＝30°时，△OAD的面积为15；③当P在运动过程中，CD的最小值为234−6；④当OD⊥AD时，BPA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】①由矩形的性质得到∠OBC＝90°，根据折叠的性质得到OB＝OD，∠PDO＝∠OBP＝90°，∠BOP＝∠DOP，推出四边形OBPD是矩形，根据正方形的判定定理即可得到四边形OBPD为正方形；故①正确；②过D作DH⊥OA于H，得到OA＝10，OB＝6，根据直角三角形的性质得到DH=12OD=3，根据三角形的面积公式得到△OAD的面积为12OA③连接OC，于是得到OD+CD≥OC，即当OD+CD＝OC时，CD取最小值，根据勾股定理得到CD的最小值为234−④根据已知条件推出P，D，A三点共线，根据平行线的性质得到∠OPB＝∠POA，等量代换得到∠OPA＝∠POA，求得AP＝OA＝10，根据勾股定理得到BP＝BC﹣CP＝10﹣8＝2，故④正确．【解答】解：①∵四边形OACB是矩形，∴∠OBC＝90°，∵将△OBP沿OP折叠得到△OPD，∴OB＝OD，∠PDO＝∠OBP＝90°，∠BOP＝∠DOP，∵∠BOP＝45°，∴∠DOP＝∠BOP＝45°，∴∠BOD＝90°，∴∠BOD＝∠OBP＝∠ODP＝90°，∴四边形OBPD是矩形，∵OB＝OD，∴四边形OBPD为正方形；故①正确；②过D作DH⊥OA于H，∵点A（10，0），点B（0，6），∴OA＝10，OB＝6，∴OD＝OB＝6，∠BOP＝∠DOP＝30°，∴∠DOA＝30°，∴DH=1∴△OAD的面积为12OA•DH=③连接OC，则OD+CD≥OC，即当OD+CD＝OC时，CD取最小值，∵AC＝OB＝6，OA＝10，∴OC=OA2∴CD＝OC﹣OD＝234−即CD的最小值为234−④∵OD⊥AD，∴∠ADO＝90°，∵∠ODP＝∠OBP＝90°，∴∠ADP＝180°，∴P，D，A三点共线，∵OA∥CB，∴∠OPB＝∠POA，∵∠OPB＝∠OPD，∴∠OPA＝∠POA，∴AP＝OA＝10，∵AC＝6，∴CP=1∴BP＝BC﹣CP＝10﹣8＝2，故④正确；故选：D．3．（2022春•溧阳市期末）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在直线折叠后展开，折痕为MN；再过点D折叠，使得点A落在MN上的点F处，折痕为DE，则EMFNA．3 B．3−1 C．2−3 【分析】设正方形纸片ABCD的边长为2a，由折叠的性质与正方形的性质可得AM＝BM＝DN＝NC＝a，AD＝DF＝MN＝2a，AE＝EF，∠EMF＝∠DNF＝90°，由勾股定理可求FN的长，进而可求FM的长，设AE＝EF＝x，再利用勾股定理可求x，得到EM的长，代入EMFN【解答】解：设正方形纸片ABCD的边长为2a．由题意可知：AM＝BM＝DN＝NC＝a，AD＝DF＝MN＝2a，AE＝EF，∠EMF＝∠DNF＝90°，∴FN=DF∴FM＝MN﹣FN＝（2−3）a设AE＝EF＝x，则EM＝AM﹣AE＝a﹣x．在Rt△EMF中，∵EM2+MF2＝EF2，∴（a﹣x）2+[（2−3）a]2＝x2∴x＝（4﹣23）a，∴EM＝a﹣（4﹣23）a＝（23−3）a∴EMFN=(2故选：C．4．（2022•衢州模拟）如图矩形ABCD纸片，我们按如下步骤操作：（1）以过点A的直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于点E；（2）将纸片展开后，再次折叠纸片，以过点E所在的直线为折痕，使点A落在BC或BC的延长线上，折痕EF交直线AD或直线AB于F，则∠AFE的值为（）A．22.5° B．67.5° C．22.5°或67.5° D．45°或135°【分析】可动手操作，观察折叠得到的图形及展开图，确定折线的位置，然后进一步求解．【解答】解：以过点A的直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于点E，实际上是折成一个正方形；①将纸片展开后，再次折叠纸片，以过点E所在的直线为折痕，使点A落在BC或BC的延长线上，折痕EF交直线AD于F，∠AEC＝45°+90°＝135°．所以，∠AFE＝∠FEC=12∠②交AB的延长线交于一点F1时，∠BEF＝∠MEC＝67.5°，∴∠AFE＝90°﹣∠BEF＝22.5°，故选：C．5．（2022•嘉兴二模）如图，矩形纸片ABCD中，AD＝6，E是CD上一点，连结AE，△ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为G．若AD＝3GD，则DE的值为（）A．5 B．52 C．655【分析】过点E作EH⊥FG，易得四边形GHED为矩形，则GH＝DE，HE＝GD；由已知可得：GD＝2，AG＝4，利用勾股定理可求FG＝25；设DE＝x，则GH＝EF＝x，HF＝25−x，在Rt△HEF中，由勾股定理列出方程，解方程可求DE【解答】解：过点E作EH⊥FG，交FG于点H，如图，由题意：△AEF≌△AED，则AF＝AD＝6，DE＝EF．∵AD＝6，AD＝3GD，∴GD＝2．∴AG＝AD﹣DG＝6﹣2＝4．∵FG⊥AD，∴FG=A∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∵FG⊥AD，EH⊥FG，∴四边形GHED为矩形．∴GH＝DE，HE＝GD＝2．设DE＝x，则GH＝EF＝x，HF＝25−x在Rt△HEF中，∵HF2+HE2＝EF2，∴(25解得：x=6∴DE=6故选：C．6．（2022春•宝安区期末）如图，在长方形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，E在AD上．AD＝m，AE＝n（m＞n＞0）．将长方形沿着BE折叠，A落在A′处，A'E交BC于点G，再将∠A′ED对折，点D落在直线A′E上的D′处，C落在C′处，折痕EF，F在BC上，若D、F、D′三点共线，则BF＝（）A．m+12n B．m−n2 C．m+n2 【分析】连接DD′，证明∠EFD是直角，然后证明△BEF和△EFE全等即可得出结论．【解答】解：如图，连接DD′，∵D、F、D′三点共线，四边形EFC′D′是由四边形EFCD翻折得到，∴△EFD≌△EFD′，∠DEF＝∠D′EF，∴∠EFD＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，∵∠AEB＝∠A′EB，∴∠BEF＝90°，在△BEF和△DFE中，∠DEF=∠BFE，EF=EF∴△BEF≌△DFE（ASA），∴BF＝ED，∵AD＝m，AE＝n，∴BF＝ED＝m﹣n．故选：D．7．（2022春•普洱期末）有一张长方形纸片ABCD，按下面步骤进行折叠：第一步：如图①，点E在边BC上，沿AE折叠，点B落在点B'处；第二步：如图②，沿EB'折叠，使点A落在BC延长线上的点A'处，折痕为EF．下列结论中错误的是（）A．△AEF是等边三角形 B．EF垂直平分AA' C．CA'＝FD D．EA'＝AF【分析】根据翻折性质和矩形性质可得∠BEA＝∠EAF＝∠EFA＝60°，由此判断选项A；根据翻折性质可判断选项D；根据菱形的判定与性质可判断选项B；由于AB、BC的长度不确定，可判断选项C．【解答】解：∵∠BEA＝∠AEF＝∠A′EF，∠BEA+∠AEF+∠A′EF＝180°，∴∠BEA＝∠AEF＝∠A′EF＝60°，∵BC∥AD，∴∠BEA＝∠EAF＝60°，∴∠BEA＝∠EAF＝∠EFA＝60°，∴△AEF是等边三角形，故A正确，∴△EFA′是等边三角形，∴AE＝EA′＝A′F＝AF，故D正确，∴四边形AEA′F是菱形，∴EF垂直平分AA′，故B正确，由于AB、BC的长度不确定，所以AC不一定等于DF，故C错误．故选：C．8．（2022•槐荫区二模）如图，菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，P是AB上一点，BP＝3，Q是CD边上一动点，将四边形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′．当CA′的长度最小时，CQ的长为（）A．5 B．7 C．8 D．6.5【分析】作CH⊥AB于H，如图，根据菱形的性质可判断△ABC为等边三角形，则CH=32AB＝43，AH＝BH＝4，在Rt△CHP中，利用勾股定理计算出CP＝7，再根据折叠的性质得点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点A′在PC上时，CA′的值最小，然后证明CQ＝【解答】解：作CH⊥AB于H，如图，∵菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴CH=32AB＝43，AH＝∵PB＝3，∴HP＝1，在Rt△CHP中，CP=CH∵梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′，∴点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，∴当点A′在PC上时，CA′的值最小，∴∠APQ＝∠CPQ，而CD∥AB，∴∠APQ＝∠CQP，∴∠CQP＝∠CPQ，∴CQ＝CP＝7．故选：B．9．（2022春•泰兴市月考）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF．若菱形ABCD的边长为8，∠B＝120°，则EF的值是（）A．23 B．4 C．43 D．6【分析】连接AC，BD．证明△ABD是等边三角形，推出BD＝AB＝8，再证明EF是△ABD的中位线，可得结论．【解答】解：如图所示，连接AC，BD．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD＝BC，AC⊥BD，∠ABD＝∠CBD=12∠∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝8，∵A沿EF折叠与O重合，∴EF⊥AC，EF平分AO，∵AC⊥BD，∴EF∥BD，∴E、F分别为AB、AD的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF=12BD故选：B．10．（2022•资阳）如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O，且EG∥BC，将矩形折叠，使点C与点O重合，折痕MN恰好过点G若AB=6，EF＝2，∠H＝120°，则DNA．32 B．6+32 C．【分析】延长EG交DC于P点，连接GC、FH，则△GCP为直角三角形，证明四边形OGCM为菱形，则可证CG＝OM＝CM＝OG=3，由勾股定理求得GP的值，再由梯形的中位线定理CM+DN＝2GP【解答】解：延长EG交DC于P点，连接GC、FH；如图所示：则CP＝DP=12CD=6∵四边形EFGH是菱形，∠EHG＝120°，∴GH＝EF＝2，∠OHG＝60°，EG⊥FH，∴OG＝GH•sin60°＝2×3由折叠的性质得：CG＝OG=3，OM＝CM，∠MOG＝∠MCG∴PG=C∵OG∥CM，∴∠MOG+∠OMC＝180°，∴∠MCG+∠OMC＝180°，∴OM∥CG，∴四边形OGCM为平行四边形，∵OM＝CM，∴四边形OGCM为菱形，∴CM＝OG=3根据题意得：PG是梯形MCDN的中位线，∴DN+CM＝2PG=6∴DN=6故选：C．二．填空题（共10小题）11．（2022•成华区模拟）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E是AD的中点，点F是AB上一动点．将△AEF沿直线EF折叠，点A落在点A'处．在EF上任取一点G，连接GC，GA'，CA′，则△CGA'的周长的最小值为7+73【分析】如图，当点F固定时，连接AC交EF于G，连接A′G，此时△CGA′的周长最小，最小值＝A′G+GC+CA′＝GA+GC+CA′＝AC+CA′．当CA′最小时，△CGA′的周长最小，求出CA′的最小值即可解决问题．【解答】解：如图，当点F固定时，连接AC交EF于G，连接A′G，此时△A′GC的周长最小，最小值＝A′G+GC+CA′＝GA+GC+CA′＝AC+CA′．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8，∴AC=A∴△A′CG的周长的最小值＝10+CA′，当CA′最小时，△CGA′的周长最小，∵AE＝DE＝EA′＝3，∴CE=D∵CA′≥EC﹣EA′，∴CA′≥73∴CA′的最小值为73−∴△CGA′的周长的最小值为7+73故答案为：7+7312．（2022•安徽二模）如图（1），四边形ABCD是正方形，点E是边AD上的点，将△CDE沿着直线CE折叠，使得点D落在AC上，对应点为F．（1）CDEF=2（2）如图（2），点G是BC上的点，将△ABG沿着直线AG折叠，使得点B落在AC上，对应点为H，连接FG，EH，则S正方形ABCDS四边形EFGH=【分析】（1）由正方形的性质得到∠CDA＝90°，再由翻折的性质得到△CDE≌△CFE，∠CFE＝90°，进而证明△AFE为等腰直角三角形，设AF＝EF＝x，解得正方形的边长为（2+1）x（2）由折叠的性质可得△CDE≌△CFE≌△ABG≌AHG，设AF＝EF＝HG＝HC＝x，由（1）可知，AB＝（2+1）x，继而证明四边形EFGH是平行四边形，分别解得S正方形ABCD，S四边形EFGH【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠CDA＝90°，∠DAC＝90°，由折叠的性质得：△CDE≌△CFE，∠CFE＝90°，∴△AFE为等腰直角三角形，EF＝AF，设AF＝EF＝x，则AE=2x，DE＝EF＝x∴CD＝AD＝AE+DE＝（2+1）x∴CDEF故答案为：2+（2）由折叠的性质得：△CDE≌△CFE，△ABG≌AHG，∠DCE＝∠ECF，∠GAB＝∠GAC，∵∠DCA＝∠CAB＝45°，∴∠DCE＝∠GAB＝22.5°，∵AB＝CD，∠EDC＝∠GBA＝90°，∴△CDE≌△ABG≌△AHG≌△CFE，∴EF＝HG，∵∠EFA＝∠GHC＝90°，∠EAF＝∠GCH，∴△EAF≌△GCH（AAS），且△EAF和△GCH都为等腰直角三角形，∴EF＝AF＝HC＝HG，设EF＝AF＝HC＝HG＝x，由（1）可知，AB＝（2+1）x∴AC=2AB＝（2+2）∴FH＝AC﹣2AF=2x∵△AHG≌△CFE，∴∠EFC＝∠GHA，∴EF∥HG，∵EF＝HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∴S四边形EFGH＝FH•HG=2x2S正方形ABCD＝[（2+1）x]2＝（2+1）2x∴S正方形ABCDS四边形EFGH故答案为：4+3213．（2022•邓州市一模）如图（1）是一张菱形纸片，其中∠A＝135°，AB=3+1，点E为BC边上一动点．如图（2），将纸片沿AE翻折，点B的对应点为B'；如图（3），将纸片再沿AB'折叠，点E的对应点为E'．当AE'与菱形的边垂直时，BE的长为63或【分析】分两种情况讨论：①当AE′⊥BC时，设AE′，BC交于点F，②当AE'⊥AB时，过点E作EG⊥AB于点G，设BG＝x，则EG＝BG＝x，然后利用含30度角的直角三角形即可解决问题．【解答】解：∵BC∥AD，∠DAB＝135°，∴∠B＝45°，分两种情况讨论：①当AE′⊥BC时，如图，设AE′，BC交于点F，则∠FAB＝45°，FA＝FB＝（3+1）×22∴∠E′AB′＝∠B'AE＝∠BAE＝15°，∴∠FAE＝30°，∴EF=1∴BE=12（6+②当AE'⊥AB时，如图，则∠E′AB＝90°，∴∠E'AB'＝∠B′AE＝∠BAE＝30°，过点E作EG⊥AB于点G，设BG＝x，则EG＝BG＝x，∴AG=3x∴3x+x=3解得x＝1，∴BE=2BG=综上可知，BE的长为63或2故答案为：63或214．（2022春•成都期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AD上的点，连接EF，将四边形ABEF沿EF折叠，点B的对应点G恰好落在CD边上，点A的对应点为H，连接BH．则BH+EF的最小值是25．【分析】如图，过点F作FK⊥BC于点K，延长BC到点M，使CM＝BC，连接AM交CD于点N，连接MG、GA、BG，由翻折可得△ABG≌△HGB（SAS），再证得△FEK≌△BGC（ASA），即可推出BH+EF＝AG+MG，利用三角形三边关系可得BH+EF≥AM，由于当点G与点N重合时，AG+MA＝AM，此时AG+MA的值最小，故BH+EF＝AM的值也最小，运用勾股定理即可求得答案．【解答】解：如图，过点F作FK⊥BC于点K，延长BC到点M，使CM＝BC，连接AM交CD于点N，连接MG、GA、BG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC，∴CD⊥BM，∴CD垂直平分BM，∴MG＝BG，由翻折得AB＝HG，∠ABG＝∠HGB，∵BG＝GB，∴△ABG≌△HGB（SAS），∴GA＝BH，由翻折知EF⊥BG，又∵FK⊥BC，∴∠FKE＝∠BCG＝90°，∴∠EFK+∠FEK＝∠GBC+∠FEK＝90°，∴∠EFK＝∠GBC，∵∠BAD＝∠ABC＝∠BKF＝90°，∴四边形ABKF是矩形，∴AB＝FK，∴FK＝BC，∴△FEK≌△BGC（ASA），∴EF＝BG，∴EF＝MG，∴BH+EF＝AG+MG，∵AG+MG≥AM，∴BH+EF≥AM，∴当点G与点N重合时，AG+MA＝AM，此时AG+MA的值最小，∴BH+EF＝AM的值也最小，∵∠ABM＝90°，AB＝2，BM＝2BC＝4，∴AM=AB2∴BH+EF的最小值是25．故答案为：25．15．（2022•微山县一模）已知矩形ABCD中，AB＝6．点E为AD上一个动点，连接CE，将△CDE沿CE折叠，点D落在点F处，当点F为线段AB的三等分点时，AE的长2或43【分析】由矩形的性质先求解AF＝4，BF＝2，由折叠的性质及勾股定理可求解AD的长，再利用勾股定理可求解AE的长．【解答】解：矩形ABCD中，CD＝AB＝6，∵点F为线段AB的三等分点，∴AF＝2或4，当AF＝4时，BF＝2，由折叠可知：CF＝CD＝6，EF＝DE＝AD﹣AE，∴BC=C∴AD＝BC=42∴EF=42−∵AE2+AF2＝EF2，∴AE2+42＝（42−AE）解得AE=2当AF＝2时，同理得AE=4故答案为：2或4316．（2022春•蜀山区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，∠DAC＝30°，点M是BC边的中点，点P是对角线AC上一动点（0＜CP＜1.5），将△CPM沿PM折叠，点C落在点C'处，线段MC′交AC于点N，连接AC，当△ANC′是直角三角形时，线段AC′的长度为7或2．【分析】分两种情况讨论，①当∠ANC′＝90°时，先求出CN的长，再得出AN的长，最后利用勾股定理得出结果；②当∠AC′N＝90°时，先得出AM的长，再利用勾股定理求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAC＝∠ACB＝30°，∵AB＝2，∴AC＝2AB＝4，∴BC=A①如图，当∠ANC′＝90°时，∵点M是BC边的中点，∴CM＝BM=BC∵∠ACB＝30°，∴MN=32，∠由折叠的性质得：MC=MC′=3，∠CMP＝∠C′MP＝30°，∠MCP＝∠MC′P∴∠∠MC′P＝∠C′MP，∴MP＝C′P，∵∠ANC′＝90°，∴MN=NC′=1在Rt△MCN中，CN=M∴AN＝AC﹣CN＝4−3在Rt△ANC′中，AC'=A②如图，当∠AC′N＝90°时，连接AM，在Rt△ABM中，AB＝2，BM=3∴AM=A由①知，MC＝C′M=3在Rt△AC′M中，AC′=A综上所述，线段AC′的长度为：7或2，故答案为：7或2．17．（2022春•江汉区期末）如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点A与点C重合，点B落在点G处，折痕交AD于点E，交BC于点F，若△CEF的面积与△CDE的面积比为4：1，则EFDE的值是26【分析】连接AF，由翻折知，△AEF≌△CEF，由面积比得出AE：ED＝4：1，设DE＝x，则AE＝CE＝4x，作EH⊥CF于H，利用勾股定理求出EF即可得出比值．【解答】解：连接AF，由翻折知，△AEF≌△CEF，∴∠AEF＝∠CEF，∵AE∥CF，∴∠AEF＝∠EFC，∴∠AFE＝∠AEF＝∠CFE＝∠CEF，∴AF＝AE＝CE＝CF，∵△CEF的面积与△CDE的面积比为4：1，∴△AEF的面积与△CDE的面积比为4：1，∴AE：ED＝4：1，设DE＝x，则AE＝CE＝CF＝4x，作EH⊥CF于H，∴FH＝3x，∵EH=CE∴EF=FH2+E∴EFDE故答案为：26．18．（2022•庐阳区校级三模）如图1，在五边形纸片ABCDE中，AB＝1，∠A＝120°，将五边形纸片沿BD折叠，点C落在点P处，在AE上取一点Q，将△ABQ和△EDQ分别沿BQ、DQ折叠，点A、E恰好落在点P处．（1）∠C+∠E＝240°；（2）如图2，若四边形BCDP是菱形，且Q、P、C三点共线时，则BQAB=6【分析】（1）由折叠的性质可得∠A＝∠BPQ＝120°，∠QED＝∠QPD，∠BCD＝∠BPD，由周角的性质可得∠BPD+∠QPD+∠BPQ＝360°，即可求解；（2）由菱形的性质可得BQ＝QD，QH⊥BD，BH＝DH，由“SSS”可证△ABQ≌△EDQ，可得∠AQB＝∠BQP＝∠EQD＝∠PQD＝45°，由直角三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵将五边形纸片ABCDE沿BD折叠，∴∠A＝∠BPQ＝120°，∠QED＝∠QPD，∠BCD＝∠BPD，∵∠BPD+∠QPD+∠BPQ＝360°，∴∠BPD+∠QPD＝240°，∴∠BCD+∠QED＝240°，故答案为：240；（2）如图，连接PC，交BD于H，∵四边形BPDC是菱形，∴PC是BD的垂直平分线，BP＝PD＝BC＝CD，∵Q，P，C三点共线，∴QC是BD的垂直平分线，∴BQ＝QD，QH⊥BD，BH＝DH，由折叠可知：∠A＝∠BPQ＝120°，AB＝BP＝1＝DE＝DP，∠AQB＝∠BQP，∠EQD＝∠PQD，AQ＝QP＝QE，∴∠BPH＝60°，∴∠PBH＝30°，∴PH=12BP=12，BH在△ABQ和△EDQ中，AB=DEQA=QE∴△ABQ≌△EDQ（SSS），∴∠AQB＝∠EQD，∴∠AQB＝∠BQP＝∠EQD＝∠PQD，∵∠AQE＝180°，∴∠AQB＝∠BQP＝∠EQD＝∠PQD＝45°，∴∠QBH＝∠BQP＝45°，∴BH＝QH=3∴BQ=2BH=∴BQAB故答案为：6219．（2022•长春模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点，点F在AD上运动，沿直线EF折叠四边形CDFE，得到四边形GHFE，其中点C落在点G处，连接AG，AH，则AG的最小值是2．【分析】如图，连接AE，当A、G、E共线时，AG最小，先求出AE，根据AG′＝AE﹣EG′即可解决问题．【解答】解：如图，连接AE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，BE＝EC＝3，AB＝4，∴AE=A当A、G、E共线时，AG最小，此时AG′＝AE﹣EG′＝5﹣3＝2．故答案为2．20．（2022•沈河区二模）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠A＝60°，点E为边AD上一点，将点C折叠与点E重合，折痕与边CD和BC分别交于点F和G，当DE＝2时，线段CF的长是267【分析】过点F作FH⊥AD于H，易证∠DFH＝30°，设CF＝x，则DF＝6﹣x，DH=12（6﹣x），HF=32（6﹣x），EH＝DE+DH＝5−x2，由折叠的性质得EF＝CF＝x，在Rt△EFH中，EF2＝【解答】解：过点F作FH⊥AD于H，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，∴AB＝CD＝6，∠EDF＝120°，∴∠FDH＝60°，∴∠DFH＝30°，设CF＝x，则DF＝6﹣x，DH=12DF=12（6﹣x），HF∴EH＝DE+DH＝2+12（6﹣x）＝5由折叠的性质得：EF＝CF＝x，在Rt△EFH中，EF2＝EH2+HF2，即x2＝（5−x2）2+[32（6﹣x解得：x=26∴CF=26故答案为：267三．解答题（共10小题）21．（2022•遵义）如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．（1）求证：CM＝CN；（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求MNDN【分析】（1）由折叠的性质可得：∠ANM＝∠CNM，由四边形ABCD是矩形，可得∠ANM＝∠CMN，则可证得∠CMN＝∠CNM，继而可得CM＝CN；（2）首先过点N作NH⊥BC于点H，由△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，易得MC＝3ND＝3HC，然后设DN＝x，由勾股定理，可求得MN的长，继而求得答案．【解答】（1）证明：∵将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，∴∠ANM＝∠CNM，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ANM＝∠CMN，∴∠CMN＝∠CNM，∴CM＝CN；（2）解：过点N作NH⊥BC于点H，则四边形NHCD是矩形，∴HC＝DN，NH＝DC，∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，∴S△CMN∴MC＝3ND＝3HC，∴MH＝2HC，设DN＝x，则HC＝x，MH＝2x，∴CM＝3x＝CN，在Rt△CDN中，DC=CN2−D∴HN＝22x，在Rt△MNH中，MN=MH2+H∴MNDN=222．（2022•张家港市模拟）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF、CE和EF，设EF与AC的交点为O．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=213cm，△ABF的为面积12cm2，求△【分析】（1）由折叠的性质知：EF⊥AO，然后可通过证△AOE≌△COF来得到AE＝CF，从而根据平行四边形的判定得出四边形AECF是平行四边形进而利用AC⊥EF，得出四边形AECF是菱形．（2）由（1）的结论易求得AE＝AF＝213cm，因此只需求得AB+BF即可求得△ABF的周长，可设AB＝x、BF＝y，在Rt△ABF中，根据勾股定理和△ABF的面积即可求得x+y的值，由此得解．【解答】（1）证明：由题意可知OA＝OC，EF⊥AC，∵AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，∴△AOE≌△COF，∴AE＝CF，又AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形；（2）解：四边形AFCE是菱形，∴AF＝AE＝213；（4分）设AB＝x，BF＝y，∵∠B＝90°，∴在直角三角形ABF中，根据勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，即x2+y2＝52（5分）又∵S△ABF＝12，∴12xy=12，则∴（x+y）2＝100，∴x+y＝10或x+y＝﹣10（不合题意，舍去）；（7分）∴△ABF的周长为10+213．（8分）23．（2022•淮安）已知：平行四边形ABCD的对角线交点为O，点E、F分别在边AB、CD上，分别沿DE、BF折叠四边形ABCD，A、C两点恰好都落在O点处，且四边形DEBF为菱形（如图）．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）在四边形ABCD中，求ABBC【分析】（1）根据矩形的判定定理，先证DE＝BE，再证∠DOE＝90°，则可证．（2）根据已知条件和（1）的结论，先求得AD：AB，易求解ABBC【解答】（1）证明：连接OE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DO＝OB，∵四边形DEBF是菱形，∴DE＝BE，∴EO⊥BD，∴∠DOE＝90°，即∠DAE＝90°，又四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．（2）解：∵四边形DEBF是菱形，∴∠FDB＝∠EDB，又由题意知∠EDB＝∠EDA，由（1）知四边形ABCD是矩形，∴∠ADF＝90°，即∠FDB+∠EDB+∠ADE＝90°，则∠ADB＝60°，∴在Rt△ADB中，有AD：AB＝1：3，又BC＝AD，则ABBC说明：其他解法酌情给分24．（2022•南岗区模拟）已知：将矩形ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，其中点E，F分别在AB，CD上，点D的对应点为点G，连接AF．（1）如图1，求证：四边形AECF为菱形；（2）如图2，若∠CFG＝60°，连接AC交EF于点O，连接DO，GO，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的等边三角形．【分析】（1）由折叠性质得AE＝CE，AF＝FC，∠AEF＝∠CEF，由矩形性质得出∠ADC＝∠BAD＝90°，AE∥CF，证出AE＝CF，得出四边形AECF是平行四边形，即可得出结论；（2）先证出∠DAF＝30°，得出∠EAF＝60°，证出△AEF和△CEF是等边三角形；再证出OD=12AC＝OA，∠OAD＝60°，得出△AOD是等边三角形；证出CG＝OC＝OG，得出△【解答】解：（1）证明：由折叠性质得AE＝CE，AF＝FC，∠AEF＝∠CEF，∵四边形ABCD为矩形，∴AE∥CF，∴∠AEF＝∠EFC，∵∠AEF＝∠FEC，∴∠FEC＝∠EFC，∴CE＝CF，∵AE＝CE，∴AE＝CF，∵AF＝FC，∴AE＝CE＝CF＝AF，∴四边形AECF为菱形．（2）解：等边三角形为：△AEF、△CEF、△AOD、△COG；理由如下：∵∠CFG＝60°，∴∠DFA＝60°，∠CFA＝120°，∵四边形AECF是菱形，∴AO⊥EF，AO＝OC，AF＝FC＝CE＝AE，∠AFE＝∠CFE＝60°，∴△AEF和△CEF是等边三角形，∴∠DAF＝∠DAB﹣∠FAE＝30°，∠FAO＝30°，∴∠DAO＝60°，∵∠ADC＝90°，∴OD=12AC＝∴△AOD是等边三角形，∵CG＝AD＝OC，OG=12∴CG＝OC＝OG，∴△COG是等边三角形．25．（2022春•浦东新区期末）如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（﹣6，8）．矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、x轴分别交于点D、F．（1）求点D的坐标；（2）若点N是平面内任一点，在x轴上是否存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由折叠的性质得：BE＝AB＝6，∠BED＝∠BAD＝90°，DE＝AD，求出OE＝BO﹣BE＝4，∠OED＝90°，设D（0，a），则OD＝a，DE＝AD＝OA﹣OD＝8﹣a，在Rt△EOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（2）①当OM、OE都为菱形的边时，OM＝OE＝4，得出M的坐标为（4，0）或（﹣4，0）；②当OM为菱形的边，OE为对角线时，MN垂直平分OE，垂足为G，则OG=12OE＝2，根据勾股定理求出③当OM为菱形的对角线，OE为边时，同②得：M（−24【解答】解：（1）∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标是（﹣6，8）．∴∠BAD＝∠OCB＝90°，AB＝OC＝6，OA＝BC＝8，∴BO=O由折叠的性质得：BE＝AB＝6，∠BED＝∠BAD＝90°，DE＝AD，∴OE＝BO﹣BE＝10﹣6＝4，∠OED＝90°，设D（0，a），则OD＝a，DE＝AD＝OA﹣OD＝8﹣a，在Rt△EOD中，由勾股定理得：DE2+OE2＝OD2，即（8﹣a）2+42＝a2，解得：a＝5，∴D（0，5）；（2）存在，点M的坐标为（4，0）或（﹣4，0）或（−103，0）或（①当OM、OE都为菱形的边时，OM＝OE＝4，∴M的坐标为（4，0）或（﹣4，0）；②当OM为菱形的边，OE为对角线时，MN垂直平分OE，垂足为G，如图1所示：则OG=12∵OA＝8，OD＝5，∴AD＝DE＝3，∴E到y轴的距离=DE⋅OE∴OH=12∵EM2﹣MH2＝42﹣（125）2∴OM2﹣（OM−125）2＝42﹣（125解得：OM=10∴M（−10③当OM为菱形的对角线，OE为边时，如图2所示：同②得：M（−24综上所述，在x轴上存在点M，使以M、N、E、O为顶点的四边形是菱形，点M的坐标为（4，0）或（﹣4，0）或（−103，0）或（26．（2022春•江岸区期中）如图，将矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再通过折叠使B点落在折痕MN上的B'，设两条折痕的交点为F，连接BF、EB'、BB'、AB'．（1）求∠ABB'的度数；（2）请判断四边形BFB'E的形状，并说明理由．【分析】（1）由折叠的性质可证得△ABB′为等边三角形，则可求得∠ABB′的度数；（2）由折叠的性质及直角三角形的性质可求得BF＝B′F＝BE＝B′E，可求得四边形BFB′E为菱形．【解答】解：（1）∵将矩形ABCD纸片沿MN对折，∴MN垂直平分AB，∴AB′＝BB′，∵△ABE、△AB′E关于AE对称，∴AB＝AB′，∴AB＝AB′＝BB′，∴△ABB′是等边三角形，∴∠ABB′＝60°；（2）四边形BFB’E是菱形，理由如下：∵△ABE、△AB′E关于AE对称，∴AE垂直平分BB′，∴BE＝B′E，BF＝B′F，∵△ABB′是等边三角形，∴∠AB′B＝60°，又∵B′M⊥AB，∴∠BB′M＝∠AB′M＝30°，又∵∠ABE＝∠AB′E＝90°，∴∠BB′E＝∠AB′E﹣∠AB′B＝30°，∴∠BB′F＝∠BB′E，又∵AE⊥BB′，∴∠EFB′＝∠FEB′＝60°，∴FB′＝EB′，又∵BE＝B′E，BF＝B′F，∴BF＝FB′＝B′E＝BE，∴四边形BFB′E是菱形．27．（2022•西固区校级模拟）在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AE与BF相交于点G．（1）如图1，求证：AE⊥BF；（2）如图2，将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，延长FP交BA的延长线于点Q，若AB＝4，求QF的值【分析】（1）首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE＝90°，即可证明AE⊥BF；（2）由△BCF沿BF对折，得到△BPF可得FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90，在利用角的关系求出QF＝QB，设QF＝x，在Rt△BPQ中，利用勾股定理可建立关于x的方程解方程求出x的值即可．【解答】（1）证明：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF＝BE，在△ABE和△BCF中，AB=BC∠ABE=∠BCF∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BGE＝90°，∴AE⊥BF；（2）解：∵将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，∴FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°，∵CD∥AB，∴∠CFB＝∠ABF，∴∠ABF＝∠PFB，∴QF＝QB，设QF＝x，PB＝BC＝AB＝4，CF＝PF＝2，∴QB＝x，PQ＝x﹣2，在Rt△BPQ中，∴x2＝（x﹣2）2+42，解得：x＝5，即QF＝5．28．（2022秋•梅列区校级期中）如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．（1）求∠EDG的度数．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．【分析】（1）由正方形的性质可得DC＝DA．∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，由折叠的性质得出∠DFE＝∠C，DC＝DF，∠1＝∠2，再求出∠DFG＝∠A，DA＝DF，然后由“HL”证明Rt△DGA≌Rt△DGF，由全等三角形对应角相等得出∠3＝∠4，得出∠2+∠3＝45°即可；（2）①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE＝EF＝BE，∠DEF＝∠DEC，再由三角形的外角性质得出∠5＝∠DEC，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；②设AG＝x，表示出GF、BG，根据点E是BC的中点求出BE、EF，从而得到GE的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可；【解答】（1）解：如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝DA．∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，∴∠DFE＝∠C，DC＝DF，∠1＝∠2，∴∠DFG＝∠A＝90°，DA＝DF，在Rt△DGA和Rt△DGF中，DG=DGDA=DF∴Rt△DGA≌Rt△DGF（HL），∴∠3＝∠4，∴∠EDG＝∠3+∠2=12∠ADF+1=12（∠ADF+∠=1＝45°；（2）①证明：如图2所示：∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，E为BC的中点，∴CE＝EF＝BE，∠DEF＝∠DEC，∴∠5＝∠6，∵∠FEC＝∠5+∠6，∴∠DEF+∠DEC＝∠5+∠6，∴2∠5＝2∠DEC，即∠5＝∠DEC，∴BF∥DE；②解：设AG＝x，则GF＝x，BG＝6﹣x，∵正方形边长为6，E为BC的中点，∴CE＝EF＝BE=1∴GE＝EF+GF＝3+x，在Rt△GBE中，根据勾股定理得：（6﹣x）2+32＝（3+x）2，解得：x＝2，即线段AG的长为2．29．（2022•道外区三模）将等腰三角形ABC折叠，使顶点B与底边AC的中点D重合，折线分别交AB，BC于点F，E，连接DF，DE．（1）如图1，求证：四边形DFBE是菱形；（2）如图2，延长FD至点G，使FD＝DG，连接GC，并延长GC交FE的延长线于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有平行四边形（不包括以BF为一边的平行四边形）．【分析】（1）连接BD，交EF于点O，利用已知条件和折叠的性质证明BE＝BF和EF与BD垂直平分，即可证明四边形DFBE是菱形；（2）根据平行四边形的各种判定方法即可直接写出图2中的所有平行四边形．【解答】证明：（1）连接BD，交EF于点O，∵AB＝BC，点D是AC的中点，∴BD⊥AC，∠ABD＝∠DBC，由折叠可知EF⊥BD，OB＝OD，∴BE＝BF，∴OE＝OF，∴EF与BD垂直平分，∴四边形DFBE是菱形；（2）如图2中共有五个平行四边形（不包括以BF为一边的平行四边形）．分别是▱ADEF；▱ACHF；▱DCHE；▱DGCE；▱DCEF．30．（2022秋•宜宾期末）如图矩形纸片ABCD的边长AB＝a，BC＝b（a＜b），点M、N分别为边AD、BC上两点（点A、C除外），连接MN．若对角线BD与MN交于点O，分别沿BM、DN折叠，折叠后点A、C恰好都落在点O处，并且得到的四边形是菱形BNDM．请你探索a、b之间的数量关系，并求出当a=3时，菱形BNDM【分析】根据翻折的性质可得OB＝AB，OD＝CD，然后求出BD＝2a，再根据勾股定理列式整理即可得到a、b的关系式；先判断出∠ADB＝30°，然后解直角三角形求出OM，再根据菱形的对角线互相平分求出MN的长，然后利用菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．【解答】解：∵沿BM、DN折叠，折叠后点A、C恰好都落在点O处，∴OB＝AB，OD＝CD，∵矩形纸片的边长AB＝a，∴BD＝OB+OD＝2AB＝2a，在Rt△ABD中，根据勾股定理，AD2+AB2＝BD2，即b2+a2＝（2a）2，整理得，b=3a∵BD＝2a，AB＝a，∴∠ADB＝30°，∴OM=33OD=在菱形BNDM中，MN＝2OM=23∴菱形BNDM的面积=12BD•MN=12×2a•2∵a=3∴菱形BNDM的面积=233×专题9.9四边形中的最值问题专项训练（30道）【苏科版】考卷信息：本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强化学生对四边形中最值问题模型的记忆与理解！一．选择题（共10小题）1．（2022春•重庆期末）如图，矩形ABCD中，AB＝23，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（）A．43+3 B．221 C．23+6 2．（2022•灞桥区校级模拟）如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（）A．5 B．7 C．72 D．73．（2022春•中山市期末）如图，在边长为a的正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且BE＝BC，点P是CE上一动点，则点P到边BD，BC的距离之和PM+PN的值（）A．有最大值a B．有最小值22aC．是定值a D．是定值224．（2022春•三门峡期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C．2 D．225．（2022春•滨湖区期末）如图，已知菱形ABCD的面积为20，边长为5，点P、Q分别是边BC、CD上的动点，且PC＝CQ，连接PD、AQ，则PD+AQ的最小值为（）A．45 B．89 C．10 D．6．（2022•泰山区一模）如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为2，则线段CF的最小值是（）A．2 B．1 C．5−1 D．57．（2022•龙华区二模）如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E为CD上一点，且DE＝1，F为射线BC上一动点，过点E作EG⊥AF于点P，交直线AB于点G．则下列结论中：①AF＝EG；②若∠BAF＝∠PCF，则PC＝PE；③当∠CPF＝45°时，BF＝1；④PC的最小值为13−A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（2022•南平校级自主招生）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（）A．4 B．4.8 C．5.2 D．69．（2022春•崇川区期末）如图，正方形ABCD边长为1，点E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且BE＝CF，连接BF，DE，则BF+DE的最小值为（）A．2 B．3 C．5 D．610．（2022•泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（）A．2 B．2 C．22 D．4二．填空题（共10小题）11．（2022春•江城区期末）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．运动过程中点D到点O的最大距离是．12．（2022•东莞市校级一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+DQ的最小值为．13．（2022•钱塘区一模）如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH，连结AH，CG．若AB＝10，AD＝6，EF＝4，则AH+CG的最小值为．14．（2022春•东城区期中）在正方形ABCD中，AB＝5，点E、F分别为AD、AB上一点，且AE＝AF，连接BE、CF，则BE+CF的最小值是．15．（2022春•虎林市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝12，AC＝16，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为．16．（2022•灞桥区校级三模）在菱形ABCD中，∠D＝60°，CD＝4，E为菱形内部一点，且AE＝2，连接CE，点F为CE中点，连接BF，取BF中点G，连接AG，则AG的最大值为．17．（2022春•靖江市校级期末）如图，线段AB的长为10，点D在AB上，△ACD是边长为3的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为．18．（2022春•郫都区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E是BC边上一动点，作点B关于AE的对称点F，连接CF，点P为CF中点，则DP的最小值为．19．（2022春•江都区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝23，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是．20．（2022春•如东县期中）如图，已知AB＝22，C为线段AB上的一个动点，分别以AC，CB为边在AB的同侧作菱形ACED和菱形CBGF，点C，E，F在一条直线上，∠D＝120°．P、Q分别是对角线AE，BF的中点，当点C在线段AB上移动时，点P，Q之间的距离最短为（结果保留根号）．三．解答题（共10小题）21．（2022•禹城市二模）（1）如图①，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别是边BC，CD上两点，且BM＝CN，连AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论．（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN，交于点P．求△APB周长的最大值．22．（2022春•东坡区校级月考）正方形ABCD中，E、F是AD上的两个点，AE＝DF，连CF交BD于点M，连AM交BE于点N，连接DN．如果正方形的边长为2．（1）求证：BE⊥AM；（2）求DN的最小值．23．（2022•黄埔区模拟）如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD＝4，E、F分别是AD、CD上的动点（包含端点），且AE+CF＝4，连接BE、EF、FB．（1）试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；（2）求EF的最大值与最小值．24．（2022春•洪山区期中）如图1，E，F是正方形ABCD的边上两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H（1）求证：AG⊥BE；（2）如图2，连DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．25．（2022•宁德）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为3+126．（2022•南充模拟）如图，M，N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足CM＝DN，AC，BM相交于点E，DE与AN相交于点F，连接CF．（1）求证：DE⊥AN．（2）若正方形ABCD的边长为4，求CF的最小值．27．（2022春•思明区校级期中）已知：在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、DA上．（1）如图1，四边形EFGH为正方形，AE＝2，求GC的长．（2）如图2，四边形EFGH为菱形，设BF＝x，△GFC的面积为S，且S与x满足函数关系S＝6−12x．在自变量x的取值范围内，是否存在x，使菱形EFGH的面积最大？若存在，求28．（2022•南岗区校级一模）已知菱形ABCD的对角线相交于O，点E、F分别在边AB、BC上，且BE＝BF，射线EO、FO分别交边CD、AD于G、H．（1）求证：四边形EFGH为矩形；（2）若OA＝4，OB＝3，求EG的最小值．29．（2022春•戚墅堰区校级月考）如图，已知∠MON＝90°，线段AB长为6cm，AB两端分别在OM、ON上滑动，以AB为边作正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点P，连接OC．（1）求OC的最大值；（2）求证：无论点A、点B怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；（3）若OP＝42cm，求OA的长．30．（2012秋•吴中区月考）如图①，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）连接MN，△BMN是等边三角形吗？为什么？（2）求证：△AMB≌△ENB；（3）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②如图②，当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，请你画出图形，并说明理由．专题9.9四边形中的最值问题专项训练（30道）【苏科版】考卷信息：本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强化学生对四边形中最值问题模型的记忆与理解！一．选择题（共10小题）1．（2022春•重庆期末）如图，矩形ABCD中，AB＝23，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（）A．43+3 B．221 C．23+6 【分析】将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．【解答】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，∴PC＝PF，∵PB＝EF，∴PA+PB+PC＝PA+PF+EF，∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC=AB2∴AC＝2AB，∴∠ACB＝30°，AC＝2AB＝43，∵∠BCE＝60°，∴∠ACE＝90°，∴AE=(43)故选：B．2．（2022•灞桥区校级模拟）如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（）A．5 B．7 C．72 D．7【分析】如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．由旋转不变性可知：AB＝CM＝4，DA＝DM．∠ADM＝90°，推出△ADM是等腰直角三角形，推出AD=22AM，推出当AM的值最大时，AD的值最大，利用三角形的三边关系求出【解答】解：如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．由旋转不变性可知：AB＝CM＝4，DA＝DM．∠ADM＝90°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AD=22∴当AM的值最大时，AD的值最大，∵AM≤AC+CM，∴AM≤7，∴AM的最大值为7，∴AD的最大值为72故选：D．3．（2022春•中山市期末）如图，在边长为a的正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且BE＝BC，点P是CE上一动点，则点P到边BD，BC的距离之和PM+PN的值（）A．有最大值a B．有最小值22aC．是定值a D．是定值22【分析】连接BP，作EF⊥BC于点F，由正方形的性质可知△BEF为等腰直角三角形，BE＝a，可求EF，利用面积法得S△BPE+S△BPC＝S△BEC，将面积公式代入即可．【解答】解：如图，连接BP，作EF⊥BC于点F，则∠EFB＝90°，∵正方形的性质可知∠EBF＝45°，∴△BEF为等腰直角三角形，∵正方形的边长为a，∴BE＝BC＝a，∴BF＝EF=22BE=∵PM⊥BD，PN⊥BC，∴S△BPE+S△BPC＝S△BEC，∴12BE×PM+12BC×PN=1∵BE＝BC，∴PM+PN＝EF=22则点P到边BD，BC的距离之和PM+PN的值是定值22a故选：D．4．（2022春•三门峡期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C．2 D．22【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．【解答】解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2=12当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P=12∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝1．∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．∴∠DP2P1＝90°．∴∠DP1P2＝45°．∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长．在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝1．∴BP1=2∴PB的最小值是2．故选：C．5．（2022春•滨湖区期末）如图，已知菱形ABCD的面积为20，边长为5，点P、Q分别是边BC、CD上的动点，且PC＝CQ，连接PD、AQ，则PD+AQ的最小值为（）A．45 B．89 C．10 D．