2022-2023学年八年级数学下册举一反三系列三系列专题10.3 分式方程【十大题型】（举一反三）（苏科版）含解析

2022-2023学年八年级数学下册举一反三系列专题10.3分式方程【十大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1解分式方程的一般方法】 ④作答【题型1解分式方程的一般方法】【例1】（2022·广东·平洲一中八年级阶段练习）分式方程：1x【答案】3【分析】根据解分式方程的步骤解答即可．【详解】解：11+3（x-2）=41+3x-6=43x=4+6-13x=9x=3检验，当x=3时，x-2=1≠0，故x=3是分式方程的解．故答案为3．【点睛】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的一般步骤为将分式方程化成整式方程、解整式方程、检验．【变式1-1】（2022·广西贵港·八年级期中）解下列分式方程：(1)2xx+2(2)1x+3【答案】(1)x=(2)分式方程无解【分析】（1）通过去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1和检验解分式方程即可；（2）通过去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1和检验解分式方程即可．【详解】（1）解：方程两边同时乘以最简公分母(x+2)(x−1)得∶2x(x−1)−x(x+2)=(x+2)(x−1)25x=2x=检验：当x=25时，∴x=2（2）解：方程两边同时乘以最简公分母(x+3)(x−3)得x−3+2(x+3)=12，x−3+2x+6=12，3x=9，x=3．检验：当x=3时，x+3x−3∴x=3是原方程的增根，∴分式方程无解．【点睛】本题考查解分式方程．熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．注意验根．【变式1-2】（2022·山东省泰安第十五中学八年级阶段练习）当x=________时，分式x−8x【答案】9【分析】根据相反数的性质可得x−8【详解】解：∵分式x−8x−7∴x−8整理得：x−8去分母得：x−8−1=0解得：x=9经检验x=9是x∴x=9时，分式x−8x故答案为：9．【点睛】本题考查了相反数的性质以及解分式方程，根据互为相反数的两个数相加得0列出分式方程是解本题的关键，注意分式方程需要检验．【变式1-3】（2022·上海·上外附中七年级期末）解方程：x+5【答案】x=−5【分析】先将原方程变形1+1【详解】解:原方程可变形为，1+1化简得，1x+4即2x+5(x+4)(x+1)∴2x+5=0，解得，x=−5检验，把x=−52代入(x+4)(x+1)∴原方程的解为x=−5【点睛】此题主要考查了解分式方程，正确地将原方程变形是解决问题的关键.【知识点2换元法解分式方程】换元法：引进新的变量，把一个较复杂的关系转化为简单数量关系例解方程：另（x－y）=u，则原方程转换为：方程转换为了一个比较简洁的形式，再按照二元一次方程组的求法进行求解，以简化计算。注：当熟练应用换算法后，可以直接将某个整体式子看成一个未知数，在计算中，不必将这个整体换元为某个字母，而是直接整体求解。【题型2换元法解分式方程】【例2】（2022·河南·南阳市第十三中学校八年级阶段练习）阅读下面材料，解答后面的问题：解方程：x−1x解：设y=x−1x，则原方程化为：y−4y=0，方程两边同时乘以y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，经检验：∴当y＝2时，x−1x=2，解得x＝﹣1；当y＝﹣2时，x−1x=−经检验：x＝﹣1或x=1∴原分式方程的解为x＝﹣1或x=1上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：(1)若在方程x−1x+xx−1=52中，设(2)模仿上述换元法解方程：x−1x+2【答案】(1)x−1x，y+1y=52(2)x=−【分析】（1）根据换元法设x−1x=y，可得关于（2）根据分式的加减，可得：x−1x+2(1)解：设x−1x=y，则原方程化为：y方程两边同时乘以2y得：2y2﹣5y+2＝0，解得：y=1经检验：y=12和2都是方程y当y=12时，x−1x当y＝2时，x−1x=2，解得：经检验：x=12和故答案为:x−1x，y+1y=52(2)解：原方程化为：x−1x+2设y=x−1x+2，则原方程化为：y方程两边同时乘以y得：y2﹣1＝0，解得：y＝±1，经检验：y＝±1都是方程y−1当y＝1时，x−1x+2当y＝﹣1时，x−1x+2=−1，解得：x经检验：x=−1∴原分式方程的解为x=−1【点睛】本题考查了用换元法解一类特殊的分式方程，关键是根据方程特点正确换元，注意两次解分式方程都要检验．【变式2-1】（2022·上海复旦五浦汇实验学校八年级期末）用换元法解分式方程x2+1x−x3xA．3y2+3y−1=0C．3y2−y+1=0【答案】A【分析】由x2+1x【详解】解：设x2∴分式方程x2+1x化为整式方程：3y故选：A．【点睛】本题考查了换元法解分式方程，掌握换元法及正确把分式方程化成整式方程是解决问题的关键．【变式2-2】（2022·上海·八年级课时练习）如果16x2−8xA．1 B．-1 C．±1 D．4【答案】A【分析】先将方程16x2−8x+1=0变形为【详解】解：方程16x2∴(∴4故选A.【点睛】本题考查了解分式方程中整体思想的运用，对方程进行变形然后利用完全平方公式解题是关键.【变式2-3】（2022·上海·九年级专题练习）解方程组：1x【答案】x=1【分析】将原方程组转换成整式方程组，设1x=u，12x−y=v【详解】解：设1x=u，1解这个方程组，得

u=1v=2于是，得1x=112x−y解方程组得x=1y=3经检验x=1y=3所以，原方程组的解是x=1y=【点睛】本题主要考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解是解决本题的关键．【知识点3分式的运算技巧-裂项法】解题技巧：裂项相消法：【题型3裂项法解分式方程】【例3】（2022·山东烟台·八年级期中）观察下面的变形规律：11×2=11–12；12×3=12–13；解答下面的问题：(1)已知n为正整数，结合你的发现，请将1n(n+1)(2)说明你（1）中式子的正确性；(3)直接写出11×2+12×3+13×4(4)类比你发现的规律，解关于n（n为正整数）的分式方程：11×3【答案】(1)1(2)见解析(3)2021(4)n=100【分析】（1）根据题干信息是探究提示，总结出规律即可；（2）把等式的右边通分，再进行计算即可证明规律；（3）利用规律把原式化为1−1（4）利用规律把原方程化为12（1）解：∵11×2=11–12；12×3=12–13；∴1（2）右边=1∴（1）中式子正确．（3）11×2+12×3+1=1−1=1−（4）方程变形为：12即：12∴n2n+1去分母得：2n解得：n=100．检验：因为n为正整数，原方程分母不会为零．所以原方程的根是n=100．【点睛】本题考查的是数的运算规律的探究，掌握探究的方法并总结运用规律是解本题的关键，同时考查了分式的加减运算，分式方程的解法．【变式3-1】（2022·山东·济南市天桥区泺口实验学校八年级阶段练习）观察下面的变形规律：11×2=1−12,12×3=12−13【答案】98【分析】根据题目中给出的等式可以找到规律，找出规律，即第n个等式为1n(n+1)【详解】解：分式方程变形得：1x+1−1化简得：1x+1−1去分母得：x+100＝2x+2，解得：x＝98，检验：把x＝98代入得：（x+1）（x+2）（x+3）．．．（x+100）≠0，∴分式方程的解为x＝98．故答案为：98．【点睛】本题考查了规律题—数字的变化类，解分式方程，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，写出相应的等式．【变式3-2】（2022·江苏·镇江市江南学校八年级阶段练习）观察下列算式：1(1)由此可推断：142(2)请用含字母m(m为正整数)的等式表示(1)中的一般规律___；(3)仿照以上方法解方程：3【答案】（1）16-1【分析】1）根据题意将42分解为6×7得出答案；（2）利用（1）中数据变化规律得出答案；（3）利用（2）中规律化简方程，进而求出即可．【详解】(1)142=1故答案为16(2)用含字母m的等式表示(1)中一般规律为：1(m−1)(m−2)故答案为1(m−1)(m−2)（3）方程整理得：1x−4−1去分母得：x−1=2x−8，解得：x=7，经检验x=7是分式方程的解.【点睛】此题考查规律型：数字的变化类，解分式方程，解题关键在于找到规律.【变式3-3】（2022·湖南·岳阳市第十九中学八年级阶段练习）阅读理解并回答问题．观察下列算式：111……(1)填空：142＝＝(2)请用含有m（m表示整数）的代数式表示上述式子特点的一般规律：．(3)请用（2）中的规律解方程：1x(x+1)【答案】(1)1(2)1(3)x＝10【分析】（1）观察已知算式计算格式，计算即可得结果；（2）观察给出的算式，可得规律：1m(m+1)（3）由（2）中的规律，可将原方程化为1x−1（1）解：142故答案为：16×7（2）解：由题中给出的算式可得：1m(m+1)故答案为：1m(m+1)（3）解：原方程变形为：1即1x∴x+10＝2x，解得：x＝10，检验：左边＝110，右边＝110，即∴原分式方程的解为：x＝10．【点睛】此题考查了分式的加减运算与分式方程的解法．此题难度适中，解题的关键是得到规律：1m(m+1)【知识点4根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围】（1）方程无解，即方程的根为增根；（2）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＞0，求解出字母取值范围；（3）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＜0，求解出字母取值范围【题型4根据分式方程的解求值】【例4】（2022·河北·南皮县桂和中学八年级阶段练习）若关于x的方程2axa−x=83的解为x=1，则A．−1 B．1 C．4 D．8【答案】C【分析】将x=1代入方程可得一个关于a的分式方程，解方程即可得．【详解】解：∵x=1是方程2axa−x∴2a6a=8a−16a=8a−8，解得a=4，经检验，a=4是方程的解，故选：C．【点睛】本题考查了分式方程的解、解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．【变式4-1】（2022·湖南·溆浦县圣达学校八年级期中）已知关于x的方程3x−1=x+axx−1的增根是x=1A．1 B．−1 C．2 D．−2【答案】C【分析】把分式方程化为整式方程后，把x=1代入，即可求得结果．【详解】方程两边同时乘以xx−1得：3x=x+a把x=1代入得：3×1=1+a，解得：a=2故选：C．【点睛】本题考查了分式方程的增根，理解分式方程增根的定义是解决问题的关键．【变式4-2】（2022·北京市第九中学八年级期中）若x=4是关于x的方程2x−mx−3=3的解，则【答案】5【分析】把x=4代入方程2x−mx−3=3，得到关于【详解】解：∵x=4是关于x的方程2x−mx−3∴2×4−m∴8−m=3，解得：m=5，故答案为：5．【点睛】本题考查了分式方程的解的定义，理解分式方程的解的定义是解题的关键．使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．【变式4-3】（2022·全国·八年级专题练习）若关于x的方程axx+1+3x+1+3xA．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】分式方程去分母转化为整式方程，把增根x=-1代入整式方程计算求出a的值，代入原式计算即可求出值．【详解】解：分式方程去分母得：ax2+3x+3（x+1）=2x（x+1），把x=-1代入整式方程得：a=3，则2a-3=6-3=3．故选：B．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【题型5已知分式方程有解或无解求参数】【例5】（2022·黑龙江黑龙江·三模）关于x的分式方程1−axx−2+2=1【答案】a≠1且a≠2【分析】先求出使分式方程无意义时，a的取值范围，再用逆向思维求出当分式方程有解时a的取值范围．【详解】解：∵1−axx−2∴a=2x−2∵1−axx−2则x−2≠0或2−x≠0，∴x≠2，当x=2时，a=2x−2故a的取值是1，当x≠2时，1−axx−2两边同乘(x−2)，1−ax+2(x−2)=−1，∴x=2当2-a=0时，方程无解，此时a=2，故答案为：a≠1且a≠2．【点睛】本题考查分式方程的解，以及分式方程无意义的解，能够熟练掌握解分式方程的方法是解决本题的关键．【变式5-1】（2022·湖南·八年级单元测试）若关于x的分式方程1x−2+x+mA．-6 B．-10 C．0或-6 D．-6或-10【答案】D【分析】先把方程化成整式方程，再确定分式无解的x的值，把值代入整式方程确定待求字母的值即可．【详解】∵1x−2∴1方程两边同时乘以（x-2）（x+2），得x+2+x+m=3(x-2)，整理，得x=m+8，∵当x+2=0或x-2=0时，分式是无意义的，故当x=-2时，-2=m+8，解得m=-10；当x=2时，2=m+8，解得m=-6；故m=-6或-10，故选D．【点睛】本题考查了分式方程的无解问题，灵活计算求解是解题的关键．【变式5-2】（2022·河北·邢台市第六中学八年级阶段练习）已知关于x的分式方程xx−2+2m2−x=3mA．1或13 B．1或3 C．13【答案】A【分析】根据分式方程无解，需要对化简之后的整式进行讨论，可能是整式方程无解，也可能是整式方程的解是原分式方程的增根，即可求解．【详解】解：去分母得，x−2m=3m(x−2)，去括号得，x−2m=3mx−6m，移项得，x−3mx=2m−6m，合并同类项得，(1−3m)x=−4m，∵分式方程xx−2∴1-3m=0或x=2，∴m=1将x=2代入(1−3m)x=−4m，得2(1−3m)=−4m，解得m=1，综上，m的值是1或13故选A．【点睛】本题主要考查的是利用分式方程无解求参数的值，理解分式方程无解的解题方法是解题关键．【变式5-3】（2022·重庆·二模）若关于x的不等式组2x−m≥−132(x+23)+12≤9A．7 B．10 C．13 D．21【答案】C【分析】先求解不等式组，根据不等式组有且只有两个奇数解，求出m的一个取值范围；再根据分式方程有解的条件，即分母不为零，求出m的第二个取值范围，最后根据两个取值范围确定出正确的m值并求和．【详解】解不等式组：2x−m≥−1由①得：x≥由②得：32x+1+12∴不等式组的解集为m−1∵不等式组有且只有两个奇数解∴1<解得：3<m≤7∵分式方程有解，则分母不为零∴y≠2解分式方程：my−4my−4my−4−2(y−2)−(3y−2)y=−2m−5，∴−解得：m≠4∴满足条件的m值为6，7∴所有满足条件的整数m的和是6+7=13故选C．【点睛】本题考查求含参一元一次不等式组的解及根据条件求参数取值范围，根据分式方程有解求含参分式方程参数取值范围，解决本题的关键是根据条件求出正确的m的范围．【知识点5增根的讨论】方程有增根，则这个根使得分式的分母为0.利用这个条件，我们可以先求解出增根的情况，在根据题意求解出其他字母的值。【题型6已知分式方程有增根求参数】【例6】（2022·湖南·永州市冷水滩区京华中学八年级期中）如果方程5x−42x−4=2x+k【答案】5【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的根，然后再由分式方程有增根，列出关于k的方程求解即可．【详解】解：5x−45x−4左右同乘最简公分母6（x-2）得：3（5x-4）=2（2x+k）11x=2k+12x=2k+1211由分式方程有增根，则6（x-2）=0，即x-2=0，有2k+1211-2=0，解得k故答案为5．【点睛】本题考查了分式方程的增根，解此类题的基本步骤：①化分式方程为整式方程求出增根；②把增根代入最简公分母求出相关字母的值．【变式6-1】（2022·浙江宁波·七年级期末）用去分母的方法解关于x的分式方程2−xx−3=a【答案】1【分析】根据分式方程产生增根，即可得出x=3，将分式方程化为整式方程，将x=3代入整式方程，即可求出a的值．【详解】解：将2−xx−3=a3−x−2∵关于x的分式方程2−xx−3∴x=3，将x=3代入2−x=−a−2x−3∴2−3=−a−23−3∴a=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了分式方程的增根问题，熟练掌握分式方程增根的含义是本题的关键．【变式6-2】（2022·江西省石城二中九年级阶段练习）解关于x的方程xx-1−A．2 B．1 C．k≠2且k≠−2【答案】C【分析】先将分式方程化为整式方程，解得x=12k，根据题意可得【详解】解：去分母得，x(解得x=∵方程xx∴x≠±1∴12即k≠±2故选：C．【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式6-3】（2022·全国·八年级）若关于x的方程mx2−9【答案】x＝3或－3是原方程的增根；m＝6或12.【详解】试题分析：先根据方程有增根，可让最简公分母为0，且把分式方程化为整式方程，分别代入求解即可.试题解析：因为原方程有增根，且增根必定使最简公分母(x＋3)(x－3)＝0，所以x＝3或x＝－3是原方程的增根．原方程两边同乘(x＋3)(x－3)，得m＋2(x－3)＝x＋3.当x＝3时，m＋2×(3－3)＝3＋3，解得m＝6；当x＝－3时，m＋2×(－3－3)＝－3＋3，解得m＝12.综上所述，原方程的增根是x＝3或x＝－3.当x＝3时，m＝6；当x＝－3时，m＝12.点睛：只要令最简公分母等于零，就可以求出分式方程的增根，再将增根代入分式方程化成的整式方程，就能求出相应的m的值．【题型7已知分式方程有整数解求参数】【例7】（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校九年级期中）若关于x的不等式组x3−4＜−2x+332x+a−2≥51−2x，有且仅有四个整数解，且使关于y的分成方程A．−2 B．3 C．5 D．10【答案】B【分析】先求出每个不等式的解集，根据不等式组只有四个整数解求出−5≤a<7，再解分式方程，根据分式方程有整数解求出a−1是3的整倍数，a≠−5，据此求解即可．【详解】解：x解不等式①得：x<5，解不等式②得：x≥7−a∵不等式组有且仅有四个整数解，∴0<7−a∴−5≤a<7；a去分母得：a=2y−1+y+2，解得y=a−1∵分式方程有整数解，∴a−1是3的整倍数，且a−13≠−2，即∴a−1=−3或0或3，∴a=−2或1或4，∵−2+1+4=3，∴所有满足条件的整数a的值之和是3，故选B．【点睛】本题主要考查了根据一元一次不等式组的解集情况求参数，根据分式方程解得情况求参数，熟知解一元一次不等式组和解分式方程的方法是解题的关键．【变式7-1】（2022·安徽·九年级专题练习）若整数a使关于x的分式方程8−ax2−x﹣2＝xx−2有整数解，则符合条件的所有A．7 B．11 C．12 D．13【答案】D【分析】根据分式方程的解为整数解，即可得出a=-1，1，2，4，7，据此计算即可．【详解】解分式方程8−ax2−x﹣2＝xx−2，得：∵分式方程的解为整数，且x≠2，∴a=-1，1，2，4，7．故符合条件的所有a之和为：-1+1+2+4+7=13．故选：D．【点睛】本题考查了分式方程的解，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．【变式7-2】（2022·重庆一中八年级阶段练习）关于x的不等式组a+x3≥x+131−3(x−1)＜14+2x有解且至多有4个整数解，关于yA．4 B．8 C．11 D．15【答案】A【分析】求出不等式组的解集，根据解集的限制条件确定a的取值范围，再解关于y的分式方程，根据分式方程的解为整数，进而确定a的取值，再进行计算即可．【详解】解：解关于x的不等式组a+x3≥x+1所以﹣2≤x≤a−12由于这个关于x的不等式组有解且至多有4个整数解，∴﹣2≤a−12∴﹣3≤a＜5，解关于y的分式方程3y+153−y+2ayy−3=2由于这个分式方程的解是整数，且y≠3，∴2a﹣5＝±1或2a﹣5＝﹣3或2a﹣5＝±9，当2a﹣5＝±1时，a＝3或a＝2，当2a﹣5＝﹣3时，a＝1，当2a﹣5＝±9时，a＝7或a＝﹣2，又∵a为整数，且﹣3≤a＜5，∴a＝3或a＝2或a＝1或a＝﹣2，∴所有满足条件的整数a的和为3+2+1﹣2＝4，故选：A．【点睛】本题考查一元一次不等式组、分式方程，理解一元一次不等式组的解集、分式方程的解，掌握一元一次不等式组和分式方程的解法是解决问题的前提．【变式7-3】（2022·全国·八年级专题练习）若关于x的不等式组{x−3(x−2)>−2a+x2<x有解，关于y的分式方程ay−14−yA．0 B．1 C．2 D．5【答案】B【分析】先解不等式组，由不等式组有解，可得a＜4，再解分式方程，当a≠2且a≠1时，分式方程的解为：y=−4a−2,【详解】解：{由①得：x−3x+6＞−2,∴−2x＞−8,∴x＜4,由②得：a+x＜2x,∴x＞a,∵关于x的不等式组{x−3(x−2)>−2∴a＜4，∵ay−1∴ay−1−3=−2(4−y),∴ay−2y=−4,∴(a−2)y=−4,当a=2时，方程无解，则a≠2,∴y=−4检验：y−4≠0,∴−4∴4∴a−2≠−1,∴a≠1,∵y,a为整数，∴a−2=±1或a−2=±2或a−2=±4,∴a=3或a=1或a=4或a=0或a=6或a=−2,∴a＜4，a≠2,a≠1,∴a=3或a=0或a=−2.经检验：a=3或a=0或a=−2符合题意，∴3+0+(−2)=1.故选：B.【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，分类讨论数学思想，掌握以上知识是解题的关键．【题型8根据分式方程解的取值范围求参数的范围】【例8】（2022·重庆一中九年级阶段练习）若关于x的不等式组x−a2>03x+15≥x−1有解，且关于yA．﹣8 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣1【答案】B【分析】先解不等式组，根据关于x的不等式组x−a2>03x+15≥x−1有解，可得a的取值范围，再解分式方程，关于y【详解】解：x−a2解不等式①得，x＞解不等式②得，x≤3，∵关于x的不等式组x−a2∴a＜解分式方程2ay−3去分母得，2a=4(y−3)+y−a，解得：y=3a+12∵关于y的方程2ay−3∴y＞0且∴3a+125>0解得a＞−4，且∴−4＜a＜∴满足条件的整数a的值：−3、−2、−1、0、2；∵−3+(−2)+(−1)+0+2=−4，故选：B．【点睛】本题考查了分式方程的解，和解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的方法以及解分式方程的步骤是解题的关键．【变式8-1】（2022·山东·龙口市教学研究室八年级期中）若关于x的分式方程2x+m=3【答案】m>2且m≠3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，根据方程有负数解列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．【详解】解：去分母得：2(x+3)=3(x+m)，去括号得：2x+6=3x+3m，移项合并得：−x=3m−6，解得：x=6−3m，根据题意得：6−3m<0，且6−3m≠−3，6−3m≠−m，解得：m>2且m≠3．故答案为：m>2且m≠3．【点睛】此题考查了分式方程的解，解题的关键是用m的代数式表示x．【变式8-2】（2022·江苏宿迁·八年级阶段练习）关于x的方程x−1x−3=2+k【答案】k<4且k≠2【分析】根据题意解分式方程，用k表示出x的值，然后根据x的取值范围求解即可．【详解】∵x−1x−1=2x−3解得：x=5−k．∵方程x−1x−3∴x>1，且x≠3，∴5−k>1且5−k≠3，解得：k<4且k≠2．故答案为：k<4且k≠2．【点睛】此题考查了分式方程含参数问题的解法，解题的关键是根据题意得出关于参数k的不等式．【变式8-3】（2022·山东济南·八年级期中）若关于x的分式方程x+ax−2+2a2−x=5的解是非负整数解，且a满足不等式a+2>1A．18 B．16 C．12 D．6【答案】B【分析】先求出分式方程的解，再利用分式方程的解为非负整数解，以及a满足不等式a+2>1，求出−1＜a≤10，再利用x=10−a【详解】解：由题意可知：x+a−2ax−2x−a=5x−2x=10−a∵分式方程的解是非负整数解，且a满足不等式a+2>1，∴10−a4≥0a+2∵x=10−a当10−a=0时，a=10，此时x=0，经检验，当10−a=4时，a=6，此时x=1，经检验，当10−a=8时，a=2，此时x=2，经检验，∴满足条件的整数a的值之和是16．故选：B【点睛】本题考查解分式方程，不等式组的应用，解题的关键是求出−1＜a≤10，再利用x=10−a【题型9解分式方程的运用（规律问题）】【例9】（2022·山东聊城·八年级期末）已知：①x+2x＝3可转化为x+1×2x＝1+2，解得x1＝1，x②x+6x＝5可转化为x+2×3x＝2+3，解得x1＝2，x③x+12x＝7可转化为x+3×4x＝3+4，解得x1＝3，x根据以上规律，关于x的方程x+n2+nx−3【答案】x1＝n+3，x2＝n+4【分析】仿照已知方程与解的特征，归纳总结得到一般性规律，确定出所求方程的解即可．【详解】根据题意将方程变形得：x﹣3+nn+1x−3＝n+可得x﹣3＝n或x﹣3＝n+1，则方程的解为x1＝n+3，x2＝n+4，故答案为x1＝n+3，x2＝n+4【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．【变式9-1】（2022·湖南·岳阳市第十九中学八年级阶段练习）解方程①1x+1=2②2x+1=4③3x+1=6x+1④4x+1=8x+1（1）请完成上面的填空；（2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解；（3）请你用一个含正整数n的式子表述上述规律，并写出它的解．【答案】（1）③2；④3；（2）5x+1=10x+1−1，【分析】（1）由题意把方程两边都乘以（x+1）把分式方程化为整式方程，然后求解即可；（2）由题意先观察①②③④中的方程的解；根据前四个方程的规律可得第⑤个方程及其解；（3）根据题干中各个方程的规律，可写出含正整数n的方程，求解即可．【详解】解：（1）③方程两边都乘以（x+1）得，3=6-x-1，解得x=2，经检验x=2是原分式方程的解；④方程两边都乘以（x+1）得，4=8-x-1，解得x=3，经检验x=3是原分式方程的解；故答案为：2，3；（2）⑤方程为5x+1=10（3）含正整数n的式子表示为nx+1=2n【点睛】本题考查分式方程的解以及规律的探索，熟练掌握分式方程的解的求法并观察出方程的解与分子的关系是解题的关键．【变式9-2】（2022·江苏无锡·八年级期中）阅读下列材料：方程1x+1−1方程1x−1方程1x−1−1(1)请直接写出方程1x−4(2)观察上述方程与解的特征，写出一个解为−5的分式方程：________；(3)观察上述议程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并直接写出这个方程的解：________；________．【答案】(1)x=6(2)1(3)1x−n+2−1x−n+1【分析】（1）根据材料可知，方程的解是方程的最简公分母为零时x值的平均数，即可得解；（2）根据材料信息，写出一个解为-5的分式方程即可；（3）观察所给的材料，从特殊形式到一般形式总结出规律，可得方程．（1）解：根据材料发现规律：方程的解是方程的最简公分母为零时x值的平均数，∴方程1x−4−1x−5=（2）由题意可得：解是x=-5的方程可以是：1x+7（3）由题意可得：1x−n+2解是x=n．【点睛】本题考查学生阅读分析理解能力，解答本题的关键是通过对所给材料的理解得出方程以及方程解的一般形式．【变式9-3】（2022·四川遂宁·八年级期末）先阅读下面的材料，然后解答问题．通过计算，发现：方程x+1x=2+12方程x+1x=3+13方程x+1x=4+14(1)观察猜想：关于x的方程x+1x=n+1n(2)利用你猜想的结论，解关于x的方程x+1(3)实践运用：对关于x的方程x−1x=m−1m的解，小明观察得“x1=m”是该方程的一个解，则方程的另一个解x【答案】(1)x1=n(2)x1=a(3)−1m；x【分析】（1）根据题意可知规律：方程的解等于右边的整数和分数，方程的形式要和等式右边给出数的形式相同，按照此规律即可得出方程的解；（2）根据（1）的规律，得出x−3=a−3，x−3=1（3）根据（1）中的规律，即可得出另一个解x2；首先对方程x2−x−1（1）解：x1=n，故答案为：x1=n（2）解：x−3+∵x−3=a−3，x−3=1∴x1=a，（3）解：x2x整理，得：x−1整理，得：x−1−1∴x−1=m−1，x−1=−1∴x1=m，【点睛】本题考查了分式方程的解，解本题的关键在正确理解题意找出方程与解之间的规律．【题型10解分式方程的运用（新定义问题）】【例10】（2022·辽宁大连·八年级期末）当a≠b时，定义一种新运算：F(a,b)=2a−b,a>b2bb−a（1）直接写出F(a+1,a)=_______________；（2）若F(m,2)−F(2,m)=1，求出m的值．【答案】（1）2；（2）m=0.【分析】（1）根据题目所给条件代值进去计算即可求出，（2）根据m与2的大小关系进行分类讨论求解分式方程即可求出m的值．【详解】解：（1）因为a+1>a，所以F(a+1,a)=2（2）m>2时，F(m,2)−F(2,m)=2解得m=4m<2时，F(m,2)−F(2,m)=2×2解得m=0．综上，m=0．【点睛】本题主要考察新定义与分式方程的求解，根据题目给定公式代值计算即可，第（2）问注意对m的值进行分类讨论求解，注意求解出来的m的值要根据分类讨论时的取值范围进行取舍．【变式10-1】（2022·广西·北海市实验学校八年级期中）对于非零的两个有理数a，b，规定a⊕b＝1b−1A．56 B．54 C．32【答案】C【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．【详解】解：根据题中的新定义化简2⊕2x−1＝0去分母得：2−2x+1=0，解得：x=3检验：把x=32代入得：∴分式方程的解为x=3故选：C．【点睛】此题考查了解分式方程，有理数的混合运算，以及解一元一次方程，解分式方程利用了转化的思想，注意要检验．【变式10-2】（2022·全国·七年级专题练习）定义新运算：对于任意实数a，b(其中a≠0)，都有a*b＝1a−a−b(1)求5*4的值；(2)若x*2＝1(其中x≠0)，求x的值．【答案】(1)0；(2)x＝3【详解】试题分析：（1）根据新定义的新运算，即可解答；（2）根据新定义运算得到分式方程，解分式方程即可．试题解析：(1)根据题意，得5*4＝15(2)∵x*2＝1，∴1x在方程两边同乘x，得1－(x－2)＝x，解得x＝32经检验，x＝32∴分式方程的解为x＝32【点睛】本题考查了解分式方程，解决本题的关键是熟记解分式方程的步骤．【变式10-3】（2022·江苏扬州·八年级期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．（1）判断一元一次方程3−21−x=4x（2）已知关于x，y的二元一次方程y=mx+6与y【答案】（1）不是，理由见解析；（2）2或3．【分析】（1）先依次求出两个方程的解，再根据“相似方程”的定义即可得出结论．（2）根据两个方程有相同的整数解，列出关于x与m的式子，根据x为整数，m为正整数，进而确定m的值．【详解】解：（1）一元一次方程3−2(1−x)=4x与分式方程2x+12x−1理由如下：解一元一次方程3−2(1−x)=4x，解得x=1解分式方程2x+12x−1−1=4检验：当x=12，∴原分式方程无解，∴一元一次方程3−2(1−x)＝4x与分式方程2x+12x−1（2）由题意，两个方程有相同的整数解，即mx+6=x+4m，x=4m−6∵x为整数，∴m−1=1，2，−1，−2，∴m=2，3，0，−1，又∵m取正整数，∴m=2或3．【点睛】本题考查了一元一次方程、二元一次方程和分式方程的应用，解题的关键是掌握相关概念以及各个方程的求解方法．专题10.4分式方程的应用【八大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1行程问题】 1【题型2工程问题】 2【题型3销售利润问题】 3【题型4航行问题】 4【题型5和、差、倍、分问题】 5【题型6数字问题】 5【题型7图形问题】 6【题型8方案问题】 7【题型1行程问题】【例1】（2022·河南许昌·八年级期末）小丽和小颖相约周末到时代广场看电影，她们的家分别距离时代广场1800m和2400m.两人分别从家中同时出发，已知小丽和小颖的速度比是2:3，结果小丽比小颖晚4min到达剧院．（1）求两人的速度．（2）要想同时达到，小颖速度不变，小丽速度需要提高m/min.【变式1-1】（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校九年级期中）某天运动员小伟沿平路从家步行去银行办理业务，到达银行发现没有带银行卡（停留时间忽略不计），立即沿原路跑回家．已知平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，已知小伟家到银行的平路距离为2800米，小伟从离家到返回家共用50分钟．(1)求小伟在平路上跑步的平均速度是多少？(2)小伟找到银行卡后，发现离银行下班时间仅剩半小时，为了节约时间，小伟选择另外一条近的坡路去银行，小伟先上坡再下坡，用时9分钟到达银行．已知上坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的57，下坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的5【变式1-2】（2022·全国·八年级）小明家距离科技馆1900米，一天他步行去科技馆看表演，走到路程的一半时，小明发现忘带门票，此时离表演开始还有23分钟，于是立刻步行回家取票，随后骑车赶往科技馆．已知小明骑车到科技馆比他步行到科技馆少用20分钟，且骑车的速度是步行速度的5倍，小明进家取票时间共用4分钟．（1）小明步行的速度是每分钟多少米？（2）请你判断小明能否在表演开始前赶到科技馆，并通过计算说明理由．【变式1-3】（2022·湖北襄阳·八年级期末）小明和小强两名运动爱好者周末相约到滨江大道进行跑步锻炼．（1）周六早上6点，小明和小强同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为4500米和1200米的滨江大道入口汇合，结果同时到达.若小明每分钟比小强多行220米，求小明和小强的速度分别是多少米/分？（2）两人到达滨江大道后约定先跑1000米再休息.小强的跑步速度是小明跑步速度的m倍，两人在同起点，同时出发，结果小强先到目的地n分钟．①当m=3，n=6时，求小强跑了多少分钟？②小明的跑步速度为_______米/分（直接用含m，n的式子表示）．【题型2工程问题】【例2】（2022·全国·七年级专题练习）湖州市在2017年被评为“全国文明城市”，在评选过程中，湖州市环卫处每天需负责市区范围420千米城市道路的清扫工作，现有环卫工人直接清扫和道路清扫车两种马路清扫方式.已知20名环卫工人和1辆道路清扫车每小时可以清扫20千米马路，30名环卫工人和3辆道路清扫车每小时可以清扫42千米的马路.（1）1名环卫工人和1辆道路清扫车每小时各能清扫多长的马路？（2）已知2017年环卫处安排了50名环卫工人参与了直接清扫工作，为保证顺利完成每日的420千米清扫工作，需派出多少辆道路清扫车参与工作（已知2017年环卫工人与清扫车每天工作时间为6小时）？（3）为了巩固文明城市创建成果，从2018年5月开始，环卫处新增了一辆清扫车参与工作，同时又增加了若干个环卫工人参与直接清扫，使得每日能够较早的完成清扫工作．2018年6月市环卫处扩大清扫范围60千米，同时又增加了20名环卫工人直接参与清扫，此时环卫工人和清扫车每日工作时间仍与5月份相同，那么2018年5月环卫处增加了多少名环卫工人参与直接清扫？【变式2-1】（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级阶段练习）某工厂制作一批零件，由一名工人做要80h完成，现计划由一部分工人先做2h然后增加5名工人与他们一起做8小时，完成这项工作的34【变式2-2】（2022·辽宁·大石桥市石佛中学八年级期末）大石桥市政府为了落实“暖冬惠民工程”，计划对城区内某小区的部分老旧房屋及供暖管道和部分路段的人行地砖、绿化带等公共设施进行全面更新改造．该工程乙队单独完成所需天数是甲队单独完成所需天数的1.5倍，若甲队先做10天，剩下两队合作30天完成．（1）甲乙两个队单独完成此项工程各需多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙对每天的施工费用为5.6万元，工程施工的预算费用为500万元，为了缩短工期并高效完成工程，拟预算的费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请说明理由．【变式2-3】（2022·广西贵港·八年级期中）某校改造维修田径运动场所，项目承包单位派遣了一号施工队进场施工，计划用30天完成整个工程．当一号施工队施工10天后，由于实际需要，要求整个工程比原计划提前8天完成，于是承包单位再派遣二号施工队与一号施工队共同施工，结果按实际需要如期完成整个工程(1)如果二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？(2)如果一号、二号施工队同时进场共同施工，完成整个工程需要多少天？【题型3销售利润问题】【变式3-1】（2022·四川南充·八年级期末）超市用2500元购进某品牌苹果，以每千克8元的单价试销．销售良好，超市又安排4500元补货．补货进价比上次每千克少0.5元，数量是上次的2倍．（1）求两次进货的单价分别是多少元．（2）当售出大部分后，余下200千克按7.5折售完，求两次销售苹果的毛利．【变式3-2】（2022·湖南·邵阳市第六中学八年级阶段练习）在落实“精准扶贫”战略中，三峡库区某驻村干部组织村民依托著名电商平台“拼多多”组建了某土特产专卖店，专门将进货自本地各家各户的A、B两款商品销售到全国各地．2020年10月份，该专卖店第一次购进A商品40件，B商品60件，进价合计8400元；第二次购进A商品50件，B商品30件，进价合计6900元．（1）求该专卖店10月份A、B两款商品进货单价分别为多少元？（2）10月底，该专卖店顺利将两次购进的商品全部售出．由于季节原因，B商品缺货，该专卖店在11月份和12月份都只能销售A商品，且A商品11月份的进货单价比10月份上涨了m元，进价合计49000元；12月份的进货单价又比11月份上涨了0.5m元，进价合计61200元，12月份的进货数量是11月份进货数量的1.2倍．为了尽快回笼资金，A商品在11月份和12月份的销售过程中维持每件150元的售价不变，到2021年元旦节，该专卖店把剩下的50件A商品打八折促销，很快便售完，求该专卖店在A商品进货单价上涨后的销售总金额为多少元？【变式3-3】（2022·浙江·八年级期末）某药店采购部于7月份和8月份分别用16000元和40000购两批口罩，8月份每盒口罩的进价比7月份上涨20元，且数量是7月份购进数量的2倍．（1）求7月份购进了口罩多少盒？（2）该药店在7，8月份均将当月购进的口罩平均分给甲、乙两家分店销售，并统一规定每盒口罩的标价为150元．已知7月份两店按标价各卖出a盒后，甲店剩余口罩按标价的八折出售；乙店剩余口罩先按标价的九折售出b盒后，再将余下口罩按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．①用含b的代数式表示a．②8月份，乙店计划将分到的口罩按标价出售n箱后，剩余口罩全部捐献给医院．若至少捐赠96盒口罩，且预计乙店7，8月份能从这两批口罩销售中获得的总利润为2000元，求a,b,n所有可能的值．【题型4航行问题】【例4】（2022·福建省福州教育学院附属中学模拟预测）已知A,B两港之间的距离为150千米，水流速度为5千米/时．(1)若一轮船从A港顺流航行到B港所用的时间是从B港逆流航行到A港所用时间的23(2)记某船从A港顺流航行到B港，再从B港逆流航行返回到A港所用的时间为t1；若该船从A港航行到B港再返回到A港均为静水航行，所用时间为t2，请比较t1【变式4-1】（2022·新疆·吐鲁番市高昌区第一中学八年级期中）一艘轮船在静水中的最大航速为40千米/时，它沿江以最大航速顺流航行70千米所用时间，与以最大航速逆流航行30千米所用时间相等．求江水的流速为多少千米/时．【变式4-2】（2022·吉林四平·七年级期末）两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50km/h，水流速度是akm/h．（1）2h后两船相距多远？（2）2h后甲船比乙船多航行多少千米？（3）一艘小快艇送游客在甲、乙两个码头间往返，其中去程的时间是回程的时间3倍，则小快艇在静水中的速度v与水流速度a的关系是．【变式4-3】（2022·全国·八年级单元测试）一小船由A港到B港顺流航行需6小时，由B港到A港逆流航行需8小时.小船从早晨6时由A港到B港时，发现一救生圈在途中掉落水中，立即返航，2小时后找到救生圈.问：（1）小船由A港漂流到B港需要多少小时？（2）救生圈是何时掉入水中的？【题型5和、差、倍、分问题】【例5】（2022·江苏淮安·八年级期末）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地5G下载速度是每秒多少兆？【变式5-1】（2022·江苏·仪征市实验中学东区校九年级阶段练习）某生态示范村种植基地计划种植一批葡萄，原计划总产量要达到36万斤．为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种．改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了8万斤，种植亩数减少了20亩，则改良后平均每亩产量是多少万斤？【变式5-2】（2022·北京八中八年级期中）“绿色环保，健康出行”新能源汽车越来越占领汽车市场，以“北汽”和“北汽新能源EV500”为例，分别在某加油站和某充电站加油和充电的电费均为300元，而续航里程之比则为1∶4．经计算新能源汽车相比燃油车节约0.6元/公里．

（1）分别求出燃油车和新能源汽车的续航单价（每公里费用）；

（2）随着更多新能源车进入千家万户，有条件的小区及用户将享受0.48元/度的优惠专用电费．以新能源EV500为例，充电55度可续航400公里，试计算每公里所需电费，并求出与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比．【变式5-3】（2022·浙江舟山·七年级期末）舟山市疫情防控工作领导小组在5月30日发布了常态化核酸检测工作的通知，6月3日起我市居民进入公共场所须凭7天内核酸采样或检测阴性证明．根据文件要求，学生在校期间每周要组织核酸检测一次，某校积极响应，安排校医甲和教师乙进行核酸采集培训．经过培训后，甲采集的速度是乙的两倍，且甲采集52人用时比乙采集30人用时少2分钟．(1)求甲、乙平均每分钟分别采集多少人？(2)该校七年级学生人数比八年级少18人，其中七年级有7个班，每班m人，8八年级有6个班，每班n人，两名采集员各自用了87分钟完成了七、八年级学生核酸采集工作，求m和n的值；(3)该校教职工70人完成核酸采集后要放入10人试管或20人试管中，在保证每个试管不浪费情况下，有哪几种分装方案？【题型6数字问题】【例6】（2022·贵州·铜仁市第十一中学八年级期中）一个两位数的十位数字是6，如果把十位数字与个位数字对调，那么所得的两位数与原来的两位数之比是47【变式6-1】（2022·全国·八年级课时练习）有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1，这个两位数被个位数字除时，商是8，余数是2，求这个两位数．【变式6-2】（2022·山东潍坊·八年级期末）一个二位数的十位数字与个位数字的和是12，如果交换十位数字与个位数字的位置并把所得到的新的二位数作为分子，把原来的二位数作为分母，所得的分数约分为47【变式6-3】（2022·全国·八年级专题练习）一个两位数，个位上的数比十位上的数大4，用个位上的数去除这个两位数商是3，求这个两位数.【题型7图形问题】【例7】（2022·全国·七年级单元测试）已知一个长方形的长是40，宽是30，现要把它的长和宽减少相同的长度后，使新的长方形的长和宽之比是7:5，减少的长度是______.【变式7-1】（2022·福建省泉州第一中学八年级期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am(a>1)的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a-(1)“丰收1号”单位面积产量为kgm2，“丰收2号”单位面积产量为kgm(2)若“丰收2号”的单位面积产量是“丰收1号”的单位面积产量的1.5倍，求a的值．【变式7-2】（2022·浙江·七年级阶段练习）李师傅要给一块长9米，宽7米的长方形地面铺瓷砖，如图，现有A和B两种款式的瓷砖，且A款正方形瓷砖的边长与B款长方形瓷砖的长相等，B款瓷砖的长大于宽，李师傅打算按如下设计图的规律进行铺瓷砖，若A款瓷砖的用量比B款瓷砖的2倍少14块，且恰好铺满地面，则B款瓷砖的长为_______米，宽为_______米．【变式7-3】（2022·浙江杭州·七年级期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，加工成如图2所示的竖式和横式两种无盖的长方体纸箱.（加工时接缝材料不计）图1

图2（1）若该厂仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板．问竖式和横式纸箱各加工多少个，恰好将库存的两种纸板全部用完？（2）该工厂原计划用若干天加工纸箱2400个，后来由于对方急需要货，实际加工时每天加工速度是原计划的1.5倍，这样提前2天完成了任务，问原计划每天加工纸箱多少个？【题型8方案问题】【例8】（2022·四川成都·八年级期末）某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作3个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要10个月可以完成．（1）乙队单独完成这项工程需要几个月？（2）已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月）．为了确保经费和工期，采取甲队做a个月，乙队做b个月（a、b均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？【变式8-1】（2022·河南南阳·三模）某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区S米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．（2）若甲工程队每天可以改造a米道路，乙工程队每天可以改造b米道路，（其中a≠b）．现在有两种施工改造方案：方案一：前12S米的道路由甲工程队改造，后方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造．根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．【变式8-2】（2022·云南大理·八年级期末）某开发公司生产的960件新产品需要精加工后，才能投放市场，现甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用20天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工的数量的23，公司需付甲工厂加工费用为每天80元，乙工厂加工费用为每天120（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成．在加工过程中，公司派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天15元的午餐补助费，请你帮公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．【变式8-3】（2022·江西·南昌市第八中学八年级阶段练习）某商场购进甲、乙两种空调共50台．已知购进一台甲种空调比购进一台乙种空调进价少0.3万元；用20万元购进甲种空调数量是用40万元购进乙种空调数量的2倍．请解答下列问题：（1）求甲、乙两种空调每台进价各是多少万元？（2）若商场预计投入资金不少于10万元，且购进甲种空调至少31台，商场有哪几种购进方案？（3）在（2）条件下，若甲种空调每台售价1100元，乙种空调每台售价4300元，甲、乙空调各有一台样机按八折出售，其余全部标价售出，商场从销售这50台空调获利中拿出2520元作为员工福利，其余利润恰好又可以购进以上空调共2台．请直接写出该商场购进这50台空调各几台．专题10.4分式方程的应用【八大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1行程问题】 1【题型2工程问题】 5【题型3销售利润问题】 8【题型4航行问题】 12【题型5和、差、倍、分问题】 15【题型6数字问题】 19【题型7图形问题】 21【题型8方案问题】 25【题型1行程问题】【例1】（2022·河南许昌·八年级期末）小丽和小颖相约周末到时代广场看电影，她们的家分别距离时代广场1800m和2400m.两人分别从家中同时出发，已知小丽和小颖的速度比是2:3，结果小丽比小颖晚4min到达剧院．（1）求两人的速度．（2）要想同时达到，小颖速度不变，小丽速度需要提高m/min.【答案】（1）小丽和小颖的速度分别为50m/min和75m/min；（2）6.25.【分析】（1）设小丽和小颖的速度分别为2xm/min和3xm/min，根据题意，小丽所用时间-小颖苏勇时间=4分钟，列出分式方程，解答即可.（2）设小丽速度需要提高am/min，根据题意，小丽所用时间=小颖所用时间，列出分式方程，解答即可.【详解】解：（1）设小丽和小颖的速度分别为2xm/min和3xm/min，根据题意，得:1800解得：x=25经检验x=25是原分式方程的解，则2x=2×25=50（m/min），3x=3×25=75（m/min）

答：小丽和小颖的速度分别为50m/min和75m/min

（2）设小丽速度需要提高am/min，根据题意，得：180050+a解得：a=6.25经检验a=6.25是原分式方程的解答：小丽速度需要提高6.25m/min.故答案为6.25【点睛】本题考查了分式方程的应用，分析题干，找到等量关系是解题关键.【变式1-1】（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校九年级期中）某天运动员小伟沿平路从家步行去银行办理业务，到达银行发现没有带银行卡（停留时间忽略不计），立即沿原路跑回家．已知平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，已知小伟家到银行的平路距离为2800米，小伟从离家到返回家共用50分钟．(1)求小伟在平路上跑步的平均速度是多少？(2)小伟找到银行卡后，发现离银行下班时间仅剩半小时，为了节约时间，小伟选择另外一条近的坡路去银行，小伟先上坡再下坡，用时9分钟到达银行．已知上坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的57，下坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的5【答案】(1)280米/分钟(2)2100米【分析】（1）设小伟在平路上步行的平均速度是x米/分钟，根据小伟在平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，往返时间共用50分钟，列方程2800x+28004x=50（2）设这段坡路的下坡路程是y米，根据小伟上坡的平均速度是280×57=200，下坡的平均速度是280×54=350，上坡路程是下坡路程的2倍，上坡下坡共用时9分钟，列方程【详解】（1）设小伟在平路上步行的平均速度是x米/分钟,根据题意得，2800x解得，x=70，经检验，x=70是所列方程的解，且符合题意，∴4x=280，答：小伟在平路上跑步的平均速度是280米/分钟；（2）设这段坡路的下坡路程是y米，∵上坡的平均速度是，280×57=200∴根据题意得，2y200解得，y=700，∴700+2×700=2100，答：这段坡路的总路程是2100米．【点睛】本题主要考查了分式方程与一元一次方程的应用——行程问题，解决问题的关键是熟练掌握路程和速度与时间的关系，列代数式列方程解答，解分式方程注意检验，应用题注意设未知数和回答问题．【变式1-2】（2022·全国·八年级）小明家距离科技馆1900米，一天他步行去科技馆看表演，走到路程的一半时，小明发现忘带门票，此时离表演开始还有23分钟，于是立刻步行回家取票，随后骑车赶往科技馆．已知小明骑车到科技馆比他步行到科技馆少用20分钟，且骑车的速度是步行速度的5倍，小明进家取票时间共用4分钟．（1）小明步行的速度是每分钟多少米？（2）请你判断小明能否在表演开始前赶到科技馆，并通过计算说明理由．【答案】（1）小明步行的速度为76米/分钟；（2）小明能在表演开始前赶到科技馆，理由见详解．【分析】（1）设小明步行的速度是每分钟x米，则小明骑车的速度是每分钟5x米，根据时间＝路程÷速度结合小明骑车到科技馆比他步行到科技馆少用20分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）利用时间＝路程÷速度结合小明进家取票时间共用4分钟，即可得出小明回家取票后到达科技馆所需时间，将其与23分钟比较后即可得出结论．【详解】解：1设小明步行的速度为x米/分钟，则小明骑车的速度为5x米/分钟．根据题意，得1900解得：x=76经检验，x=76答：小明步行的速度为76米/分钟．（2）19005×76所以小明能在表演开始前赶到科技馆．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【变式1-3】（2022·湖北襄阳·八年级期末）小明和小强两名运动爱好者周末相约到滨江大道进行跑步锻炼．（1）周六早上6点，小明和小强同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为4500米和1200米的滨江大道入口汇合，结果同时到达.若小明每分钟比小强多行220米，求小明和小强的速度分别是多少米/分？（2）两人到达滨江大道后约定先跑1000米再休息.小强的跑步速度是小明跑步速度的m倍，两人在同起点，同时出发，结果小强先到目的地n分钟．①当m=3，n=6时，求小强跑了多少分钟？②小明的跑步速度为_______米/分（直接用含m，n的式子表示）．【答案】（1）小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分；（2）①小强跑的时间为3分；②1000(m−1)mn【分析】（1）设小强的速度为x米/分，则小明的速度为（x+220）米/分，根据路程除以速度等于时间得到方程，解方程即可得到答案；（2）①设小明的速度为y米/分，由m＝3，n＝6，根据小明的时间-小强的时间=6列方程解答；②根据路程一定，时间与速度成反比，可求小强的时间进而求出小明的时间，再根据速度=路程除以时间得到答案.【详解】（1）设小强的速度为x米/分，则小明的速度为（x+220）米/分，根据题意得：1200x＝4500解得：x＝80．经检验，x＝80是原方程的根，且符合题意．∴x+220＝300．答：小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分．（2）①设小明的速度为y米/分，∵m＝3，n＝6，∴1000y−1000经检验，y=1000∴小强跑的时间为：1000÷(3×1000②小强跑的时间：nm−1分钟，小明跑的时间：n小明的跑步速度为：1000÷mn故答案为：1000(m−1)mn【点睛】此题考查分式方程的应用，正确理解题意根据路程、时间、速度三者的关系列方程解答是解题的关键.【题型2工程问题】【例2】（2022·全国·七年级专题练习）湖州市在2017年被评为“全国文明城市”，在评选过程中，湖州市环卫处每天需负责市区范围420千米城市道路的清扫工作，现有环卫工人直接清扫和道路清扫车两种马路清扫方式.已知20名环卫工人和1辆道路清扫车每小时可以清扫20千米马路，30名环卫工人和3辆道路清扫车每小时可以清扫42千米的马路.（1）1名环卫工人和1辆道路清扫车每小时各能清扫多长的马路？（2）已知2017年环卫处安排了50名环卫工人参与了直接清扫工作，为保证顺利完成每日的420千米清扫工作，需派出多少辆道路清扫车参与工作（已知2017年环卫工人与清扫车每天工作时间为6小时）？（3）为了巩固文明城市创建成果，从2018年5月开始，环卫处新增了一辆清扫车参与工作，同时又增加了若干个环卫工人参与直接清扫，使得每日能够较早的完成清扫工作．2018年6月市环卫处扩大清扫范围60千米，同时又增加了20名环卫工人直接参与清扫，此时环卫工人和清扫车每日工作时间仍与5月份相同，那么2018年5月环卫处增加了多少名环卫工人参与直接清扫？【答案】（1）1名环卫工人每小时清扫0.6千米，1辆道路清扫车每小时8千米；（2）派出5辆道路清扫车参与工作；（3）2018年5月环卫处增加了10名环卫工人参与直接清扫.【分析】（1）设1名环卫工人和1辆道路清扫车每小时分别清扫x千米和y千米，由题意可得20x+y=2030x+3y=42（2）设派出m辆道路清扫车参与工作，则(50×0.6+8m)×6=420，进行求解即可；（3）设2018年5月环卫处增加了n名环卫工人参与直接清扫，由题意写出分式方程进行求解即可.【详解】（1）设1名环卫工人和1辆道路清扫车每小时分别清扫x千米和y千米，由题意可得20x+y=2030x+3y=42，解得x=0.6答：1名环卫工人每小时清扫0.6千米，1辆道路清扫车每小时8千米；（2）设派出m辆道路清扫车参与工作,则(50×0.6+8m)×6=420，解得m=5，答：派出5辆道路清扫车参与工作；（3）设2018年5月环卫处增加了n名环卫工人参与直接清扫，由题意得4200.650+n+6×8答：2018年5月环卫处增加了10名环卫工人参与直接清扫.【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次方程的应用，分式方程的应用.综合性强，有一定难度.关键是理解题文，列出方程求解.这里涉及到工作效率问题以及合作问题，要求学生对这类模型比较熟练.【变式2-1】（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级阶段练习）某工厂制作一批零件，由一名工人做要80h完成，现计划由一部分工人先做2h然后增加5名工人与他们一起做8小时，完成这项工作的34【答案】应该先安排2名工人工作．【分析】设安排x人先做2h，然后根据先后两个时段完成这项工作的34【详解】解：设应该先安排x名工人工作，由题意得：2x解得x=2，经检验x=2是原方程的解且符合题意，∴应该先安排2名工人工作，答：应该先安排2名工人工作．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于准确理解题意列出方程求解．【变式2-2】（2022·辽宁·大石桥市石佛中学八年级期末）大石桥市政府为了落实“暖冬惠民工程”，计划对城区内某小区的部分老旧房屋及供暖管道和部分路段的人行地砖、绿化带等公共设施进行全面更新改造．该工程乙队单独完成所需天数是甲队单独完成所需天数的1.5倍，若甲队先做10天，剩下两队合作30天完成．（1）甲乙两个队单独完成此项工程各需多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙对每天的施工费用为5.6万元，工程施工的预算费用为500万元，为了缩短工期并高效完成工程，拟预算的费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请说明理由．【答案】（1）甲队单独完成此项工程需要60天，乙队单独完成此项工程需要90天；（2）工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元．【分析】（1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量＝工作效率×工作时间列方程求解；（2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断．【详解】（1）设此工程甲队单独完成需x天，则乙队单独完成这项工程需1.5x天．由题意：10+30解得：x=60．经检验，x=60是原方程的解，且适合题意．1.5x=1.5×60=90．答：甲队单独完成此项工程需要60天，乙队单独完成此项工程需要90天．（2）因为需要缩短工期并高效完成工程，所以需两队合作完成，设两队合作这项工程需y天，根据题意得：y60解得：y=36．所以需要施工费用36×（8.4+5.6）=504（万元）．因为504＞500，所以工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，涉及方案决策问题，综合性较强．【变式2-3】（2022·广西贵港·八年级期中）某校改造维修田径运动场所，项目承包单位派遣了一号施工队进场施工，计划用30天完成整个工程．当一号施工队施工10天后，由于实际需要，要求整个工程比原计划提前8天完成，于是承包单位再派遣二号施工队与一号施工队共同施工，结果按实际需要如期完成整个工程(1)如果二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？(2)如果一号、二号施工队同时进场共同施工，完成整个工程需要多少天？【答案】(1)x=45(2)若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要18天【分析】（1）设二号施工队单独施工需要x天，根据题意列出分式方程进行求解即可；（2）直接列算式求解即可．【详解】（1）解：设二号施工队单独施工需要x天，根据题意得：30−830解得：x=45，经检验，x=45是原分式方程的解．答：若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要45天．（2）根据题意得：1÷1答：若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要18天．【点睛】本题考查分式方程的应用．根据题意正确的列出分式方程是解题的关键．注意验根.【题型3销售利润问题】【例3】（2022·重庆巴蜀中学九年级阶段练习）飞盘运动由于门槛低、限制少，且具有较强的团体性和趣味性，在全国各地悄然兴起，深受年轻人喜爱．某商家购进了海绵和橡胶两种飞盘进行销售，已知一个橡胶飞盘比一个海绵飞盘的进价多30元，其中购买海绵飞盘花费4000元，购买橡胶飞盘花费3200元，且购买海绵飞盘的数量是购买橡胶飞盘数量的2倍．(1)求一个海绵飞盘的进价是多少元；(2)商家第一次购进的飞盘很快售完，决定再次购进同种类型的海绵和橡胶两种飞盘共80个，但海绵飞盘的进价比第一次购买时提高了16%，而橡胶飞盘的进价在第一次购买时进价的基础上打9折，如果商家此次购买海绵和橡胶两种飞盘的总费用不超过4800元，那么此次最多可购买多少个橡胶飞盘？【答案】(1)50元，；(2)11.【分析】（1）设一个海绵飞盘的进价为x元，则一个橡胶飞盘的进价为（x+30）元，由题意：购买海绵飞盘花费4000元，购买橡胶飞盘花费3200元，且购买海绵飞盘的数量是购买橡胶飞盘数量的2倍．列出分式方程，解方程即可；（2）设此次可购买a个橡胶飞盘，则购买(80−a（1）解：设一个海绵飞盘的进价为x元，则一个橡胶飞盘的进价为（x+30）元，由题意得：4000x解得：x=50，经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，答：一个海绵飞盘的进价为50元；（2）设此次可购买a个橡胶飞盘，则购买(80−a由题意得：50×(1+16%)(80−解得：a∵a是整数，∴a最大值为11，答：此次最多可购买11个橡胶飞盘．【点睛】此题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系与不等关系，正确列出分式方程和一元一次不等式．【变式3-1】（2022·四川南充·八年级期末）超市用2500元购进某品牌苹果，以每千克8元的单价试销．销售良好，超市又安排4500元补货．补货进价比上次每千克少0.5元，数量是上次的2倍．（1）求两次进货的单价分别是多少元．（2）当售出大部分后，余下200千克按7.5折售完，求两次销售苹果的毛利．【答案】（1）第一次进货的单价是5元，第二次进货的单价是4.5元；（2）4600【分析】（1）设第一次进货的单价是x元，则第二次进货的单价是(x−0.5)元，根据题意，列方程求解即可；（2）求出两次的购进数量，根据毛利=收入-成本，可求出结果．【详解】解：（1）设第一次进货的单价是x元，则第二次进货的单价是(x−0.5)元，根据题意，得2500解得x=5经检验：x=5是原方程的解第二次进货的单价是：5−0.5=4.5(π答：第一次进货的单价是5元，第二次进货的单价是4.5元