5.5 分式方程（分层练习）（解析版）

第5章分式5.5分式方程精选练习基础篇基础篇1．（2023年广东省万阅百校联考中考质检数学试卷）分式方程的解是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．【详解】解：去分母得：，解得：，检验：当时，，∴是原方程的解．故选：C．【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意验根是解题的关键．2．（2023春·湖南衡阳·八年级衡阳市华新实验中学校考阶段练习）下列分式方程有解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分别解分式方程，即可求解．【详解】解：A.方程两边同时乘以得，解得：，经检验是原方程的增根，则原方程无解；故该选项不正确，不符合题意；B.，方程两边同时乘以，得，∵，∴原方程无解；故该选项不正确，不符合题意；C.，去分母得，不成立，∴原方程无解；故该选项不正确，不符合题意；D.，去分母得，解得：，经检验，是原方程的解，故该选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．3．（2023·山东青岛·统考一模）一车间有甲、乙两个小组，甲组的工作效率是乙组的2.5倍，因此加工3000个零件所用的时间乙组比甲组多1.5小时，若设乙组每小时加工x个零件，则可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据加工3000个零件所用的时间乙组比甲组多1．5小时，列出方程即可．【详解】解：设乙组每小时加工x个零件，则甲组每小时加工个零件，由题意，得：；故选C．【点睛】本题考查分式方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．4．（2023春·江西新余·八年级统考期中）对于实数和，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据新定义列出方程，然后解方程即可．【详解】解：根据题中新定义列方程得：，解得：，把代入得：，∴是方程的解，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了新定义运算，解分式方程，解题的关键是理解题意，列出关于x的方程，注意分式方程要进行检验．5．（2023秋·四川绵阳·八年级统考期末）已知关于的分式方程的解为正数．则实数m的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】先解分式方程得出，根据方程的解为正数，分式有意义的条件得出且，即可求解．【详解】解：即∴解得：∵∴∵的解为正数∴解得：∴且，故选：D．【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握分式方程的解法以及分式有意义的条件是解题的关键．6．（2023·江苏无锡·模拟预测）把分式方程化为整式方程正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】方程两边同时乘以，即可判断．【详解】将方程两边都乘以，得：，故选：D．【点睛】本题考查解分式方程，解题的关键是注意两个方面：①第二个分式的分母为，首先要化成；②等式右边的常数项不要漏乘．7．（2023·广东佛山·统考模拟预测）甲、乙二人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，那么，甲、乙二人合做1小时共做了（）零件．A．12个 B．18个 C．24个 D．30个【答案】D【分析】设乙每小时做个零件，甲每小时做个零件，根据时间等于总工作量除以工作效率，即可得出关于的分式方程，解之并检验后即可得出结果．【详解】解：设乙每小时做个零件，则甲每小时做个零件，由题意得：，解得：，经检验：是分式方程的解，且符合题意，∴分式方程的解为：，∴甲、乙二人合做1小时共做了个零件．故选：D．【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用；找准等量关系、正确列出分式方程是解题的关键．8．（2023春·广东中山·九年级校考阶段练习）若关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的负整数的和是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出分式方程的解，然后结合分式方程的解为正整数，再求出的值，即可得到答案．【详解】解：∵，去分母，得，去括号，得，移项，合并得，∴；∵，则；∵分式方程的解为正整数，∴，∴，又为负整数，∴的值为；故选：D【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法，注意分母不能等于0．9．（2023·安徽黄山·统考一模）方程的解是________________．【答案】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：，移项，合并同类项得：，解得：，检验：将代入，则是原方程的根．故答案为：．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．10．（江苏省宿迁市2022-2023学年八年级下学期期中数学试题）若关于的分式方程的解大于0，则的取值范围为________．【答案】，且【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，再用m表示出该方程的解集，结合该分式方程的解大于0，即得出关于m的不等式，即可解出m的取值范围．最后结合分式有意义的条件即可进一步确定m的取值范围．【详解】解：，去分母，得：，解得：．∵该分式方程的解大于0，∴，∴．又∵，∴，即，∴．综上可知，，且．故答案为：，且．【点睛】本题考查根据分式方程的解的情况求值．把分式方程化为整式方程和掌握分式有意义的条件是解题关键．11．（2023春·江西吉安·九年级江西省泰和中学校考阶段练习）某店用元购进一批商品，很快售完，该店又用了元购进第二批同种商品，第二批的价格比第一批多元/件，数量比第一批多．设第一批购进的数量为件，则可列分式方程为___________．【答案】【分析】根据题意可知：第一批商品进价第二批商品的进价，然后列出相应的分式方程即可．【详解】第一批购进的数量为件，则第二批购进的数量为件，根据题意得．故答案为：．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出响应方程．12．（2023·山东枣庄·校考一模）分式方程的解为______________．【答案】【分析】方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．【详解】解：方程两边同时乘以，得即解得：，经检验，是原方程的解．故答案为：．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．13．（2023春·湖南衡阳·八年级衡阳市华新实验中学校考阶段练习）若关于x的分式方程无解，则的值为___________．【答案】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出的值，代入整式方程计算即可求出的值．【详解】解：方程两边都乘，得，即∵原方程增根为，∴把代入整式方程，得．故答案为：．【点睛】此题考查了解分式方程和分式方程的解，求一个数的平方根，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键．14．（2023·湖南株洲·一模）已知是方程的解，则的值为___________．【答案】【分析】根据分式方程的解的定义，将代入方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解．【详解】解：∵是方程的解，∴解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了分式方程的解的定义，熟练掌握分式方程的解的定义是解题的关键．15．（2023春·江苏无锡·八年级统考期中）解方式方程(1)；(2)；【答案】(1)(2)无解【分析】（1）先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可；（2）先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可．【详解】（1）解：去分母得：，解得：，检验：把代入得：，∴是原方程的解；（2）解：去分母得：，解得：，把代入得：，∴是增根，即原方程无解．【点睛】本题考查的是分式方程的解法，掌握“解分式方程的步骤与方法”是解本题的关键，要注意检验．16．（2023春·八年级单元测试）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)无解【分析】（1）先去分母，去括号，然后移项合并，系数化为1，最后进行检验即可；（2）先去分母，去括号，然后移项合并，最后进行检验即可．【详解】（1）解：，两边同时乘得，，去括号得，，移项合并得，，系数化为1得，，经检验，为原分式方程的根，∴分式方程的解为．（2）解：，两边同时乘得，，去括号得，，移项合并得，，检验：当时，，∴为分式方程的增根，∴原方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程．掌握解分式方程的步骤，正确的运算并检验是解题的关键．17．（2023·江苏扬州·统考一模）春回大地万物苏，植树添绿正当时．今年某市造林绿化目标是完成3200亩，净增造林200亩，建设绿美村庄10个，为响应政府号召，某村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者的支援，实际每天种树的棵数是原计划的倍，结果提前4天完成任务，原计划每天种树多少棵，【答案】原计划每天种树60棵【分析】利用关系式，根据题意列分式方程求解即可．【详解】解：设原计划每天种树x棵，由题意得：，解得：，经检验是原分式方程的解，答：原计划每天种树60棵．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，根据工作时间的关系正确列出方程是解题关键，易错点是不检验导致错误．18．（2023春·江苏·八年级专题练习）教育部印发的《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．【答案】菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元【分析】设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，根据用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆，列方程可得菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；【详解】解：设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，根据题意得：，解得，经检验，是原方程的解，答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元．【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程式．19．（2023·吉林长春·统考一模）2023年是中国农历癸卯兔年．春节前，某商场进货员预测一种“吉祥兔”布偶能畅销市场，就用4000元购进一批这种“吉祥兔”，面市后果然供不应求，商场又用8800元购进了第二批这种“吉祥兔”，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元．该商场购进第一批、第二批“吉祥兔”每件的进价分别是多少元？【答案】购进第一批、第二批“吉祥兔”每件的进价分别是40元、44元【分析】设购进第一批“吉祥兔”每件的进价为x元，则第二批“吉祥兔”每件的进价为元，根据第二批所购数量是第一批购进量的2倍列方程求解即可．【详解】解：设购进第一批“吉祥兔”每件的进价为x元，则第二批“吉祥兔”每件的进价为元，根据题意，得，解得，经检验，是所列方程的解，（元），答：购进第一批、第二批“吉祥兔”每件的进价分别是40元、44元．【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．20．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）如图1，在一张长方形纸片的四个角分别剪去一个边长相等的正方形，可折叠成如图2的一个无盖长方体纸盒．图1

图2(1)若图1中原长方形纸片长，宽，被剪掉的正方形边长为，折叠得到的无盖长方体纸盒的长、宽、高之和为，求a的值；(2)现有60张同样规格的长方形纸片，可制作成60个无盖长方体纸盒，剪下来的正方形恰好全部制作成正方体（每个正方体需要6个正方形），现把20名同学分为甲、乙两组，甲组制作无盖长方体纸盒，乙组制作正方体，若甲组平均每人制作的无盖长方体纸盒个数是乙组平均每人制作的正方体个数的一半，求甲组有多少名同学？【答案】(1)4(2)15名【分析】（1）根据“折叠得到的无盖长方体纸盒的长、宽、高之和为”，列出方程，即可求解；（2）设甲组有x名同学，则乙组有名同学，根据“甲组平均每人制作的无盖长方体纸盒个数是乙组平均每人制作的正方体个数的一半”，列出方程，即可求解．【详解】（1）解：解得：答：a的值为4．（2）解：设甲组有x名同学，则乙组有名同学，根据题意得：，解得：经检验，是原方程的解且符合题意．答：甲组有15名同学．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．提升篇提升篇1．（2023·广东珠海·校考一模）已知关于的方程的解是负数，则的取值范围是（）A． B．且 C． D．或【答案】B【分析】先解关于的分式方程，求得的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求的取值范围．【详解】去分母得，，，方程的解是负数，，即，又，的取值范围是且．故选：．【点睛】本题考查分式方程的解，解题关键是要掌握分式方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．2．（2023春·重庆万州·九年级重庆市万州第一中学校联考期中）如图，《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株橡？（椽，装于屋项以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用单价=总价÷数量，可求出一株椽的价钱为文，结合“少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【详解】解∶这批㭬的价钱为6210文，这批椽有株，一株椽的价钱为文，又每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运費恰好等于一株椽的价钱，．故选：C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．3．（2023春·山西临汾·八年级统考阶段练习）关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（

）A． B．C．且 D．且【答案】C【分析】先解分式方程得，然后令，且，计算求解即可．【详解】解：，两边同时乘以得，，去括号得，，移项合并得，，系数化为1得，，令，且，解得，且，，综上，，且，故选：C．【点睛】本题考查了解分式方程．解题的关键在于正确的运算并检验．4．（2023春·江苏·八年级专题练习）在正数范围内定义一种运算“※”，其规则为，如，根据这个规则，则方程的解为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，得．然后解这个分式方程．【详解】解：由题意得：．，．．．．∴．经检验：当时，．∴这个方程的解为．故选：C．【点睛】本题主要考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解决本题的关键．5．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知关于的分式方程的解为整数，则符合条件的整数可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．5【答案】B【分析】解该分式方程得，结合该分式方程的解为整数和分式有意义的条件，即得出为2的倍数且，即选B．【详解】解：，方程两边同时乘，得：，解得：，∵该分式方程的解为整数，∴为2的倍数，∴为2的倍数．∵，∴，∴，∴，综上可知为2的倍数且．∴只有B选项符合题意．故选B．【点睛】本题考查解分式方程，分式方程有意义的条件．掌握解分式方程的步骤和注意分式的分母不能为0是解题关键．6．（2023春·江苏·八年级专题练习）若关于的不等式组有解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据不等式组有解，得m的取值，利用分式方程有非负整数解，找出符合条件的m值，并相加得出结果．【详解】解：由，解得：，，不等式组有解，，，，解得：，关于的分式方程有非负整数解，，且，且，且，所有的值为，的和为，故选：D．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，有难度，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．7．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）嘉嘉和淇淇两人同时从A地出发，骑自行车前往B地，已知A，B两地的距离为18km，，并且嘉嘉比淇淇先到18分钟．若设淇淇每小时走xkm，所列方程为，则横线上的信息可能为（

）A．嘉嘉每小时比淇淇多骑行3km B．嘉嘉每小时比淇淇少骑行3kmC．嘉嘉和淇淇每小时共骑行3km D．嘉嘉每小时骑行的路程是淇淇的3倍【答案】A【分析】根据题目提供的方程可以得出在相等的距离情况下嘉嘉比淇淇先到18分钟可说明嘉嘉的速度比淇淇快，据此可解答此题【详解】解：若设淇淇每小时走xkm，所列方程为，可知：A.嘉嘉每小时比淇淇多骑行3km，正确，故选项A符合题意；B.嘉嘉每小时比淇淇少骑行3km，说法错误，故选项B不符合题意；C,嘉嘉和淇淇每小时共骑行3km，说法错误，故选项C不符合题意；D.嘉嘉每小时骑行的路程是淇淇的3倍，说法错误，故选项D不符合题意；故选：A【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，注意时间要化为小时．8．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）按顺序排列的若干个数：，，，……，，（是正整数），从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数，即：，……，下列说法正确的个数有（

）①若，则；②若，则；③若，则．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【分析】利用题干的规定：设，则，，，……，得到，，，……，，（是正整数）中，每三个为1循环，循环的数为a，，，利用此规律对每个说法进行判断即可．【详解】解：设，则，，，，，，……，∴，，，……，，（是正整数）中，每三个为1循环，循环的数为a，，，∵，∴，若，∴，∴，∴，∴说法①正确；若，则，，∴，∵，∴，∴说法②错误；∵，∴，∵，，，，∴，解得，经检验，a的值是方程的解，即，∴说法③错误．故选：A．【点睛】本题主要考查了实数的性质，实数运算的规律，配方法，实数的运算，利用题干的规定找出数字的规律是解题的关键．9．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考阶段练习）分式方程与的解为__________．【答案】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母整理得：，解得：，经检验，是分式方程的解，故答案为：．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．10．（2023春·江苏·八年级期中）已知，则_____．【答案】3【分析】先解分式方程，然后将的值代入求解．【详解】解：解方程得，，经检验，是原方程的解，将代入得：．故答案为：3．【点睛】本题考查了分式的值，求解的值是解答本题的关键．11．（2023春·山西临汾·八年级统考阶段练习）若关于x的分式方程的解比分式方程的解大2，则a的值为______．【答案】【分析】先求出分式方程的解，从而得出分式方程的解为5，再把代入分式方程即可求解．【详解】解：去分母得：去括号得：移项合并同类项得：∵关于x的分式方程的解比分式方程的解大2，∴是式方程的解，∴把代入分式方程得：，，．故答案为：．【点睛】本题考查分式方程的应用，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．12．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知关于x的方程有增根，那么__________．【答案】【分析】先去分母得，再把增根代入即可求得k值．【详解】解：，去分母得：，由分式方程有增根，得到，即，把代入整式方程，解得．把代入整式方程无解．故答案为：．【点睛】本题主要考查分式方程的解法及增根问题，解题的关键是熟知分式方程的解法．13．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知：①可转化为，解得，②可转化为，解得，③可转化为，解得，根据以上规律，关于的方程(为常数)的解为_______．【答案】，【分析】根据已知数列找出规律进而得出的解．【详解】解：∵①可转化为，解得，②可转化为，解得，③可转化为，解得，∴规律为：，其解为：，∴关于的方程(为常数)，∴，，∴，，∴，，故答案为：，．【点睛】本题考查了分式方程，利用转化思想是解题的关键．14．（2023·浙江台州·统考一模）定义一种新运算，当时，．若，则______．【答案】4或【分析】根据题中所给新定义运算可分类进行求解．【详解】解：由题意可知：当时，则，解得：，经检验当时，，且∴是原方程的解；当时，则，解得：，经检验当时，，且∴是原方程的解；故答案为4或．【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．15．（江苏省宿迁市2022-2023学年八年级下学期期中数学试题）解方程：．【答案】无解【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：方程两边同乘，得解得：检验：当时，，是增根，原方程无解．【点睛】本题考查了分式方程的解法和一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．16．（2023春·江苏·八年级期中）（1）；（2）先化简，然后从的围内选取一个合适的整数为的值代入求值．【答案】（1）无解；（2）；当时，原式；当时，原式【分析】（1）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验；（2）先利用平方差和完全平方公式化简，得到，，再从选择其他整数中一个代入求解即可．【详解】解：（1），方程两边同时乘以得：，即，∴，解得，检验：当时，，∴是原方程的增根，原方程无解；（2），∵，，且为整数，∴当时，原式，当时，原式．【点睛】本题考查了分式的混合运算与化简求值、解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，平方差和完全平方公式是解题的关键．17．（2023春·重庆渝北·九年级礼嘉中学校考阶段练习）某工厂加工生产大，小两种型号的齿轮，每名工人每天只能生产一种型号的齿轮．一名熟练工每天生产的小齿轮数量是大齿轮的，并且生产240个大齿轮所用的时间比生产同样数量的小齿轮要多用10天(1)求一名熟练工每天可以生产多少个大齿轮；(2)该工厂原有15名熟练工，由于订单激增，工厂需要招聘一批新工人，已知新工人每人每天可以生产3个大齿轮或5个小齿轮，工厂决定派3名熟练工带领一部分新工人一起生产大齿轮，其余工人全部生产小齿轮．已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配套．若一共招聘了28名新工人，问安排多少名新工人生产大齿轮，才能使得该工厂每天生产的大，小齿轮刚好配套？【答案】(1)一名熟练工每天可以生产6个大齿轮(2)安排名新工人生产大齿轮，才能使得该工厂每天生产的大，小齿轮刚好配套【分析】（1）设一名熟练工每天可以生产个大齿轮，则一名熟练工每天生产的小齿轮数量为个，根据题意列出分式方程，解方程即可求解；（2）设安排名新工人生产大齿轮，则安排名新工人生产小齿轮，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：设一名熟练工每天可以生产个大齿轮，则一名熟练工每天生产的小齿轮数量为个，根据题意得，，解得：（经检验，是原方程的解），答：一名熟练工每天可以生产6个大齿轮（2）解：设安排名新工人生产大齿轮，则安排名新工人生产小齿轮，根据题意得，解得：，答：安排名新工人生产大齿轮，才能使得该工厂每天生产的大，小齿轮刚好配套．【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．18．（2023春·湖南衡阳·八年级衡阳市华新实验中学校考阶段练习）实践探索题，阅读下列材料：已知，关于x的方程的解是，关于x的方程的解是，关于x的方程的解是，……(1)请根据上述方程的特点，猜想方程的解是，(2)请根据上述结论，猜想方程的解是，(3)请根据上述结论，求方程的解．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根据阅读材料中的规律即可求解；（2）根据规律即可求解．（3）将方程变形为，根据规律即可求解．【详解】（1）解：方程的解是故答案为：．（2）解：方程的解是，故答案为：．（3）解：，∴，∴方程的解为：或，解得：或．【点睛】本题考查观察、类比、猜想与证明在分式方程求解中的应用，通过阅读材料归纳出如题所示的特殊分式方程的解法并加以应用是解题关键．19．（2023·浙江温州·统考一模）根据以下素材，探索完成任务．如何设计奖品购买及兑换方案？素材1某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．素材2某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量均不少于20件，且购买笔记本的数量是10的倍数．素材3学校花费400元后，文具店赠送m张兑换券（如右）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同．问题解决任务1探求商品单价请运用