专题3.3 幂函数【八大题型】（举一反三）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

专题3.3幂函数【八大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1对幂函数的概念的理解】 1【题型2求幂函数的函数值、解析式】 2【题型3求幂函数的定义域】 6【题型4求幂函数的值域】 7【题型5幂函数的图象】 9【题型6由幂函数的图象与性质求参数】 11【题型7比较幂值的大小】 12【题型8利用幂函数的性质解不等式】 14【知识点1幂函数的概念】1．幂函数的概念(1)幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的特征：①xα的系数为1；

②xα的底数是自变量；

③xα的指数为常数.

只有同时满足这三个条件，才是幂函数.【题型1对幂函数的概念的理解】【例1】（2023·全国·高三专题练习）下列函数是幂函数的是（

）A．y=x2-1 B．y=【解题思路】根据幂函数的定义判断可得出结论.【解答过程】由幂函数的定义可知，B选项中的函数为幂函数，ACD选项中的函数都不是幂函数.故选：B.【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）在函数y=1xA．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】根据幂函数的定义即可求解．【解答过程】∵幂函数y＝xa，∴y=1x2=y=1不是幂函数，比幂函数y=x∴幂函数的个数为1．故选：B.【变式1-2】（2023春·陕西西安·高一校考期末）已知函数fx=a2-A．-1或2 B．-2或1 C．-1【解题思路】直接根据幂函数的定义求解即可．【解答过程】∵fx∴a2∴a=2，或a又a-∴a=-1故选：C．【变式1-3】（2023·高一课时练习）在函数①y=1x，②y=x2，③y=2x，④A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥【解题思路】根据幂函数的定义可判断.【解答过程】幂函数是形如y=xα（α∈R，α为常数）的函数，①是α=-1的情形，②是α=2的情形，⑥是α=-12的情形，所以①②⑥都是幂函数；③故选：C.【题型2求幂函数的函数值、解析式】【例2】（2023春·内蒙古呼和浩特·高一校考开学考试）已知幂函数y=fx的图象过4,32点，则fA．22 B．4 C．42 D【解题思路】根据幂函数的定义设函数y=fx的解析式，再代入已知点求出函数解析式，再求【解答过程】因为函数y=fx为幂函数，所以可设f（x因为y=fx所以32=4a所以a=52所以f故选：C.【变式2-1】（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数y=fx的图象过点2,A．y=2x B．y=x C【解题思路】根据幂函数定义可设fx=【解答过程】设幂函数fx=xα，则f2故选：B.【变式2-2】（2023·高一课时练习）已知幂函数f(x)=xα的图象过点(4,2)A．-3 B．-13 C．13【解题思路】将点(4,2)代入fx=xα【解答过程】因为幂函数fx=x所以4α=2，解得α所以f故选：D.【变式2-3】（2023春·湖北宜昌·高一校联考期中）已知点a3,2在幂函数fxA．fx=xC．fx=x【解题思路】根据幂函数的定义求出a，将已知点的坐标代入解析式即可求解.【解答过程】∵函数fx∴a-1=1，即a=2,∴点∴8b=2，即b故选：D.【知识点2幂函数的图象与性质】1．常见幂函数的图象与性质幂函数图象定义域RRR值域RR奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上为增函数，增函数，减函数在R上为增函数在上为增函数，增函数，减函数定点（1,1）温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数．2．一般幂函数的图象与性质(1)一般幂函数的图象：①当α=1时，y=x的图象是一条直线.

②当α=0时，y==1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线.

③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表：（p、q互质）p，q都是奇数p是偶数，q是奇数p是奇数，q是偶数(2)一般幂函数的性质：通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质：

①所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点(1,1).

②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+)上是增函数.

③α<0时，幂函数在区间(0,+)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.

④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限.

⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点.3．对勾函数的图象与性质参考幂函数的性质，探究函数的性质.(1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近.(2)函数的定义域为；

(3)函数的值域为(-,-2]∪[2,+).

(4)奇偶性：，函数为奇函数.

(5)单调性：由函数的图象可知，函数在(-,-1)，(1,+)上单调递增，在(-1,0)，(0,1)上单调递减.【题型3求幂函数的定义域】【例3】（2023·全国·高三专题练习）下列函数定义域为R的是（）A．y=x-12 B．y=【解题思路】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案．【解答过程】y=x-y=x-y=x1y=x1故选：C．【变式3-1】（2023·全国·高一假期作业）函数fx=xA．-∞,+∞C．0,+∞ D．【解题思路】化简函数解析式，根据函数解析式有意义可得出关于x的不等式组，由此可解得原函数的定义域.【解答过程】因为fx=x-1故函数fx的定义域为0,+故选：D.【变式3-2】（2023·高一课时练习）5个幂函数：①y=x-2；②y=x45；③y=x54A．只有①② B．只有②③ C．只有②④ D．只有④⑤【解题思路】分别写出所给函数的定义域，然后作出判断即可.【解答过程】①y=x-②y=x4③y=x5④y=x2⑤y=x-故选：C.【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）设α∈-1,12,1,2,3，则使函数y=A．1或3 B．-1或1 C．-1或3 D．-1、【解题思路】由幂函数的相关性质依次验证得解.【解答过程】因为定义域为R，所以α>0，α又函数为奇函数，所以α≠2，则满足条件的α=1或故选:A.【题型4求幂函数的值域】【例4】（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数f(x)=xα的图象过点A．(-∞,0) B．(0,+∞) C．(-∞,0)∪(0,+∞) D．(-∞,+∞)【解题思路】求出幂函数的解析式，即可得解.【解答过程】f(x)=xα则函数f(x)故选：C.【变式4-1】（2022秋·安徽六安·高一校考阶段练习）在下列函数中，定义域和值域不同的是（

）A．y=x13 B．y=x【解题思路】把幂函数写成根式的形式即可求出定义域及值域，逐项分析即可得解.【解答过程】由y=x13=由y=x12=由y=x53=3由y=x23=3故选：D.【变式4-2】（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）下列函数中，值域为0,+∞的是（

A．fx=xC．fx=1【解题思路】根据函数的定义域、幂函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即可.【解答过程】由已知f(x)=x值域为∵x>0，∴fx=f(x)=1x+1因为定义域为x∈-f(x)=1-1x(x>1)，1故选：C.【变式4-3】（2022秋·广东广州·高一校考期末）幂函数y=fx的图象过点2,2，则函数A．-∞,+∞ B．-∞,1【解题思路】设fx=xa，带点计算可得fx=【解答过程】设fx代入点2,2得∴a∴则y=x-x∴函数y=x-故选：C.【题型5幂函数的图象】【例5】（2023春·福建三明·高二统考期末）已知幂函数的图象经过点P8,4，则该幂函数的大致图象是（

A．

B．

C．

D．

【解题思路】设幂函数为fx=xα【解答过程】设幂函数为fx=xα，则8α=4，所以fx=x23因为f-x=故选：C.【变式5-1】（2023·山东临沂·高一校考期末）下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（

）A．①y=x3，②y=x2B．①y=x2，②y=x1C．①y=x2，②y=x3D．①y=x13，②y=x【解题思路】根据幂函数的图像特征，对照四个选项一一验证，即可得到答案.【解答过程】函数y=x3为奇函数且定义域为R函数y=x2≥0，且该函数是偶函数，其图像关于y=x12=y=x-故选：A．【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数y=xpq（p,q∈A．p，q均为奇数，且pB．q为偶数，p为奇数，且pC．q为奇数，p为偶数，且pD．q为奇数，p为偶数，且p【解题思路】根据函数的单调性可判断出pq<0；根据函数的奇偶性及p，q互质可判断出p为偶数，q【解答过程】因为函数y=xpq的定义域为所以pq<因为函数y=xp所以函数y=xp又p、q互质，所以q为奇数，所以选项D正确，故选：D.【变式5-3】（2023·全国·高一假期作业）如图所示，图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，已知n取±2，±12四个值，则相应于C1，C2，CA．-2，-12，12，2 B．2，1C．-12，-2，2，12 D．2，1【解题思路】根据幂函数的图象在第一象限内的特征即可得答案.【解答过程】解：根据幂函数y=x当n>0时，n越大，y=xn递增速度越快，故C1的n当n<0时，n越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n=-12故选:B.【题型6由幂函数的图象与性质求参数】【例6】（2023春·广西玉林·高二校联考阶段练习）若幂函数fx=m2-2mA．-1 B．3 C．-1或3 D．1【解题思路】根据幂函数的概念和单调性可求出结果.【解答过程】因为函数fx=m所以m2-2由m2-2m-当m=-1时，m当m=3时，足m2综上m=-1故选：A.【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数fx=a2-A．3 B．2 C．1 D．1或2【解题思路】由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论．【解答过程】∵幂函数fx∴a2-则实数a=1故选：C.【变式6-2】（2023秋·江苏无锡·高一校考期末）“n=1”是“幂函数fx=n2-3A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据幂函数的定义和性质即可求解.【解答过程】因为fx所以n2-3n+3=1即n当n=1时，fx=当n=2时，fx=所以“n=1”是“幂函数fx=n2故选:C.【变式6-3】（2023·高一课时练习）已知幂函数fx=x-m2+2m+3m∈A．-1 B．0 C．1 D．【解题思路】根据函数的单调性得到-m2【解答过程】幂函数fx=x-m解得-1<m<3当m=0时，f当m=1时，f当m=2时，f故选：C.【题型7比较幂值的大小】【例7】（2023春·辽宁鞍山·高一校联考阶段练习）已知a=3513A．a<b<c B．b<c【解题思路】根据幂函数的单调性进行判断即可.【解答过程】b=35所以由53>35>故选：C.【变式7-1】（2023·海南海口·校考模拟预测）设a=3412A．c<a<C．a<c<【解题思路】易得b=431【解答过程】因为a=且0<827<916<1所以82714综上：c<故选：A.【变式7-2】（2022秋·福建南平·高一统考期中）下列比较大小中正确的是（

）A．320.5<C．(-2.1)37<【解题思路】利用函数的单调性进行判断即可.【解答过程】解：对于A选项，因为y=x0.5在[0,+∞)对于B选项，因为y=x-1在(-∞对于C选项，y=x37为奇函数，且在[0,+∞因为(-2.2)-37所以(-2.1)37<对于D选项，y=x4又(-12)43=(1故选：C.【变式7-3】（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数f(x)=(m2-4m+4)xm2-m-6，(mA．f(π)<C．f(-3)<f(-1)<【解题思路】由幂函数的定义即可求f(x)解析式，进而可知其奇偶性，并结合单调性即可比较f(-3)，f【解答过程】对任意x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，都有({m2-4m∴f(x)=∴f(-1)=f(1)，f(-3)=f故选：A.【题型8利用幂函数的性质解不等式】【例8】（2023·高一课时练习）若(a+1)-【解题思路】根据y=x-1【解答过程】因为函数y=x-且在(-∞,0),(0,+∞)上都是单调递减函数，且x>0时，y故(a+1)-13<(3-2解得23<a<3故a的取值范围为(-∞【变式8-1】（2023·全国·高一假期作业）已知幂函数fx=(1)求f1(2)若f2a+1>【解题思路】（1）根据幂函数的定义得到m=2或m=3，根据奇偶性即可得到m的值，再计算（2）根据幂函数的单调性结合条件可得2a+1<a<0或0<2【解答过程】（1）由m2-5m+7=1当m=2时，f当m=3时，f所以fx=x（2）因为fx=x-3的定义域为-由f2a+1>fa，可得解得a<-1或-所以实数a的取值范围为a<-1或-【变式8-2】（2023·全国·高一假期作业）已知幂函数fx=xm2-2m-(1)求m的值；(2)解不等式f1-2【解题思路】（1）先利用幂函数在0,+∞上是单调递减函数，得到m2-2（2）利用（1）中函数的奇偶性和单调性进行求解即可．【解答过程】（1）因为幂函数fx=xm2-2m-∴m2-因为函数在0,+∞上是单调递减函数，所以m2-2因为m∈Z，则m=0，1，当m=0时，m当m=1时，m当m=2时，m故m=1