传染病模型专题知识

传染病模型专题知识传染病模型专题知识第1页传染病模型目标

描述传染病传输过程

分析受感染人数改变规律

预报传染病高潮到来时刻

预防传染病蔓延伎俩

按照传输过程普通规律，用机理分析方法建立模型传染病模型专题知识第2页一、微分方程建模在研究实际问题时，经常会包括到一些变量改变率或导数问题，这么所得到变量之间关系式就是微分方程模型。微分方程模型反应是变量之间间接关系，所以，要得到直接关系，就得求解微分方程。求解微分方程有三种方法：

1）求准确解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。传染病模型专题知识第3页建立微分方程模型方法（1）依据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中定理或经过试验检验规律等来建立微分方程模型。（2）微元分析法利用已知定理与规律寻找微元之间关系式，与第一个方法不一样是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。传染病模型专题知识第4页（3）模拟近似法在生物、经济等学科实际问题中，许多现象规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂，建模时在不一样假设下去模拟实际现象，建立能近似反应问题微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟一些实际现象。传染病模型专题知识第5页二、问题重述问题:有一个传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行。现在希望建立适当数学模型，利用已经掌握一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传输蔓延进行必要控制，降低人民生命财产损失。考虑以下几个问题，建立适当数学模型，并进行一定比较分析和评价展望。1、不考虑环境限制，设单位时间内感染人数增加率是常数，建立模型求t时刻感染人数。2、假设环境条件下所允许最大可感染人数为。单位时间内感染人数增加率是感染人数线性函数，最大感染时增加率为零。建立模型求t时刻感染人数。传染病模型专题知识第6页3、现有卫生防疫部门采集到某地域一定时间内一定间隔区间感染人数数据（见下表），利用该数据确定上述两个模型中相关参数，并将它们预测值与实际数据进行比较分析（计算仿真偏差）并对两个模型进行适当评价。（注：该问题中，设最大可感染人数为人）传染病模型专题知识第7页4、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而降低且对该传染病含有很强免疫功效，建立模型分析t时刻患病者与易感染者关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终毁灭）进行预测。传染病模型专题知识第8页三、问题分析1、这是一个包括传染病传输情况实际问题，其中包括传染病感染人数随时间改变情况及一些初始资料，可经过建立对应微分方程模型加以处理。2、问题表述中已给出了各子问题一些对应假设。3、在实际中，感染人数是离散变量，不含有连续可微性，不利于建立微分方程模型。但因为短时间内改变是少数人口，这种改变与整体人口相比是微小。所以，为了利用数学工具建立微分方程模型，咱们还需要一个基础假设：感染人数是时间连续可微函数。传染病模型专题知识第9页三、问题求解3.1、问题1解答——模型一A、模型假设1)、感染人数是时间连续可微函数；2)、单位时间内感染人数增加率是常数，或单位时间内感染人数增加量与当初感染人数成正比。

传染病模型专题知识第10页B、模型组成设t时刻感染人数为，初始时刻()感染者人数为，感染者增加率为r，依据单位时间内感染人数增加率是常数假设，t到时间内感染人数增量为：所以，满足以下微分方程：传染病模型专题知识第11页C、模型求解这是一个线性常系数微分方程，轻易求得其解为：D、模型分析由上述解形式，能够看出，感染人数将伴随时间增加按指数规律无限增加。尤其地，当初间趋向于无穷时，感染人数也将趋向于无穷大。这显然是不符合现实，说明该模型不可能用于传染病长久预报，同时也说明迫切需要对该模型进行必要修正。传染病模型专题知识第12页E、改进方向单位时间内感染人数增加率不是常数，而是逐步下降。原因：感染人数增加到一定数量后，环境条件、人口总数等原因将对感染者数量增加起阻滞作用，且阻滞作用随感染者数量增加而变大。增加率是感染人数减函数：感染者越多，增加率越低。传染病模型专题知识第13页3.2、问题2解答——模型二A、模型假设1)、感染人数是时间连续可微函数；2)、感染人数受环境条件限制，有一个最大可感染人数。3)、单位时间内感染人数增加率和感染人数相关，是其线性函数，最大感染时对应增加率为零。传染病模型专题知识第14页B、模型组成依然设t时刻感染人数为，初始时刻()感染者人数为，感染者人数为0时，感染人数增加率为。依据单位时间内感染人数增加率和感染人数相关，是其线性函数假设，可得增加率关于感染者人数线性函数关系式：传染病模型专题知识第15页深入，由最大感染时对应增加率为零可确定参数k值为：所以，在该模型假设下，感染人数应满足以下微分方程：传染病模型专题知识第16页C、模型求解这是一个非线性微分方程，利用微分方程中分离变量法，求得其解为：传染病模型专题知识第17页D、模型分析a)、依据前述微分方程作出dx/dt~x曲线图，见图1-1，这是一条抛物线。由该图可看出感染人数增加率随感染人数改变规律：增加率伴随感染人数增加而先增后减，在xm/2时到达最大。这预示着传染病高潮到来，是医疗卫生部门关注和需要亲密注意时刻。因为感染人数增加率在一定程度上代表了医疗卫生水平，增加率越小卫生水平越高。所以改进保健设施、提升卫生水平能够推迟传染病高潮到来。传染病模型专题知识第18页b)、依据模型求解得到结果作出x~t曲线，见图1-2，这是一条S型曲线。由该图可看出感染人数随时间改变规律：能够看出，当初间趋于无穷时，x(t)趋于xm，且对一切t，x(t)<xm

。此性质说明感染者数量不可能到达最大容量，但可无限趋近于最大容量。传染病模型专题知识第19页3.3、问题3解答—两个模型分析比较将问题所给出表中t=0时刻和t=1时刻数据代入所建立两个模型中，确定模型中未知参数r和，然后再利用它们得到t=2到t=14时刻仿真数据，深入地能够得到两个模型仿真误差百分比。两个模型仿真效果和性能能够从下面表和图中清楚地看出。传染病模型专题知识第20页3.3.1实际感染人数与按两个模型

计算感染人数比较表传染病模型专题知识第21页3.3.2实际感染人数与按两个模型

计算感染人数比较图传染病模型专题知识第22页3.3.3、性能分析从上述图和表中，能够得出以下结果和结论：1、在传染病传输早期(t=0到t=7)，采取两个模型都能得到很好仿真结果；2、在传染病传输后期(t=8到t=14)，采取第二个模型仍能得到很好仿真结果，而采取第一个模型得到结果则和真实结果有较大偏差；传染病模型专题知识第23页3.3.4、两个模型评价1、经过上述分析说明，第一个模型用于短期感染者预计有很好近似效果，但不能用于传染病长久预报；第二个模型较为符合实际情况。2、同时说明，感染者人数增加率并不是一个常数，而受到环境等条件制约，是改变、递减。传染病模型专题知识第24页3、在模型二中，为了简便，咱们给出了较准确最大可感染人数预计；实践中，这个参数是不易准确得到(可经过数据拟合)，错误参数预计会极大地影响该模型性能，这也是该模型一个缺点之一。4、这两个模型都是确定性连续时间模型；为了使预报更准确，能够深入地发展随机性模型和离散时间模型。传染病模型专题知识第25页3.4、问题4解答——模型三A、模型假设1)、总人口可分为传染病患者和易感染者，患病者和易感人数都是时间连续可微函数。2)、假设易感染者因与患病者接触而得病，患病率为；而患病者会因治愈而降低，治愈率为。3）、患病者治愈后对该传染病含有免疫功效，不再成为易感染者。传染病模型专题知识第26页B、模型组成设t时刻患病者和易感者人数分别为和，初始时刻(t=0)患病者和易感者人数分别为和。依据单位时间内患病率和治愈率假设，可得到单位时间内传染病人数增量为,治愈人数为。所以可建立以下模型：传染病模型专题知识第27页C、模型求解与分析这是一个含两个因变量微分方程组，该方程组无法求得和解析解。所以，咱们转到相平面上来讨论解性质。传染病模型专题知识第28页消去dt相轨线定义域相轨线11yx0D在D内作相轨线图形，进行分析传染病模型专题知识第29页相轨线定义对于二维情形，若微分方程

dx/dt=P(t,x,y)

dy/dt=Q(t,x,y)满足初始条件x(t0)=x0,y(t0)=y0解为

x=x(t)

y=y(t)则该组解在xOy平面上（相平面）所描绘曲线就是相轨线。通俗解释若有两个函数变量x(t)和y(t)，绘出y(x)曲线就是相轨线传染病模型专题知识第30页yx101D相轨线及其分析传染病蔓延传染病不蔓延y(t)单调减

相轨线方向P1y0xmP1:y0>1/σ