高等电磁场作业

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--内页可以根据需求调整合适字体及大小--高等电磁场作业(总24页)PAGE1－1、证明：令，。所以，，又因为＝所以原式＝证毕1－2、证明：同理可得由并依次类推相加可得＝＋证毕讨论Maxwell方程中四个边界条件的独立性。Maxwell边界方程中,前两个方程是独立的，可以推导出其余两个方程，过程如下所以有，由于在静态场中，所以对时变场也有＝0。当时，由电流连续性方程，所以得，由于在静态场中此const＝0，所以对时变场也有所以得证。验证是否为可能存在的电磁场。解：所以＝0，即B不随时间而变换。当在无源区域时，B恒定即没有电场产生，所以不存在电磁场。在有源区域时，电场可以由电源产生，因此有可能存在电磁场。证明边界条件：和。证明：沿用本讲证明一中的假设条件有表示关于小盒侧面的线积分当h 趋于0时，有＝0同理，有表示关于小盒侧面的线积分当h 趋于0时,为面密度，有对于良导体，无源区域的Maxwell方程为试导出波动方程，并给出波传播的速度和波阻抗的表达式。解：在以上波动方程中可以得到所以，4-1试推导频域Poynting定理。4-2相同频率的两个电源，置于相同的各向同性的线性媒质中，电源1在空间产生的电磁场为；而电源2产生的，试证明同理所以4-3无限均匀导电媒质中放一电量为的点电荷，试求这电荷随时间的变化规律，并写出空间中任一点的磁场强度和能密度。因为媒质中无外电场作用，因此.由上两式可得＝因为源Q为点电荷，因此其所产生的电场为散度场，所以=0（亦可由）,即不随时间而变化。所以(电荷刚放入媒质时没有电荷变化，因此此时B＝0)根据时域Poynting定理，因为，且，所以＝0错！前提为连续分布的电荷系统！而，能量密度即为证明:在自由空间的电磁场中，垂直于任意表面的电磁场力密度（单位面积上电磁场力的法向分量）为假设单位面积的法向分量为，因此在垂直表面的中，可以分解成平行的，其大小为；垂直的，其大小为.因为与平行，根据式（5—19）可得。而与垂直，亦可得，E与H相互垂直，因此将与垂直，其大小为;与平行，其大小为。同理，.整个表面所受的电磁场力密度将为这四个力密度之和，所以试导出频域情况下电磁场动量守恒定理。6-1试证明在Coulomb规范下式中，证：Coulomb规范下，波动方程变为满足泊松方程，容易证明因为以及函数的选择性，任意矢量可表示为再利用，得即任意矢量可分解为无旋部分和无散部分之和设电流源，其中,分别表示的无旋部分和无散部分，即因为，以及所以，由由电流连续性方程可知，因为场源和分布在有限空间内，而体积为均匀无界空间，所以上式右边第一项面积为零。再将Coulomb规范下标位的表达式代入上式右边第二项，便得到将和(6-22)代入(6-17)的第一式，得到即在Coulomb规范下，矢位只由电流源的无散部分决定。6－2试导出导电率为的媒质中矢位和标为的波动方程。解：在导电率为的媒质中知，将其代入和两式可得到应用，上式整理后得在第二个式子左右两边各加，可以整理得到此时便得到格式较为规范的矢位和标为的波动方程。7-1试证明：在Coulomb规范下，无源区域中的电磁场量、可用两个函数表示。证明：Coulomb规范中，所以有在频域，作规范变换，有所以，和满足相同的方程。如果我们选取则。所以7-2试导出在柱坐标系中无源区域的电磁场量,用纵向分量和表示的表示式。对于柱形系统，设广义正交曲线坐标系为（、、），，矢量A的旋度可以表示为上式中第二、三项皆是横向分量，可以写成根据上两式可由均匀各项同性线性媒质中的麦克斯维方程组的两个旋度方程得（1）（2）(2)式代入（1）可得而对于柱形系统中沿＋z方向传播的波，可以假定场量随时间t和坐标z的变化规律为，可推得（后项为0）（前项为0）所以（1）式变为同理可求得因此令可以最终得到8-1试证明图所示的有耗多媒质区域的频域电磁场唯一性定理：如果区域内的源已知；区域外边界上切向电场或切向磁场已知；区域内媒质交界面上切向电场和切向磁场连续，则区域内电磁场唯一确定。证明：设此有源区域产生两组场和，其差场满足其中，，。应用频域Poynting定理因为区域外边界上切向电场或切向磁场已知，所以外边界的线积分为0l为交界线，且在交界线上，，所以得到由条件（3）可知，，，综合边界条件可得于是 对于有耗媒质，，,于是，，。所以区域内电磁场唯一确定8-2试讨论Poisson方程解的唯一性问题。证明：设有两解分别为和，考虑差值函数，满足应用Green第一恒等式上式中令，，则有可见，只要满足边界上的给定;或边界上的给定；或边界上一部分的给定，另一部分的给定；中三个条件中的任何一条，都有，即，被唯一确定。9-1：证明：如果源和均在体积v内，则互易定理为证：由Lorenty互易原理的积分形式可得当源源和均在体积v内时，设v外的空间为无源空间。所以，s为包围v的球面，为半径的球面。由于两组源都分布在有限空间内，所以在无限远处的辐射场为沿r方向的TEM波，其中因而有于是将代入上一式可得9-2：证明无限靠近理想磁体表面的面磁流不产生电磁场。证：设有一理想磁体，在无限靠近该导体的表面上有面磁流，在空间有一任意磁流源，在空间各处产生的电磁场为，在空间各处产生的电磁场为，根据互易原理，有由于在理想磁体表面磁场只有法向分量，而为切向磁流，故。于是又由于任意，所以。所以无限靠近理想磁体表面的面磁流不产生电磁场。11-1一点电荷放置在夹角为的导体拐角中，电荷距拐角尖点的距离为,与拐角的最小夹角为。试利用镜像原理求解点电荷在拐角中产生的电位。如果拐角的夹角改为,问能否应用镜像原理为什么解：因为，所以将产生5个镜像电荷，另拐角的一边为x轴正方向，则其镜像电荷角度分别为。具体电荷坐标分别为点电荷在拐角产生的电位可以等效为六个电荷在自由空间产生的和电位，因此由电位公式可以得到的电位为和分别是具体电荷坐标。当夹角为时，不满足（n为正数），所以镜像电荷将产生无穷个，无法应用镜像原理。11-2如图所示，接地无限大导体平板上突起一半径为a的半球形，在处有一点电荷。试利用镜像原理求解该电荷产生的电位。解：在接地无限大导体作用下，点q产生一个镜像电荷q’，根据平面板的镜像原理可知q’＝－q，x’＝－d。将半球形看成一个完整球形，则此两个电荷又分别产生一个镜像电荷，根据球形腔的镜像原理可以得到它们的电荷大小和位置分别为q’’＝q,x’’＝,q’’’＝－q,x’’’＝－所以11-3如图11-10所示，一密度为的无限长均匀分布的线电荷，平行放置在半径为R的接地导体圆柱外。试尝试用镜像原理求解该问题。解：设点c为系统的零电势点，设N点为镜像电荷所在点，密度为。，其中，为op与oM的夹角，为pM长度，为pN长度，d为oN长度。因为圆柱接地，所以所以电位为试利用镜像原理求解如图12-6所示的线电荷在三层介质中产生的电位。解：利用介质镜像原理先确定0<x<h(区域2)的镜像问题.区域2有两个边界，对它们分别应用镜像原理可以得到如下镜像电荷分布由这些规律可以推出区域2电位表达式为在区域3中，其只有一条与区域2的边界。因为区域2无电荷，故不对区域3产生影响。区域1对它的影响可以看成上图（a）中区域1中的电荷对区域3的影响，依照介质镜像原理，在这些电荷上乘以因子，如图所示由这些规律可以推出区域2电位表达式为在区域1中，其只有一条与区域2的边界。为了保证介质边界条件，在区域2中处加电荷。区域3对它的影响可以看成上图（a）中区域3中的电荷对区域1的影响，依照介质镜像原理，在这些电荷上乘以因子，如图所示由规律可以推出区域3电位表达式为13-1求13-2所示的同轴线TM模的场分布。图13-2同轴线解:令电Hertz矢量，则边界条件为。自然边界条件是在圆周方向场单值。于是，由边界条件得于是：上式便是确定的本征方程。确定了后，由便可确定传播常数，进而得电Hertz矢量为代入便可得到同轴线TM模的场分布。13-2证明是齐次标量波动方程的一个解。若取，计算由此所形成的波。在常数的平面上画出瞬时电力线和磁力线分布。什么样的实际系统可以支持这样的波？

证：满足其次标量波动方程。代入便可得到TM模的场分布。14-1图14-3所示为一同轴线-矩形波导探针激励装置。假设探针电流为无限细线电流形式图14-3同轴线一波导探针激励装置试求由此电流所激励的图14-3同轴线一波导探针激励装置解：已知在激励波中，其产生的场为，式中，是模的波导纳，是传播常数。短路波导中的探针，等效于原来的探针加上至于无限长波导中处（设原位置为z＝0）的它的镜像。若假定辐射到z>0区域的场为则可以得到所以，由探针向z>0处所辐射的模的总横向场为14-2已知，为常矢量，试证明：。证：代入可得14-3一平面波在无界等离子体中传播。传播方向与外加磁场平行，张量介电常数为,试求本征波的传播常数和场表示式。解：考虑非互易媒质。在无源情况下，满足于是考虑无限大空间的均匀平面波，设式中，为常矢。应用矢量公式，可以证明代入得把分解成平行于传播方向的分量和垂直于的分量，即则可得即写成矩阵形式为式中，。上式便是求传播常数的本征方程。使有非零解的充要条件是求得了后，可得传播常数在此题中，即设，则和对应的本征矢分别为式中，为任意常数。因此，在纵向磁化时，对应有两个本征波，一个是平面的右旋(相对于)圆极化波，对应的传播常数为另一个本征波是平面的左旋(相对于)圆极化波，对应的传播常数为15-1试证一维、二维标量波动方程的标量Green函数分别为式中，为源点坐标，为场点坐标。证：在一维中，有因为场不可能无限大，可以推得又从源点条件可以得到在二维中，问题对新坐标原点对称，所以仅是R得函数。在圆柱面坐标系中（1）相应齐次方程为上式是零阶柱贝塞尔方程。其解为零阶贝塞尔函数和的线性组合，其中仅有满足辐射条件，故对（1）取体积分，所取体积分以为圆心半径为的单位长度小圆柱区域。于是代入并考虑到在线源有奇点，故取，可得，于是有或15-2设算子，它的Green函数满足边界条件试证明，证：(1)找出对应齐次方程特解为，(2)代入(3)源条件中16-1试推导磁场的积分表达式证：根据矢量Green公式式中，为面的外法向单位矢量。令代入矢量格林公式,并考虑到的对