2024八年级下数学专题1.5 数据的分析章末重难点题型（举一反三）（人教版）含解析

2024八年级下数学专题1.5数据的分析章末重难点题型【人教版】【考点1平均数的计算】【方法点拨】平均数：在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数.

【例1】（2019春•琼中县期末）如果一组数据﹣3，x，0，1，x，6，9，5的平均数为5，则x为（）A．22 B．11 C．8 D．5【变式1-1】（2019•邵阳县模拟）如果两组数据x1，x2、……xn；y1，y2……yn的平均数分别为和，那么新的一组数据2x1+y1，2x2+y2……2xn+yn的平均数是（）A．2 B．2 C．2+ D．【变式1-2】（2019春•永春县期中）已知一组数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数为5，则另一组数据a1+5，a2﹣5，a3+5，a4﹣5，a5+5的平均数为（）A．4 B．5 C．6 D．10【变式1-3】（2018春•南宁期末）x1，x2，…，x10的平均数为a，x11，x12，…，x50的平均数为b，则x1，x2，…，x50的平均数为（）A．a+b B． C． D．【考点2加权平均数的计算】【方法点拨】在通常计算平均数的过程中，各个数据在结果中所占的份量是相等的。而实际情况有时并非如此，如果要区分不同的数据的不同权重，就需要使用加权平均数.当我们改变一组数据中各个数值所占的权重时，这组数据的加权平均数就有可能随之改变.【例2】（2019•恩施州）某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．小桐的三项成绩（百分制）依次为95，90，85．则小桐这学期的体育成绩是（）A．88.5 B．86.5 C．90 D．90.5【变式2-1】（2019春•红河州期末）某居民小区10户家庭5月份的用水情况统计结果如表所示：月用水量/m345689户数23311这10户家庭的月平均用水量是（）A．2m3 B．3.2m3 C．5.8m3 D．6.4m3【变式2-2】（2019春•门头沟区期末）两位应聘者进行某公司一个英文翻译岗位，以下是两位应聘者的英语听、说、译、写四方面水平测试成绩，公司决定在考虑整体水平的基础上，侧重对“听说能力”的考查，赋予了四方面水平的权重，其中合理的是（）应聘者面试笔试平均成绩听说译写甲9790948792乙8594979292A．0.2，0.2，0.3，0.3 B．0.25，0.25，0.25，0.25 C．0.3，0.3，0.2，0.2 D．0.5，0.5，0.0，0.0【变式2-3】（2019秋•河西区期末）某城市2017年公务员录用考试是这样统计成绩的，综合成绩＝笔试成绩×60%+面试成绩×40%，小红姐姐的笔试成绩是82分，她的竞争对手的笔试成绩是88分，小红姐姐要使自己的综合成绩追平竞争对手，则她的面试成绩必须比竞争对手多（）A．4.8分 B．6分 C．9分 D．12分【考点3中位数和众数的认识】【方法点拨】中位数：将一组数据从小到大依次排列，位于正中间位置的数（或正中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；

众数：在一组数据中，出现频数最多的数叫做这组数据的众数.

【例3】（2019春•开福区校级月考）某次数学趣味竞赛共有10组题目，某班得分情况如下表．全班40名同学的成绩的中位数和众数分别是（）人数25131073成绩（分）5060708090100A．75，70 B．70，70 C．80，80 D．75，80【变式3-1】（2019春•永嘉县月考）在“全民读书月”活动中，小明调查了班级里40名同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图所示的统计图，则这40名同学购买课外书花费的众数和中位数分别为（）A．30元，30元 B．30元，50元 C．50元，50元 D．50元，80元【变式3-2】（2019•深圳模拟）若一组数据3，4，x，6，7的众数是3，则这组数据的中位数为（）A．3 B．4 C．6 D．7【变式3-3】（2019春•庐阳区期末）某篮球队10名队员的年龄结构如表：年龄/岁192021222426人数11xy21已知该队队员年龄的中位数为21.5，则众数是（）A．21岁 B．22岁 C．23岁 D．24岁【考点4平均数和中位数结合】【例4】（2019•眉山）某班七个兴趣小组人数如下：5，6，6，x，7，8，9，已知这组数据的平均数是7，则这组数据的中位数是（）A．6 B．6.5 C．7 D．8【变式4-1】（2019•株洲）若一组数据x，3，1，6，3的中位数和平均数相等，则x的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【变式4-2】（2018•武昌区校级模拟）某中学篮球队16名队员的年龄如表：年龄（岁）1314x16人数2653若这16名队员年龄的中位数是14.5，则16名队员年龄的平均数是（精确到0.1）（）A．14.5 B．14.6 C．14 D．14.7【变式4-3】（2018•正阳县二模）某人打靶五次的环数如下：1，4，6，8，x，其中整数x是这组数据的中位数，那么这组数据的平均数是（）A．4.8 B．4.8或5 C．4.6或4.8 D．4.6或4.8或5【考点5方差的计算】【方法点拨】计算方差的公式：设一组数据是，是这组数据的平均数。则这组数据的方差是：

【例5】（2019秋•萧山区校级月考）已知一组数据x1，x2，x3，平均数为2，方差为3，那么另一组数2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1的平均数和方差分别是（）A．2， B．3，3 C．3，12 D．3，4【变式5-1】（2019春•海阳市期中）若一组数据a1，a2，……，an的平均数为10，方差为4，那么数据2a1+3，2a2+3，…，2an+3的平均数和方差分别是（）A．13，4 B．23，8 C．23，16 D．23，19【变式5-2】（2019春•自贡期末）若一组数据1，1，x，3，3的平均数为x，则这组数据的方差是（）A．4 B． C． D．2【变式5-3】（2019春•莒南县期末）若一组数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为17，方差为2，则另一组数据x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数和方差分别为（）A．17，2 B．18，2 C．17，3 D．18，3【考点6方差的意义】【方法点拨】方差可以比较全面地反映一组数据相对于平均值的波动情况，方差越小越稳定.【例6】（2019秋•乐清市校级月考）甲，乙，丙，丁四名同学在学校演讲选拔赛的成绩平均数x与方差S2如下表所示：甲乙丙丁平均数8.08.08.58.5方差s23.515.53.516.5根据表中数据，要从中选一名成绩好又发挥稳定的同学参加市演讲比赛，应该选择（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【变式6-1】（2019春•乐清市期中）甲、乙、丙、丁四位选手各进行了10次射击，射击成绩的平均数和方差如下表：选手甲乙丙丁平均数（环）9.09.09.09.0方差0.251.002.503.00则成绩发挥最不稳定的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【变式6-2】（2019•河南模拟）某校要从甲、乙、丙、丁四名学生中选出一名学生参加数学竞赛，对这四名学生进行了10次数学测试，经过数据分析4人的平均成绩均为95分，S甲2＝0.028，S乙2＝0.06，S丙2＝0.015，S丁2＝0.32．则应该选择（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【变式6-3】（2019春•西城区期末）12名同学分成甲、乙两队参加播体操比赛，已知每个参赛队有6名队员，他们的身高（单位：cm）如表所示：队员1队员2队员3队员4队员5队员6甲队176175174172175178乙队170176173174180177设这两队队员平均数依次为甲，乙，身高的方差依次为S2甲，S2乙，则下列关系中，完全正确的是（）A．甲＞乙，S2甲＞S2乙 B．甲＜乙，S2甲＜S2乙 C．甲＝乙，S2甲＞S2乙 D．甲＝乙，S2甲＜S2乙【考点7平均数、中位数、众数、方差的命题判断】【方法点拨】平均数的优点：平均数的计算过程中用到了一组数据中的每一个数，因此比中位数和众数更灵敏，反映了更多数据的信息.

平均数的缺点：计算较麻烦，而且容易受到极端值的影响.

中位数的优点：计算简单，不容易受到极端值的影响，确定了中位数之后，可以知道小于中位数的数值和大于中位数的数值在这组数据中各占一半.

中位数的缺点：除了中间的值以外，不能反映其他数据的信息.

众数的优点：众数很容易从直方图中获得，它可以清楚地告诉我们：在一组数据中哪个或哪些数值出现的次数最多.

众数的缺点：不能反映众数比其他数出现的次数多多少，而且也丢失了很多其他数据的信息.【例7】（2019•上海）甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（个数）成绩如图所示，下列判断正确的是（）A．甲的成绩比乙稳定 B．甲的最好成绩比乙高 C．甲的成绩的平均数比乙大 D．甲的成绩的中位数比乙大【变式7-1】（2019春•门头沟区期末）某校在“我运动，我快乐”的技能比赛培训活动中，在相同条件下，对甲、乙两名同学的“单手运球”项目进行了5次测试，测试成绩（单位：分）如图所示：根据图判断正确的是（）A．甲成绩的平均分低于乙成绩的平均分 B．甲成绩的中位数高于乙成绩的中位数 C．甲成绩的众数高于乙成绩的众数 D．甲成绩的方差低于乙成绩的方差【变式7-2】（2019•甘肃）甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是（）参加人数平均数中位数方差甲4594935.3乙4594954.8A．甲、乙两班的平均水平相同 B．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同 C．甲班的成绩比乙班的成绩稳定 D．甲班成绩优异的人数比乙班多【变式7-3】（2019•麒麟区模拟）为积极响应曲靖市政府“举全市之力，集全民之智，力争2020年夺得全国文明城市桂冠”的号召，麒麟区某校举办了一次创文知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀，为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了甲、乙两组学生成绩作为样本进行统计，绘制了如下统计图表：组别平均分中位数方差合格率优秀率甲组6.8a3.7690%30%乙组b7.51.9680%20%则下列说法错误的是（）A．a＝6，b＝7.2 B．甲组的众数是5，乙组的众数是3 C．小英同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中上游略偏上观察上面的表格可以判断，小英属于甲组 D．从平均数来看，乙组的平均分高于甲组，即乙组的总体平均水平高：从方差来看，乙组的方差比甲组小，即乙组的成绩比甲组的成绩稳定．所以从平均数和方差两方面来看，乙组成绩好于甲组成绩【考点8平均数、中位数、众数、方差的综合应用】【例8】（2019秋•沙坪坝区校级月考）入学考试前，某语文老师为了了解所任教的甲、乙两班学生假期向的语文基础知识背诵情况，对两个班的学生进行了语文基础知识背诵检测，满分100分．现从两个班分别随机抽取了20名学生的检测成绩进行整理，描述和分析（成绩得分用x表示，共分为五组：A.0≤x＜80，B.80≤x＜85，C.85≤x＜90，D.90≤x＜95，E.95≤x＜100），下面给出了部分信息：甲班20名学生的成绩为：甲组82859673919987918691879489969691100939499乙班20名学生的成绩在D组中的数据是：93，91，92，94，92，92，92甲、乙两班抽取的学生成绩数据统计表班级甲组乙组平均数9192中位数91b众数c92方差41.227.3根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述图表中a，b，c的值：a＝；b＝；c＝；（2）根据以上数据，你认为甲、乙两个班中哪个班的学生基础知识背诵情况较好？请说明理由（一条理由即可）；（3）若甲、乙两班总人数为125，且都参加了此次基础知识检测，估计此次检测成绩优秀（x≥95）的学生人数是多少？【变式8-1】（2019•九龙坡区校级三模）炎热的夏天来临之际．为了调查我校学生消防安全知识水平，学校组织了一次全校的消防安全知识培训，培训完后进行测试，在全校2400名学生中，分别抽取了男生，女生各15份成绩，整理分析过程如下，请补充完整．【收集数据】男生15名学生测试成绩统计如下：68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，76，85，69，78，80女生15名学生测试成绩统计如下：（满分100分）82，88，83，76，73，78，67，81，82，80，80，86，82，80，82按如下分数段整理、描述这两组样本数据：组别频数65.5～70.570.5～75.575.5～80.580.5～85.585.5～90.590.5～95.5男生224511女生115620【分析数据】（1）两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示：班级平均数众数中位数方差男生80x8047.6女生8080y26.2在表中：x＝．y＝；（2）若规定得分在80分以上（不含80分）为合格，请估计全校学生中消防安全知识合格的学生有人；（3）通过数据分析得到的结论是女生掌握消防安全相关知识的整体水平比男生好，请从两个方面说明理由．【变式8-2】（2019•河南模拟）随着2019年全国两会的隆重召开，中学生对时事新闻的关注空前高涨，某校为了解中学生对时事新闻的关注情况，组织全校九年级学生开展“时事新闻大比拼”比赛，随机抽取九年级的25名学生的成绩（满分为100分）整理统计如下：收集数据：25名学生的成绩（满分为100分）统计如下（单位；分）：90，74，88，65，98，75，81，44，85，70，55，80，95，88，72，87，60，56，76，66，78，72，82，63，100整理数据：按如下分组整理样本数据并补全表格：成绩x（分）90≤x≤10075≤x＜9060≤x＜75x＜60人数108分析数据：补充完成下面的统计分析表：平均数中位数方差76190.88得出结论（1）若全校九年级有1000名学生，请估计全校九年级有多少学生成绩达到90分及以上；（2）若八年级的平均数为76分，中位数为80分，方差为102.5，请你分别从平均数，中位数和方差三个方面做出评价，你认为哪个年级的成绩较好？【变式8-3】（2019•九龙坡区校级模拟）甲、乙两校各有200名体训队队员，为了解这两校体训队员的体能，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．收集数据：从甲、乙两个学校各随机抽取20名体训队员．进行了体能测试，测试成绩（百分制）如下：甲7886748175768770759075798170748086698377乙9373888172819483778380817081737882807040整理、描述数据：按如下分数段整理、描述这两组样本数据：成绩x人数40≤x≤4950≤x5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤10甲校0011171乙校1007102（说明：成绩80分及以上为体能优秀，70～79分为体能良好，60～69分为体能合格，60分以下为体能不合格）分析数据：两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：学校平均数中位数众教优秀率甲78.377.5b40%乙78a81c问题解决：（1）本次调查的目的是；（2）直接写出a，b，c的值；（3）得出结论：通过以上数据的分析，你认为哪个学校的体训队学生的体能水平更高，并从两个不同的角度说明推断的合理性．【考点9统计量的选择—中位数场景】【例9】（2019秋•海陵区期末）某次校运会共有13名同学报名参加百米赛跑，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小勇同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（）A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差【变式9-1】（2019秋•景德镇期末）使用某共享单车，行程在m千米以内收费1元，超过m千米的，每千米另收2元．若要让使用该共享单车50%的人只花1元钱，m应取（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差【变式9-2】（2019秋•镇江期末）共享单车已经成为城市公共交通的重要组成部分，某共享单车公司经过调查获得关于共享单车租用行驶时间的数据，并由此制定了新的收费标准：每次租用单车行驶a小时及以内，免费骑行；超过a小时后，每半小时收费1元，这样可保证不少于50%的骑行是免费的．制定这一标准中的a的值时，参考的统计量是此次调查所得数据的（）A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数【变式9-3】（2019春•通州区期末）在国际跳水比赛中，根据规则，需要有7位裁判对选手的表现进行打分，在裁判完成打分后，总裁判会在7位裁判的打分中，去掉一个最高分，再去掉一个最低分，将剩下5位裁判的平均分作为该选手的最终得分．在总裁判去掉最高分与最低分后，一定保持不变的统计量是（）A．平均分 B．众数 C．中位数 D．最高分【考点10统计量的选择—众数场景】【例10】（2019•花溪区一模）能辉专卖店专营雅戈尔衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：尺码3940414243平均每天销售数量10122099该店主决定本周进货时，增加一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（）A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差【变式10-1】（2019秋•大东区期末）某班为筹备元旦联欢晚会，在准备工作中，班长对全班同学爱吃什么水果作了民意调查，再决定最终买哪种水果，下面的调查数据中，他最关注的是（）A．中位数 B．平均数 C．方差 D．众数【变式10-2】（2019春•朝阳区期末）5G是新一代信息技术的发展方向和数字经济的重要基础，预计我国5G商用将直接创造更多的就业岗位．小明准备到一家公司应聘普通员，他了解到该公司全体员工的月收入如下：月收入/元4500019000100005000450030002000人数12361111对这家公司全体员工的月收入，能为小明提供更为有用的信息的统计量是（）A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差【变式10-3】（2019春•余杭区期末）某班30名学生的身高情况如下表身高（m）1.451.481.501.531.561.60人数xy6854关于身高的统计量中，不随x、y的变化而变化的有（）A．众数，中位数 B．中位数，方差 C．均数，方差 D．平均数，众数【考点11统计量的选择—方差场景】【例11】（2019秋•辽阳期末）甲乙两名同学本学期参加了相同的5次数学考试，老师想判断这两位同学的数学成绩谁更稳定，老师需比较这两人5次数学成绩的（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差【变式11-1】（2019秋•肥城市期末）一组数据分别为a，b，c，d，e，将这组数据中的每个数都加上同一个大于0的常数，得到一组新的数据，则这组新数据的下列统计量与原数据相比，一定不发生变化的是（）A．中位数 B．方差 C．平均数 D．众数【变式11-2】（2019秋•威海期末）一组数据0，1，2，2，3，4，若添加一个数据2，则下列统计量中发生变化的是（）A．方差 B．中位数 C．平均数 D．极差【变式11-3】（2019秋•宜兴市期末）已知A样本的数据如下：67，68，68，71，66，64，64，72，B样本的数据恰好是A样本数据每个都加6，则A、B两个样本的下列统计量对应相同的是（）A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数专题1.5数据的分析章末重难点题型【人教版】【考点1平均数的计算】【方法点拨】平均数：在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数.

【例1】（2019春•琼中县期末）如果一组数据﹣3，x，0，1，x，6，9，5的平均数为5，则x为（）A．22 B．11 C．8 D．5【分析】根据算术平均数的计算方法列方程求解即可．【答案】解：由平均数的计算公式得：（﹣3+x+0+1+x+6+9+5）＝5解得：x＝11，故选：B．【点睛】考查算术平均数的计算方法，利用方程求解，熟记计算公式是解决问题的前提，是比较基础的题目．【变式1-1】（2019•邵阳县模拟）如果两组数据x1，x2、……xn；y1，y2……yn的平均数分别为和，那么新的一组数据2x1+y1，2x2+y2……2xn+yn的平均数是（）A．2 B．2 C．2+ D．【分析】均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．【答案】解：由已知，（x1+x2+…+xn）＝n，（y1+y2+…+yn）＝n，新的一组数据2x1+y1，2x2+y2……2xn+yn的平均数为（2x1+y1，2x2+y2……2xn+yn）÷n＝[2（x1+x2+…+xn）+（y1+y2+…+yn）]÷n＝（）÷n＝2+故选：C．【点睛】本题考查平均数的计算，可以先把它们都加起来，再除以数据的个数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．【变式1-2】（2019春•永春县期中）已知一组数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数为5，则另一组数据a1+5，a2﹣5，a3+5，a4﹣5，a5+5的平均数为（）A．4 B．5 C．6 D．10【分析】根据平均数的性质，所有数之和除以总个数即可得出平均数．【答案】解：依题意得：a1+5+a2﹣5+a3+5+a4﹣5+a5+5＝a1+a2+a3+a4+a5+5＝30，所以平均数为6．故选：C．【点睛】本题考查的是平均数的定义，本题利用了整体代入的思想，解题的关键是了解算术平均数的定义，难度不大．【变式1-3】（2018春•南宁期末）x1，x2，…，x10的平均数为a，x11，x12，…，x50的平均数为b，则x1，x2，…，x50的平均数为（）A．a+b B． C． D．【分析】先求前10个数的和，再求后40个数的和，然后利用平均数的定义求出50个数的平均数．【答案】解：前10个数的和为10a，后40个数的和为40b，50个数的平均数为．故选：D．【点睛】正确理解算术平均数的概念是解题的关键．【考点2加权平均数的计算】【方法点拨】在通常计算平均数的过程中，各个数据在结果中所占的份量是相等的。而实际情况有时并非如此，如果要区分不同的数据的不同权重，就需要使用加权平均数.当我们改变一组数据中各个数值所占的权重时，这组数据的加权平均数就有可能随之改变.【例2】（2019•恩施州）某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．小桐的三项成绩（百分制）依次为95，90，85．则小桐这学期的体育成绩是（）A．88.5 B．86.5 C．90 D．90.5【分析】直接利用每部分分数所占百分比进而计算得出答案．【答案】解：由题意可得，小桐这学期的体育成绩是：95×20%+90×30%+85×50%＝19+27+42.5＝88.5（分）．故选：A．【点睛】此题主要考查了加权平均数，正确理解各部分所占百分比是解题关键．【变式2-1】（2019春•红河州期末）某居民小区10户家庭5月份的用水情况统计结果如表所示：月用水量/m345689户数23311这10户家庭的月平均用水量是（）A．2m3 B．3.2m3 C．5.8m3 D．6.4m3【分析】加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．【答案】解：这10户家庭的月平均用水量（4×2+5×3+6×3+8×1+9×1）＝5.8（m3），故选：C．【点睛】本题考查了加权平均数，熟练运用加权平均数公式计算是解题的关键．【变式2-2】（2019春•门头沟区期末）两位应聘者进行某公司一个英文翻译岗位，以下是两位应聘者的英语听、说、译、写四方面水平测试成绩，公司决定在考虑整体水平的基础上，侧重对“听说能力”的考查，赋予了四方面水平的权重，其中合理的是（）应聘者面试笔试平均成绩听说译写甲9790948792乙8594979292A．0.2，0.2，0.3，0.3 B．0.25，0.25，0.25，0.25 C．0.3，0.3，0.2，0.2 D．0.5，0.5，0.0，0.0【分析】因为侧重对“听说能力”的考查，所以对“听说能力”的考查应赋予较高的权重．【答案】解：因为侧重对“听说能力”的考查，所以对“听说能力”的考查应赋予较高的权重，故选：C．【点睛】本题考查了加权平均数，熟练运用加权平均数公式是解题的关键．【变式2-3】（2019秋•河西区期末）某城市2017年公务员录用考试是这样统计成绩的，综合成绩＝笔试成绩×60%+面试成绩×40%，小红姐姐的笔试成绩是82分，她的竞争对手的笔试成绩是88分，小红姐姐要使自己的综合成绩追平竞争对手，则她的面试成绩必须比竞争对手多（）A．4.8分 B．6分 C．9分 D．12分【分析】设未知数，根据加权平均数的计算方法分别表示各自的最后总分，让总分相等，求出两个面试成绩的差即可．【答案】解：设小红的姐姐和对手的面试成绩分布为y1、y2，由题意得：82×60%+y1×40%＝88×60%+y2×40%y1﹣y2＝（88×60%﹣82×60%）÷40%＝9，故选：C．【点睛】考查加权平均数的计算方法，权重的不同会对结果造成很大的影响．【考点3中位数和众数的认识】【方法点拨】中位数：将一组数据从小到大依次排列，位于正中间位置的数（或正中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；

众数：在一组数据中，出现频数最多的数叫做这组数据的众数.

【例3】（2019春•开福区校级月考）某次数学趣味竞赛共有10组题目，某班得分情况如下表．全班40名同学的成绩的中位数和众数分别是（）人数25131073成绩（分）5060708090100A．75，70 B．70，70 C．80，80 D．75，80【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．【答案】解：把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第20、21个数的平均数，∴全班40名同学的成绩的中位数是：＝75；70出现了13次，出现的次数最多，则众数是70；故选：A．【点睛】此题考查了中位数和众数众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．【变式3-1】（2019春•永嘉县月考）在“全民读书月”活动中，小明调查了班级里40名同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图所示的统计图，则这40名同学购买课外书花费的众数和中位数分别为（）A．30元，30元 B．30元，50元 C．50元，50元 D．50元，80元【分析】众数就是出现次数最多的数，据此即可判断；中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义判断．【答案】解：∵购买课外书花费30元的有12人，人数最多，∴众数是30元；把这些数从小到大排列，最中间的数是20和21个数的平均数，则中位数是＝50元；故选：B．【点睛】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．【变式3-2】（2019•深圳模拟）若一组数据3，4，x，6，7的众数是3，则这组数据的中位数为（）A．3 B．4 C．6 D．7【分析】根据众数的意义求出x的值，再根据中位数的意义，从小到大排序后，找出处在第3位的数即可．【答案】解：一组数据3，4，x，6，7的众数是3，因此x＝3，将一组数据3，4，3，6，7排序后处在第3位的数是4，因此中位数是4．故选：B．【点睛】考查众数、中位数的意义和求法，众数指在一组数据中出现次数最多的数，而中位数是将一组数据排序后处在中间位置的一个数或两个数的平均数，理解众数、中位数的意义是正确解答的前提．【变式3-3】（2019春•庐阳区期末）某篮球队10名队员的年龄结构如表：年龄/岁192021222426人数11xy21已知该队队员年龄的中位数为21.5，则众数是（）A．21岁 B．22岁 C．23岁 D．24岁【分析】先根据数据的总个数及中位数定义得出x＝3、y＝2，再利用众数的定义求解可得．【答案】解：∵共有10个数据，∴x+y＝5，又该队队员年龄的中位数为21.5，即＝21.5，∴x＝3、y＝2，则这组数据的众数为21，故选：A．【点睛】本题主要考查中位数、众数，解题的关键是根据中位数的定义得出x、y的值．【考点4平均数和中位数结合】【例4】（2019•眉山）某班七个兴趣小组人数如下：5，6，6，x，7，8，9，已知这组数据的平均数是7，则这组数据的中位数是（）A．6 B．6.5 C．7 D．8【分析】直接利用已知求出x的值，再利用中位数求法得出答案．【答案】解：∵5，6，6，x，7，8，9，这组数据的平均数是7，∴x＝7×7﹣（5+6+6+7+8+9）＝8，∴这组数据从小到大排列为：5，6，6，7，8，8，9则最中间为7，即这组数据的中位数是7．故选：C．【点睛】此题主要考查了中位数，正确得出x的值是解题关键．【变式4-1】（2019•株洲）若一组数据x，3，1，6，3的中位数和平均数相等，则x的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据平均数与中位数的定义分三种情况x≤1，1＜x＜3，3≤x＜6，x≥6时，分别列出方程，进行计算即可求出答案．【答案】解：当x≤1时，中位数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3，解得x＝2（舍去）；当1＜x＜3时，中位数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3，解得x＝2；当3≤x＜6时，中位数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3，解得x＝2（舍去）；当x≥6时，中位数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3，解得x＝2（舍去）．所以x的值为2．故选：A．【点睛】本题考查平均数和中位数．求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．同时运用分类讨论的思想解决问题．【变式4-2】（2018•武昌区校级模拟）某中学篮球队16名队员的年龄如表：年龄（岁）1314x16人数2653若这16名队员年龄的中位数是14.5，则16名队员年龄的平均数是（精确到0.1）（）A．14.5 B．14.6 C．14 D．14.7【分析】根据中位数的意义和求法，可以推断第9个数据是15，然后根据平均数的求法计算出结果，做出判断．【答案】解：16名队员的中位数是排序后的第8个和第9个数的平均数，而第8个数是14岁，中位数是14.5，因此第9个数一定是15，表格中的x是15，＝≈14.6故选：B．【点睛】考查中位数、平均数的意义和求法，掌握方法和准确计算是解决问题的前提．【变式4-3】（2018•正阳县二模）某人打靶五次的环数如下：1，4，6，8，x，其中整数x是这组数据的中位数，那么这组数据的平均数是（）A．4.8 B．4.8或5 C．4.6或4.8 D．4.6或4.8或5【分析】根据1，4，x，6，8这组数据中，x是数据的中位数知x＝4或x＝5或x＝6，在根据平均数的定义分别计算可得．【答案】解：∵在1，4，x，6，8这组数据中，x是数据的中位数，∴x＝4或x＝5或x＝6，当x＝4时，平均数为＝4.6；当x＝5时，平均数为＝4.8；当x＝6时，平均数为＝5；故选：D．【点睛】本题主要考查中位数、平均数，解题的关键是根据中位数的定义得出x的值．【考点5方差的计算】【方法点拨】计算方差的公式：设一组数据是，是这组数据的平均数。则这组数据的方差是：

【例5】（2019秋•萧山区校级月考）已知一组数据x1，x2，x3，平均数为2，方差为3，那么另一组数2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1的平均数和方差分别是（）A．2， B．3，3 C．3，12 D．3，4【分析】根据平均数和方差的变化规律，即可得出答案．【答案】解：∵数据x1，x2，x3，平均数是2，∴数据2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1的平均数是2×2﹣1＝3；∵数据x1，x2，x3的方差是3，∴数据2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1的方差是3×22＝12，故选：C．【点睛】此题考查了平均数与方差，关键是掌握平均数与方差的计算公式和变化规律，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．【变式5-1】（2019春•海阳市期中）若一组数据a1，a2，……，an的平均数为10，方差为4，那么数据2a1+3，2a2+3，…，2an+3的平均数和方差分别是（）A．13，4 B．23，8 C．23，16 D．23，19【分析】根据平均数的概念、方差的性质解答．【答案】解：数据a1，a2，……，an的平均数为10，那么数据2a1+3，2a2+3，…，2an+3的平均数为2×10+3＝23，数据a1，a2，……，an，方差为4，那么数据2a1+3，2a2+3，…，2an+3的方差为4×22＝16，故选：C．【点睛】本题考查的是平均数和方差，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，当数据都乘上一个数（或除一个数）时，方差乘（或除）这个数的平方倍．【变式5-2】（2019春•自贡期末）若一组数据1，1，x，3，3的平均数为x，则这组数据的方差是（）A．4 B． C． D．2【分析】先由平均数的公式计算出x的值，再根据方差的公式计算．【答案】解：∵数据1，1，x，3，3的平均数为x，∴（1+1+x+3+3）＝x，解得：x＝2，则这组数据的方差是S2＝[（1﹣2）2+（1﹣2）2+（2﹣2）2+（3﹣2）2+（3﹣2）2]＝；故选：B．【点睛】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．【变式5-3】（2019春•莒南县期末）若一组数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为17，方差为2，则另一组数据x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数和方差分别为（）A．17，2 B．18，2 C．17，3 D．18，3【分析】根据平均数和方差的变化规律，即可得出答案．【答案】解：∵数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为17，∴x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数为18，∵数据x1+1，x2+1，…，xn+1的方差为2，∴数据x1+2，x2+2，…，xn+2的方差不变，还是2；故选：B．【点睛】本题考查了方差与平均数，用到的知识点：如果一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为S2，那么另一组数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为a+b，方差为a2S2．【考点6方差的意义】【方法点拨】方差可以比较全面地反映一组数据相对于平均值的波动情况，方差越小越稳定.【例6】（2019秋•乐清市校级月考）甲，乙，丙，丁四名同学在学校演讲选拔赛的成绩平均数x与方差S2如下表所示：甲乙丙丁平均数8.08.08.58.5方差s23.515.53.516.5根据表中数据，要从中选一名成绩好又发挥稳定的同学参加市演讲比赛，应该选择（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【分析】根据平均数和方差的意义解答．【答案】解：从平均数看，成绩最好的是丙、丁同学，从方差看，甲、丙方差小，发挥最稳定，所以要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加市级比赛，应该选择丙，故选：C．【点睛】本题考查了平均数和方差，熟悉它们的意义是解题的关键．【变式6-1】（2019春•乐清市期中）甲、乙、丙、丁四位选手各进行了10次射击，射击成绩的平均数和方差如下表：选手甲乙丙丁平均数（环）9.09.09.09.0方差0.251.002.503.00则成绩发挥最不稳定的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【分析】根据方差的定义，方差越大数据越不稳定，从而得出答案．【答案】解：由于S丁2＜S丙2＜S乙2＜S甲2，则成绩发挥最不稳定的是丁；故选：D．【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【变式6-2】（2019•河南模拟）某校要从甲、乙、丙、丁四名学生中选出一名学生参加数学竞赛，对这四名学生进行了10次数学测试，经过数据分析4人的平均成绩均为95分，S甲2＝0.028，S乙2＝0.06，S丙2＝0.015，S丁2＝0.32．则应该选择（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【分析】根据方差的意义求解可得．【答案】解：∵这4人的平均成绩相等，而S丙2＜S甲2＜S乙2＜S丁2，∴这4人中丙的成绩最稳定，∴应该选择丙，故选：C．【点睛】本题主要考查了方差的含义和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．【变式6-3】（2019春•西城区期末）12名同学分成甲、乙两队参加播体操比赛，已知每个参赛队有6名队员，他们的身高（单位：cm）如表所示：队员1队员2队员3队员4队员5队员6甲队176175174172175178乙队170176173174180177设这两队队员平均数依次为甲，乙，身高的方差依次为S2甲，S2乙，则下列关系中，完全正确的是（）A．甲＞乙，S2甲＞S2乙 B．甲＜乙，S2甲＜S2乙 C．甲＝乙，S2甲＞S2乙 D．甲＝乙，S2甲＜S2乙【分析】根据平均数的计算公式先分别算出甲和乙的平均数，再根据方差公式算出甲和乙的方差，然后进行比较即可．【答案】解：∵＝（176+175+174+172+175+178）÷6＝175（cm），＝（170+176+173+174+180+177）÷6＝175（cm），∴＝，∵S2甲＝[（176﹣175）2+2×（175﹣175）2+（174﹣175）2+（172﹣175）2+（178﹣175）2]＝，S2乙＝[（170﹣175）2+（176﹣175）2+（173﹣175）2+（174﹣175）2+（180﹣175）2+（177﹣175）2]＝10，∴S2甲＜S2乙．故选：D．【点睛】本题考查方差和平均数，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．【考点7平均数、中位数、众数、方差的命题判断】【方法点拨】平均数的优点：平均数的计算过程中用到了一组数据中的每一个数，因此比中位数和众数更灵敏，反映了更多数据的信息.

平均数的缺点：计算较麻烦，而且容易受到极端值的影响.

中位数的优点：计算简单，不容易受到极端值的影响，确定了中位数之后，可以知道小于中位数的数值和大于中位数的数值在这组数据中各占一半.

中位数的缺点：除了中间的值以外，不能反映其他数据的信息.

众数的优点：众数很容易从直方图中获得，它可以清楚地告诉我们：在一组数据中哪个或哪些数值出现的次数最多.

众数的缺点：不能反映众数比其他数出现的次数多多少，而且也丢失了很多其他数据的信息.【例7】（2019•上海）甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（个数）成绩如图所示，下列判断正确的是（）A．甲的成绩比乙稳定 B．甲的最好成绩比乙高 C．甲的成绩的平均数比乙大 D．甲的成绩的中位数比乙大【分析】分别计算出两人成绩的平均数、中位数、方差可得出答案．【答案】解：甲同学的成绩依次为：7、8、8、8、9，则其中位数为8，平均数为8，方差为×[（7﹣8）2+3×（8﹣8）2+（9﹣8）2]＝0.4；乙同学的成绩依次为：6、7、8、9、10，则其中位数为8，平均数为8，方差为×[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝2，∴甲的成绩比乙稳定，甲、乙的平均成绩和中位数均相等，甲的最好成绩比乙低，故选：A．【点睛】本题考查了方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了中位数．【变式7-1】（2019春•门头沟区期末）某校在“我运动，我快乐”的技能比赛培训活动中，在相同条件下，对甲、乙两名同学的“单手运球”项目进行了5次测试，测试成绩（单位：分）如图所示：根据图判断正确的是（）A．甲成绩的平均分低于乙成绩的平均分 B．甲成绩的中位数高于乙成绩的中位数 C．甲成绩的众数高于乙成绩的众数 D．甲成绩的方差低于乙成绩的方差【分析】通过计算甲、乙的平均数可对A进行判断；利用中位数的定义对B进行判断；利用众数的定义对C进行判断；根据方差公式计算出甲、乙的方差，则可对D进行判断．【答案】解：A、甲的平均数＝（7+8+8+9+8）＝8（分），乙的平均数＝（10+7+9+4+10）＝8（分），所以A选项错误；B、甲的中位数为8（分），乙的中位数为9（分），所以B选项错误；C、甲的众数为8（分），乙的众数为10，所以C选项错误；D、甲的方差＝[（7﹣8）2+3（8﹣8）2+（9﹣8）2]＝；乙的方差＝[2（10﹣8）2+（7﹣8）2+（4﹣8）2+（9﹣8）2]＝，所以D选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了中位数和众数．【变式7-2】（2019•甘肃）甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是（）参加人数平均数中位数方差甲4594935.3乙4594954.8A．甲、乙两班的平均水平相同 B．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同 C．甲班的成绩比乙班的成绩稳定 D．甲班成绩优异的人数比乙班多【分析】由两个班的平均数相同得出选项A正确；由众数的定义得出选项B不正确；由方差的性质得出选项C不正确；由两个班的中位数得出选项D不正确；即可得出结论．【答案】解：A、甲、乙两班的平均水平相同；正确；B、甲、乙两班竞赛成绩的众数相同；不正确；C、甲班的成绩比乙班的成绩稳定；不正确；D、甲班成绩优异的人数比乙班多；不正确；故选：A．【点睛】本题考查了平均数，众数，中位数，方差；正确的理解题意是解题的关键．【变式7-3】（2019•麒麟区模拟）为积极响应曲靖市政府“举全市之力，集全民之智，力争2020年夺得全国文明城市桂冠”的号召，麒麟区某校举办了一次创文知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀，为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了甲、乙两组学生成绩作为样本进行统计，绘制了如下统计图表：组别平均分中位数方差合格率优秀率甲组6.8a3.7690%30%乙组b7.51.9680%20%则下列说法错误的是（）A．a＝6，b＝7.2 B．甲组的众数是5，乙组的众数是3 C．小英同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中上游略偏上观察上面的表格可以判断，小英属于甲组 D．从平均数来看，乙组的平均分高于甲组，即乙组的总体平均水平高：从方差来看，乙组的方差比甲组小，即乙组的成绩比甲组的成绩稳定．所以从平均数和方差两方面来看，乙组成绩好于甲组成绩【分析】根据中位数的定义求出a，根据平均数的定义求出b，即可判断A；根据众数的定义分别求出甲、乙两组的众数，即可判断B；根据表格中的数据即可判断C；比较甲、乙两组的平均数和方差，即可判断D．【答案】解：A、由折线统计图可知，甲组成绩从小到大排列为：3、6、6、6、6、6、7、9、9、10，∴其中位数a＝6，乙组学生成绩的平均分b＝（5×2+6×1+7×2+8×3+9×2）＝7.2．故本选项说法正确；B、甲组的众数为6，乙组的众数为8，故本选项说法错误；C、∵甲组的中位数为6，乙组的中位数为7.5，而小英得了7分，在小组中排名属中上游略偏上，∴小英属于甲组学生．故本选项说法正确；D、从平均数来看，乙组的平均分高于甲组，即乙组的总体平均水平高：从方差来看，乙组的方差比甲组小，即乙组的成绩比甲组的成绩稳定．所以从平均数和方差两方面来看，乙组成绩好于甲组成绩．故本选项说法正确．故选：B．【点睛】本题主要考查折线统计图、加权平均数、中位数及方差，熟练掌握加权平均数、中位数及方差的定义是解题的关键．【考点8平均数、中位数、众数、方差的综合应用】【例8】（2019秋•沙坪坝区校级月考）入学考试前，某语文老师为了了解所任教的甲、乙两班学生假期向的语文基础知识背诵情况，对两个班的学生进行了语文基础知识背诵检测，满分100分．现从两个班分别随机抽取了20名学生的检测成绩进行整理，描述和分析（成绩得分用x表示，共分为五组：A.0≤x＜80，B.80≤x＜85，C.85≤x＜90，D.90≤x＜95，E.95≤x＜100），下面给出了部分信息：甲班20名学生的成绩为：甲组82859673919987918691879489969691100939499乙班20名学生的成绩在D组中的数据是：93，91，92，94，92，92，92甲、乙两班抽取的学生成绩数据统计表班级甲组乙组平均数9192中位数91b众数c92方差41.227.3根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述图表中a，b，c的值：a＝；b＝；c＝；（2）根据以上数据，你认为甲、乙两个班中哪个班的学生基础知识背诵情况较好？请说明理由（一条理由即可）；（3）若甲、乙两班总人数为125，且都参加了此次基础知识检测，估计此次检测成绩优秀（x≥95）的学生人数是多少？【分析】（1）根据D组数据求得D组所占的百分比求出a，根据中位数和众数的概念求出c、d；（2）根据平均数和中位数的性质解答；（3）用样本估计总体，得到答案．【答案】解：（1）1﹣5%﹣10%﹣10%﹣＝40%，∴a＝40；由统计表中的数据可知b＝＝92.5，c＝91；故答案为：40，92.5，91；（2）乙班的学生基础知识背诵情况较好，理由：乙班的平均分，中位数都高于甲班；（3）125×≈44，答：估计此次检测成绩优秀（x≥95）的学生人数是44人．【点睛】本题考查的方差、平均数、中位数、众数、用样本估计总体，掌握它们的概念和性质是解题的关键．【变式8-1】（2019•九龙坡区校级三模）炎热的夏天来临之际．为了调查我校学生消防安全知识水平，学校组织了一次全校的消防安全知识培训，培训完后进行测试，在全校2400名学生中，分别抽取了男生，女生各15份成绩，整理分析过程如下，请补充完整．【收集数据】男生15名学生测试成绩统计如下：68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，76，85，69，78，80女生15名学生测试成绩统计如下：（满分100分）82，88，83，76，73，78，67，81，82，80，80，86，82，80，82按如下分数段整理、描述这两组样本数据：组别频数65.5～70.570.5～75.575.5～80.580.5～85.585.5～90.590.5～95.5男生224511女生115620【分析数据】（1）两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示：班级平均数众数中位数方差男生80x8047.6女生8080y26.2在表中：x＝．y＝；（2）若规定得分在80分以上（不含80分）为合格，请估计全校学生中消防安全知识合格的学生有人；（3）通过数据分析得到的结论是女生掌握消防安全相关知识的整体水平比男生好，请从两个方面说明理由．【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解可得；（2）用总人数乘以样本中合格人数所占比例可得；（3）根据平均数与方差的意义说明即可．【答案】解：（1）68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，78，85，69，76，80，众数是x＝85，67，73，76，78，79，80，80，80，80，82，83，83，84，86，89，中位数是y＝80；（2）2400×＝1200（人），即估计全校学生中消防安全知识合格的学生有1200人；（3）女生掌握消防安全相关知识的整体水平比男生好，∵平均数相等，男生的方差＞女生的方差，∴女生掌握消防安全相关知识的整体水平比男生好．故答案为：85，80；1200．【点睛】本题考查了频数分布直方表，众数，中位数，正确的理解题意是解题的关键．【变式8-2】（2019•河南模拟）随着2019年全国两会的隆重召开，中学生对时事新闻的关注空前高涨，某校为了解中学生对时事新闻的关注情况，组织全校九年级学生开展“时事新闻大比拼”比赛，随机抽取九年级的25名学生的成绩（满分为100分）整理统计如下：收集数据：25名学生的成绩（满分为100分）统计如下（单位；分）：90，74，88，65，98，75，81，44，85，70，55，80，95，88，72，87，60，56，76，66，78，72，82，63，100整理数据：按如下分组整理样本数据并补全表格：成绩x（分）90≤x≤10075≤x＜9060≤x＜75x＜60人数108分析数据：补充完成下面的统计分析表：平均数中位数方差76190.88得出结论（1）若全校九年级有1000名学生，请估计全校九年级有多少学生成绩达到90分及以上；（2）若八年级的平均数为76分，中位数为80分，方差为102.5，请你分别从平均数，中位数和方差三个方面做出评价，你认为哪个年级的成绩较好？【分析】整理数据：根据已知数据按分组计数可得，再根据中位数的概念可补全统计分析表；得出结论：（1）总人数乘以样本中成绩达到90分及以上的学生人数所占比例；（2）分别从平均数和中位数及方差的意义逐一分析可得．【答案】解：整理数据：补全表格如下成绩x（分）90≤x≤10075≤x＜9060≤x＜75x＜60人数41083分析数据：补充完成下面的统计分析表：平均数中位数方差7676190.88得出结论（1）估计全校九年级成绩达到90分及以上的学生人数为1000×＝160（人）；（2）从平均数看，八年级和九年级平均数相等，两个年级的平均成绩相等；从中位数看，八年级的中位数大于九年级的中位数，所以八年级高分的人数多于九年级高分人数，八年级的成绩较好；从方差看，八年级的方差小于九年级的方差，所以八年级的成绩比九年级的成绩稳定，八年级的成绩较好；综上可知，八年级的成绩较好．【点睛】考查频数分布表、众数、中位数、平均数、方差的意义及计算方法，明确各自的意义和计算方法是解决问题的前提．【变式8-3】（2019•九龙坡区校级模拟）甲、乙两校各有200名体训队队员，为了解这两校体训队员的体能，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．收集数据：从甲、乙两个学校各随机抽取20名体训队员．进行了体能测试，测试成绩（百分制）如下：甲7886748175768770759075798170748086698377乙9373888172819483778380817081737882807040整理、描述数据：按如下分数段整理、描述这两组样本数据：成绩x人数40≤x≤4950≤x5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤10甲校0011171乙校1007102（说明：成绩80分及以上为体能优秀，70～79分为体能良好，60～69分为体能合格，60分以下为体能不合格）分析数据：两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：学校平均数中位数众教优秀率甲78.377.5b40%乙78a81c问题解决：（1）本次调查的目的是；（2）直接写出a，b，c的值；（3）得出结论：通过以上数据的分析，你认为哪个学校的体训队学生的体能水平更高，并从两个不同的角度说明推断的合理性．【分析】（1）通过题干可知本次调查的目的是“为了了解两校体训队员的体能状况”，（2）将每组数据整理排序，依据中位数、众数的意义、以及优秀率的求法，可以得到答案，求出a、b、c，（3）可以通过平均、中位数、众数、优秀率中两个方面进行分析，做出判断．【答案】解：（1）本次调查的目的是：“为了了解这两校体训队员的体能状况”（2）a＝80.5，b＝75，c＝60%（3）中位数、众数、优秀率乙校都比甲校的高，因此乙校的体训队的体能水平更高．【点睛】考查平均数、中位数、众数、优秀率的意义和求法等知识，体会各个统计量反映数据的特点，同时体会和应用样本估计总体的统计思想．【考点9统计量的选择—中位数场景】【例9】（2019秋•海陵区期末）某次校运会共有13名同学报名参加百米赛跑，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小勇同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（）A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差【分析】由于有13名同学参加百米赛跑，要取前6名参加决赛，故应考虑中位数的大小．【答案】解：共有13名学生参加比赛，取前6名，所以小勇需要知道自己的成绩是否进入前六．我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第7名学生的成绩是这组数据的中位数，所以小勇知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．故选：C．【点睛】本题考查了用中位数的意义解决实际问题．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．【变式9-1】（2019秋•景德镇期末）使用某共享单车，行程在m千米以内收费1元，超过m千米的，每千米另收2元．若要让使用该共享单车50%的人只花1元钱，m应取（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差【分析】由于要让使用该共享单车50%的人只花1元钱，根据中位数的意义分析即可．【答案】解：根据中位数的意义，故只要知道中位数就可以了．故选：B．【点睛】本题考查了中位数意义．解题的关键是正确的求出这组数据的中位数．【变式9-2】（2019秋•镇江期末）共享单车已经成为城市公共交通的重要组成部分，某共享单车公司经过调查获得关于共享单车租用行驶时间的数据，并由此制定了新的收费标准：每次租用单车行驶a小时及以内，免费骑行；超过a小时后，每半小时收费1元，这样可保证不少于50%的骑行是免费的．制定这一标准中的a的值时，参考的统计量是此次调查所得数据的（）A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数【分析】中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，根据中位数的定义求解可得．【答案】解：因为需要保证不少于50%的骑行是免费的，所以制定这一标准中的a的值时，参考的统计量是此次调查所得数据的中位数，故选：C．【点睛】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握中位数的定义及其意义．中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．【变式9-3】（2019春•通州区期末）在国际跳水比赛中，根据规则，需要有7位裁判对选手的表现进行打分，在裁判完成打分后，总裁判会在7位裁判的打分中，去掉一个最高分，再去掉一个最低分，将剩下5位裁判的平均分作为该选手的最终得分．在总裁判去掉最高分与最低分后，一定保持不变的统计量是（）A．平均分 B．众数 C．中位数 D．最高分【分析】去掉最大数和最小数后排序中位数不变，据此即可作答．【答案】解：去掉最高分与最低分后得到5个数组成的另一组数据不影响排序，故中位数不变．故选：C．【点睛】本题考查了统计量的选择，解题的关键是弄清去掉最高分与最低分后不影响数据的排序．【考点10统计量的选择—众数场景】【例10】（2019•花溪区一模）能辉专卖店专营雅戈尔衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：尺码3940414243平均每天销售数量10122099该店主决定本周进货时，增加一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（）A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．【答案】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．故选：B．【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．【变式10-1】（2019秋•大东区期末）某班为筹备元旦联欢晚会，在准备工作中，班长对全班同学爱吃什么水果作了民意调查，再决定最终买哪种水果，下面的调查数据中，他最关注的是（）A．中位数 B．平均数 C．方差 D．众数【分析】一组数据中出现次数最多的一个数是这组数据的众数，班长最关心吃哪种水果的人最多，即这组数据的众数．【答案】解：吃哪种水果的人最多，就决定最终买哪种水果，而一组数据中出现次数最多的一个数是这组数据的众数．故选：D．【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要是众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．【变式10-2】（2019春•朝阳区期末）5G是新一代信息技术的发展方向和数字经济的重要基础，预计我国5G商用将直接创造更多的就业岗位．小明准备到一家公司应聘普通员，他了解到该公司全体员工的月收入如下：月收入/元4500019000100005000450030002000人数12361111对这家公司全体员工的月收入，能为小明提供更为有用的信息的统计量是（）A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．既然小明想了解到该公司全体员工的月收入，那么应该是看多数员工的工资情况，故值得关注的是众数．【答案】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故小明应最关心这组数据中的众数．故选：B．【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．【变式10-3】（2019春•余杭区期末）某班30名学生的身高情况如下表身高（m）1.451.481.501.531.561.60人数xy6854关于身高的统计量中，不随x、y的变化而变化的有（）A．众数，中位数 B．中位数，方差 C．均数，方差 D．平均数，众数【分析】根据总人数确定x+y的值，然后根据表格确定众数和中位数即可得到结论．【答案】解：由题意得：x+y＝30﹣6﹣8﹣5﹣4＝7，所以众数为1.53，中位数也是1.53，所以众数、中位数不会随着x、y的变化而变化，故选：A．【点睛】本题考查了统计量的选择，解题的关键是确定原数据的中位数及众数．【考点11统计量的选择—方差场景】【例11】（2019秋•辽阳期末）甲乙两名同学本学期参加了相同的5次数学考试，老师想判断这两位同学的数学成绩谁更稳定，老师需比较这两人5次数学成绩的（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差【分析】方差、极差的意义：体现数据的稳定性，集中程度；方差、极差越小，数据越稳定．故需比较这两人5次数学成绩的方差或极差．【答案】解：由于方差和极差都能反映数据的波动大小，故需比较这两人5次数学成绩的方差．故选：D．【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．【变式11-1】（2019秋•肥城市期末）一组数据分别为a，b，c，d，e，将这组数据中的每个数都加上同一个大于0的常数，得到一组新的数据，则这组新数据的下列统计量与原数据相比，一定不发生变化的是（）A．中位数 B．方差 C．平均数 D．众数【分析】根据平均数和方差的特点，一组数都加上或减去同一个不等于0的常数后，方差不变，平均数，中位数改变，众数改变改变，即可得出答案．【答案】解：一组数据a，b，c，d，e的每一个数都加上同一数m（m＞0），则新数据a+m，b+m，…e+m的平均数改变，众数改变，中位数改变，但是方差不变；故选：B．【点睛】本题考查了方差和平均数，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，掌握平均数和方差的特点是本题的关键．【变式11-2】（2019秋•威海期末）一组数据0，1，2，2，3，4，若添加一个数据2，则下列统计量中发生变化的是（）A．方差 B．中位数 C．平均数 D．极差【分析】依据平均数、中位数、极差、方差的定义和公式求解即可．【答案】解：A、原来数据的方差＝[（0﹣2）2+（1﹣2）2+2×（2﹣2）2+（3﹣2）2+（4﹣2）2]＝，添加数字2后的方差＝[（0﹣2）2+（1﹣2）2+3×（2﹣2）2+（3﹣2）2+（4﹣2）2]＝，故方差发生了变化．B、原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故中位数不发生变化；C．原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故平均数不发生变化；D．原来数据的极差是4，添加数字2后极差仍为4，故极差不发生变化；故选：A．【点睛】本题主要考查的是极差、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．【变式11-3】（2019秋•宜兴市期末）已知A样本的数据如下：67，68，68，71，66，64，64，72，B样本的数据恰好是A样本数据每个都加6，则A、B两个样本的下列统计量对应相同的是（）A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数【分析】根据样本A，B中数据之间的关系，结合众数，平均数，中位数和方差的定义即可得到结论．【答案】解：设样本A中的数据为xi，则样本B中的数据为yi＝xi+6，则样本数据B中的众数和平均数以及中位数和A中的众数，平均数，中位数相差6，只有方差没有发生变化；故选：B．【点睛】此题主要考查统计的有关知识，掌握平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键．专题2.1二次根式章末达标检测卷【人教版】考试时间：100分钟；满分：100分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2019春•浉河区校级月考）在式子，，，（y≤0），和中，是二次根式的有A．3个 B．4个 C．5个 D．5个2．（3分）（2019春•嘉祥县期中）若与可以合并，则可以是A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.23．（3分）（2019春•蜀山区期末）若，则的值为A．2 B．1 C．0 D．4．（3分）（2019春•越城区校级期中）下列运算正确的是A． B． C． D．5．（3分）（2019春•黄石期中）若1≤a≤2，则化简的结果是A． B． C． D．16．（3分）（2019秋•铁西区校级月考）计算：的结果是A． B． C． D．7．（3分）（2019春•越城区校级期中）我们把形如，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是A．型无理数 B．型无理数 C．