中考数学常见几何模型全归纳提分精练专题15图形变换中的重要模型之翻折(折叠)模型(原卷版+解析)

专题15图形变换中的重要模型之翻折（折叠）模型几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。【知识储备】翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的。以这个性质为基础，结合三角形、四边形、圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。对于翻折和折叠问题主要分两大类题型：直接计算型和分类讨论型，由浅入深难度逐步加大，掌握好分类讨论型的翻折问题，那么拿下中考数学翻折题型就没问题了。翻折折叠题型(1)：直接计算型，运用翻折的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题。一般难度小，我们要多做一些这些题型，熟练翻折的性质，以及常见的解题套路。翻折折叠题型(2)：分类讨论型，运用翻的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题。般难度较大，需要综合运用题中的条件，多种情况讨论分析，需要准确的画图，才能准确分析。解决翻折题型的策略：1）利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分；2）结合相关图形的性质(三角形，四边形等)；3）运用勾股定理或者三角形相似建立方程。模型1.矩形中的折叠模型1）常规计算型例1．(2023·浙江·宁波一模）如图，在矩形纸片中，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处，点、、恰好在同一直线上，若，，，则的长是（

）A． B． C． D．变式1(2023·四川成都·中考真题）如图，在矩形中，，点E，F分别在边上，且，按以下步骤操作：第一步，沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，点B的对应点为，则线段的长为_______；第二步，分别在上取点M，N，沿直线继续翻折，使点F与点E重合，则线段的长为_______．2）线段比值型例1．(2023·江苏苏州·中考真题）如图，在矩形ABCD中．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为，点N运动的速度为，且．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好在CD的中点重合，则的值为______．变式1．(2023·湖北襄阳·二模）如图，如图，将矩形ABCD对折，折痕为PQ，然后将其展开，E为BC边上一点，再将∠C沿DE折叠，使点C刚好落在线段AQ的中点F处，则=____3）分类讨论型例1．(2023·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形为矩形，，点E为边上一点，将沿翻折，点C的对应点为点F，过点F作的平行线交于点G，交直线于点H．若点G是边的三等分点，则的长是____________．变式1．(2023·河南省实验中学一模）如图，在矩形中，已知，，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动，运动时间为t秒，连接，把沿着翻折得到．作射线与边交于点Q，当时，_______．4）路径（轨迹）型例1．(2023·重庆十八中两江实验中学一模）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则三角形AGC的面积的最小值为（

）A．B．C．D．变式1．(2023·四川成都·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，在点E从A到D的运动过程中，点G的运动路径=________，△CEF面积的最小值是________．5）综合证明型例1．(2023·广东·一模）如图，在矩形中，，，是上一点，沿折叠矩形，的对应边经过点，连接，与、分别交于点、，连接交于点下列结论：是等腰三角形；：：；平分；其中结论正确有（

）A．②④ B．②④ C．①②③ D．①②④变式1．(2023·吉林·长春市二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴和轴上，已知对角线．．是边上一点，过点的反比例函数的图象与边交于点，若将沿翻折后，点恰好落在上的点处，则的值为（

）A．2 B． C．3 D．模型2.特殊三角形中的折叠模型1）常规计算型例1．(2023·重庆·中考真题）如图，中，点D为边BC的中点，连接AD，将沿直线AD翻折至所在平面内，得，连接，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若，，则AD的长为__________．变式1．(2023.广西九年级模拟）如图，在△ABC中，AB＜AC，∠C＝45°，AB＝5，BC＝4，点D在AC上运动，连接BD，把△BCD沿BD折叠得到，交AC于点E，，则图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．2）分类讨论型例1．(2023.重庆九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=4，点D是AB的中点，点E是边BC上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交边BC于点F，若△CB′F为直角三角形，则CB′的长为______．变式1．(2023.河南九年级模拟）如图，，定长为的线段端点A，分别在射线，上运动（点A，不与点重合），为的中点，作关于直线对称的，交于点，当是等腰三角形时，的度数为______．3）综合证明型例1．(2023·江苏淮安·中考真题）【初步尝试】（1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则与的数量关系为；【思考说理】（2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值．【拓展延伸】（3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．①求线段的长；②若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围．变式1．(2023·福建三明·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与y轴交于点．(1)求直线的函数解析式；(2)将沿直线翻折得到，使点O与点C重合，与x轴交于点D．求证：；(3)在直线下方是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．模型3.平行四边形中的折叠模型1）常规计算型例1．(2023·江苏苏州·中考真题）如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，，，则的长是（

）A．1 B． C． D．变式1．(2023·江西·中考真题）如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，，，则的周长为______．2）分类讨论型例1．(2023·湖北随州·中考模拟）在ABCD中，AB＜BC，已知∠B=30°，AB=2，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，使点B′落在ABCD所在的平面内，连接B′D．若△AB′D是直角三角形，则BC的长为_____．变式1．在平行四边形ABCD中，∠A60°，，点E、F分别为AD、BC的中点，沿EF折叠平行四边形，使线段CD落在直线AB上，点C的对应点为，点D的对应点为，若，则AD的长为___________.3）综合证明型例1．(2023·贵州贵阳·中考真题）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在中，为边上的高，，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得．(1)问题解决：如图①，当，将沿翻折后，使点与点重合，则______；(2)问题探究：如图②，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值；(3)拓展延伸：当，将沿翻折后，若，且，根据题意在备用图中画出图形，并求出的值．变式1．(2023·山西·中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图③，点A的对应点为，使于点，折痕交于点，连接，交于点．该小组提出一个问题：若此的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．模型4.菱形中的折叠1）基本计算型例1．(2023·辽宁大连·中考真题）如图，在菱形中，，点E在边上，将沿直线翻折180°，得到，点B的对应点是点若，，则的长是__________．变式1．(2023·宁夏·银川市二模）如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠C=60°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的G点处（不与B，D重合），折痕为EF，若DG=BG，则BE的长为（）A． B． C． D．2）分类讨论型例1．(2023·河南·潢川县第二中学一模）如图，在菱形中，，，点为线段上一动点，过点作交于点，沿将折叠，点的对称点为点，连接、、，当为等腰三角形时，的长为______．变式1.(2023山西中考模拟）如图在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝3，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EF⊥AC交CD于点E，交AB于点F，将△AEF沿EF折叠点A落在G处，当△CGB为等腰三角形时，则AP的长为_________.3）综合证明型例1．(2023·河北·邢台市二模）如图1，菱形纸片的边长为2，．如图2，翻折，，使两个角的顶点重合于对角线上一点，，分别是折痕，设（），下列判断：①当时，的长为；②的值随的变化而变化；③六边形面积的最大值是；④六边形周长的值不变．其中正确的是（

）A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④变式1．(2023·湖北武汉·校联考一模）问题背景:如图1，点E在BC上，AB⊥BC，AE⊥ED，DC⊥BC，求证：．尝试应用:：如图2，在平行四边形ABCD中，点F在DC边上，将△ADF沿AF折叠得到△AEF，且点E恰好为BC边的中点，求的值．拓展创新：如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，DC边上，∠AFE＝∠D，AE⊥FE，FC＝2．EC＝6．请直接写出的值．模型5.正方形中的折叠模型1）常规计算型例1.(2023·广西·中考真题）如图，在正方形ABCD中，，对角线相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作，分别交于点F、G，连接BF，交AC于点H，将沿EF翻折，点H的对应点恰好落在BD上，得到若点F为CD的中点，则的周长是_______．变式1．(2023·四川成都·二模）如图，在正方形ABCD中，，E为BC中点，沿直线DF翻折，使点A的对应点A′恰好落在线段AE上，分别在AD，上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点与点D重合，则线段MN的长为________．2）分类讨论型例1．(2023·浙江·二模）正方形的边长为4，点在边上，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，联结并延长交正方形一边于点．当时，的长为___．变式1．(2023·河南·民权一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是边BC的中点，点F是AB边上一动点，将△BEF沿EF折叠得到，连接，作关于对称的，连接，．当是等腰三角形时，BF的长为______．3）综合证明型例1．(2023·四川渠县一模）如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边的点P处（不与点A，点D重合），点C落在G点处，PG交DC于点H，连接BP，BH．BH交EF于点M，连接PM．下列结论：①PB平分∠APG；②PH=AP+CH；③BM=BP，④若BE=，AP=1，则S四边形BEPM=，其中正确结论的序号是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④变式1．(2023·福建·厦门二模）如图，正方形纸片ABCD，P为正方形AD边上的一点（不与点A，点D重合）．将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接BP，BH，BH交EF于点M，连接PM．下列结论：①BE＝PE；②BP＝EF；③PB平分∠APG；④PH＝AP+HC；⑤MH＝MF，其中正确结论的个数是（

）A．5 B．4 C．3 D．2模型6.圆中的折叠模型1）角度、长度型例1．(2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿翻折交于点．若，设，则所在的范围是（）A．B．C．D．变式1．(2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F．已知，，则的度数为_______；折痕的长为_______．2）面积型例1．(2023·山西太原·统考二模）如图是一张圆心为O，半径为4cm的圆形纸片，沿弦AC所在直线折叠，使得经过点O，将纸片展平后，作半径，则图中阴影部分的面积等于（

）A．B．C．D．变式1．(2023·山西大同·校联考三模）如图，边长为6的正六边形内接于，沿折叠，点F与点O重合，过点E作的切线与的延长线交于点G，则图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．课后专题训练1．(2023·山东烟台·一模）如图，在矩形ABCD中，BC=6，E是BC的中点，连接AE，，P是AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点处，当是直角三角形时，PD的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．或2．(2023·山东模拟预测）矩形纸片中，，，将纸片折叠，使点B落在边上的处，折痕为．延长交的延长线于M，折痕上有点P，下列五个结论中正确的有（）①；②；③；④；⑤若，则四边形是菱形．A．2 B．3 C．4 D．53.(2023.山东中考模拟）如图，在中，点是线段上的一点，过点作交于点，将沿翻折，得到，若点恰好在线段上，若，：：，，则的长度为（

）A． B． C． D．4．(2023·江苏镇江·中考真题）如图①，AB＝5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB．设AP＝x，QD＝y．若y关于x的函数图象（如图②）经过点E(9，2)，则cosB的值等于（）A． B． C． D．5．(2023·河南商丘·统考三模）如图菱形OABC，在平面直角坐标系中，点A(8，0)，∠C＝60°，点P为OA上的一点，且点P(3，0)，Q是BC边上的一个动点，将四边形OPQC沿直线PQ折叠，O的对应点，当的长度最小时，则点Q的坐标为（）A．(﹣1，4) B．(﹣2，4) C．(﹣3，4) D．(0，4)6．(2023·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图，在菱形中，，，点P为对角线上的一个动点，过P作交于点E，交于点F，将沿折叠，点A的对应点恰好落在对角线上的点G处，若是等腰三角形时，则的长为（

）A．或 B．或2 C．或4 D．或7．(2023·安徽·模拟预测）正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿EF折叠，使点A落在处，点B落在处，交BC于G．下列结论错误的是（）A．当为CD中点时，则＝B．当时，则＝C．连接，则D．当（点不与C、D重合）在CD上移动时，周长随着位置变化而变化8．(2023春·福建福州·九年级阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若，则∠BCD的度数是（

）A．22.5° B．30° C．45° D．60°9．(2023秋·九年级课时练习）如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连接DE．若AD＝2OD，则的值为（

）A． B． C． D．10.(2023·四川成都·二模）如图，在矩形中，．将矩形沿折叠，使点A落在边上的E处，得到四边形，连接，若，则________．11．(2023.河北中考模拟）如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．将沿直线翻折得到．若点C在反比例函数的图象上，则____．12．(2023·成都市树德实验中学校考模拟预测）如图，，，点是线段上一个动点，连接，将线段沿直线进行翻折，点落在点处，连接，以为斜边在直线的左侧或者下方构造等腰直角三角形，则点从运动到的过程中，线段的最小值是______，当从点运动到点时，点的运动总路径长是______．13．(2023·河南许昌·统考二模）如图，在菱形中，，，点为边的中点，为射线上一动点，连接，把沿折叠，得到，当与菱形的边垂直时，线段的长为______．14．(2023·湖北襄阳·一模）如图，正方形的边长为24，点E是对角线上一点，且，F是的中点．连接与交点G，将沿翻折，得到，连接，交于点M，则_________．15．(2023秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连结．（1）如图1，若点与圆心重合，则的度数为__；（2）如图2，若点与圆心不重合，，则的度数为__．16．(2023·浙江金华·统考中考真题）在扇形中，半径，点P在OA上，连结PB，将沿PB折叠得到．（1）如图1，若，且与所在的圆相切于点B．①求的度数．②求AP的长．（2）如图2，与相交于点D，若点D为的中点，且，求的长．17．(2023·辽宁·沈阳市九年级期中）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．(1)迁移探究：①如图1，当点M在上时，___________°，___________°．②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图2，判断与的数量关系，并说明理由．③已知正方形纸片的边长为8，当时，直接写出的长．(2)拓展应用：正方形的边长为8，点P在边上，将沿直线翻折，使得点A落在正方形内的点M处，连接并延长交正方形一边于点G．当时，则的长为___________．18．(2023·江苏无锡·统考一模）菱形中，，点E在边上，F在边上，(1)如图1若点F与点B重合且，以直线为轴，将菱形折叠，使点C、D分别落在点、，且，请求出的长．(2)如图2以直线为轴，将菱形折叠，使点C、D分别落在点、，且过点A，当时，请求出的值．19．(2023·吉林·统考中考真题）如图①，在中，，，是斜边上的中线，点为射线上一点，将沿折叠，点的对应点为点．（1）若．直接写出的长（用含的代数式表示）；（2）若，垂足为，点与点在直线的异侧，连接，如图②，判断四边形的形状，并说明理由；（3）若，直接写出的度数．专题15图形变换中的重要模型之翻折（折叠）模型几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。【知识储备】翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的。以这个性质为基础，结合三角形、四边形、圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。对于翻折和折叠问题主要分两大类题型：直接计算型和分类讨论型，由浅入深难度逐步加大，掌握好分类讨论型的翻折问题，那么拿下中考数学翻折题型就没问题了。翻折折叠题型(1)：直接计算型，运用翻折的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题。一般难度小，我们要多做一些这些题型，熟练翻折的性质，以及常见的解题套路。翻折折叠题型(2)：分类讨论型，运用翻的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题。般难度较大，需要综合运用题中的条件，多种情况讨论分析，需要准确的画图，才能准确分析。解决翻折题型的策略：1）利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分；2）结合相关图形的性质(三角形，四边形等)；3）运用勾股定理或者三角形相似建立方程。模型1.矩形中的折叠模型1）常规计算型例1．(2023·浙江·宁波一模）如图，在矩形纸片中，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处，点、、恰好在同一直线上，若，，，则的长是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由折叠的性质可得，，由“”可证，可得，，通过证明四边形是正方形，可得，在中，利用勾股定理可求的长，由锐角三角函数可求解．【详解】解：如图，延长交于点，过点作于，∵将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处，∴，，在和中，，∴，∴，∵，，∴四边形是矩形，又∵，∴四边形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．变式1(2023·四川成都·中考真题）如图，在矩形中，，点E，F分别在边上，且，按以下步骤操作：第一步，沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，点B的对应点为，则线段的长为_______；第二步，分别在上取点M，N，沿直线继续翻折，使点F与点E重合，则线段的长为_______．【答案】

1

【分析】第一步：设EF与AA’交于点O，连接AF，易证明△AOE△ADC，利用对应边成比例可得到OA=2OE，由勾股定理可求出OE=，从而求得OA及OC；由AD∥BC，易得△AOE∽△COF，由对应边成比例可得AE、FC的关系式，设BF=x，则FC=8-x，由关系式可求得x的值；第二步：连接NE，NF，根据折叠的性质，得到NF=NE，设B’N=m，分别在Rt△和Rt△中，利用勾股定理及NF=NE建立方程，可求得m，最后得出结果．【详解】如图所示，连接AF，设EF与AA’交于点O，由折叠的性质得到AA’⊥EF，∵四边形ABCD是矩形∴∠ADC=90°，CD=AB=4，AD∥BC∵∠AOE=∠ADC，∠OAE=∠DAC∴△AOE△ADC，∴，∴OA=2OE，在直角△AOE中，由勾股定理得：，∴OE=，∴OA=，在Rt△ADC中，由勾股定理得到：AC=，∴OC=，令BF=x，则FC=8-x，∵AD∥BC，∴△AOE∽△COF，∴，即7AE=3FC∴3(8-x)=7×3解得：,∴的长为1．连接NE，NF，如图，根据折叠性质得：BF=B’F=1，MN⊥EF，NF=NE，设B’N=m，则，解得：m=3，则NF=，∵EF=，∴MF=，∴MN=，故答案为：1，．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、三角形相似的判定与性质，矩形的性质等知识，熟练运用这些知识是解决本题的关键，本题还涉及到方程的运用．2）线段比值型例1．(2023·江苏苏州·中考真题）如图，在矩形ABCD中．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为，点N运动的速度为，且．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好在CD的中点重合，则的值为______．【答案】【分析】在矩形ABCD中，设，运动时间为，得到，利用翻折及中点性质，在中利用勾股定理得到，然后利用得到，在根据判定的得到，从而代值求解即可．【详解】解：如图所示：在矩形ABCD中，设，运动时间为，，在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形，，若在某一时刻，点B的对应点恰好在CD的中点重合，，在中，，则，，,,,,，，，则，，即，在和中，，，即，，故答案为：．【点睛】本题属于矩形背景下的动点问题，涉及到矩形的性质、对称性质、中点性质、两个三角形相似的判定与性质、勾股定理及两个三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及判定，求出相应线段长是解决问题的关键．变式1．(2023·湖北襄阳·二模）如图，如图，将矩形ABCD对折，折痕为PQ，然后将其展开，E为BC边上一点，再将∠C沿DE折叠，使点C刚好落在线段AQ的中点F处，则=____【答案】【分析】根据轴对称、矩形、直角三角形斜边中线的性质，得，根据轴对称的性质，得、；再根据矩形和勾股定理的性质计算，即可得到答案．【详解】∵如图，将矩形ABCD对折，折痕为PQ∴，∵点F是线段AQ的中点∴设∴∵将∠C沿DE折叠，使点C刚好落在线段AQ的中点F处，∴，∴设，如图，过点F作，交CD于点G，过点F作，交AD于点K，延长KF，交BC于点H∴四边形、为矩形∴，∵∴∵∴∴在直角中，∴∴在直角中，∴∴∴∴故答案为：．【点睛】本题考查了轴对称、矩形、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．3）分类讨论型例1．(2023·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形为矩形，，点E为边上一点，将沿翻折，点C的对应点为点F，过点F作的平行线交于点G，交直线于点H．若点G是边的三等分点，则的长是____________．【答案】或【分析】过点作于点，根据题意可得四边形是平行四边形，证明，等面积法求得，勾股定理求得，可得的长，进而即可求解．【详解】①如图，过点作于点，，四边形是平行四边形折叠即，四边形是矩形中，，中，②如图，当时，同理可得，，，中，故答案为：或【点睛】本题考查了勾股定理，折叠，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，掌握以上知识，注意分类讨论是解题的关键．变式1．(2023·河南省实验中学一模）如图，在矩形中，已知，，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动，运动时间为t秒，连接，把沿着翻折得到．作射线与边交于点Q，当时，_______．【答案】或【分析】分两种情况讨论，当点E在矩形的内部或外部时，利用矩形的性质及已知条件先分别表示出AQ、EQ、AB等，再利用勾股定理等知识求解即可．【详解】当点E在矩形的内部时，如图四边形是矩形把沿着翻折得到，，，在中，即解得当点E在矩形的外部时，如图解得综上，当时，或故答案为：或．【点睛】本题考查矩形的性质、几何动点、折叠的性质、勾股定理的应用、等腰三角形的性质等知识，能够根据题意分类讨论是解题的关键．4）路径（轨迹）型例1．(2023·重庆十八中两江实验中学一模）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则三角形AGC的面积的最小值为（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】先确定出当EG⊥AC时，四边形AGCD的面积最小，三角形AGC的面积最小，即再用锐角三角函数求出点G到AC的距离，最后用面积之差即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=3，AD=BC=4，∠ABC=∠D=90°，根据勾股定理得：AC=5，∵AB=3，AE=2，∴点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，∵，的大小是定值，∴要使最小，则四边形AGCD的面积最小，设点G到AC的距离为h，∵∴要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，∵点G在以点E为圆心，BE=1为半径的圆上，在矩形ABCD内部的一部分的点，∴EG⊥AC时，h最小，即点E，点G，点H共线，由折叠知∠EGF=∠ABC=90°，延长EG交AC于H，则EH⊥AC，在Rt△ABC中，，在Rt△AEH中，AE=2，，∴，∴，∴的最小值为：，，∴，故选：A．【点睛】本题考查的是矩形的性质，翻折变换(折叠问题)、解直角三角形、三角形的面积，确定△ACG面积的最小值时点G的位置是本题关键．变式1．(2023·四川成都·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，在点E从A到D的运动过程中，点G的运动路径=________，△CEF面积的最小值是________．【答案】

2

15【分析】连接BD，取BD的中点M，AB的中点N，连接MN，因为GN为△ABE的中位线，故G的运动路径为线段MN；过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，则△FEH∽△EBA，设AE=x，可得出△CEF面积与x的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．【详解】解：连接BD，取BD的中点M，AB的中点N，连接MN，∵E为边AD上一个动点，点E从A到D的运动，G是BE的中点∴当E在A点时，BE与AB重合，G与AB的中点N重合，当E运动到D点时，BE与BD重合，G与BD的中点M重合，∴E在从A到D的运动过程中，MN为△ABE的中位线，∴．故G的运动路径=2，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA，∴△FEH∽△EBA，∴为的中点，∴设AE=x，∵AB∴HF

∴当时，△CEF面积的最小值故答案为：2，15．【点睛】本题通过构造K形图，考查了三角形的中位线和相似三角形的判定与性质，建立△CEF面积与AE长度的函数关系式是解题的关键．5）综合证明型例1．(2023·广东·一模）如图，在矩形中，，，是上一点，沿折叠矩形，的对应边经过点，连接，与、分别交于点、，连接交于点下列结论：是等腰三角形；：：；平分；其中结论正确有（

）A．②④ B．②④ C．①②③ D．①②④【答案】D【分析】由折叠得，进而由互余的性质得，便可判断本结论正误；过点作，与的延长线交于点，根据三角形的面积公式求得和，进而由相似三角形的性质得出结果，从而判断本结论的正误；过点作，与的延长线交于点，由相似三角形的性质求得与，进而确定与的大小关系，便可判断本结论正误；过作于点，则，由∽求得，进而求得的面积，便可判断本结论正误．【详解】解：由折叠知，，，，，，，，是等腰三角形，故正确；过作于，与交于点，，，，，，，，，，，由折叠知，，，，，，∽，，设，则，，，，解得舍去负根，，，：：，故正确；过点作，与的延长线交于点，由折叠知，，，，，，∽，，设，则，，解得，，，∽，，，，，，，，，，不平分，故错误；过作于点，则，∽，，，，，故正确；故选D．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的面积等知识；本题综合性强，有一定难度，构造辅助线和证明三角形相似是解题的关键．变式1．(2023·吉林·长春市二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴和轴上，已知对角线．．是边上一点，过点的反比例函数的图象与边交于点，若将沿翻折后，点恰好落在上的点处，则的值为（

）A．2 B． C．3 D．【答案】D【分析】作交OB于点G，利用．．求出，，表示出，，进一步求出，，，证明，利用相似的性质求出，再利用勾股定理即可求出k的值．【详解】解：作交OB于点G，∵矩形的对角线．．∴，，即，∵E，F分别在AC，BC上，且在反比例函数上，∴，，∵将沿翻折后，点恰好落在上的点处，∴，，，∵，，∴，∵，∴，∴，即，解得：，又∵，即，解得：．故选：D【点睛】本题考查矩形性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，已知正切值求边长及反比例函数图象上点的坐标特征．解题的关键是求出，，表示出，，，模型2.特殊三角形中的折叠模型1）常规计算型例1．(2023·重庆·中考真题）如图，中，点D为边BC的中点，连接AD，将沿直线AD翻折至所在平面内，得，连接，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若，，则AD的长为__________．【答案】3【分析】利用翻折的性质可得推出是的中位线，得出，再利用得出AO的长度，即可求出AD的长度．【详解】由翻折可知∴O是的中点，∵点D为边BC的中点，O是的中点，∴是的中位线，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：3．【点睛】本题考查了翻折的性质，三角形的中位线的判定和性质，以及平行线分线段成比例的性质，掌握三角形的中位线的判定和性质，以及平行线分线段成比例的性质是解题的关键．变式1．(2023.广西九年级模拟）如图，在△ABC中，AB＜AC，∠C＝45°，AB＝5，BC＝4，点D在AC上运动，连接BD，把△BCD沿BD折叠得到，交AC于点E，，则图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作AF⊥BC，利用等腰直角三角形和勾股定理求出AC，再利用△ABE∽△ACB求出AE，从而利用求出DE和CD，作BG⊥AC，求出BG，即可求解．【解析】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，∴∠AFB＝∠AFC＝90°，∵∠C＝45°，∴AF＝CF，ACCF，∵AB＝5，BC＝4，∴BF＝BC﹣CF＝4CF，在Rt△ABF中，AB2＝BF2+AF2，即52＝（4CF）2+CF2，解得：CF或，∵AB＜AC，∴AF＝CF，∴ACCF＝7，∵△BCD沿BD折叠得到△BC′D，∴，，∵C′DAB，∴∠ABE＝∠C′＝45°，∵∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝45°+∠CBE，∠ABE＝∠C+∠CBE＝45°+∠CBE，∴∠ABC＝∠ABE，∴△ABC∽△AEB，∴，即，∴AE，∴CE＝AC﹣AE，∴C′D＝CD＝CE﹣DEDE，∵C′DAB，∴，∴，即，解得：DE，∵S△ABCAF•BC414，如图，过点B作BG⊥AC于点G，∵S△ABCAC•BG，∴147×BG，∴BG＝4，∴S阴影部分DE•BG4．故选：D．2）分类讨论型例1．(2023.重庆九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=4，点D是AB的中点，点E是边BC上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交边BC于点F，若△CB′F为直角三角形，则CB′的长为______．【答案】2或4【分析】当△为直角三角形时，需要分类讨论，点，，分别为直角顶点时，画出图形求解即可．【解析】解：在中，，，，点是的中点，，，，由折叠可知，，∴①由点运动可知点不可能是直角顶点；②如图，当点为直角顶点，即，，，，，，；③如图，当点是直角顶点时，即，连接，在△中，∴△，，故答案为：或4．变式1．(2023.河南九年级模拟）如图，，定长为的线段端点A，分别在射线，上运动（点A，不与点重合），为的中点，作关于直线对称的，交于点，当是等腰三角形时，的度数为______．【答案】或【分析】结合折叠及直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质可得，设，然后利用三角形外角和等腰三角形的性质表示出，，，，从而利用分类讨论思想解题．【解析】解：，为的中点，，，，又由折叠性质可得，，设，则，，，，①当时，，，解得，；②当时，，，方程无解，此情况不存在；③当时，，，解得：，；综上，的度数为或，故答案为：或．3）综合证明型例1．(2023·江苏淮安·中考真题）【初步尝试】（1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则与的数量关系为；【思考说理】（2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值．【拓展延伸】（3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．①求线段的长；②若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）①；②．【分析】（1）先根据折叠的性质可得，再根据平行线的判定可得，然后根据三角形中位线的判定与性质即可得；（2）先根据等腰三角形的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可求出BM的长，最后根据线段的和差可得AM的长，由此即可得出答案；（3）①先根据折叠的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的定义可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得BM、AM、CM的长，最后代入求解即可得；②先根据折叠的性质、线段的和差求出，的长，设，从而可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，然后根据x的取值范围即可得．【详解】（1），理由如下：由折叠的性质得：是的中位线点M是AB的中点则故答案为：；（2）由折叠的性质得：，即在和中，，即解得；（3）①由折叠的性质得：，即在和中，，即解得解得；②如图，由折叠的性质可知，，，点O是边的中点设，则点为线段上的一个动点，其中当点P与点重合时，；当点P与点O重合时，，即在和中，则．【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形的中位线定理、等腰三角形的定义、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3）②，正确设立未知数，并找出两个相似三角形是解题关键．变式1．(2023·福建三明·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与y轴交于点．(1)求直线的函数解析式；(2)将沿直线翻折得到，使点O与点C重合，与x轴交于点D．求证：；(3)在直线下方是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)见解析(3)，，【分析】（1）先将代入直线的解析式，求出A点坐标，再利用待定系数法求直线的函数解析式；（2）先利用两点间距离公式求出，推出．再利用折叠的性质得出，等量代换可得，根据内错角相等即可证明；（3）过点作，，过点作，，连接，，，与交于，可得四边形是正方形，则，，均为等腰直角三角形．分别求出，，的坐标即可．【详解】（1）解：直线与直线相交于点，，解得，，将，代入，得：，解得，直线的函数解析式为；（2）解：，，，，，．沿直线翻折得到，，，；（3）解：如图，过C作于M，，，，．由折叠的性质可知，，，．过点作，，过点作，，连接，，，与交于，则四边形是正方形，，，均为等腰直角三角形．作轴于N，，，，，又，，，，，，；四边形是正方形，是的中点，也是的中点，，，的横坐标为，纵坐标为，，，的横坐标为，纵坐标为，，综上，点P的坐标为：，，．【点睛】本题考查求一次函数解析式，折叠的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等，解题的关键是通过作图找出符合条件的P点的位置．模型3.平行四边形中的折叠模型1）常规计算型例1．(2023·江苏苏州·中考真题）如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，，，则的长是（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC为等腰直角三角形，根据已知条件可得CE得长，进而得出ED的长，再根据勾股定理可得出；【详解】解：∵四边形是平行四边形∴AB=CD∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠ACB′=45°，∴△AEC为等腰直角三角形∴AE=CE∴Rt△AEB′≌Rt△CDE∴EB′=DE∵在等腰Rt△AEC中，∴∵在Rt△DEC中，，∠ADC=60°∴∠DCE=30°∴DE=1在等腰Rt△DEB′中，EB′=DE=1∴=故选：B【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．变式1．(2023·江西·中考真题）如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，，，则的周长为______．【答案】4a+2b【分析】根据题意并利用折叠的性质可得出∠ACE=∠ACB=2∠ECD，计算可得到∠ECD=20，∠ACE=∠ACB=40，利用三角形的外角性质得到∠CFD=∠D=80，再等角对等边即可求解．【详解】解：由折叠的性质可得：∠ACE=∠ACB，∵∠ACE=2∠ECD，∴∠ACE=∠ACB=2∠ECD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠FAC=∠FCA，∠B+∠BCD=180，即∠B+∠ACE+∠ACB+∠ECD=180，∴∠ECD=20，∠ACE=∠ACB=40=∠FAC，∠CFD=∠FAC+∠FCA=80=∠B=∠D，∴AF=CF=CD=a，即AD=a+b，则▱ABCD的周长为2AD+2CD=4a+2b，故答案为：4a+2b．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．2）分类讨论型例1．(2023·湖北随州·中考模拟）在ABCD中，AB＜BC，已知∠B=30°，AB=2，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，使点B′落在ABCD所在的平面内，连接B′D．若△AB′D是直角三角形，则BC的长为_____．【答案】4或6．【详解】试题分析：本题主要考查了翻折变换的性质，解题的关键是画出图形，发现存在两种情况，进行分类讨论．在ABCD中，AB＜BC，要使△AB′D是直角三角形，有两种情况：∠B′AD=90°或∠AB′D=90°，画出图形，分类讨论：（1）当∠B′AD=90°AB＜BC时，如图1，延长B′A交BC于点G，利用平行四边形和直角三角形的性质，可求出BC的长为6；（2）当∠AB′D=90°时，如图2，由平行四边形的性质可求出四边形ACDB′是等腰梯形，然后根据∠AB′D=90°，得出四边形ACDB′是矩形，再通过解直角三角形，得出BC的长为4．解：当∠B′AD=90°AB＜BC时，如图1，∵AD=BC，BC=B′C，∴AD=B′C，∵AC∥B′D，∠B′AD=90°，∴∠B′GC=90°，∵∠B=30°，AB=2，∴∠AB′C=30°，∴GC=B′C=BC，∴G是BC的中点，在RT△ABG中，BG=AB=×2=3，∴BC=6；当∠AB′D=90°时，如图2，∵AD=BC，BC=B′C，∴AD=B′C，∵AC∥B′D，∴四边形ACDB′是等腰梯形，∵∠AB′D=90°，∴四边形ACDB′是矩形，∴∠BAC=90°，∵∠B=30°，AB=2，∴BC=AB÷=2×=4，∴当BC的长为4或6时，△AB′D是直角三角形．故答案为4或6．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．平行四边形的性质；3．等腰梯形、矩形和直角三角形．变式1．在平行四边形ABCD中，∠A60°，，点E、F分别为AD、BC的中点，沿EF折叠平行四边形，使线段CD落在直线AB上，点C的对应点为，点D的对应点为，若，则AD的长为___________.【分析】根据题意得折叠之后可能落在线段AB上，也有可能落在线段AB外，根据∠A60°，，及折叠的性质可得到是等边三角形及的长，进而求得AD的长．【详解】如图，∵=2，当点在线段上时，，∵点是的中点，，由折叠的性质得，，，是等边三角形，，；如解图，当点在的延长线上时，，同理可知是等边三角形，，．故答案为4或12．【点拨】本题主要考查平行四边形的性质、折叠的性质及等边三角形，关键是根据题意得到点落在线段上还是线段外，这是易错点，另外还需注意利用等边三角形的性质求解．3）综合证明型例1．(2023·贵州贵阳·中考真题）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在中，为边上的高，，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得．(1)问题解决：如图①，当，将沿翻折后，使点与点重合，则______；(2)问题探究：如图②，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值；(3)拓展延伸：当，将沿翻折后，若，且，根据题意在备用图中画出图形，并求出的值．【答案】(1)(2)(3)作图见解析，【分析】（1）根据等边三角形的性质，平行四边形的性质可得，根据特殊角的三角函数值即可求解；（2）根据折叠的性质即可求得，由三角形内角和定理可得，根据点在边上，当时，取得最小值，最小值为；（3）连接，设，则，，在中，，延长交于点，在中，，进而根据，即可求解．（1），是等边三角形，四边形是平行四边形，，，为边上的高，，（2），，是等腰直角三角形，，，，，，，，，是等腰直角三角形，为底边上的高，则点在边上，当时，取得最小值，最小值为；（3）如图，连接，，则，设，则，，折叠，，，，，，，，，，，在中，，，延长交于点，如图，，，，，，在中，，，．【点睛】本题考查了轴对称的性质，特殊角的三角函数值，解直角三角形，勾股定理，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．变式1．(2023·山西·中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图③，点A的对应点为，使于点，折痕交于点，连接，交于点．该小组提出一个问题：若此的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．【答案】（1）；见解析；（2），见解析；（3）．【分析】（1）如图，分别延长，相交于点P，根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，，利用AAS可证明△PDF≌△BCF，根据全等三角形的性质可得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，即可得；（2）根据折叠性质可得∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，FC=FC′，可得FD=FC′，根据等腰三角形的性质可得∠FDC′=∠FC′D，根据三角形外角性质可得∠CFC′=∠FDC′+∠FC′D，即可得出∠C′FB=∠FC′D，可得DG//FB，即可证明四边形DGBF是平行四边形，可得DF=BG=，可得AG=BG；（3）如图，过点M作MQ⊥A′B于Q，根据平行四边形的面积可求出BH的长，根据折叠的性质可得A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，根据可得A′B⊥AB，即可证明△MBQ是等腰直角三角形，可得MQ=BQ，根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，即可得∠A′=∠C，进而可证明△A′NH∽△CBH，根据相似三角形的性质可得A′H、NH的长，根据NH//MQ可得△A′NH∽△A′MQ，根据相似三角形的性质可求出MQ的长，根据S阴=S△A′MB-S△A′NH即可得答案．【详解】（1）．如图，分别延长，相交于点P，∵四边形是平行四边形，∴，∴，,∵为的中点，∴，在△PDF和△BCF中，，∴△PDF≌△BCF，∴，即为的中点，∴，∵，∴，∴，∴．（2）．∵将沿着所在直线折叠，点的对应点为，∴∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，，∵为的中点，∴，∴，∴∠FDC′=∠FC′D，∵=∠FDC′+∠FC′D，∴，∴∠FC′D=∠C′FB，∴，∵四边形为平行四边形，∴，DC=AB，∴四边形为平行四边形，∴，∴，∴．（3）如图，过点M作MQ⊥A′B于Q，∵的面积为20，边长，于点，∴BH=50÷5=4，∴CH=，A′H=A′B-BH=1，∵将沿过点的直线折叠，点A的对应点为，∴A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，∵于点，AB//CD，∴，∴∠MBH=45°，∴△MBQ是等腰直角三角形，∴MQ=BQ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∴∠A′=∠C，∵∠A′HN=∠CHB，∴△A′NH∽△CBH∴，即，解得：NH=2，∵，MQ⊥A′B，∴NH//MQ，∴△A′NH∽△A′MQ，∴，即，解得：MQ=，∴S阴=S△A′MB-S△A′NH=A′B·MQ-A′H·NH=×5×-×1×2=．【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．模型4.菱形中的折叠1）基本计算型例1．(2023·辽宁大连·中考真题）如图，在菱形中，，点E在边上，将沿直线翻折180°，得到，点B的对应点是点若，，则的长是__________．【答案】【分析】由题意易得，，则有，进而根据折叠的性质可得，，然后根据三角形内角和可得，最后根据等腰直角三角形的性质可求解．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，∵，∴，是等边三角形，即，∵，∴，由折叠的性质可得，，，在中，由三角形内角和可得，∴，即，∴是等腰直角三角形，∴；故答案为．【点睛】本题主要考查菱形的性质、折叠的性质及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质、折叠的性质及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键．变式1．(2023·宁夏·银川市二模）如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠C=60°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的G点处（不与B，D重合），折痕为EF，若DG=BG，则BE的长为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】过点E作EH⊥BD于点H，由菱形的性质可证△ABD为等边三角形，设BE=x，则EG=AE=4-x，BH=BE•sin30°=，EH=BE•cos30°=，则GH=3-，在Rt△GEH中，再由勾股定理得方程，解方程即可求得．【详解】解：如图，过点E作EH⊥BD于点H，由折叠的性质得：EG=AE，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=CD=BC，又∵∠C=60°，∴∠BAD=60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB=BD=4，又∵DG=BG，∴，∴BG=3，设BE=x，则EG=AE=4-x，在Rt△EHB中，∠HEB=90°-60°=30°，∴BH=BE•sin30°=，EH=BE•cos30°=，∴GH=3-，在Rt△GEH中，由勾股定理得：，解得：x=，即BE=，故选：D．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，翻折的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，运用勾股定理列方程是解题的关键．2）分类讨论型例1．(2023·河南·潢川县第二中学一模）如图，在菱形中，，，点为线段上一动点，过点作交于点，沿将折叠，点的对称点为点，连接、、，当为等腰三角形时，的长为______．【答案】或或或或【分析】分类讨论：如图，当时，如图，当时，如图中，当时，分别求出即可．【详解】解：如图，当时，点与重合或在点处．当与重合时，与也重合，此时；在菱形中，，作于，在中，，

，，；如图，当时，点与重合或在处，点与重合，是的垂直平分线，，当在处时，过作于，则可得，则，；如图中，当时，，．综上所述：当为等腰三角形时，的长为或或或或．故答案为或或或或．【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，分类讨论是解题关键．变式1.(2023山西中考模拟）如图在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝3，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EF⊥AC交CD于点E，交AB于点F，将△AEF沿EF折叠点A落在G处，当△CGB为等腰三角形时，则AP的长为_________.【解析】分析：首先证明四边形AEGF是菱形，分两种情形：①CG=CB，②GC=GB分别计算即可．详解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=3，∠DAC=∠BAC=12∠A∵EF⊥AG，∴∠EPA=∠FPA=90°，∴∠EAP+∠AEP=90°，∠FAP+∠AFP=90°，∴∠AEP=∠AFP，∴AE=AF，∵△A′EF是由△AEF翻折，∴AE=EG，AF=FG，∴AE=EG=GF=FA，∴四边形AEGF是菱形，∴AP=PG①当CB=CG时，∵AG=AC-CG=3-3，∴AP=12AG=3−②当GC=GB时，∵∠GCB=∠GBC=∠BAC，∴△GCB∽△BAC，∴GCAB∴GC=1，∴AG=3-1=2，∴AP=12AG=1．故答案为1或3−3）综合证明型例1．(2023·河北·邢台市二模）如图1，菱形纸片的边长为2，．如图2，翻折，，使两个角的顶点重合于对角线上一点，，分别是折痕，设（），下列判断：①当时，的长为；②的值随的变化而变化；③六边形面积的最大值是；④六边形周长的值不变．其中正确的是（

）A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④【答案】B【分析】先确定出△ABC是等边三角形，进而判断出△BEF是等边三角形，当x＝1时，求出DP＝BD，即可判断出①正确，再用x表示出EF，BP，DP，GH，即可求出EF+GH，判断出②错误，利用菱形的面积减去两个三角形的面积判断出③错误，利用周长的计算方法即可判定出④正确．【详解】解：∵菱形ABCD的边长为2，∴AB＝BC＝2，∵∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2，BD＝2，由折叠知，△BEF是等边三角形，当x＝1时，则BE＝1，BM=BEsin60°=，由折叠知，BP＝2×＝，DP＝，所以①正确，∵BE＝x，∴AE＝2﹣x，∵△BEF是等边三角形，∴EF＝x，∴BM＝EM＝×EF＝x，∴BP＝2BM＝x，∴DP＝BD﹣BP＝2﹣x，∴DN＝DP＝(2﹣x)，GN＝=(2﹣x)∴GH＝2GN＝2-x，∴EF+GH＝2＝AC，所以②错误；△BEF的面积为：×x×x=，△GHD的面积为：×(2﹣x)×(2-x)=，六边形AEFCHG面积＝S菱形ABCD﹣S△BEF﹣S△DGH＝×2×2﹣﹣＝﹣（x﹣1）2+，∴当x＝1时，六边形AEFCHG面积最大为，所以③错误，六边形AEFCHG周长＝AE+EF+FC+CH+HG+AG＝AE+BE+FC+BF+DG+AG＝AB+CB+DA＝6是定值，所以④正确，即：正确的有①④，故选：B．【点睛】此题是四边形的综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积公式，菱形的面积公式，解直角三角形，解本题的关键是用x表示出相关的线段长．变式1．(2023·湖北武汉·校联考一模）问题背景:如图1，点E在BC上，AB⊥BC，AE⊥ED，DC⊥BC，求证：．尝试应用:：如图2，在平行四边形ABCD中，点F在DC边上，将△ADF沿AF折叠得到△AEF，且点E恰好为BC边的中点，求的值．拓展创新：如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，DC边上，∠AFE＝∠D，AE⊥FE，FC＝2．EC＝6．请直接写出的值．【答案】（1）见解析；（2）；（3）=

．【分析】问题背景：根据AB⊥BC，AE⊥ED，DC⊥BC，推出△ABE∽△ECD，即可证明结论；尝试应用：在AB边取点G，使GE=BE，易证△AGE∽△ECF，则，从而可以求出的值；拓展创新：作FM=FD，FN⊥AD，易证△AMF∽△FCE，则，再证明△AEF∽△FND，设AM=x，FM=FD=3x，则AD=CD=3x+2，MD=2x+2，HD=x+1，再根据，求出x，进而可以得出答案．【详解】解：问题背景：证明：∵AB⊥BC，AE⊥ED，DC⊥BC，∴∠B=∠C=90°，∠BAE=∠CED=90°-∠AEB，∴∠BAE=∠CED，∴△ABE∽△ECD，∴．尝试应用：在AB边取点G，使GE=BE，如图2，则∠B=∠BGE，

又∵∠B+∠C=180°，∠BGE+∠AGE=180°，∴∠AGE=∠C，由题意可知：AE=AD=BC=2BE，EF=FD，∠B=∠D=∠AEF，又∵∠B+∠BAE=∠AEF+∠FEC，∴∠BAE=∠FEC，∴△AGE∽△ECF∴，又∵GE=BE，AE=BC=2BE，EF=FD，∴．拓展创新：作FM=FD，FN⊥AD，如图3，∴∠D=∠FMD，∵∠FMD+∠AMF=180°，∠C+∠D=180°，∴∠AMF=∠C，∵∠CFE+∠AFE=∠MAF+∠D，∠AFE=∠D，∴∠CFE=∠MAF，∴△AMF∽△FCE，∴，设AM=x，FM=FD=3x，则AD=CD=3x+2，MD=2x+2，ND=x+1，∵∠AFE=∠D，∠AEF=∠FND=90°，∴△AEF∽△FND，则，即，∴x=5，∴．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质及判定方法是解题的关键．模型5.正方形中的折叠模型1）常规计算型例1.(2023·广西·中考真题）如图，在正方形ABCD中，，对角线相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作，分别交于点F、G，连接BF，交AC于点H，将沿EF翻折，点H的对应点恰好落在BD上，得到若点F为CD的中点，则的周长是_______．【答案】##【分析】过点E作PQAD交AB于点P，交DC于点Q，得到BP=CQ，从而证得≌，得到BE=EF，再利用，F为中点，求得，从而得到，再求出，再利用ABFC，求出，得到，求得，，从而得到EH=AH-AE=，再求得得到，求得EG=，OG=1，过点F作FM⊥AC于点M，作FN⊥OD于点N，求得FM=2，MH=，FN=2，证得Rt≌Rt得到，从而得到ON=2，NG=1，，从而得到答案．【详解】解：过点E作PQAD交AB于点P，交DC于点Q，∵ADPQ，∴AP=DQ，，∴BP=CQ，∵，∴BP=CQ=EQ，∵EF⊥BE，∴∵∴，在与中

∴≌，∴BE=EF，又∵，F为中点，∴，∴，∴，又∵，

∴，∴AE=AO-EO=4-2=2，∵ABFC，∴，∴，∴，∵，

∴，，∴EH=AH-AE=，∵，，∴，又∵，

∴∴，，∴EG=，OG=1，过点F作FM⊥AC于点M，∴FM=MC==，∴MH=CH-MC=，

作FN⊥OD于点N，，在Rt与Rt中∴Rt≌Rt∴，∴ON=2，NG=1，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质应用，重点是与三角形相似和三角形全等的结合，熟练掌握做辅助线是解题的关键．变式1．(2023·四川成都·二模）如图，在正方形ABCD中，，E为BC中点，沿直线DF翻折，使点A的对应点A′恰好落在线段AE上，分别在AD，上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点与点D重合，则线段MN的长为________．【答案】##【分析】过点A作AH⊥于点H，设DF与AE交与点O，由折叠变换可得：DF为的垂直平分线，点N为的中点，通过证明=∠AEB，利用直角三角形的边角关系，得到，利用勾股定理求得AO，DO，利用三角形的面积公式求得AH，利用勾股定理求得DH，利用平行线的性质得出比例式即可求得MN的值．【详解】解如图，MN为折痕，即点N为的中点，过点A作AH⊥于点H，设DF与AE交与点O，∵沿直线DF翻折△ADF，使点A的对应点恰好落在线段AE上，∴DF为的垂直平分线．∴，，∵，∠EAB+∠AEB=90°，∴，∴=tan∠AEB=，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=2．∵E为BC中点，∴BE=BC=1．∴．∵，∴，设AO=k，则DO=2k．∵AO2+DO2=AD2，∴k2+（2k）2=22．解得：（负数不合题意舍去）．∴∵∴．∴∴．∵，∴．∴．∵点N为的中点，，∴DN=1．∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等变换中的翻折问题，勾股定理，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，利用翻折变换是全等变换，得到对应点的连线被折痕垂直平分是解题的关键．2）分类讨论型例1．(2023·浙江·二模）正方形的边长为4，点在边上，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，联结并延长交正方形一边于点．当时，的长为___．【答案】2或【分析】分两种情形：如图1中，当BN=DM时，连接CC′交BM于J．如图2中，当BN=DM时，过点C′作C′T⊥CD于T．分别求解即可．【详解】解：如图1中，当BN=DM时，连接CC′交BM于J．∵BN=DM，BN∥DM，∴四边形BNDM是平行四边形，∴BM∥DN，∴∠BMC=∠NDM，∠BMC′=∠DC′M，由折叠知，MC′=MC，∠BMC=∠BMC′，∴∠NDM=∠DC′M，∴MC′=MD∴CM=DM=CD=2．如图2中，当BN=DM时，过点C′作C′T⊥CD于T．∵CB=CD，BN=DM，∴CN=CM=MC′，在△BCM和△DCN中，，∴△BCM≌△DCN（SAS），∴∠CDN=∠CBM，∵∠CBM+∠BCC′=90°，∠BCC′+∠C′CD=90°，∴∠CBM=∠C′CD，∴∠C′CD=∠DCC′，∴C′D=C′C，∵C′T⊥CD，∴DT=TC=2，∵C′T∥CN，∴DC′=C′N，∴C′T=CN，设C′T=x，则CN=CM=MC′=2x，TM=，∴，∴，∴CM=，综上所述，CM的值为2或．【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．变式1．(2023·河南·民权一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是边BC的中点，点F是AB边上一动点，将△BEF沿EF折叠得到，连接，作关于对称的，连接，．当是等腰三角形时，BF的长为______．【答案】2或2【分析】先判断，然后分时和时两种情况求解即可．【详解】解：由题意可知，∴四边形是菱形，∴点在以点E为圆心，2为半径的圆上运动，当点D，，E共线时，最短，最小值为＞2，∴，∴当是等腰三角形时，分两种情况讨论．①当时，∵，∴，∴点在CD边上，如图(1)，∴，∴四边形是正方形，∴，∵∠B=90°，∴，∴，∵，，∴，∴四边形是矩形，∴BF==2．②当时，如图(2)，∵四边形是菱形，，∴，∴CD垂直平分，∴，∴是等边三角形，∴，∴=120°，∴，∴．故答案为：2或2．【点睛】本题考查了折叠的性质，正方向的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，分类讨论是解答本题的关键．3）综合证明型例1．(2023·四川渠县一模）如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边的点P处（不与点A，点D重合），点C落在G点处，PG交DC于点H，连接BP，BH．BH交EF于点M，连接PM．下列结论：①PB平分∠APG；②PH=AP+CH；③BM=BP，④若BE=，AP=1，则S四边形BEPM=，其中正确结论的序号是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④【答案】B【分析】根据折叠的性质，，，从而得到，根据直角三角形两锐角互余，得到，即可判定①；过点B作BQ⊥PH，利用全等三角形的判定与性质，得到，，即可判定②；通过证明为等腰直角三角形，即可判定③；根据求得对应三角形的面积，即可判定④．【详解】解：由题意可得：，，∴，，∴，由题意可得：，∴，∴PB平分∠APG；①正确；过点B作BQ⊥PH，如下图：∴在和中，∴∴∵四边形ABCD为正方形∴，又∵∴，∴∴，②正确；由折叠的性质可得：EF是PB的中垂线，∴由题意可得：，，∴，∴，∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴，即，∴BM=BP，③正确；若BE=，AP=1，则，在中，∴，，∴，∴，，④错误，故选B，【点睛】此题考查了正方形与折叠问题，涉及了折叠的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性比较性，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．变式1．(2023·福建·厦门二模）如图，正方形纸片ABCD，P为正方形AD边上的一点（不与点A，点D重合）．将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接BP，BH，BH交EF于点M，连接PM．下列结论：①BE＝PE；②BP＝EF；③PB平分∠APG；④PH＝AP+HC；⑤MH＝MF，其中正确结论的个数是（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【详解】①利用翻折不变性即可解决问题；②构造全等三角形即可解决问题；③等腰三角形性质，∠EBP＝∠EPB．根据折叠性质得出∠EPH＝∠EBC＝90°，利用余角性质得出∠PBC＝∠BPH．再根据平行线性质得出AD∥BC即可解决；④构造全等三角形即可解决问题；⑤只要证明∠MPB＝45°，再利用反证法可解决问题．【解答】解：∵折痕为EF，∴四边形EBCF与四边形EPGF全等∴BE=PE，故①正确；如图2，作FK⊥AB于K．设EF交BP于O．∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°，∵FK⊥AB，∴∠FKB=90°，∴∠FKB＝∠KBC＝