2024年江苏省南通市如皋市高考数学诊断试卷（1月份）

第1页（共1页）2024年江苏省南通市如皋市高考数学诊断试卷（1月份）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）抛物线的焦点坐标为（）A． B． C． D．2．（5分）在等比数列{an}中，a1+ax＝82，a3ax﹣2＝81，且前x项和Sx＝121，则此数列的项数x等于（）A．4 B．5 C．6 D．73．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α4．（5分）有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（）种停放方法．A．72 B．144 C．108 D．965．（5分）已知△ABC的边BC的中点为D，点E在△ABC所在平面内，且，若，则x+y＝（）A．5 B．7 C．9 D．116．（5分）已知函数y＝f（x）的图象恰为椭圆x轴上方的部分，若f（s﹣t），f（s），f（s+t）成等比数列，则平面上点（s，t）的轨迹是（）A．线段（不包含端点） B．椭圆一部分 C．双曲线一部分 D．线段（不包含端点）和双曲线一部分7．（5分）已知，，则（）A．3 B．﹣3 C． D．28．（5分）已知O为坐标原点，双曲线C：的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点P（x1，y1）是C的右支上异于顶点的一点，过F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）已知复数z1，z2是关于x的方程x2+bx+1＝0（﹣2＜b＜2，b∈R）的两根，则（）A． B． C．|z1|＝|z2|＝1 D．若b＝1，则（多选）10．（6分）若函数，则（）A．f（x）的最小正周期为π B．f（x）的图像关于直线对称 C．f（x）的最小值为﹣1 D．f（x）的单调递减区间为（多选）11．（6分）设a为常数，，f（x+y）＝f（x）f（a﹣y）+f（y）f（a﹣x），则（）A． B．恒成立 C．f（x+y）＝2f（x）f（y） D．满足条件的f（x）不止一个三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0，a∈R}，若A中元素至多有1个，则a的取值范围是．13．（5分）已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为时，圆锥的体积最大，最大值为．14．（5分）函数的最小值．四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）设曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处取得极值．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间和极值．16．（15分）袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验．（1）若直到取到新球为止，求抽取次数X的概率分布及其均值；（2）若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数X的均值．17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BB1＝2BC＝2，∠CBB1＝2∠CAB，且平面ABC⊥平面B1C1CB．（1）求证：平面ABC⊥平面ACB1；（2）设点P为直线BC的中点，求直线A1P与平面ACB1所成角的正弦值．18．（17分）已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，若△ABC的三个顶点都在抛物线E上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”．（1）设“核心三角形ABC”的一边AB所在直线的斜率为2，求直线AB的方程；（2）已知△ABC是“核心三角形”，证明：△ABC三个顶点的横坐标都小于2．19．（17分）对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量．特别地，称为零向量．设k∈R，，，定义加法和数乘：，．对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数k1，k2，…，ks，使得，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．（1）对n＝3，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．①，；②，，；③，，，．（2）已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由．（3）已知m（m⩾2）个向量，，…，线性相关，但其中任意m﹣1个都线性无关，证明：①如果存在等式，则这些系数k1，k2，…，km或者全为零，或者全不为零；②如果两个等式，同时成立，其中l1≠0，则．

2024年江苏省南通市如皋市高考数学诊断试卷（1月份）参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）抛物线的焦点坐标为（）A． B． C． D．【解答】解：抛物线的焦点坐标为：（0，），故选：D．2．（5分）在等比数列{an}中，a1+ax＝82，a3ax﹣2＝81，且前x项和Sx＝121，则此数列的项数x等于（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：在等比数列{an}中，a1ax＝a3ax﹣2＝81，所以a1，ax是方程x2﹣82x+81＝0的两个根，所以，或．当a1＝1，ax＝81时，，解得q＝3，由，解得x＝5．当a1＝81，ax＝1时，，解得，由，解得x＝5．故选：B．3．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选：B．4．（5分）有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（）种停放方法．A．72 B．144 C．108 D．96【解答】解：根据题意，先排其余的3辆车全排列，有6种情况，排好后，有4个空位，在其中选出2个，安排货车甲和乙车，有12种安排方法，则有6×12＝72种安排方法．故选：A．5．（5分）已知△ABC的边BC的中点为D，点E在△ABC所在平面内，且，若，则x+y＝（）A．5 B．7 C．9 D．11【解答】解：∵，，∵，∴，∴，∴，即，平面向量基本定理知，，解得：，∴x+y＝11．故选：D．6．（5分）已知函数y＝f（x）的图象恰为椭圆x轴上方的部分，若f（s﹣t），f（s），f（s+t）成等比数列，则平面上点（s，t）的轨迹是（）A．线段（不包含端点） B．椭圆一部分 C．双曲线一部分 D．线段（不包含端点）和双曲线一部分【解答】解：因为函数y＝f（x）的图象恰为椭圆x轴上方的部分，所以，因为f（s﹣t），f（s），f（s+t）成等比数列，所以有f2（s）＝f（s﹣t）•f（s+t），且有﹣a＜s＜a，﹣a＜s﹣t＜a，﹣a＜s+t＜a成立，即﹣a＜s＜a，﹣a＜t＜a成立，由，化简得：t4＝2a2t2+2s2t2⇒t2（t2﹣2a2﹣2s2）＝0⇒t2＝0，或t2﹣2a2﹣2s2＝0，当t2＝0时，即t＝0，因为﹣a＜s＜a，所以平面上点（s，t）的轨迹是线段（不包含端点）；当t2﹣2a2﹣2s2＝0时，即t2＝2a2+2s2，因为﹣a＜t＜a，所以t2＜a2，而2a2+2s2＞a2，所以t2＝2a2+2s2不成立，故选：A．7．（5分）已知，，则（）A．3 B．﹣3 C． D．2【解答】解：因为，所以，即，因为，所以，所以，所以，所以3．故选：A．8．（5分）已知O为坐标原点，双曲线C：的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点P（x1，y1）是C的右支上异于顶点的一点，过F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（）A． B． C． D．【解答】解：设半焦距为c，延长F2M交PF1于点N，由于PM是∠F1PF2的平分线，F2M⊥PM，所以△NPF2是等腰三角形，所以|PN|＝|PF2|，且M是NF2的中点．根据双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|＝2a，即|NF1|＝2a，由于O是F1F2的中点，所以MO是△NF1F2的中位线，所以，又双曲线的离心率为，所以，b＝1，所以双曲线C的方程为，所以，，双曲线C的渐近线方程为，设T（u，v），T到两渐近线的距离之和为S，则，由，即u2+v2＝8，又T在上，则，即u2﹣2v2＝2，解得u2＝6，v2＝2，由，故，即距离之和为．故选：A．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）已知复数z1，z2是关于x的方程x2+bx+1＝0（﹣2＜b＜2，b∈R）的两根，则（）A． B． C．|z1|＝|z2|＝1 D．若b＝1，则【解答】解：由题意知，Δ＝b2﹣4＜0，所以x，不妨设z1i，，所以，选项A正确；由z1z2＝1，得，当b≠0时，∉R，选项B错误；计算|z1|＝|z2|1，选项C正确；b＝1时，，所以，，，同理，选项D正确．故选：ACD．（多选）10．（6分）若函数，则（）A．f（x）的最小正周期为π B．f（x）的图像关于直线对称 C．f（x）的最小值为﹣1 D．f（x）的单调递减区间为【解答】解：由sinx＞0，cosx＞0得f（x）的定义域为．对于A：当时，不在定义域内，故f（x+π）＝f（x）不成立，易知f（x）的最小正周期为2π，故选项A错误；对于B：又，所以f（x）的图像关于直线对称，所以选项B正确；对于C：因为，设t＝sin2x，所以函数转化为g（t）＝t•log2t+（1﹣t）•log2（1﹣t），t∈（0，1），g′（t）＝log2t﹣log2（1﹣t），由g′（t）＞0得，，g′（t）＜0得．所以g（t）在上单调递减，在上单调递增，故，即f（x）min＝﹣1，故选项C正确；对于C：因为g（t）在上单调递减，在上单调递增，由t＝sin2x，令得，又f（x）的定义域为，解得，因为t＝sin2x在上单调递增，所以f（x）的单调递减区间为，同理函数的递增区间为，所以选项D正确．故选：BCD．（多选）11．（6分）设a为常数，，f（x+y）＝f（x）f（a﹣y）+f（y）f（a﹣x），则（）A． B．恒成立 C．f（x+y）＝2f（x）f（y） D．满足条件的f（x）不止一个【解答】解：令x＝y＝0，可得f（0）＝2f（0）f（a），结合f（0），解得f（a），故A正确；令y＝0，原式化为f（x）＝f（x）f（a）+f（0）f（a﹣x），代入可得f（x）＝f（a﹣x），所以原式即：f（x+y）＝2f（x）f（y），故C正确；再令y＝x得f（2x）＝2[f（x）]2≥0，即函数值非负，令y＝a﹣x，可得f（a）＝2[f（x）]2，即f（x）（负值舍去），故B正确；所以仅有一个函数关系式f（x）满足条件，故D错误．故答案为：ABC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0，a∈R}，若A中元素至多有1个，则a的取值范围是a＝0或a．【解答】解：由题意，方程ax2﹣3x+2＝0，a∈R的解至多有1个①a＝0时，方程﹣3x+2＝0，只有一个解；②a≠0时，方程ax2﹣3x+2＝0，a∈R的解至多有1个则Δ＝9﹣8a≤0，∴a综上所述，a的取值范围是a＝0或a故答案为：a＝0或a13．（5分）已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为时，圆锥的体积最大，最大值为．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线与底面所成的角为，易知．圆锥的体积为，令x＝sinθ，x∈（0，1），则y＝（1﹣sin2θ）sinθ＝﹣x3+x，y'＝﹣3x2+1，当y'＞0时，，当y'＜0时，，即函数y＝﹣x3+x在上单调递增，在上单调递减，即，此时．故答案为：；．14．（5分）函数的最小值．【解答】解：f（x）（）（6sin2x+3+6cos2x+4）（25+916）（25+2），当且仅当916，即sin2x，cos2x时取等号．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）设曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处取得极值．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间和极值．【解答】解：（1）；∴f′（x）；∵曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处取得极值；∴f′（1）＝0⇒a＝2；（2）∴f（x）＝2lnxx+1；∴f′（x）；∴x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）的单调递增；x＞1或0＜x时，f′（x）＜0，函数f（x）的单调递减；故函数f（x）的单调递增区间为：（，1）；递减区间：（0，）和（1，+∞）；极大值f（1）＝2ln11＝0；极小值f（）＝2ln1＝2﹣2ln3．16．（15分）袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验．（1）若直到取到新球为止，求抽取次数X的概率分布及其均值；（2）若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数X的均值．【解答】解：（1）X的可能取值为1，2，3，，，故抽取次数X的概率分布为：X123P；（2）每次检验取到新球的概率均为，故X～，所以．17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BB1＝2BC＝2，∠CBB1＝2∠CAB，且平面ABC⊥平面B1C1CB．（1）求证：平面ABC⊥平面ACB1；（2）设点P为直线BC的中点，求直线A1P与平面ACB1所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：因为AC＝2BC＝2，所以BC＝1因为2∠CAB，所以∠CAB．在△ABC中，，即，所以sinB＝1，即AB⊥BC．……（2分）又因为平面ABC⊥平面B1C1CB，平面ABC∩平面B1C1CB＝BC，AB⊂平面ABC，所以AB⊥平面B1C1CB．又B1C⊂平面B1C1CB，所以AB⊥B1C，在△B1BC中，B1B＝2，BC＝1，∠CBB1，所以B1C2＝B1B2+BC2﹣2B1B•BC•cos3，即B1C，所以B1C⊥BC．而AB⊥B1C，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，AB∩BC＝B，所以B1C⊥平面ABC．又B1C⊂平面ACB1，所以平面ABC⊥平面ACB1．（2）在平面ABC中过点C作AC的垂线CE，以C为坐标原点，分别以CA，CE，CB1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C（0，0，0），B（，，0），A（2，0，0），B1（0，0，），所以P（，，0），A1（，，），所以（，，），平面ACB1的一个法向量为（0，1，0），……（10分）设直线A1P与平面ACB1所成的角为α，则直线A1P与平面ACB1所成角的正弦值为：sinα＝|cos，|．18．（17分）已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，若△ABC的三个顶点都在抛物线E上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”．（1）设“核心三角形ABC”的一边AB所在直线的斜率为2，求直线AB的方程；（2）已知△ABC是“核心三角形”，证明：△ABC三个顶点的横坐标都小于2．【解答】解：（1）设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），由，两式相减，得（y1﹣y2）（y1+y2）＝4（x1﹣x2），所以，所以y1+y2＝2，由题意可知，y1+y2+y3＝0，所以y3＝﹣2，则x3＝1，由x1+x2+x3＝3，所以x1+x2＝2，所以，线段AB的中点（1，1），因此，直线AB的方程为y﹣1＝2（x﹣1），整理得2x﹣y﹣1＝0，因此，直线AB的方程2x﹣y﹣1＝0；证明：（2）由（1）可知x1+x2+x3＝3，则x2+x3＝3﹣x1，①由．y1+y2+y3＝0，y1＝﹣