2024届贵州省贵阳市一中高三上学期适应性月考（五）数学试题及答案

数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合M，Nx|x22x3xN*，则MN中的元素个数为（C.5D.6，则z在复平面内对应的点位于（）A.3B.42i3i2.已知复数zA.第一象限）B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知平面向量a，b均为单位向量，且它们的夹角为，则ab（）6A.7B.3C.3D.14.自1972年慕尼黑奥运会将射箭运动重新列入奥运会项目以来，这项运动逐渐受到越来越多年轻人的喜爱.已2知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一3次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（）2311123489A.B.C.D.5.秦九韶（1208年~1268.南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家.1247正根的数值求法）是有世界意义的重要贡献.设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2222b1ac面积为S，秦九韶提出的“三斜求积术”公式为Sa42c2，若2a2sinC2sinA，2acB6，则由“三斜求积术”公式可得△ABC的面积为（）312A.3B.C.D.126.中国古代建筑具有悠久的历史传统和光辉的成就，这些古建筑除了历史背景方面的研究价值外，还有着几何结构的研究意义.例如古建筑屋顶的结构形式就分为：圆锥形、三角锥形、四角锥形、八角锥形等，已知某古建筑的屋顶可近似看作一个圆锥，其母线长5m，底面的半径为，则该屋顶的体积约为（B.mC.mD.m）A.m33334123*7.已知等比数列a中所有项均为正数，a20222a，若aaa,nN，则的最n20232021mnmn小值为（）3547698A.B.C.D.2x22y228.已知直线l过双曲线E:ab0)的左焦点F，且与双曲线的左支交于B，C两点，并满ab足CB4FB，点A与点B关于原点对称，若AFBF，则双曲线E的离心率e（）55102103A.B.C.D.23二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）a19.已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x2对称，当x[0,2]时，f(x)1，则x21（）A.a2B.a1C.f(48)f(f(27)D.f(f(48)f(27)10.已知圆C:x2y4上的两个动点A，B始终满足|AB4，直线l:x1与x轴交于点M2（M，A，B）A.直线l与圆C恒有交点B.AM03C.△ABM的面积的最大值为D.l被圆C截得的弦长最小值为23211.已知正方体ABCDABCD的棱长为1，点E，M分别为线段AD，AC的中点，点N满足111111BNBC(，点H为棱AA（包含端点）上的动点，则下列说法正确的是（）1111A.平面截正方体得到的截面多边形是矩形B.二面角DABC的大小为113C.存在，使得平面平面AB1C23D.若CH平面，则直线CD与平面所成角的正弦值的取值范围为,32xx12.已知函数f(x)的图象与直线yk(kR)有三个交点，记三个交点的横坐标分别为xxxx，x，x，且xxx，则下列说法正确的是（）123123A.存在实数k，使得11B.3e3C.k22111e221e331eD.为定值三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）10213.x的二项展开式中，x4项的系数为______.x14.“圆锥容球”是指圆锥形容器里放了一个球，且球与圆锥的侧面及底面均相切（即圆锥的内切球）.已知某圆锥形容器的母线与底面所成的角为60，底面半径为2，则该圆锥内切球的表面积为______.（容器壁的厚度忽略不计）15.《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑，已知“鳖臑”PABC中，PA平面ABC，PAAB，ABC，ABBC6，则“鳖臑”PABC外接球体积的最小值为______.216.已知平面向量a，b，c，d满足：|a|b2，ab，ctabt，|cd2，设向量dnb（m，nmn的取值范围为______.四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）31f(x)2xsinx0)的最小正周期为.已知函数22（1）求的值，并写出f(x)的对称轴方程；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2ac)BbC，求函数f()的取值范围.18.（本小题满分12分）a已知数列n为等差数列，55330，且a8.2n（1）求n；1（2）记S为数列的前n项和，求S.nnn19.（本小题满分12分）某校高三年级嘟嘟老师准备利用高中数学知识对甲、乙、丙三名学生在即将到来的全省适应性考试成绩进行预测，为此，他收集了三位同学近三个月的数学月考、周测成绩（满分150100分则称为“破百”.甲：74，85，81，90，103，89，92，97，109，95；乙：95，92，97，99，89，103，105，108，101，113；丙：92，102，97，105，89，94，92，97.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三名同学的考试成绩相互独立.（1）分别估计甲、乙、丙三名同学“破百”的概率；（2）设这甲、乙、丙三名同学在这次决赛上“破百”的人数为X，求X的分布列和数学期望E(X).20.（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABCABC中，ABAC，ABC60，D为BC的中点，平面BBCC平面11111ABC.（1）证明：AB//平面ACD；11277（2）若ABCC2，二面角CADC的余弦值为，求平面ACD与平面ABBA夹角的余弦1111111值.21.（本小题满分12分）x22y221已知椭圆C:ab的左焦点为F，上顶点为A，离心率为，且|AF2.ab2（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过F且斜率为k(k0)的直线l与椭圆C交于D，E两点，椭圆C的左、右顶点分别为A，A，12证明：直线AD与AE的交点在定直线上.1222.（本小题满分12分）已知函数f(x)2sinxsinax1，x.2（1）若a2，求函数g(x)f(x)1的值域；f(x)sinx1（2）是否存在正整数a，使得3cosx恒成立？若存在，求出正整数a的取值集合；若不x存在，请说明理由.贵阳第一中学2024届高考适应性月考卷（五）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号答案12345678CDDDBAAC【解析】Nx|1xxNMN2,3,5,，共5个元素，故选C.*2i(2i)(3i)113ii)(3i)2211222.因为zi，则在复平面内对应的点,位于第四象限，故选D.3|ab|2a22abb212331，所以|ab1，故选D.3.224.记“甲射中10环”为事件A“乙射中10环”为事件B，P()P(B)，甲、乙两人中至少有一人322射中10环的概率为：P1P(AB)1P(A)P(B)111，故选D.3389，由题意得a2c2b262ac2，故a2sinC2sinA得a2c2a，ac25.由22222b1ac123Sa2c24，故选B.424226.如图所示为该圆锥轴截面，由题知该圆锥的底面半径为，高为5234m，所以该屋顶的体积约为2134m3，故选A.2327.设a的公比为q，则aq211q，n1因为10，所以q2q20，解得q2或1aaa2m1a2n1a212mn21612，mn1141141故mn24，即mn6，(mn)mn6mn164nmn164nm324152，mmn4nm当且仅当，即m4，n2时，等号成立，mn413故的最小值等于，故选A.mn28.设双曲线的右焦点为F，连接AF，AF，BF，111又因为AFBF，所以四边形AF1BF为矩形，设|BF|t，则|CFt，由双曲线的定义可得：12at，CF12at，又因为CBF1为直角三角形，所以212CF2，1|BC|BF即(4t)2(2at)(2at)2，解得ta，所以BF1a，|BFa，2又因为△BFF为直角三角形，FF2c，所以|BF|2BF2FF2，1111c225c10即：a29a24c2，所以，即e，故选C.a2a2二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）题号答案9101112BDABDACDBCD【解析】9.已知函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)0，即f(0)1a0，解得a1，B正确；A错误；11又因为f(x4)f(x)0，即f(xf(x4)f(x)，从而周期为8，f(f(f，f(48)f(0)，f(27)f(f.22xx111因为当0x2时，f(x)，所以f，3113从而f(f，f(48)0，f(27)，3所以f(f(48)f(27)，D正确；C错误，故选BD.10.直线l:x1与轴交于点，xMM0)C:xy422内部，所以与恒有公共点，A正确；lC，且在圆M因为点M在圆C:x2y24内部，为钝角，故AMMB0，B正确；1M到AB的最大距离，即到圆心的距离为1S412，故C错误；2l被C截得的弦的长度的最小时，圆心到直线的距离最大，且此距离为M到圆心的距离为1，故弦长为2211.由正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，2123，故D正确，故选ABD.2则D(0,0)，B0)，C0)，0)，D(0,，C，B，111设Hh)，其中0h1，对于A：连接AD，BC，BC，则ADADE，11111由正方体的性质可得点E是侧面A的中心，点M是正方体的中心，11所以连接EM并延长交侧面BCCB于点P，则点P是侧面BCCB的中心，且PE//AB.1111设平面EPN交AD于点F，交AD于点G，交BC于点I，连接NF，，11因为平面ABCD//平面ABCD，所以//NF，NF.1111因为PE//AB，AB平面ABCD，所以PE//平面ABCD，又平面ABCD，所以PE//，所以AB//，易知AB，所以，所以平面截正方体得到的截面多边形NFGI是矩形，故A正确；对于B：AB，AD(，AC(0)，11mAB0yz0xz0设平面ABD的法向量为m(x,y,z)，则1，即，11mAD01取z1，则x1，y1，故m.nAB0bc0ab0设平面ABC的法向量为n(a,b,c)，则1，即，1nAC0cosm,n113取b1，则a1，c1，故n，故，3311而二面角DC为锐二面角，故其余弦值为，不为，1132故二面角DC的平面角不是，故B错误.113对于C：因为点M是正方体的中心，所以D，M，B三点共线，所以平面ADM即为平面ABCD，1111因为BC，ABBC，ABBCB，AB，BC平面ABCD，1111111所以BC平面ABCD，又BC平面ABC，所以平面ABC平面ABCD，11111111即平面ABC平面ADM，当1时，点N与点C重合，111平面即为平面ABCD，由此可知平面ABC平面ABCD，11111即平面ABC平面，故C正确；对于D：设直线CD与平面所成的角为.CHh)因为CH平面，故为平面的法向量，11而0)，故sin|cosDC,CH，h22h22213而h，,，故D正确，故选ACD.32h22elnxxelnx1elnxx12.由方程k0，可得k0.xelnxxx1elnx1t12ktk10.令t，则有txk0，即tx1x令函数g(x)，则g(x)e，xx2令g(x)0，解得0xe，令g(x)0，解得xe，所以g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,)上单调递减，elne所以g(x)g(e)1，作出图象如图所示，eelnxx要使关于x的方程k0有三个不相等的实数解x，x，x，且xxx，123123xelnxx结合图象可得关于t的方程t2ktk10一定有两个实根t，t，12且t0，0t1或t1，0t1，1212令gt)tktk1，若t0，0t1，212g(0)32则g故1k.k2k32g32若t1，0t1，则g(0)无解，综上k，故C正确；12k22k3由图结合单调性可知3e，故B正确；3k若fk1k0，则k1，又，故A不正确；22222111221331t1t1t1t1t112212eeeeeeeeeeeee2t1t1eeee111111112tt12tt(k(k，故D正确，故选222e212e2e2e2eeeBCD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号答0,9603【解析】10r2213.x的二项展开式的通项公式为Tr1Cr10x10rrC210r102r，xxx令2r4，得r3，所以x4项的系数为C3102960.314.作圆锥的轴截面图，如图，由图，母线PA与底面所成的角为△PAB为等边三角形，AO2，所以POAOtan6023，所以在正△PAB中，30，设内切球球心为，则在PO上，且OCR，23在△C中，C2R，所以2R23R，解得R，316所以外接球表面积SR2.315.根据题意三棱锥PABC可以补成分别以BC，AB，PA为长、宽、高的长方体，如图，其中PC为长方体的对角线，则三棱锥PABC的外接球球心即为PC的中点，要使三棱锥PABC的外接球的体积最小，则PC最小.设ABx，则PAx，6x，|PCAB2PA2BC2x2)24，2所以当x2时，|26，则有三棱锥PABC的外接球的球半径最小为6，4所以R38.316.如图所示建立坐标系，以A为坐标原点，边长为2的正方形ABCD的AB，AD所在直线为x轴、y轴，设ABb，ADa，Q为线段BC上一点，则AQc，|cd2以Q为圆心，2为半径画圆，点P为圆上一点，设P(x,y)，AB(2,0)，AD(0,2)APmABnAD(2m,2n)，11所以x2m，y2n，所以zmnxy，所以yx2z，22它表示斜率为1，纵截距为2z的直线，当圆心为点B时，AP与B相切且点P在x轴的下方时，11P，此时mn0，取得最小值；2233当圆心为点C时，AP经过圆心时，P，此时mn3，取得最大值，22mn的取值范围为[0,3].四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）311cos2x312f(x)2xsinxsinx1）2222316sinx2xsinx.221126T，故f(x)sinx，4令1xk，kZ，解得x2k，kZ，2623故对称轴方程为：x2k，kZ.3（2）由(2ac)BbC得(2sinAsinC)BsinB，2sinABsinBCBsinCsin(BC)sinA.1sinA0B，B，B(0,)23126Af()sinA，0A，362621A2612sin1f(),1.218.（本小题满分12分）a1）因为数列n为等差数列，naaa5523235d所以，，为该数列第、、项，并设公差为，23a3352d15因为aa，且a8，所以，解得：，532a3a2241anaa11所以n的通项公式为：n(nd3(n1n2，nnn即n2，所以an(n.n11111（2）由（1）可得：nn(n，所以a，n(n2)nn22n11111111所以Sn，即S，n132435n(n2)123an1111132435111，所以S1nnn223整理得：S111，n2n1n2213111所以数列的前n项和为：S.n2n1n22an19.（本小题满分12分）1）甲同学“破百”的概率为P()21，10551乙同学“破百”的概率为P(B)丙同学“破百”的概率为PC)，12.4（2）X的可能取值为0，1，2，3，则：111524103P(X0)111，11111111119P(X111111，524524524401111111115245245241P(X2)111，5111P(X，524401所以X的分布列为XP012153131919401940311所以，期望E(X)0123.10405402020.（本小题满分12分）（1）证明：如图，连接AC与AC相交于点E，连接ED，11三棱柱ABCABC中，侧面ACCA是平行四边形，11111则E为AC的中点，又D为BC的中点，有AB//ED，11AB平面ACD，ED平面ACD，111所以AB//平面ACD.11（2）解：平面BBCC平面ABC，平面BBCC平面ABCBC，1111底面ABC为正三角形，D为BC的中点，则ADBC，AD平面ABC，则AD平面BBCC，11CD，CD平面BBCC，CDAD，CDAD，111127则二面角CADC的平面角为C，有余弦值为C，11171中，由余弦定理121D2CD2CDCDC，1147即41D21CD，解得CD7，117过1作直线BC的垂线，垂足为F，277则CDC72，故F在BC的延长线上，11CFCD22743，11BC//，BC，CFBC，四边形B为矩形，则BDBC，11111111以D为原点，，，DB1分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0)，3,，B(0)，B(0,3)，1C(2,3)，3,0)，(2,3)，11n3y0设平面ACD的一个法向量为n(x,y,z)，则有，1n2x3z01令x3，则y0，z2，即n(3,0,2).AB(3,0)，BB3)，1mABab0设平面ABBA的一个法向量为m(a,b,c)，则有，11mBBac01令a3，则b1，c1，即m(3,，nm32357平面ACD与平面ABBA夹角的余弦值为.11175|n||m|21.（本小题满分12分）（1）解：依题意可得：ec12.a又|AFb2c2a2，a2cb2，故b3，c1，2x2y2所以椭圆C的标准方程为1.43（2）证明：由（1）得F(0)，所以直线的方程为yk(xk，lyk(x可得34kx8kx4k120，2222由x22y1432设Dx,y，Ex,y，显然0，1128k264k21215所以xx2，xx1，12221234k22334k4k34k5故12.xx41221由（1