常用逻辑用语-2023年高考数学一轮复习（原卷版）

考向02常用逻辑用语

I.【2022年浙江卷第4题】设χ∈R,贝广SinX=I”是“COSX=O”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】因为si∏2χ+cos2χ=l可得：当SinX=I时，COSX=0,充分性成立；

当CoSX=O时，SinX=±1,必要性不成立；所以当XGR,SinX=I是CoSX=O的充分不必要条件.

故选：A.

2.【2022年天津卷第2题】“x为整数”是“2x+l为整数”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不允分也不必要条件

【答案】A

【解析】由题意，若X为整数，则2x+l为整数，故充分性成立；

当X=L2x+l为整数，故必要性不成立；所以“α>6”是“/>36”的充分不必要条件.

2

故选：A.

3.【2021年全国甲卷第7题】等比数列｛«“｝的公比为“，前〃项和为S”.设甲：q>0.乙：｛S,,｝是递增数

列，贝IJ

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲不是乙的充分条件也不是必要条件

【答案】B

【解析】《,=-1国=2时，｛5,,｝是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；｛S,,｝是递增数列，可以推出

^=Sn+i-S,,>O,可以推出q>。，甲是乙的必要条件•故选：B.

J-------------------------------

［方法技巧)

1.四种命题的真假关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.

【提醒】当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动.

2.充分条件与必要条件的判断方法

(1)若p=q,则P是q的充分条件，q是P的必要条件；

(2)若"≠>q且则P是q的充分不必要条件；

(3)若p≠>q且4=p,则P是4的必要不充分条件；

(4)若P=q,则P是q的充要条件；

(5)若p/q且q*p,则P是q的既不充分也不必要条件.

3.复合命题的真假判断

“P且q”"P或“非P”形式的命题的真假性可以用下面的表(真值表)来确定:

p*qPAq

Pqr-I(PVq)TpA4)(^p)v(-∙√)(rθA(-1q)

真真假假真真假假假假

真假假真真假假真真假

假真真假真假假真真假

假假真真假假真真真真

4.含有一个量词的命题的否定

全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所示:

命题命题的否定

Vx∈M,p(x)3x0∈M,-1p(x0)

3x0eM,p(Λ0)VxeΛ∕,->jp(x)

5.区分命题的否定与否命题

命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念.命题P的否定是否定命题所作的判断.

而“否命题”是对“若P则q”形式的命题而言.既要否定条件也要否定结论.

【易错点11混淆命题的否定与否命题

命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念.

命题P的否定是否定命题所作的判断.

而“否命题”是对“若P则q”形式的命题而言.既要否定条件也要否定结论.

【易错点2】充分条件、必要条件颠倒致误

对于两个条件A和B.

如果A=>B成立.则A是B的充分条件.B是A的必要条件；

如果B=A成立.则A是B的必要条件.B是A的充分条件；

如果AQB.则A.B互为充分必要条件.

解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性.所以在解决这类问题时一定要根据充分条件和必要条件

的概念作出准确的判断.

【易错点3】“或”“且”“非”理解不准致误

命题PVq真=P真或q真.命题pVq假=P假且q假（概括为一真即真）；

命题PAq真=P真且q真.命题p∆q假=P假或q假（概括为一假即假）；

中真nP假.、假=P真（概括为一真一假）.求参数取值范围的题目.也可以把“或”“且”“非”与集合

的“并”“交”“补”对应起来进行理解.通过集合的运算求解.

---------—IUlIUUUU∣IUUUII

1.设点A,B,C不共线，贝与AC的夹角是锐角“是［A8+Aq>wq”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.已知直线4:ax+3+2)y+l=0,4：*+纱+2=0,其中αeR,贝广q=—3”是“4，的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.命题“VxeA,/一刀+ι≥o，，的否定是()

A.Vx∈∕?.X2-x+1<0B.Vx∈A,%2-x+l≤()

C.3xθ∈R,XQ—XO+1<()D.3%0∈R,Xj—x0+1≤O

4.下列命题正确的是()

A.“尤<1”是“f一3χ+2>O”的必要不充分条件

B.对于命题P：Ξx∈R,使得/+χ一ι<o,则r7：VX∈H均有d+χ一INO

C.若pV4为真命题，则。，4只有一个为真命题

D.命题“若f-3χ+2=0,则x=2''的否命题为“若_?一3%+2=0，则XH2”

5.下列说法错误的是()

A.命题“若X2-4x+3=0,则尸3”的逆否命题是“若Λ≠3,则炉-4"3≠0”

B.“X>1”是“因>0”的充分不必要条件

C.命题P：叼x∈R,使得Λ2+X+1<0”,则rp："Vχ∈R,Λ2+Λ+1≥0,,

D.若p∕∖q为假命题，则p、(7均为假命题

J提升帮

一、单选题

1.(2022.四川省绵阳南山中学高二阶段练习(文))给出下列四个命题，其中假电牌的个数为()

①揭∈R,使/(x)=("T+2卜"F是密函数；

②若f(X)=以2+2x+l只有一个零点，则。=1；

③命题“若x≥2且y≥3,则x+y≥5”的否命题为“若χ<2且y<3,则x+y<5”；

④函数f(x)=gχ3^~;侬2+X-”在区间(0,+∞)上单调递增，IjIlJ-2<m<2.

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.(2022.上海交大附中模拟预测)设/(x)是定义在非空集合S上的函数，且对于任意的XoeS,总有

/(⅞)∈5.对以下命题：

命题。：任取夕eS,总存在aeS,使得/(q)=/；

命题q：对于任意的再，±wS,若VWS,则/(XI)-/(%)wS.

下列说法正确的是（）

A.命题P，4均为真命题

B.命题P为假命题，。为真命题

C.命题P为真命题，4为假命题

D.命题。4均为假命题

3.（2022咛夏•银川一中模拟预测（文））已知命题p:VXWR,2、>5,则r。为（）

xvx

A.∀x^R,2>5B.Vx∈R,2≤5C.却eR,2%>5D.3x0∈R,2°≤5

4.（2022・贵州毕节•三模（S））设有下列四个命题:

Pi：tt3⅞<0,使得In（Xo+1）<0”的否定是“Vx≥O,都有In（X+l）≥0”;

P2:若函数"x）是奇函数，则必有了⑼=0;

P3:函数y=〃2-x）的图象可由y=/（-X）的图象向右平移2个单位得到；

见：若骞函数y=x"的图象与坐标轴没有公共点，则〃<0.

则下述命题中真命题是（）

Aλ1

A.plvp4B.〃3C.PlV-1p3D.P2~PA

5.（2022•四川省内江市第六中学高二期中（理））下列说法错误的是（）

2n

A.若命题P：Ξn∈N,"2>2",则力：∀Λ∈N,n≤2

B.lia<b”是"Ina<Inb”的必要不充分条件

C.若命题“（9）V（F）”为真命题，则命题。与命题Q中至少有一个是真命题

D.“若α+8≥4,则α/中至少有一个不小于2”的逆否命题是真命题

二、多选题

6.（2022•山东省实验中学模拟预测）已知直线/U平面α,直线机U平面α,则（)

A.若/与机不垂直，贝H与。一定不垂直

B.若/与团所成的角为30,贝心与α所成的角也为30

C.〃/m是〃∕α的充分不必要条件

D.若/与α相交，贝∣J∕与机一定是异面直线

7.（2022・全国•河源市河源中学模拟预测）在半径为10的圆上有三点M,N,C,其中M,N两点的坐标分

别为（0,-4）、（10后6）.现有两个命题如下：p：若NMNC为60。,则三角形MNC的面积为5（）石；q：若

CD=（-√3,3）,则四边形MCVO的面积为40石.那么下列选项正确的是（）

A.命题P是真命题B.命题P是假命题

C.命题q是真命题D.命题是假命题

8.（2022•广东茂名•模拟预测）下列四个命题中为真命题的是（）

A.""<%"是“〃人〈雨”的必要不充分条件

B.设A,8是两个集合，则“AB=A”是“A=8”的充要条件

C."Vx>0,e*>（）"的否定是"5r≤（）,e*≤0"

D.8名同学的数学竞赛成绩分别为：80,68,90,70,88,96,89,98,则该数学成绩的15%分位数为70（注：一

般地，一组数据的第P百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有P%的数据小于或者等于这个值，

且至少有（IoO-P）%的数据大于或者等于这个值.）

9.（2022•山东临沂•三模）下列命题正确的是（）

14

A.正实数X,y满足χ+y=l,则一+一的最小值为4

χy

B."α>l,b>l”是“访>1”成立的充分条件

C.若随机变量X~B（",p）,且E（X）=4,O（X）=2,则0=；

D.命题p;Vx∈R,χ2>0,则P的否定：3x∈R,x2<0

10.（2022•吉林一中三模）下列说法正确的是（）

A.若x>（）,则x>sinx恒成立；

B.在线性回归分析中，相关系数"的值越大，变量间的相关性越强

C.命题“TxeR,X-InX>0”的否定是"A。∈R,xf)-lnXo≤0".

D.若随机变量〃-NO,/),月.S=?//+1,则PQ7<2)=O.5,E(5)=6

三、填空题

11.(2022・陕西咸阳•二模(理))给出以下命题：

2

①"α≤3"是"3⅞∈[0,2],xo-a≥O”的充分不必要条件；

②垂直于同一个平面的两个平面平行；

③若随机变量X~N(3,σ2),且p(X≥6)=0∙2,则p(0≤X≤6)=0.4；

④已知点P(2,0)和圆O：/+丁=36上两个不同的点陆N,满足NMPN=90。，。是弦MN的中点，则

点Q的轨迹是一个圆.

其中正确命题的序号是.

12.(2022•湖南师大附中高二阶段练习)给出下列四个结论：

①若角α为第一象限的角，则角α必为锐角；

②对任意的复数z,都有IZf=ZS；

③设α是空间一个平面，m,〃是空间两条不同的直线，且帆uα.则“〃//〃/是“〃//a”的充分条件；

④在三角形ABC中，若4<B,则Sin4<sin3.

所有正确的结论序号为.

1.(2021年全国乙卷理3)已知命题A3x∈Λ,sinx<l;命题q：VXeR,阴21,则下列命题中为真命题的

是

A.P^⅛B.-P^⅛D.Tpvq)

2.（2021年天津卷第2题）已知aeR，则''4>6''是>36”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不允分也不必要条件

3.（2021年浙江卷）已知非零向量"c,则"a.〃=A.c”是“α=b”的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2021年北京卷）设函数f（x）的定义域为［0,1］,则“函数/（x）在［0,1］上单调递增”是“函数f（x）在［0,1］

上的最大值为/0）”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.（2020年高考天津卷2）设α∈R,则"α>l”是"片>。，，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

x+y..6,

6.（2019全国山文11）记不等式组《J表示的平面区域为D命题

2x-y≥0

p:3（x,y）∈D,2x+y..9；命题q:V（X,y）∈D,2x+y,,12.下面给出了四个命题

①pvq②一IPVq®pΛ-∣q④一∣P△—ɪg

这四个命题中，所有真命题的编号是

①③B.①②C.②③D.③④

7.（2020新课标In理16）关于函数F（X）=SinX+」一.

Sinx

①“X）的图像关于y轴对称；②〃X）的图像关于原点对称;

③/⑴的图像关于X=］对称；④/（x）的最小值为2.

其中所有真命题的序号是.

8.(2020年高考全国∏卷文理16)设有下列四个命题：

A：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

P2:过空间中任意三点有且仅有一个平面.

P3:若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

Pi：若直线/u平面α,直线机_L平面α,则加！J.

则下述命题中所有真命题的序号是.

①P1^P4②Pl人P2③fVP3④"3VrR4

9.(2018北京)能说明“若f(x)>/(())对任意。的X∈(0,2］都成立，则f(x)在［0,2］上是增函数”为假命题的一

个函数是.

考答案

基础综

1.【答案】C

【解析】选C,充分性：AB⅛AC的夹角是锐角，所以AB?AC0.

β∣J⅛IAB+AC∣2=(AB+AC)2=|AB∣2+∣AC∣2+2AB1AC∣AB∣2+∣AC∣2-2AB1AC

=∖AB-ACj=∣βCp;

必要性：,8+4。>忸4?∣ΛBAel>∣AB-ACj拮ABAC>0.

所以AB与4C的夹角是锐角.

2.【答案】A

【解析】选A.直线4∙L4的充要条件是α+(α+2)"=0.∙.α(α+3)=0.∙.α=0或。=一3.

3.【答案】C

【解析】选C.命题“VxwR,犬―x+120，，的否定是FXoeR,看_/+1<0”，特别注意特征命题与全

称命题的互否关系。

4.【答案】B

【解析】选B.对于AJX<1"是“f-3χ+2>(T的充分不必要条件;对于C,若PVq为真命题，P或q都

为命题；对于D,否命题为“若炉―3χ+2≠(),则x≠2”

5.【答案】D

【解析】选D.若p∕∖q为假命题，则p、q至少有一个为假命题.

提升绿

一、单选题

1.【答案】C

1H?2÷∕w-1=0

【解析】对于①，令根+2=1,即(，

m[m≠()

因为A=]2-4X(T)=5>(),所以方程有两个不相等实数根，所以存在实数机满足题意，故①正确；

对于②，若/(x)=0r2+2x+l只有一个零点，

当α=0时”尤)=2x+l只有一个零点满足题意，

当αrθ,令/(x)=0,即Or2+2x+l=0,则Δ=22-4α=0,解得α=l,

综上可得α=0或α=l,故②错误；

对于③，命题'若x≥2且y≥3,则x+”5”的否命题为“若χ<2或y<3,则x+y<5"，故③错误；

对于④，因为/(x)=gχ3-g加/+X-”,所以r(x)=x2-∕nx+I,

因为/(x)在(0,+8)上单调递增，所以f'(x)≥O在(0,+8)上恒成立，

B∣]√-mr+l>0⅛(0,+∞)上恒成立，即X+-N%在(0,+∞)上恒成立，

因为X+L≥2Q=2,当且仅当X=L，即x=l时取等号，所以加≤2,故④错误；

X∖XX

故选：C

2.【答案】B

【解析】命题P显然是错的，下分析命题4为真命题.

关注到西，电的任意性，不妨设%=%,则O,∕(O)eS,这是很重要的一点.

若/(0)=0,易知S={0},若/(0)≠0,则可验证S为无限集.

上述为分析过程，下利用反证法进行证明.

不妨假设f(xJ-/(X2)eS,而由于片,々eS,由定义，/(X,)√(X2)∈5,

则/(玉)-"x2)∈S,与假设矛盾.

故选：B

3.【答案】D

【解析】由全称命题的否定为特称命题，所以r2为mx°eR,2∙"≤5.故选：D

4.【答案】B

【解析】命题“*><0,使得In(Xt,+l)<0”的否定是“Vx<O,都有In(X+1)20"，所以命题Pl为假命题；

若函数/(x)是奇函数，只有当X=O上有定义时，才有/(0)=0,所以命题小为假命题，则命题为真命

题；

将函数y=∕(τ)的图象向右平移2个单位，可得y=f[-(x-2)]=∕(2-x),

所以命题P3为真命题，命题「必为假命题；

当〃=O时，基函数y=x"的图象与坐标轴没有公共点，所以命题幺为假命题，

则^^'Pi为真命题；

根据复合命题的真假判定方法，可得命题PlVP4、P∣V->p21和P?A-04都是假命题；

命题r⅞^P,为真命题.

故选：B.

5.【答案】C

【解析】对于A,由特称命题的否定可知：f：V〃eN,∕≤2",A正确；

对于B,当“<A><O时，lnα,lnb无意义，充分性不成立；当Ina<ln∕?时，O<a<b,必要性成立；贝∣J"α<∕?"

是"lna<lnb”的必要不充分条件，B正确；

对于C,若。，4均为假命题，则即，F均为真命题，∙∙∙(M)V(「4)为真命题，C错误；

对于D,原命题的逆否命题为：若”,b都小于2,则4+8<4,可知逆否命题为真命题，D正确.

故选：C.

6.【答案】AC

【解析】对于A,当/与“不垂直时，假设/_L。，因为〃?ua,则/_L〃?，这与已知条件矛盾，

因此/与a一定不垂直，A正确；

对于B选项，由线面角的定义可知，/与a所成的角是直线/与平面a内所有直线所成角中最小的角，

若/与"?所成的角为30,贝∣J/与a所成的角0满足O≤e≤30,B错；

对于C选项，若〃/〃?，m^a,Iaa,则〃∕ɑ,即〃/〃?=>〃/c,

若〃∕α,因为机Uα,则/与加平行或异面，BPIHm<fcIHa.

所以，〃/机是〃∕α的充分不必要条件，C对；

对于D选项，若/与α相交，则/与〃?相交或异面，D错.

故选：AC.

7.【答案】AD

【解析】M，N都在圆上，线段∣Λ∕NbJ(1O√5-O)2+(6+4)2=20,因此MN为直径.由圆的性质知一MNC为

直角三角形，有一个角为60。，INCI=I0,因此其面积为gχ20χl0x#=50石，故命题P为真命题，因此A

正确.

MN=(IOG,1()),CD=(-√3,3),则MNco=I()gx(-6)+10x3=0,所以MN与CO垂直，因此四边形

MCND的面积应当为IMNl-^=20/,命题4为假命题，故D正确.

故选:AD.

8.【答案】ABD

【解析】当C=C)时，ac2=hc2;当αc2<6<?成立时，可得α<6,所以A正确；

因为AB=A等价于A=B,所以B正确；

C项显然错误，命题的否定只否定结论，条件不否定；

把数据按照从小到大的顺序排列为：68,70,80,88,89,90,96,98,因为8xl5%=1.2,所以该数学成绩的15%百

分位数为70,D正确.

故选：ABD.

9.【答案】BC

元/—2

[解析]对于A,-[+—4=([-+—4)(.«+y)=5+-V+—4>5+2√4=9,当且仅当γj=4x-nχ=1g,y=w时等号成

XyXyXyXy33

立，故A错误；

对于B,"”>1/>1"能推出“而>1"，故B正确;

对于C,np=4,np(]-p)=2,解得p=g,故C正确；

对于D,P的否定：3x∈R,√≤0,故D错误.

故选：BC.

10.【答案】AC

【解析】令/(x)=x-sinx,则尸(X)=I-COSxN。，所以函数在R上单调递增，故当x>0时，

/(x)>/(O)=O-SinO=O,所以x>sinx恒成立，故A正确;

在线性回归分析中，相关系数r的绝对值越大，变量间的相关性越强，故B错误；

由含量词的命题的否定知，“VxeR,X-InX>0”的否定是“土0€尺与一111%")”正确，故C正确；

由正态分布〃〜N(2,σ2)知，P(η<2)=0.5,E(3)=3E(7)+1=3x2+1=7,故D错误.

故选：AC

11.【答案】①④

【解析】对于①：由3⅞e[0,2],√-α≥0,得ɑ≤4,所以"α43”是“现e[θ,2],x；一。≥0，，的充分不必

要条件，故①正确；

对于②：垂直于同一个平面的两个平面可能平行，也可能相交，故②不正确；

2

对于③：因为随机变量X~N(3,σ),且MX*)=。？，所以p(X≤0)=0.2,

所以p(0≤X≤6)=l-02-02=0.6,故③不正确；

22

对于④：设点。(x，V),由题意得PQ2=Q"=O"-OQ2,JjIiJ(ɪ_2)+/=36-(x+y),化简得

(X-1)2+√=17,所以点Q的轨迹是一个圆.故④正确，

故答案为：①④.

12.【答案】②④

【解析】例如1一3乃是第一象限角，但它不是锐角，①错；

O

设z=α+0i(α,6∈R),ɪjɪɪlz∙z=(α+bi)(a-bi)=a2+b2=^∣a2+b2^=∣z∣2,②正确；

mua,n∕∕m,则W与“可能平行，也可能直线在平面内，③错；

在三角形ABC中，A<B<^a<b,由正弦定理，又等价于sinAvsinB,④正确.

故答案为：②④

真题练

1.【答案】A

【解析】由函数性质可知，P：士WRSinX<1和中VxwR,*21都是真命题.

2.【答案】A

【解析】山题意，若。>6,则Y>36,故充分性成立；

若小>36,则。>6或α<-6,推不出4>6,故必要性不成立；

所以，，α>6”是>36”的充分不必要条件.

故选：A.

3.【答案】B

【解析】若α∙c=6∙c=O,则a不一定等于。，故充分性不成立；若a=t>,则(α-b)∙c=0,.∙.α∙c=6∙c

必要性成立，故为必要不充分条件.故选B.

4.【答案】A

【解析】若f(x)在［0,1］匕单调递增，则VXe［0,1］,/(x)≤∕(l),故F(X)在［0,1