高中数学公式与知识点大

高中数学必备公式与知识点大汇总

1、函数的单调性

(1)设再、为ea可，且再〈巧那么

/(x1)-/(x2)<0«/(X)由a㈤上是增函数；

>0<=>“x：在［a向上是减函数

/(x1)-/(x2)

⑵设函数广在某个区间内可导，

若人方>0,贝为增函数；

若八x)<0,则/(x)为减函数；

若八力=0,贝。(x)有极值。

2、函数的奇偶性

若〃r)=f(x),贝。(x)是偶函数；偶函数的图象关于y轴对称。

若〃-)=-〃x),贝。(x)是奇函数；奇函数的图象关于原点对称。

3、函数在某处的导数的几何意义

函数%/(X)在点七处的导数八七)是曲线广/(X)在PgJ®))处的切线的

斜率，相应的切线方程是yCaXx-%).

4、几种常见函数的导数

®c=0;

②(式)'=加1

③(sinx)=cosx；

(4)(cosx)=­sinx；

⑤(a，)=axina；

⑥(O；

⑦(logaX)1

xlna

⑧(Inx)=」

X

5、导数的运算法则

(1)(〃±v)=u±v.

(2)(uv)=uv+uv.

（3）（与="：”一

VV

6、求函数的极值

解方程r（x）=o得％.当/■，（％）=（）时：

①如果在天附近的左侧r（x）＞o,右侧广（司＜0,那么/&）是极大值；

②如果在天附近的左侧＜0,右侧”x）＞0,那么/（%）是极小值.

7、分数指数募

⑴八行.

m11

⑵小m

8、根式的性质

（1）（底"a.

（2）当〃为奇数时，海”；

a,a>0

当〃为偶数时,

-a,a<0

9、有理数指数嘉的运算性质

(1)ar-as=

(2)(〃『=a

（3）（曲

10、对数公式

(1)指数式与对数式的互化式：logaN=b=t/=N.

(2)对数的换底公式

(3)对数恒等式：

①log]="loga；

②i咆"=3吗，；

③小小=义；

@togal=0；

⑤log&a=l

11、常见的函数图像

卞力3^

[x2+bx+&pr

1y=iogax

12、同角三角函数的基本关系式

13、正弦、余弦的诱导公式

诱导公式一:sin(a+k2^)=sin(a+2k^)=sina;

cos(a+k2%)=COS(a+2k%)=COSa

tan(a+k2^)=tan(a+2k^-)=tana

诱导公式二：sin（乃+a）=-sine；

cos(乃+a)二■COSa；

tan(兀+a)=tar)a.

诱导公式三：sin(-a)=-sina;

COS(-a)=COSa；

tan(-a)="tana.

诱导公式四：sin（冗一a）=sina;

COS(1-a)="COSa；

tan(/r-a)="tana.

诱导公式五：sin(y-a)=COSa；

cos(^-a)=sin<z；

诱导公式六：sin(^+a)=COSa；

COS(1+a)=-sina.

14、和角与差角公式

sin(a±/?)=sinacos(3±cosasin(3・

t

cos(a±0=cosacossinasin/?・

,-tana±tanB

tanz(a士①=----------------

1千tanatan(3

asina+bcosa=+b'sin(a+(P)•

（辅助角。所在象限由点（。㈤的象限决定,t"°=z

15、二倍角公式

sinla=sinacosa.

cos2a=cos2a-sin1a=2cos?a-l=l-2sin'a・

2tana

tan2a=

1-tan"CL

c2一、21+cos2a

2cosa=1+cos2a.cosa=----------

公式变形：

2sin2a=1-cos2a.sin2a=——cos-g

2

16、三角函数的周期

函数＞,=/sin（0x+°）及函数y=/cos（0x+°）的周期T=,最大值为|A|；

函数y=/t3n（0x+0）（XWk7T+三）的周期7=2.

2⑷

17、正弦定理

ahr

=砧=菽=2R（R为有.妾圆的半径）.

sin^4

<^>a=2RsaiA,b=2RsinB,c=2RsinC

u>a:6:c=sin幺：sin8:sinC

18、余弦定理

cr=lr+c2-Ibcco3A',

b2=c:+a2-2cacosB]

c:=a2+62-labcosC.

19、面积定理

S=—aisinC=—5csin^4=—casing.

222

20、三角形内角和定理

在SBC中,有,4+5+。=%

=C=7T—(A+B)dx

C71A+B

-------

222

20—ITC—2(A+B).

21、a与b的数量积

a*b=|a|IblcosG.

22、两向量的夹角公式

cos0=M演三+呼

(a=(x1,y1),b=(x2Jy2)).

23、平面两点间距离公式

ULB------------------------

dAB-再

jt.B-\\=M)2+(y2f)2

24、向量的平行与垂直

设a=(&a,b=(孙r,则

allb=b=入ax1y2-x2y1=o.

a_Lb=卅b=0=X]々+yB,2=o.

25、数列通项公式与前n项和的关系

n=\

a”=《•

之2'

(数列&｝的前n项的和为s”=勾+%+…+4).

26、等差数列通项公事与前n项和公式

4=%+(n-l)d=dn+%-d;

4=^^2=啊+华人

27、等差数列的性质'

①等差中项：2%=%+%；

②若m+n=p+q,贝!]4+%=%+%;

③鼠，s…J分别为前m,前2m,前3m项的和，则除，s2n-sn,

&-也成等差数列。

28、等比数列的通项公式与前n项和公式

3=马产；

.aw),#］［早旦”1

s”Ti-q或i-q

nax.q=l［啊,q=\

29、等比数列的性质

①等比中项:/=如如;

②若m+n=p+q,贝"%也=%也；

③黑，马…53M分别为前m,前2m,前3m项的和，则鼠，SL,

%-也成等比数列。

30、常用不等式

（1）aUn/+b2“应当且仅当a=b时取"="号）.

（2）au-n早之疑（当且仅当a=b时取"="号）.

31、直线的三角方程

（1）点斜式：y-jj=k（工-再）,,（直线7过点M（再M,且斜率为左）.

（2）斜截式：v=Ax+i;（b为直线7在y轴上的截距）.

（3）一般式：Ax+By+C=o；（其中A、B不同时为0）.

32、两条直线的垂直和平行

若点y=Zqx+4,l2:y=k2x+b2

①目|12=占=后,且4工4;

（2）4±/2<=>^^=-1.

33、点到直线的距离

W」与+取:q.（点5°）,直线，：­=0）.

J_L

34、圆的两种方程

（1）圆的标准方程（―4+3-6）2=户.

x=a+rcos6

（2）圆的参数方程

y=b+rsinO

35、点与圆的位置关系

点尸（天,比）与圆=户的位置关系有三种

若d=4（a-飞丫+（b一%丫，贝U

d>尸=点尸在圆外；

d=r=点尸在圆上；

d〈丫=点尸在圆内.

36、直线与圆的位置关系

直线+C=0与圆(x-a)，+(y-b)’=/的位置关系有二种:

其中小；+劭+q

J/+炉

d>『o相离o方程组无解：△=后'-4ac<0;

d=r<=>相切U>方程组有唯一解：△nJb'TacA=0；

d<rO相交。方程组有两个解：△=也」-42必>0.

37、椭圆、双阴线,、抛物线的性质

①椭圆：£+:=@>>>0),焦点(±C,0),/-c2=V,离心率

ab

”罂嘤，,参数方程是产

②双曲线：1/=i(a>0,b>0),焦点(±c,0),c-离心率

”鳖===£,渐近线方程是外土

长轴2caa

③抛物线：/=2px,焦点(g。),准线“竹。抛物线上的点到焦点距

离等于它到准线的距离.

38、双曲线方程与渐近线方程的关系

若双曲线方程为1-4=1=渐近线方程：4-==。=六±"・

a"ba"oa

39、抛物线的焦半径公式

抛物线)工=2川的焦半径1m=%+§(抛物线上的点(与，打)到焦点

(f,0)距离。)

40、平方差标准差的计算

平均数还3+%.

n

2a2

方差:J=i[(x1-x)+(x2-X)+-(xB-X)]；

n

:::

标准差：S=，•[(甬-x)+(巧-x)+---(xw-x)]；

41、回归直线方程

nn__

Zar)(乂一力z秘一应

Ib_______________Jrl_______________

y=a+bx'其中，£(苍-又)2fxj-戒2•

i-1i.l

\a=y-bx

42>独立性检验

K=(a+b)(；嗡(a+c)(b+d)；门=a+b+C+d.

①K>6,635,有99%的把握认为X和Y有关系；

②K>3.841,有95%的把握认为X和Y有关系；

③K>2.706,有90%的把握认为X和Y有关系；

@K<2.706,乂和Y没关系。

zy：

Xiab

cd

43、复数

①z=a+bi共辗复数为z=a-bi；

②复数的相等:a+bi=c+di<^a=c.b=d；

22

③复数z=a+6i的模(或绝对值)\z\=\a+bi\=^a+b；

④复数的四则运算法则

(1)(a+bi)+(c+di)=(a+c)+S+d)i；

(2)(a+6z)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i；

(3)(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(be+ad)i；

(4)(a+bi)+…)=+=+

c'+dc+d'c+d'

⑤复数的乘法的运算律

交换律:z1-z2=z2z1.

结合律：(Z1-Z2)-Z3=Z「(Z2-Z3).

分配律:Z]-(Z2+Z3)=Zi-Z2+Z「Z3.

44、参数方程、极坐标化为直角坐标

pcosff=x

psin0=y

②

tan8=二（xH0）

高中数学：45条期末考必备公式与知识点

1.函数的单调性

(1)设再、为e[qb],且不那么

/(占)-/(巧)<0=/(力由a同上是增函数；

/(X0-/(x2)>0<=>/(X：在匕句上是减函数.

⑵设函数)”⑸在某个区间内可导，

若八x)>0,贝。(x)为增函数；

若外力<0,贝!]"X)为减函数；

若八x)=0,贝。(x)有极值。

2.函数的奇偶性

3.函数在某处的导数的几何意义

4.几种常见函数的导数

①c'=0；

②，)，=yl;

③(sinx)=cosx；

④(cosx)=­sinx；

(5)(ax)=axina；

⑥(二)'=";

⑦(logaX)=；

xma

⑧(Inx)=」

X

5.导数的运算法则

(1)(〃±v)—u±v.

(2)(uv)—uv^uv.

(3)(3=巴—.

VV

6,求函数的极值

解方程”x)=0得毛.当“毛)=0时：

①如果在天附近的左侧r(x)>0,右侧〃x)<0,那么〃毛)是极大值；

②如果在天附近的左侧r(x)<o,右侧r(x)>o,那么〃毛)是极小值.

7.分数指数幕

8才艮式的性质

(1)即”a.

(2)当〃为奇数时，取Qa；

当“为偶数时，海=|小卜"力.

[-qa<0

9.有理数指数幕的运算性质

(1)优•/=，+'；

⑵(力=a〃；

(3)(曲)

10.对数公式

(1)指数式与对数式的互化式：l%N=bOab=N.

(2)对数的换底公式：l。g,N=".

logi

(3)对数恒等式:

①logab"="loga》；

②log「b”=21oga；

③小a*=N；

④g1=。；

⑤log/=l

11.常见的函数图像

12.同角三隽蹄I的基本关系式

sin，6+cos，8=1,tang=—

cos6

13.正弦、余弦的诱导公式

诱导公式—:sin(«+k2^-)=sin(a+2k^)=sin«;

cos(a+k2乃)=COS(a+2k%)=COSa

tan(«+k2^-)=tan(a+2k^)=tan«

诱导公式二：sin(万+a)=-sina*

COS(^+a)=-COSa；

tan(•TT+a)=tantz.

诱导公式三：sin(-a)=-sina;

COS(-a)=COSa；

tan(-a)=-tana.

诱导公式四：sin(7i-a)=sin«;

COS(7-a):-COSa；

tan—=-tana.

诱导公式五：sin(^-a)=COSa；

COS(^-a)=sina；

诱导公式六：sin(1+a)=COSa；

COS(^+a)=-sina.

14.和角与差角公式

sin(a±/?)=sinacosP±cosasin/3・

t

cos(a±0=cosacossinasin/?・

t

.-tana±tanB

tanz(a±£)=---------------—

1千tanatanJ3

asina+bcosa=+b'sin(a+<p)・

_b

(辅助角。所在象限由点缶㈤的象限决定,t*Z).

15.二倍角公式

sinla=sinacosa.

cos2a=cos2a-sin2a=2cos:a-l=l-2sin2a・

c2tana

tan2a=--------—.

1-tan'a

♦21.2I+cosla

2cosa=1+cos2a,cosa-------------:

公式变形：2

r.2,3.21-cos2a

2sma=1-cos2asma=-------------;

2

16.三角函数的周期

函数N=Ksin3x+0)及函数y=/cos(0x+0)的周期7=卫^,最大值为|A|；

⑷

函数y=Ktan(©x+0)(x^k7i+—)的周期T=、-.

2⑷

17.正弦定理

a_b

三二2R（R为&女夕展圆的半径）.

sinAsinBsinC

oa=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

u>a:6:c=sin4:sin8:sinC

18.余弦定理

cr=lr+c2-2bccosA]

b2=c2+『-2cacos3；

c2=a1+bz-labcosC.

19.面积定理

S=—absvaC=—bcsAnA=—casi.nB.

222

20.三角形内角和定理

在SBC中,有d+3+C=；r

=C=7[—{A+B^dx

CnA+B

=—=-----

222

02c=2万-2(4+3).

2La与b的数量积

a-b=|a|IblcosO.

22.平面向量的坐标运算

.ui*umum

(1)设A(再,M),B(孙刈),贝I」，伤=。8-。4=(毛一再，必一M)

⑵设a二(再M，b=(孙为，则a+b=(x1+x2,y1+y2).

(3)设a=(孙y)b=(孙R,则七b二(4一七，必一必)・

(4)设a=(x,y),AeR，贝!ha=(4x/y)・

(5)设—,b=(巧,为,则a・b=砧+乂必・

⑹设a=(x,y),则□卜次+/

23.两向量的夹角公式

II

a-b若天+弘力

2郦二乒5W；

(a=(x1,y1),b=(x25y2)).

24.平面两点间距离公式

UUK-----------------

d：

A.B-\^\=J(珍-再)'+(y2-j1)

25.向量的平行于垂直

设a=(再布),b=(孙n),则

allb«>b=Xa0与巧--=0・

a_b=a，b=O=x1x2+y\y2-o.

26.数列通项公式与前n项和的关系

〃二1

a”=《•

32'

(数列应｝的前n项的和为4=©+%+…+%).

27.等差数列通项公式与前n项和公式

=Qj+(w-l)d=dn+ax-d;

w(a+a.)M(M-1),

28.等差数列的性质

①等差中项：24二〜+―；

②若m+n=p+q,贝口/+%=勺+4;

③黑，sis抓分别为前m,前2m,前3m项的和，则与，$尸”，

成等差数列。

29.等比数列的通项公式与前n项和公式

4=乌/；

弓。一心,#1

s「i-q或S"=<i-q

nax,q=1a=1

30等比数列的性

①等比中项：疣二%工；

②若m+n=p+q,则九也二%也;

③鼠，心,觊分别为前m,前2m,前3m项的和，则黑，s2m-s„,

成等比数列。

31.常用不等式

(1)aUn『+b%2M(当且仅当a=b时取"="号).

(2)出二之早之感(当且仅当a=b时取"="号).

32.直线的三角方程

(1)点斜式：尸凶=左(乂-演)；(直线/过点々(冷见,且斜率为左).

(2)斜截式：y=kx+b;(b为直线7在y轴上的截品目.

(3)一般式：,4x+By+C=0；(其中A、B不同时为0).

33.两条直线的垂直和平行

若4：)，=占》+4,l2:y=k2x+b2

H(2=占=月，且4H》2；

②hkb=k1kl=_1.

34点到直线的距离

J巧+取».(点尸(天以),直线/：笈+为，+c=。).

35.圆的两种方程

(1)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2.

(2)圆的参数方程[y=O+rsin^

36.点与圆的位置关系

点尸(天,比)与圆(x-a)2+()-b)2=/的位置关系有三种

若d=«a_+(b_%丫，贝!J

d>r=点尸在圆外；

d=y=点P在圆上；

d=点尸在圆内.

37直线与圆的位置关系

直线加+为+C=0与圆(x-»+(y-旷=/的位置关系有三种:

其中小…+q

JT+炉

d>YO相离。方程组无解：-4ac<0;

d=rU>相切。方程组有唯一解：△=花二^△=();

d<rU>相交。方程组有两个解：△=Jb?-4acA>0.

38.椭圆、双曲线、抛物线的性质

①椭圆：W+4=l（a>b>0）,焦点（±C,0）,a2-c2=b2,离心率

a"b

"11年，，参鲂程是广=:二.

长牛田2ca（y=bsm£

②双曲线：U=i（a>0,b>0）,焦点（±c,0）,,离心率

e=g|=^=£,渐近线方程是尸土”.

长轴2caa

③抛物线：/=2/，焦点弓⑨，准线x=-f。抛物线上的点到焦点距

工工

离等于它到准线的距离.

39.双曲线方程与渐近线方程的关系

若双曲线方程为=渐近线方程：W-g=OQ尸士”•

cTbaba

40.抛物线的焦半径公式

抛物线丁=2中的焦半径|尸用=/+金