2024年高考数学复习专题 练习★★球的切接问题

2024年高考数学复习专题练习★★球的切接问题（2大考点+强化训练）空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般是通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利用等体积法求内切球半径等，一般出现在压轴小题位置．知识导图考点分类讲解考点一：空间几何体的外接球规律方法求解空间几何体的外接球问题的策略(1)定球心：球心到接点的距离相等且为半径．(2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的．(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解．【例1】（2024·辽宁抚顺·一模）在三棱锥中，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【变式1】（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知正四面体的棱长为，则该四面体的外接球与以点为球心，为半径的球面的交线的周长为（

）A． B． C． D．【变式2】(2023·昆明模拟)故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿．由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶．如图，某几何体ABCDEF有五个面，其形状与四阿顶相类似．已知底面ABCD为矩形，AB＝4，AD＝EF＝2，EF∥底面ABCD，且EA＝ED＝FB＝FC＝BC，则几何体ABCDEF外接球的表面积为()A．22π B．28πC．32π D．38π【变式3】(2023·全国乙卷)已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝________.考点二：空间几何体的内切球规律方法空间几何题的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径．【例2】（2024·湖南·二模）一个正四棱锥底面边长为2，高为，则该四棱锥的内切球表面积为.【变式1】(2023·沈阳模拟)如图，圆台内有一个球，该球与圆台的侧面和底面均相切．已知圆台的下底面圆心为O1，半径为r1，圆台的上底面圆心为O2，半径为r2(r1>r2)，球的球心为O，半径为R，记圆台的表面积为S1，球的表面积为S2，则eq\f(S1,S2)的可能的取值为()A.eq\f(π,2)B.eq\f(3,2)C.eq\f(π,3)D.eq\f(4,3)【变式2】（2024·河北沧州·模拟预测）某包装设计部门为一球形塑料玩具设计一种正四面体形状的外包装盒（盒子厚度忽略不计），已知该球形玩具的直径为2，每盒需放入10个塑料球，则该种外包装盒的棱长的最小值为（

）A． B． C． D．【变式3】（2024·四川宜宾·二模）所有棱长均为6的三棱锥，其外接球和内切球球面上各有一个动点，则线段长度的最大值为.强化训练一、单选题1．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．2．（2024·广东梅州·一模）某圆锥的底面直径和高均是2，则其内切球（与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为（

）A． B．C． D．3．（2024·陕西西安·一模）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则该正八面体结构的内切球表面积为（

）A． B． C． D．4．（2024·广东·模拟预测）将边长为2的正三角形沿某条线折叠，使得折叠后的立体图形有外接球，则当此立体图形体积最大时，其外接球表面积为（

）A． B． C． D．5．（2024·河北邯郸·三模）已知在四面体中，，二面角的大小为，且点A，B，C，D都在球的球面上，为棱上一点，为棱的中点．若，则（

）A． B． C． D．6．（2024·湖北·模拟预测）已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面为正三角形且垂直于底面，M为四棱锥内切球表面上一点，则点M到直线距离的最小值为（

）A． B． C． D．7．（2024·河南开封·二模）已知经过圆锥的轴的截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆锥分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），则上、下两部分几何体的体积之比是（

）A． B． C． D．8．（2024·吉林长春·模拟预测）已知四点均在半径为（为常数）的球的球面上运动，且，若四面体的体积的最大值为，则球的表面积为（

）A． B． C． D．二、多选题1．（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图，在直三棱柱中，若分别是的中点，则下列结论正确的是（

）A．平面B．平面C．点到平面的距离为D．三棱锥外接球的半径为2．（2024·新疆·一模）如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体E-ABCD-F，且该八面体的各棱长均相等，则（

）A．异面直线AE与BF所成的角为60°B．BD⊥CE.C．此八面体内切球与外接球的表面积之比为D．直线AE与平面BDE所成的角为60°3.（2024·江西上饶·一模）空间中存在四个球，它们半径分别是2，2，4，4，每个球都与其他三个球外切，下面结论正确的是（

）A．以四个球球心为顶点的四面体体积为B．以四个球球心为顶点的四面体体积为C．若另一小球与这四个球都外切，则该小球半径为D．若另一小球与这四个球都内切，则该小球半径为三、填空题1．（2024·贵州·三模）已知一个圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，其顶点为，底面圆心为，点是线段上的一点，是底面内接正三角形，且平面，则；三棱锥的外接球的表面积是.2．（2024·广东·一模）已知表面积为的球O的内接正四棱台，，，动点P在内部及其边界上运动，则直线BP与平面所成角的正弦值的最大值为．3．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）如图为某三棱锥的三视图，其正视图的面积为，则该三棱锥外接球表面积的最小值为．四、解答题1．（2023高三·全国·专题练习）将个半径为的球和个半径为的球叠为两层放在桌面上，上层只放个较小的球，个球两两相切，求上层小球的最高点到桌面的距离.

2．（2023高三·全国·专题练习）如图：长为3的线段与边长为2的正方形垂直相交于其中心．(1)若二面角的正切值为，试确定在线段的位置；(2)在（1）的前提下，以，，，，，为顶点的几何体是否存在内切球？若存在，试确定其内切球心的具体位置；若不存在，请说明理由．3．（23-24高三上·宁夏吴忠·阶段练习）如图，已知圆锥的轴截面是边长为正三角形，是底面圆的直径，点在上，且.

(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求能放置在该圆锥内半径最大的球的体积.4．（23-24高三上·上海普陀·期末）对于一个三维空间，如果一个平面与一个球只有一个交点，则称这个平面是这个球的切平面.已知在空间直角坐标系中，球的半径为，记平面、平面、平面分别为、、.(1)若棱长为的正方体、棱长为的正四面体的内切球均为球，求的值；(2)若球在处有一切平面为，求与的交线方程，