2022届高中数学新人教A版必修第一册 第5章 简单的三角恒等变换 学案

5.5.2简单的三角恒等变换

学习任务核心素养

1.能用二倍角公式导出半角公式，能用两角和与差的三

角函数公式导出积化和差、和差化积公式，体会其中的

1.通过公式的推导，培养

三角恒等变换的基本思想方法，并能够进行简单的应

逻辑推理素养.

用.(重点)

2.借助三角恒等变换的简

2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等

单应用，提升数学运算素

变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数

养.

式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应

用.(难点、易错点)

［情境导箜•探新知］情境趣味导学•预习素养感知

畲情境与问题

前面我们已经学习了二倍角公式，你能用cosa表示sin?今，cos?5及tan?5吗？

知识点1半角公式

1—cosa

(l)sinT=±""2~

sina

⑷哈-4

a_a1+cosa

COS]cosycos]-----------

.a.a-.a

sinTsinv2sinT

a2221—cosa

sina'

屋堂k半角公式中的符号由谁决定？

［提示1半角公式中的符号由卷所在象限决定.

体验1.思考辨析(正确的画“，错误的画“X”)

a/1+cosa

(l)cos2=\l-2-1)

(2)存在a£R,使得cos5=Tcosa.()

(3)对于任意a£R,sing=gsina都不成立.()

(4)若a是第一象限角，则tan今=\/jC0Sa()

乙\i1Icosa

[答案]⑴*(2)V(3)X(4)7

便验k2.已知cosa=|,(当，2兀)，则sin今=,tan.

4

-

又cos。=不sina=一5

.asina__51

•，tan♦=l+cosa=775=-2]

1+5

知识点2常见的三角恒等变换

(1)辅助角公式：asinx+bcos阡Psin(x+9)(a%W0),其中tanp所在象

限由。和匕的符号确定.

"宙八#91-cos2x1+cos2x1

(2)降描公式：sinq=----5-------，cos9x=-------------，sinxcosx=]sin2尤.

体验3.（多选）cosa—sina的化简结果是（）

C.啦sin(a+；D.6cos(a+：)

y[2J,it1l+cos4II1^2也、

4[2-cos8=2-^—=2-2-2X2=-4

[合作探究-释疑难]然难问题解惑•学科素养形成

类型1化简求值问题

【例1】已知兀＜a等化简：

_______1+sina______+_______1-sina______

yj1+cosa—yj1—cosay]1+cosa+y]1—cosa

[解]原式=

(s吗—COS以2

也卜喈I-Isin2y［21cos^|+^/2s谴

../,3兀.兀,3兀.a八.八

.7i<a<~,丁，・・cos/V0,sm/>0,

.a.a.aa

sin］十co”sin］—cos］

=-&+6~=fc渡

「............cS思领悟•..........................

i.化简问题中的“三变”

(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之

间的差异，合理选择联系它们的公式.

(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切.

(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升嘉、降嘉、配方、

开方等.

2.利用半角公式求值的思路

(1)看角：看已知角与待求角的二倍关系.

(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备.

(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan；."」］：”涉及半角公式

21十cosasma

,,_人3、/4一皿yih「a1-cosaw1+cosa._

的正、余弦值时，常利用sin-2=2，cos/=xi十算.

(4)下结论：结合(2)求值.

提醒：已知cosa的值可求微的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号.

［跟进训练］

3

-

5且180。＜夕＜270。，求tan,

。e

0

［解］法—：・・・180。<。<270。，.\90°<I<135,-2r

0

n-=-

la2

法二：•・・180。＜/270。，即。是第三象限角,

类型2三角恒等式的证明

【例2】求证：J—,=/in2a.

［解］法一：用正弦、余弦公式.

cos2a

cos工一sin工

.aa

cos9asin^cos^

越•必

cos5-sin/

.aa

cos9~asin2cos/

.aa

—sinTcosTcosa

cosa

=gsinacosa=^sin2a=右边,

・••原式成豆■.

法二：用正切公式.

a

9ac

cos-Qtan]],2tan2i,ii

左边■=-、一1=呼。)s2a.----------=2cos2a-tana=/cosasina=^sin2a=右边,

1-tan-^,1-tan2^

・••原式成工.

成思领悟

三角恒等式证明的常用方法

(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简.

(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子.

(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，

简言之，即化异求同.

(4)比较法：设法证明“左边一右边=0"或“左边/右边=1”.

(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明

显的事实为止，就可以断定原等式成立.

I跟进训练I

2.求证：

__________2sinxcosx___________1+cosx

(sinx+cos%—l)(sin%—cosx+1)___sinx

I证明I左边=

2sinxcosx

cos^—2sin2^Y2sin^cos^+2sin1)

.cosz2cos二；,1

sinx______2_______2___1+cosx

====：=右边,

〜.xc.犬xsinx

2sm»sin/2smzcos/

所以原等式成立.

类型3恒等变换与三角函数图象性质的综合

【例3】(对接教材P227例题)已知函数./U)=2sinxcosx—2小cos?x+小.

⑴求的最小正周期和对称中心；

(2)求人x)的单调递减区间；

兀

(3)当了兀时，求函数«r)的最大值及取得最大值时x的值.

尝试与发现/

(

对于表达式中的正(余)弦函数是如何组合的？要分别借助哪些公式才能将兀V)统一化成

/(x)=asincox+bcoscox+k的形式，然后再怎么化成y(x)=Asin(①x+p)+Z的形式？

(l)/(x)=2sinxcosx-2小cos2；i+^=sin2x一小cos2x=2sin

・\/(x)的最小正周期为爹=兀.

7T47TIT

由2x—1=kn(keZ),可得工=5+1(攵£Z),

・，・函数於)的对称中心为(竽+*,0)(攵£Z).

(2)由2X一强［2也+5，2E+/(Z£Z),

可得犬右［左兀+雪，而十茬^(kGZ),

・7/U)的单调递减区间为也+含E+窄^(左£Z).

⑶当xwg,兀］时，2X-|Gy,y,

.•・2%一m=与，即x=,时，函数./)取得最大值，最大值为5.

厂........成思领悟..........................

应用公式解决三角函数综合问题的步骤

(1)降早将解析式化为«r)=asincox+Z?cosa)x+k的形式：如将sinxcosx运用二倍角公

I1—CQQ9r1+ccq9r

式化为京in2x,利用降嘉公式sirxJy\以输」二罗T将解析式化为一次式.

(2)利用辅助角公式asina+6cosa=d^fPsin(a+9)化兀0成«r)=4sin(3x+p)+A的形

式.

(3)将“(Dx+<p”看作一个整体研究函数的性质.

tJ

［跟进训练］

3.已知函数危)=4cos①ksin(①x+g)(①>0)的最小正周期为兀

(1)求①的值；

(2)讨论兀0在区间［o,3上的单调性.

【解1(1VU)=4coscovsin(o)x+/)

=2陋sincoxcos①x+2啦cos?①x

=*\/2(sin2cox+cos2cox)+y［2

=2sin(2cux+：)+啦.

因为/U)的最小正周期为兀，且co>0,

从而有善=兀，故8=1.

2co9

⑵由⑴知，於)=2sin

若（X芍，则#2x+卜苧

当产2%+产

JT

即时，_/u）单调递增；

1,兀——।兀）5兀

当产2%+产彳，

IT7T

即gW九时，段）单调递减.

综上可知，以X）在区间［o,|上单调递增，在区间?上单调递减.

类型4三角函数在实际问题中的应用

【例4】（对接教材P227例题）在扇形OPQ中，OP=R，圆心角/尸。。=:，若将此木

料截成如图所示的矩形，试求此矩形面积的最大值.

［解|如图，作NPOQ的平分线分别交EF,G”于点M,N,连接OE,

设NMO£=a,aG（O,*），在

RtAMOE中，ME=Rs\nafOM=Rcosaf

在RtAONH中，^=ta哈，

得ON=4NH=y^Rsma,

则MN=OM-ON

=/?(cosa—y[3s\na).

设矩形EFGH的面积为S,

则S=2MEMN=2R2sina(cosa—小sina)

=7?2(sin2a+小cos2a一小)

=2R2sin(2a+；)一小R2,

由Q£（0,*）,则,V2a+^V号,

所以当2a+j=^,

即时，Smax=(2-巾)及2.

所以矩形面积的最大值为(2一小)

1.......辰思领悟........................

应用三角函数解实际问题的方法及注意事项

(1)方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题

转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.

(2)注意：在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系.②

注意实际问题中变量的范围.③重视三角函数有界性的影响.

提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致误.

［J

［跟进训练］

4.如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的

周长最大？

O

0B

［解］设NA03=a,△048的周长为/,则A3=Rsina,

O

0B

OB=Reosaf.\l=OA+AB+OB

=R+Rs\na+Rcosa

=R(sina+cosa)+R

=y［2Rsin^a+^+R.

V0＜c«^,••谭＜Q+g＜竽，：./的最大值为也H+R=(/+1)R,此时，［+：=$即a=

n

4-

7T

所以当乙408=4时，△0A8的周长最大.

［当堂达标•夯基础］课堂知识检测•小结问题点评

1.设5兀％<6兀，cos2=tz,则sin不等于()

A.2D-2

c.

8

D[若5兀<*6兀，则苧号号，则sin一4

2.化简A/2+COS2—sin」的结果是()

A.—cos1B.cos1

C.小cos1D.一小cos1

C[原式=^2+1—2sin2l-sin2l=13-3sii?l=^3(1-sin2l)=-\/3cos2l=y[3cos1.]

3.函数兀0=cos2(x+*,XGR,则Ax)()

A.是奇函数

B.是偶函数

C.既是奇函数，也是偶函数

D.既不是奇函数，也不是偶函数

D[原式=]1+cos

=2(1-sin2x)

=2-2s^n2%，

此函数既不是奇函数也不是偶函数.]

4.函数«r)=sin2x的最小正周期为.

兀[因为危尸加2%=匕磬，

2兀

所以/(X)的最小正周期T=~^=7l.]

5.己知M5sinx+3cosx=245sina+3),g£(一兀，兀)，则sin2g=.

W[V§sinx+3cosx=2小(sinxcos^+cosxsin§

=2巾sinQ+W).

2

兀

或

一-V32

9-工273T-29=

・-7T<69<7T,33

（----------------目QQ窗।--------------------

回顾本节知识，自我完成以下问题：

i.三角函数式的化简常从哪些角度切入？

［提示］一般从“角”、“名”、“形”三个角度切入，即“统一角”、“统一函数名”、

“统一次数（降薪）”.

2.试总结解决三角函数综合问题的步骤.

［提示］应用公式解决三角函数综合问题的三个步豚

运用和、差、倍角公式化简

统一化^/(x)=〃sinGX+〃COS①x+攵的形式

利用辅助角公式化为«x）=Asin（Gx+8）+k

的形式，研究其性质

3.用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？

［提示］通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的

影响