2020-2021学年湖南省株洲市炎陵县九年级（上）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年湖南省株洲市炎陵县九年级第一学期期末数学试

卷

一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）.

1.已知反比例函数经过（-2,3）,则下列哪个点在此函数图象上（）

A.（-1,-6）B.（3,2）C.（-2,-3）D.（-6,1）

2.一元二次方程炉+4尤=3配方后化为（）

A.（尤+2）2=3B.（x+2）2=7C.（%-2）2=7D.（x+2）2=1

3.点8是线段AC的黄金分割点，且若AC=4,则8C的长为（）

A.2f+2B.275-2C.D.V5-1

4.RtZsABC中，ZC=90°,若48=4,cosA=g,则AC的长为（）

5

9C①

A.D.5

53

5.小明随机抽查了八年级（1）班9位同学一周写数学作业的时间，分别为6,4,6,5,6,

7,6,6,9（单位：〃）.则估计本班大多数同学一周写数学作业的时间约为（）

A.4hB.5hC.6hD.76

Z

6.已知二次函数y=（m+2）xm-3,当x<0时，y随尤的增大而增大，则机的值为（）

A.一遥B.代C.士代D.2

7.如图，为。。的直径，点C在。。上，若NOC4=50°,AB=4,则能的长为（）

2

8.如图，在△A3C中，ZA=90°,sin5=-^,点。在边A3上，若AZ）=AC,则tanN8a）

5

的值为（）

BC

9.如图，在平面直角坐标中，菱形A8C。的顶点O在坐标原点，且与反比例函数y=K的

X

图象相交于AOn,3如)，C两点，已知点8(272-272)，则人的值为()

B.-6D.-6^2

10.如图是抛物线yi=〃N+bx+c(〃W0)的一部分，抛物线的顶点坐标A(1,3),与工轴

的一个交点B(4,0),直线y2=mx+几(m^O)与抛物线交于A,5两点，下列结论：

①2。+/?=0；

②aZ?c>0；

③方程以2+陵+°=3有两个相等的实数根；

④抛物线与工轴的另一个交点是(-1,0)；

⑤当1VXV4时，有"Vyi.

其中正确结论的个数是()

二、填空题(每小题4分，共32分)

H.已知反比例函数丫=支2的图象位于第一、第三象限，则人的取值范围是

X

13.如图，网高为0.8米，击球点到网的水平距离为3米，小明在打网球时，要使球恰好能

打过网，且落点恰好在离网4米的位置上，则球拍击球的高度//为米.

0.8米

H—4米3米-I

14.如果关于x的一元二次方程/+2%-k=Q有实数根，那么k的取值范围是.

15.如图，OO是△ABC的外接圆，BC=2,N8AC=30°,则的直径长等于.

16.如果抛物线尸N-6x+c-2的顶点到x轴的距离是4,则c的值等于.

17.如图，。为边上一点，AD-.DB=3：4,DE〃AC交BC于点E,贝U&BOE：S^AEC

等于.

18.如图，垂直于x轴的直线A8分别与抛物线G：y=x2(x20)和抛物线C2：y=—(x

4

NO)交于A,B两点，过点4作CO〃x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C、D,过点8

作EF//X轴分别与y轴和抛物线Ci交于点E、F,则衿型的值为__________________.

bAEAD

三、解答题(本大题共8题，共78分)

19.计算：4sin60°+(3.14-TT)0--/12-tan230°.

20.随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习选择某校计划为

学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论为了解学

生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（不

可多选，也不可不选），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中信

息，解答下列问题：

（1）直接写出本次调查的学生总人数;

（2）补全条形统计图；

（3）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；

（4）该校共有学生3000人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生有多少人？

21.某高速公路建设中，需要确定隧道A8的长度.已知在离地面1800根高度C处的飞机

上，测量人员测得正前方48两点处的俯角分别为60°和45°（即/OCA=60°,Z

£>CB=45°）.求隧道4B的长.（结果保留根号）

22.如图，△ABC中，8。平分/ABC,E为BC上一点、,ZBDE=ZBAD=90°.

(1)求证：BD2=BA・BE；

(2)若AB=6,BE=8,求C。的长.

23.关于x的一元二次方程x2+2mx+m-+m—0有两个不相等的实数根.

(1)求机的取值范围.

(2)设出XI、尤2是方程的两根，且无12+&2=12,求机的值.

24.如图，己知三角形ABC的边A3是。。的切线，切点为艮AC经过圆心。并与圆相交

于点。、C,过C作直线交的延长线于点E.

(1)求证：CB平分/ACE；

25.如图，直线yi=Ax+6与函数y2=*(x<0)的图象相交于点A(-1,6),与x轴交于

x

点C,且NACO=45°,点。是线段AC上一点.

(1)求人的值与一次函数的解析式.

(2)若直线与反比例函数的另一支交于B点，直接写出yi<”自变量x的取值范围，并

求出△A08的面积.

(3)若SACOD：5AAOC=2：3,求点。的坐标.

26.如图，抛物线y=or2+bx+c的图象过点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点

P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点使△MAC为等腰三角形？若存在，求出所有

符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题(共10小题，每题4分，共40分).

1.已知反比例函数经过(-2,3),则下列哪个点在此函数图象上()

A.(-1,-6)B.(3,2)C.(-2,-3)D.(-6,1)

解：•••反比例函数区图象经过点(-2,3),

X

：.k=-2X3=-6.

A、-IX(-6)=6,不在反比例函数图象上；

B、3X2=6,不在反比例函数图象上；

。、-2X(-3)=6,不在反比例函数图象上；

D、-6X1=-6,在反比例函数图象上.

故选：D.

2.一元二次方程N+4x=3配方后化为()

A.(x+2)2=3B.(x+2)2=7C.(x-2)2=7D.(x+2)2=-1

解：配方得，N+4x+4=3+4,

(x+2)2=7.

故选：B.

3•点5是线段AC的黄金分割点，且A8V3C若AC=4,则3。的长为()

A.275+2B.275-2C.娓;'D.75-1

解：：点8是线段AC的黄金分割点，且

...8C=渔二v4C=运二X4=2旄-2,

22

故选：B.

3

4.RtzMBC中，ZC=90°,若AB=4,cosA=-^-,则AC的长为()

5

A.言B.孕C.—D.5

553

2

解：RdABC中，ZC=90°,若A8=4,cosA=-^,

5

=3=以=至

cosA

5AB4

.•.AC=-^

5

故选：B.

5.小明随机抽查了八年级（1）班9位同学一周写数学作业的时间，分别为6,4,6,5,6,

7,6,6,9（单位：h）.则估计本班大多数同学一周写数学作业的时间约为（)

A.4/zB.5hC.6hD.7h

-6+4+6+5+6+7+6+6+9

解:加6.1>

9

本班大多数同学一周写数学作业的时间约为6/z,

故选：C.

6.已知二次函数y=（m+2）-3,当xVO时，y随x的增大而增大，则根的值为（)

A.-V5B.炳C.土烟D.2

解：由＞=（m+2）初2-3是二次函数.且当xVO时，y随工的增大而增大，得:

2

mZ-3=2

m+2<0

m二士

解得:

11^-2

综上，m=-后,

故选：A.

7.如图，A3为。0的直径，点。在上，若NOCA=50°,A8=4,则前的长为（)

B.0

CD

9--有

解：*：ZOCA=50°,OA=OC,

：.ZA=50°,

ZBOC=2ZA=1QQ°,

・.・A3=4,

.\BO=2,

loonX210

，前的长为:it.

1809

故选：B.

3

8.如图，在△ABC中，ZA=90°,sin8=^•，点D在边AB上，AD=AC,贝Utan/BCZ)

5

1

A.cAD

57-l

解:如图，作。于H.

VZA=90°,sinB=M=9,

BC5

.,.可以假设AC=3鼠BC=5k,则AB=4k,

\"AC=AD=3k,

：.BD=k,

,:/B=/B,ZDHB=ZA=90°,

:.△BHDsABAC,

.BD=DH=BH

**BC-AC-AB，

.kDH=BH

**5k3k4k'

24

：.DH=^k,BH~k,

55

421

,.・CH=BC-BH=5k-淳=告上,

55

DHfk1

tanABCD=

CH21J?’

5

故选：C.

9.如图，在平面直角坐标中，菱形ABCO的顶点。在坐标原点，且与反比例函数>=上的

X

图象相交于A（机，3、历）,C两点，已知点8（2&,2&）,则％的值为（）

A.6B.-6C.6&D,-6-72

解：作AELx轴交x轴于点E,作CFLx轴交无轴于点品作80〃尤轴交AE于点Q,

:四边形A0C2是菱形,

J.AB//CO,AB=CO,

：./AB0=NC0B,

又，."。〃苫轴，

:./DB0=/F0B,

：.ZABD=ZCOF,

'：AD±BD,CFLOF,

：.ZADB^ZCFO^90°,

在△ADB和△CF。中，

2ABD=NCOF

<ZADB=ZCFO，

LAB=CO

.♦.△ADB当ACFO(AAS),

：.AD^CF,BD=OF,

VA(m,3扬，B(2&,2&),

,

:.AD=\f^,AE=3*^2，

:.CF=®,。尸=3如，

...点C的坐标为(3衣，-M),

'''料=全

k=-6,

故选：B.

10.如图是抛物线yiMQl+8x+c(〃W0)的一部分，抛物线的顶点坐标A(1,3),与x轴

的一个交点5(4,0),直线以=妙+"(机W0)与抛物线交于A,3两点，下列结论：

①2。+/?=0；

②abc>U；

③方程〃/+笈+°=3有两个相等的实数根；

④抛物线与工轴的另一个交点是(-1,0)；

⑤当1VXV4时，有

A.5B.4C.3D.2

解：・・,抛物线的顶点坐标A(1,3),

...抛物线的对称轴为直线x=-?=1,

2a

2«+/?=0,所以①正确；

・・,抛物线开口向下，

.*.6Z<0,

:・b=-2〃>0,

抛物线与y轴的交点在x轴上方，

Ac>0,

abc<Of所以②错误;

:抛物线的顶点坐标A（1,3）,

.,.x=l时，二次函数有最大值，

...方程aN+M+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；

:抛物线与无轴的一个交点为（4,0）

而抛物线的对称轴为直线x=l,

•••抛物线与无轴的另一个交点为（-2,0）,所以④错误；

..•抛物线>1=以2+a+<:与直线”=如+〃（加W0）交于A（1,3）,8点（4,0）

.,.当l<x<4时，j2<yi,所以⑤正确.

故选：C.

二、填空题（每小题4分，共32分）

11.已知反比例函数y=£2的图象位于第一、第三象限，则』的取值范围是1>2

X

解：••3=乂二2的图象位于第一、第三象限，

X

：.k-2>0,

：.k>2.

故答案为k>2.

12.已知2b3则台11

3a-b4-V—

解「,产

3a-b4

.3a-b4

2b

.3a“——14

,2b23

.±n_

"一=丁

故答案为：

y

13.如图，网高为0.8米，击球点到网的水平距离为3米，小明在打网球时，要使球恰好能

打过网，且落点恰好在离网4米的位置上，则球拍击球的高度？为1.4米.

解：由题意得,40.8

4+3h

解得h=lA.

故答案为：1.4.

14.如果关于尤的一元二次方程X2+2X-k=Q有实数根，那么k的取值范围是k?-1

解：根据题意得△=22-4义(-左)20,

解得栏-1.

故答案为左三-1.

15.如图，。。是△ABC的外接圆，BC=2,NBAC=30°,则GO的直径长等于4.

占

解：连接5。并延长交。。于D连接CD,

则N5CD=90。,

•：ZBAC=30°,

：.ZD=ZBAC=30°,

,:BC=2,

：.BD=2BC=^,

故答案为：4.

16.如果抛物线y=N-6x+c-2的顶点至!Jx轴的距离是4,则。的值等于7或15.

解：・・,抛物线y=N-6x+c-2的顶点到x轴的距离是4,

.14X1X(C-2)-(-6)2

"4X1，

解得Cl=7,C2=15,

故答案为：7或15.

17.如图，。为A8边上一点，AD-.DB=3：4,DE〃AC交BC于点E,贝U&B»E：S^AEC

等于16：21.

A

解：-：DE//AC,

:.ABDEsABAC,且A£＞：DB=3：4,

:.BD：AB=DE：AC—4：7,SKBDE：S/\BAC=16：49,

S/^BDE：S四边形。石CA=16：33,

9：DE：AC=4：7,△ADE与△ACE的高相等，

S^ADEISAACE=^：7=12：21,

S^BDE：SAAEC—16：21,

故答案为：16：21.

2

18.如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线Ci：y=N(尤与0)和抛物线C2：y=—(x

4

20)交于A,8两点，过点A作CZ>〃x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C、D,过点8

作EF//X轴分别与y轴和抛物线G交于点E、F,则等曳的值为

2

解：设点A、B横坐标为0,则点A纵坐标为。2,点8的纵坐标为

4

'：BE//x^,

2

...点尸纵坐标为且一，

4

..•点尸是抛物线y=x2上的点，

...点尸横坐标为

：C£)〃x轴，

...点。纵坐标为。2,

2

:点。是抛物线y=会上的点，

点D横坐标为x=y/~^=2a,

131

'.AD—a,BF——a,CE——a2,OE——a2,

244

也幽------=lx4=l；

SAEAD836

故答案为：

6

三、解答题（本大题共8题，共78分）

19.计算：4sin60°+（3.14-IT）0-V12-tan230°.

解：原式=4义^^"+1-2

=273+1-273-4

o

=_2

~~3'

20.随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习选择某校计划为

学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论为了解学

生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（不

可多选，也不可不选），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中信

息，解答下列问题：

（1）直接写出本次调查的学生总人数32；

（2）补全条形统计图；

（3）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；

（4）该校共有学生3000人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生有多少人?

解：（1）本次调查的学生总人数：18・20%=90,

故答案为：90；

（2）在线听课的学生有：90-24-18-12=36（人），

补全的条形统计图如右图所示;

（3）扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角是：360°X怎19=48°,

90

即扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角是48°；

(4)3000X2^4=800(人)，

90

21.某高速公路建设中，需要确定隧道A8的长度.已知在离地面1800机高度C处的飞机

上，测量人员测得正前方A,B两点处的俯角分别为60°和45。（即/Z）CA=60°,Z

DCB=45°）.求隧道A8的长.（结果保留根号）

解：由题意得NCAO=60°,NCBO=45°,

VOA=1800Xtan30°=1800X浮=600«,O8=OC=1800,

：.AB=(1800-60073)(m).

答：隧道AB的长为(1800-600代)m.

22.如图，ZXABC中，8。平分/ABC,E为BC上一点、,NBDE=/BAD=90°.

(1)求证：BD2=BA-BE；

(2)若A2=6,BE=8,求C£)的长.

B

【解答】证明：(1)平分/ABC,

ZABD^ZCBD,

又•.•/BOEn/BAOngO。,

：.AABD^/\DBE,

.ABBD

"BD'"BE'

：.BD2=BA・BE；

(2)\"AB=6,8E=8,BD2=BA-BE,

：.BD=4M，

：.DE=yBE?-BD2=464-48=4,

ZBDC=ZA+ZABD=ZBDE+ZEDC,

：.ZABD=ZCDE,

.,.ZCDE^ZDBC,

又：/C=NC,

:.丛BCDs丛DCE,

.DECDEC

"BD"BC'CD，

.CD二EC=4

"8+EC=CD=4^)

：.EC=4,CD=4y[3,

方法二、：sin—器=毋=右

：.ZDBE=3O°,

AZABD=ZDBE=3O°,

AZC=30°,

:.NC=/DBC,

:・BD=CD,

VZABD=30°,

.ABM

..co7sAZnAnBD-----

BD2

:川=4如,

：.CD=4yfj.

23.关于x的一元二次方程k2+2妹+机2+机=。有两个不相等的实数根.

(1)求相的取值范围.

(2)设出的、12是方程的两根，且％12+刈2=12,求小的值.

解：(1)根据题意得：

A=(2m)2-4(m2+m)>0,

解得：m<0.

.*.m的取值范围是m<0.

(2)根据题意得：》+工2=-2m,x\X2=ni1+m,

VXI2+X22=12,

2

(xj+x2)~2X1X2=12,

(-2m)2-2(m2+m)=12,

・••解得：mi=-2,rri2=3(不合题意，舍去)，

••m的值是-2.

24.如图，已知三角形ABC的边A3是。。的切线，切点为B.AC经过圆心。并与圆相交

于点。、C,过。作直线CELA5,交A5的延长线于点E

(1)求证：C8平分NACE；

(2)若BE=3,CE=4,求。。的半径.

【解答】（1）证明：如图1,连接。5,

〈AB是。0的切线，

・•・OBLAB,

CE_LAB,

：.OB//CE,

・・・N1=N3,

OB=OC,

・・・N1=N2

・・・N2=N3,

・・・C3平分NACE；

(2)如图2,连接5。，

•・・CE_LAB,

：.ZE=90°,

BE24CE2=V32+42=5'

：C£＞是O。的直径，

：.NDBC=90°,

NE=ZDBC,

:ADBCsACBE,

.CD.BC

"BCr-CE，

：.BC2=CD-CE,

•・c=X

25

•••OC得CD=

V

25

.•・O。的半径=；

25.如图，直线％=履+6与函数y2=K(x<0)的图象相交于点A(-1,6),与x轴交于

x

点C,且NACO=45°,点。是线段AC上一点.

(1)求女的值与一次函数的解析式.

(2)若直线与反比例函数的另一支交于5点，直接写出yiV”自变量x的取值范围，并

求出△A05的面积.

(3)若&COD：S"oc=2：3,求点。的坐标.

解：(1)•・•反比例函数经过点A(-1,6),

:.k=-6.

作AE_LJ轴,交工轴于点及

：.E(-1,0),EA=6,

VZACO=45°，

：.CE=AE=6,即C(5,0),

-k+b=6

把A(-1,6),C(5,0)代入yi=fct+A得，