2023北师大版新教材高中数学必修第一册同步练习-第六章　统计综合拔高练

2023北师大版新教材高中数学必修第一册

第六章统计

综合拔置）练

五年高考练

考点1各种统计图表

1.（2021全国甲理,2）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样

调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:

频率

组距

0.20

0.14

0.10

0.04

0.02

0

户炉◎©j小心小/0不气气冷收入

万兀

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

2.（2018课标全国1,3）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一

倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况恪充计了该地区新农村

建设前后农村的经济收入构成比例彳导到如下饼图：

一一'、空三产业收入

种植（60%/^4%

收入I成尹他收入

殖收入

建设前经济收入构成比例

第三产业收入

/\2中

种植17a45%

收入V河7其他收入

殖收入

建设后经济收入构成比例

则下面结论中不正确的是（）

A.新农村建设后，种植收入减少

B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

3.（2020天津,4）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位:mm）,将所得数据分

为9组:[5.3L5.33）,[5.33,5.35）,...,[5.45,5.47）,[5.47,5.49],并整理得到如下频率

分布直方图厕在被抽取的零件中直径落在区间[5.43,5.47）内的个数为（）

A.10B.18C.20D.36

4.（2018课标全国1,19节选）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数

据（单位:m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：

未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用

[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,03)[03,0.4)

水量

频数1324

日用

[0.4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,07)

水量

频数92655

使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,03)

频数1513

日用水量[03,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)

频数10165

Q）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;

频率/组距

3/

.

3

.2

3

.

Z.0

Z.8

Z.46

Z2

Z

L.0

L.8

L./6

L

L

.2

O..0

OS..8

S.46

2

00.10.20.30.40.50.6日用水量/m，

（2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水.（一年按365天计算，同一组中

的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）

考点2数据的数字特征

5.（多选）（2021全国新高考口,9）下列统计量中可用于度量样本Xl,X2,....Xn离散程

度的有（）

A.Xl,X2,...,Xn的标准差

B.Xl,X2,...,Xn的中位数

C.Xl,X2,...,Xn的极差

D.Xl,X2,...,Xn的平均数

6.（多选）（2021全国新高考1,9）有一组样本数据Xl,X2,...,Xn,由这组数据得到新样

本数据yi,y2,...,yn,其中yi=xi+c（i=l,2......n）,c为非零常数，则（）

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样本数据的样本极差相同

7.（2020全国ID文,3）设一组样本数据xi,x2,...,xn的方差为0.0L则数据

10X1,10X2,...,10Xn的方差为（）

A.0.01B.0.1C.lD.10

8.（2020全国ID理,3）在一组样本数据中,123,4出现的频率分别为piRRR,且

4

lPt=L则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）

i=i

A.pi-p4-0.1,p2-p3~0.4

B.pi=p4=0.4,P2=p3=0.1

C.pi—p4=0.2,p2=p3~0.3

D.pi=p4=0.3,p2=p3=0.2

9.（2019课标全国口,5）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定

该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分彳导到7个有效

评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）

A.中位数B.平均数C方差D极差

10.（2019课标全国印,3）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中

国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大

名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生

共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过

《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生

总数比值的估计值为（）

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

11.（2020江苏,3）已知一组数据4,2a,3a5,6的平均数为4厕a的值

是•

12.（2021全国乙理,17）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产

产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品彳导到

各件产品该项指标数据如下：

旧设备9.810.310.010.29.9

新设备10.110.410.110.010.1

旧设备9.810.010.110.29.7

新设备10.310.610.510.410.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为歹和歹，样本方差分

别记为货和s幺

⑴而方应后；

(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果歹-

%>2再I则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则

不认为有显著提高).

13.（2019课标全国II文,19）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,

随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长

率y的频数分布表.__________________________

y的分组企业数

[-0.20,0)2

[0,0.20)24

[0.20,0.40)53

[0.40,0.60)14

[0.60,0.80)7

Q）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业

比例;

（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区

间的中点值为代表）.（精确到0.01）

附:近5H8.602.

三年模拟练

应用实践

1.一组数据从小到大排列依次为3,5,6,7,8,9凶12,13,13,且该组数据70%分位数

不超过1L则x的取值范围是（）

A.[9,12]B.（9,ll]

C.（9,10）D.[9,10]

2.（2021湖北武汉期末）已知xi,X2，…,xn的平均数为元yi,y2，…,ym的平均数为

歹叵好）.若xi,X2,...,Xn,yi,y2,...,ym的平均数^=aH+Q-a）歹，其中0<a<|厕n,m的

大小关系为（）

A.n<mB.n>m

C.n=mD.不能确定

3.（2020湖南益阳模拟）为了解家庭教育年投入情况（单位:万元），随机抽查了甲、

乙、丙三地的若干个家庭，得到如图所示的三个统计图.用A表示众数,B表示中位

数,C表示平均数，则根据统计图提供的信息，下面的结论正确的是（）

t家庭个数

2O

13

12

0々58帚；5家庭教育年9人（万元）

乙

20万元

5%

43港入。万元

25%jkC_J3T,0%

V^I2万元7

\40%/

丙

A.A甲二A乙二A丙,B甲二8乙二B丙

甲二B乙,C甲二C乙二C丙

C.A丙＞人甲=A乙,C丙＞C甲＞（2乙

D.A丙＞人甲二A乙,3丙＞3甲＞3乙

4.（多选）（2022山东泰安肥城二联）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘

制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平

均最高气温约为15℃,B点表示四月的平均最低气温约为5°C.下面叙述正确的

有（）

一平均最低气温——平均最高气温

A.七月的平均温差比一月的平均温差大

B.十月的平均温差最大

C.三月和十一月的平均最高气温基本相同

D.平均最高气温（°C）在口5,20）内的月份至少有4个

5.（多选）（2022黑龙江哈六中月考）为了认真贯彻落实关于做好中小学生"停课不

停学”工作要求,各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模

式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动.为了解学生居家

自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100人，获得了他们一天

中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间（单位:小时）在

23）,⑶4）,[4,5）,...,[8,9）,910]内的数据，并绘制成频率分布直方图（如图）.则下列

结论正确的是（）

A.a=0.2

B.抽取的100人中,用于居家自主学习和锻炼身体的总时间的90%分位数为7.5

C.抽取的100人中，用于居家自主学习和锻炼身体的总时间的平均数为6.5

D.估计该校高三年级所有学生中，用于居家自主学习和锻炼身体的总时间的众数

为6.5

6.（多选）（2021重庆巴蜀中学适应性考试）气象意义上从春季进入夏季的标志

为："连续5天每天日平均温度不低于22。仁"现有甲、乙、丙三地连续5天日

平均温度的记录数据（数据都是正整数，单位：℃）满足以下条件：

甲地：5个数据的中位数是24,煜攵是22;

乙地：5个数据的中位数是27,平均数是24;

丙地：5个数据中有1个是32,平均数是26,方差是10.2.

则下列说法正确的是（）

A.进入夏季的地区至少有2个

B.丙地区肯定进入了夏季

C.不能肯定乙地进入夏季

D.不能肯定甲地进入夏季

7.某学校共有学生2000人，其中高一800人,高二、高三各600人，学校对学生

在暑假期间每天的读书时间进行了调查统计，得到全体学生每天的读书时间（单位:

小时）的平均数±=3,方差s2=L966,设三个年级学生每天的读书时间（单位:小时）

的平均数分别为为每豆方差分别为回对得已知

%!=2.7,X2=3.1,X3=33,sl=l,s1=2,贝必多=_.

8.（2022安徽蚌埠一检）某校计划在秋季运动会期间开展"运动与健康"知识大

赛，为此某班开展了10次模拟测试，以选拔选手代表班级参赛，下表为甲，乙两名学

生的历次模拟测试成绩（分）.

场次12345678910

甲98949797959393959395

乙92949394959496979798

记甲，乙两名学生测试成绩的平均数分别为姮，方差分别为名声

⑴求^歹,s^s/

（2）以这10次模拟测试成绩及Q）中的结果为参考，请你从甲，乙两名学生中选出

人代表班级参加比赛，并说明理由.

9.（2020福建泉州第五中学月考）鱼卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，还

深受外来游客的赞赏.小张从事鱼卷生产和批发多年,有着不少来自零售商和酒店

的客户.当地的习俗是农历正月不生产鱼卷，客户正月所需要的鱼卷都会在前一年

的农历十二月月底进行一次性采购.小张把去年年底采购鱼卷的数量x（单位:箱）

在［100,200］内的客户称为"熟客"，并把他们去年采购的数量绘制成下表：

采购数量[100,[120,[140,[160,[180,

x（单位箱）120)140)160)180)200]

客户数10105205

Q）根据表中的数据，补充完整这些数据的频率分布直方图，并估计采购数量在168

箱以上（含168箱）的“熟客"人数;

+频率

组距

0.025-----1-----------1-----------1------------1------------1------------1

0.020

0.015

0.010

0.005

（小商200荥购数量（箱）

（2）若去年年底"熟客"采购的鱼卷数量占小张去年年底总的销售量的|,估算小

张去年年底总的销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

⑶由于鱼卷受到游客们的青睐,小张做了一份市场调查以决定今年年底是否在网

上出售鱼卷，若没有在网上出售鱼卷,则按去年的价格出售，每箱利润为20元，预计

销售量与去年持平;若计划在网上出售鱼卷,则需把每箱售价下调2至5元（网上、

网下均下调），且每下调m元（2Am45）销售量可增加1000m箱，求小张在今年年

底收入Y（单位:元）的最大值.

答案与分层梯度式解析

第六章统计

综合拔IWJ练

五年高考练

ir由题中频率分布直方图可得，该地农户家庭年收入低于4.5万元和不低于

10.5万元的频率分别为0.06和0.L则农户比率分别为6%和10%,故A、B中结

论正确;家庭年收入介于4.5万元和8.5万元之间的频率为

0.1+0.14+0.2+0.2=0.64,^D中结论正确濠庭年收入的平均值为

0.02x3+0.04x4+0.1x5+0.14x6+0.2x7+0.2x8+0.1x9+0.1x10+0.04x11

+0.02x12+0.02x13+0.02x14=7.68（万元），因为7.68>6.5,所以估计该地农户

家庭年收入的平均值超过6.5万元，故C中结论不正确.故选C.

2.A设建设前经济收入为a,则建设后经济收入为2a,由题图可知：

建设前经济收入建设后经济收入

种植收入0.6a0.74a

第二产业收入0.06a0.56a

养殖收入0.3a0.6a

其他收入0.04a0.1a

根据上表可知B、C、D中结论均正确,A中结论不正确，故选A.

3.13由题中频率分布直方图可知，在被抽取的零件中，直径落在[5.43,5.47）内的

频率为（6.25+5.00）x0.02=0.225,频数为80x0.225=18,即直径落在区间

[5.43,5.47）内的个数为18.故选B.

4.解析⑴频率分布直方图如图.

(2)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数

x1=±x(0.05xl+0.15x3+0.25x2+0.35x4+0.45x9+0.55x26+0.65x5)=0.48.

该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数

^2=_Lx(0.05xl+0.15x5+0.25xl3+0.35xl0+0.45xl6+0.55x5)=0.35.

估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省水048-0.35)x365=47.45(m3).

5.AC由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度;由中位数的定义可

知,中位数考查的是数据的集中趋势;由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散

程度;由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势.故选AC.

71TlTlTL___

6.CD人项,设h二；2乂,贝方二：2'=，2(为+0=；24+口因为CW0,所以歹二M+c,所以

ni=lni=lni=lni=l

方歹，所以A选项错误.

B项，因为yi=Xi+c(i=L2,...,n),所以yi,y2,...,yn的中位数是xi,x2,...,xn的中位数加

c,所以B选项错误.

__72TI

C项，设S七W(X司2闻三W(3)2,

ni=lni=l

7777

所以S瓶及(Xi+C-/C)2W》(XiV)2,

ni=lni=l

所以，红房所以两组数据的方差相同，从而这两组数据的标准差相同，所以C选项

正确.

D项，设XI<X2<…<Xn厕第一组数据的极差为Xn-X1,设y1<y2<…<yn厕第二组数

据的极差为y『yi=(Xn+C)-(Xl+C)=Xn-Xl,所以两组数据的极差相同，所以D选项

正确.故选CD.

1.C由已知条件可知样本数据XI,X2，…,Xn的平均数"^方差sj.X[(XI-

球+(X232+...+(XnW2]=0.0L则数据10Xl,10X2,...,10Xn的平均数为

10%]+10%2+，，，+10%7110x.

n

所以这组数据的方差4』(10乂「10球+(1(k2-10动2+...+(1(^一10动2]二阴仅广

动2+%用2+…+(Xn-动2]=100s?=100X0.01=1,故选C.

44

2

8.13根据平均数"I和「方差s=i@伺2巴以及方差与标准差的关系彳导各选项

i=li=l

对应样本的标准差如下表.

选项平均期方差S2标准差s

A2.50.6570^65

B2.51.85VL85

C2.51.05VL05

D2.51.45VL45

由此可知选项B对应样本的标准差最大，故选B.

9.A根据中位数特征可知，去掉最高分和最低分后，只有中位数一定不会变化.故

选A.

10r在样本中，仅阅读过《西游记》的学生人数为90-80=10,由既阅读过《西

游记》又阅读过《红楼梦》的学生人数为60,得阅读过《西游记》的学生人数为

10+60=70,所以在样本中，阅读过《西游记》的学生人数所占的比例为荒=0.7,

即为该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值.

11.答案2

解析由题意得4+2。+y)+5+6=4,解得a=2.

12.解析

⑴亍4X(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0.

7=^x(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3.

2222

S2=_LX[(9.8-10.0)+(10.3-10.0)+(10.0-10.0)+(10.2-10.0)+(9.9-

10.0)2+(9.8-10.0)2+(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+(10.2-10.0)2+(9.7-

10.0)2]=0.036.

2222

s|=_Lx[(10.1-10.3)+(10.4-10.3)+(10.1-10.3)+(10.0-10.3)+(10.1-

10.3)2+(10.3-10.3)2+(10.6-103)2+(10.5-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.5-

10.3)2]=0.04.

(2)由⑴得歹-"0.3£+s：=0.076,

从而60)2=0.09(2]誓)=|(sj+s沪0.0304.所以G32>(2j等)，又歹>五故歹-

>2席I,因此新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.

13.解析Q)根据题中产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增

长率不低于40%的企业频率为需=0.21.

产值负增长的企业频率为急=0.02.

用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例

为21%产值负增长的企业比例为2%.

(2)^x(-0.10x2+0.10x24+0.30x53+0.50x14+0.70x7)=0.30,

s2/InW-歹)2/x［2x(-0.40)2+24x(-

0.20)2+53x02+14x0.202+7x0.402］=0.0296,

贝US=V0.0296=0.02XV74«0.17.

所以这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%和17%.

方法总结

利用频数分布表求平均数估计值的方法:各组区间中点值乘该组频数，并求和,

再除以样本容量.利用频数分布表求标准差估计值的方法:用各组区间中点值代表

该组，代入标准差公式即可.

三年模拟练

x+12,一

解得94X410.

{9<%<12,

2.A因为二二品元+日厂oE+(l-a)90<a4所以0<品与故n<m.

3。由甲地的条形图可知，家庭教育年投入的中位数为10,众数为10,平均数为

10.32;由乙地的折线图可知，家庭教育年投入的中位数为10,众数为10,平均数为

9.7;由丙地的扇形图可知，家庭教育年投入的中位数为12,众数为12,平均数为

12.4.结合选项可知C正确.

4.AC由题图得七月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离大于一月的

平均最高气温点与平均最低气温点间的距离,所以七月的平均温差比一月的平均

温差大故A正确.

阜月的冷均温差由显小于七月的平均温差，故B不正确；

三月和十一月的平均最高气温均为10°C,故C正确；

平均最高气温(℃)在［15,20)内的月份有五月、九月，共2个，故D不正确.故选AC.

5.ABP由题中频率分布直方图可得

(0.05+0.18+0.1+a+0.32+0.1+0.03+0.02)xl=L解得a=0.2,A正确；

易得前5组的频率之和为0.85,前6组的频率之和为0.95,所以用于居家自主学

习和锻炼身体的总时间的90%分位数位于区间［7,8)内，又因为居家自主学习和锻

炼身体的总时间在区间［7,8)内的频率为0.L所以抽取的100人中,用于居家自主

学习和锻炼身体的总时间的90%分位数为7.5,故B正确；

抽取的100人中，用于居家自主学习和锻炼身体的总时间的平均数为

2.5x0.05+3.5x0.18+4.5x0.1+5.5x0.2+6.5x0.32+7.5x0.1+8.5x0.03+9.5x

0.02=5.58,故C错误;

由频率分布直方图可得抽取的1