重难点专项训练-专题02 尺规作图训练（讲义）（原卷版）

专题02尺规作图训练核心知识点精讲理解尺规作图的定义．理解掌握基本作图的方法；理解掌握复杂作图点的方法；理解掌握应用与设计作图的方法。1．作图—尺规作图的定义（1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．（2）基本要求它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度．作图—基本作图基本作图有：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．（4）作已知角的角平分线．（5）过一点作已知直线的垂线．4.作图—复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．5.作图—应用与设计作图应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．【题型1：作图—尺规作图的定义】【典例1】如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC，连接CD，并证明：CD∥AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）【题型2：作图—基本作图（选择题）】【典例2】（2023•南山区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（）A．52 B．3 C．4 D．1．（2023•南山区三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，点E在AB上．若AC＝6，CD＝2，AB＝7，当DE最小时，△BDEA．2 B．1 C．6 D．72．（2023•罗湖区校级模拟）如图，已知AB＝AC，BC＝6，尺规作图痕迹可求出BD＝（）A．2 B．3 C．4 D．53．（2023•龙岗区校级四模）如图，已知a∥b，直线l分别与直线a，b相交于点A，B，现分别以点A和B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交直线b于点C，连接AC，若∠1＝40°，则∠ACBA．90° B．100° C．120° D．140°【题型3：作图—基本作图（作图题）】（2023•东莞市校级一模）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°．（1）尺规作图：作∠ACB的角平分线，交AB于点D（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图形中，延长CA至点E，使AE＝AD，连接BE．求证：CD＝BE，且CD⊥BE．1.（2023•花都区二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O；（1）尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E；（不写作法，保留作图痕迹）（2）若AC＝4，BD＝2，求cos∠BCE的值．2．（2023•广东模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°．（1）尺规作图：作边AB的垂直平分线DE，交AB于点D，交BC于点E．（保留作图痕迹，不写作法）（2）证明：BE＝2CE．【题型4：科学记数法】【典例4】（2023•南海区模拟）如图，△ABC为锐角三角形．（1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作图，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接（2）在（1）的条件下，若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为多少？1．（2023•开平市二模）如图，∠AOB＜60°．（1）以点O为圆心，任意长为半径作MN，分别交射线OA、OB于点C、D，连结CD；（2）分别以点C、D为圆心，CD长为半径作圆弧，两弧交于点P，连接CP，DP；（3）作射线OP交CD于点Q．下列结论中错误的是（）A．∠AOP＝∠BOP B．CP＝2QC C．CD⊥OP D．CP∥OB2．（2023•禅城区三模）如图，在△ABC中，AB＞AC＞BC，按如下步骤作图．第一步：作∠BAC的平分线AD交BC于点D；第二步：作AD的垂直平分线EF，交AC于点E，交AB于点F；第三步：连接DE．则下列结论正确的是（）A．DE∥AB B．EF平分AC C．CD＝DE D．CD＝BD3．（2023•南山区模拟）如图，在锐角三角形ABC中，AB＞AC＞BC，按如下步骤作图．第一步：作∠BAC的平分线AD；交BC于点D；第二步：作AD的垂直平分线EF，交AC于点E，交AB于点F；第三步：连接DE．则下列结论正确的是（）A．DE⊥AC B．DE∥AB C．CD＝DE D．CD＝BD4．（2022•香洲区校级一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC=3，以点B为圆心，以BC长度为半径作弧，交BA于点D，以点C为圆心，以大于12CD为半径作弧，接着再以点D为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交CA于点F，以点B为圆心，以BF为长度作弧，交BA于点G，则阴影部分的面积为35．（2023•中山市模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，在线段BC上找一点D（与B，C不重合），使得△ABD和△ACD均为等腰三角形．（1）一同学的解法是，如图1，以B为圆心，以BA的长为半径画弧与BC交于点D，请根据这种作法说明△ABD和△ACD均为等腰三角形；（2）请在图2中用尺规作图用另外一种方法找出点D（保留作图痕迹，不写作法）．【题型5：作图—应用与设计作图】【典例5】（2023•潮南区一模）如图，∠CAD是△ABC的外角．（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AE（不写作法，保留作图痕迹，用黑色墨水笔将痕迹加黑）；（2）若AE∥BC，求证：AB＝AC．1．（2023•福田区校级二模）图①，图②，图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②，图③给定的网格中按要求画图．（保留作图痕迹）（1）在图①中，在线段AB上画出点M，使AM＝3BM．（2）在图②中，画出一个格点C，使△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形．（3）在图③中，在线段AB上画出点P，使tan∠BPH＝1．2．（2023•龙华区二模）随着天气转暖，越来越多的市民喜欢到户外活动，小明与同学约定周末带帐篷到附近露营地开展活动．【买帐篷】经了解，某种帐篷有A、B两种型号，已知A型帐篷的单价比B型帐篷的单价多30元，用1200元购买A型帐篷的数量和用900元购买B型帐篷的数量相同．小明买了A、B两种型号帐篷各2个，共需多少钱？【摆帐篷】周末，小明与同学一起来到露营地，发现有一块由篱笆围绕的长20米，宽14米的矩形草地（抽象成如图2的20×14的方格纸）可用来摆账篷，经测量，每个帐篷占据的地面部分是半径为3米的圆形（抽象成如图1的圆），为保障通行，帐篷四周需要留有通道，通道最狭窄处的宽度不小于1米．小明将第一个帐篷按要求摆放在如图所示的位置，此块草地内最多还能摆下几个同样大小的帐篷呢？请在图2中画出符合要求的设计示意图．（要求：圆心要画在格点上，画圆时要用圆规）3．（2023•高要区二模）如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中作∠ABC的角平分线；（2）在图2中过点C作一条直线l，使点A，B到直线l的距离相等．一．选择题（共7小题）1．画△ABC中BC边上的高，下列四个画法中正确的是（）A． B． C． D．2．人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：如图，（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N．（2）分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC，射线OCA．SSS B．SAS C．AAS D．ASA3．用直角三角板作△ABC的边AB上的高，下列直角三角板位置摆放正确的是（）A． B． C． D．4．已知∠AOB＝20°和射线MN．如图，以点O为圆心，任意长度为半径画弧分别交∠AOB的两边于点P、Q，接着在射线MN上以点M为圆心，OP长为半径画弧l交射线MN于点N；以N为圆心，PQ长为半径画两段弧，分别交l于C、D两点，连MC，MD并延长．则∠CMD的度数为（）A．20° B．50° C．60° D．40°5．作一个角等于已知角用到下面选项的哪个基本事实（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS6．方方同学在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点C和点D，则直线CD即为所求，根据他的作图方法可知四边形ADBCA．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形7．如图所示，在△ABC中，按以下步骤作图：①在AB，AC上分别截取AD，AE，使AD＝AE；②分别以点D，E为圆心，大于12DE长为半径画弧，两弧相交于点F③作射线AF交BC于点M；④过点M作MN⊥AB于点N．下列结论一定成立的是（）A．CM＝MN B．AC＝AN C．∠CAM＝∠BAM D．∠CMA＝∠NMA二．填空题（共5小题）8．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，以点C为圆心，以任意长为半径作弧，分别交CB，CD于点E，F，再分别以E，F为圆心，以大于12EF的长为半径作弧，两弧在∠BCD内交于点P，连接CP并延长交AD于点Q，连接BQ．若BQ＝7时，则△BQC与△DCQ的周长之差为9．已知：线段a，b，求作：线段AB，使得AB＝2a+b，小明给出了五个步骤：①作一条射线AE；②则线段AB＝2a+b；③在射线AE上作线段AC＝a；④在射线DE上作线段DB＝b；⑤在射线CE上作线段CD＝a；你认为正确的顺序是．10．如图，在长方形ABCD中，连接BD，分别以B，D为圆心，大于12BD长为半径画弧，两弧交于点E，F，作直线EF，交AD于点M．若AD＝4，AB＝2．则AM的长为11．如图，在平面直角坐标系中，▱AOBC的顶点B在x轴上，点A的坐标为（2，3），以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E，再分别以点D，E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F，作射线OF交AC于点P．则点P的坐标是12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，按以下步骤作图：分别以点A和点C为圆心，以大于12AC长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交BC边于点D．连接AD．若AC＝8，AD＝5，则AB的长为三．解答题（共3小题）13．有这样一道作图题：“求作一个平行四边形ABCD，使得点A与边BC的中点E的连线平分∠BAD．”小明的思考过程是这样的：在不明确如何入手的时候，可以先把图描出来，接着倒过来想它有什么性质．例如，假设▱ABCD即为所求作，则AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA．又AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE．∴∠BAE＝∠BEA，∴BA＝BE．∵E是边BC的中点，∴…再倒过来，只要作出的平行四边形ABCD满足BC和BA的数量关系是（1）即可．（1）填空：．（2）参考小明的思考方式，用直尺和圆规作一个▱ABCD，使得点A与边BC的中点E的连线与对角线BD垂直．（要求：只保留作图痕迹，无需写出文字说明）14．如图，已知线段a、b，求作线段AB，使得AB＝2b﹣a（不写作法）．15．如图，有一张纸片，若连接EB，则纸片被分为矩形FABE和菱形EBCD，请你画一条直线把这张纸片分成面积相等的两部分，并说明理由．一．选择题（共7小题）1．如图，在▱ABCD中，AB＝3cm，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于12BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则四边形A．12cm B．14cm C．16cm D．无法确定2．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，观察尺规作图的痕迹，则AD的长为（）A．9 B．8 C．7 D．63．如图，已知锐角∠AOB，根据以下要求作图．（1）在射线OA上取点C和点E，分别以点O为圆心，OC，OE的长为半径画弧，分别交射线OB于点D，F；（2）连结CF，DE交于点P．则下列结论错误的是（）A．CE＝DF B．点P在∠AOB的平分线上 C．PE＝PF D．若∠AOB＝60°，则∠CPD＝120°4．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，连接AD，用尺规在AC上找一点N，使∠CBN＝∠CAD，关于作图痕迹，下列观点正确的是（）A．EF是以点C为圆心，AE长为半径的弧 B．PQ是以点B为圆心，AF长为半径的弧 C．GM是以点Q为圆心、EF长为半径的弧 D．GM是以点P为圆心、BP长为半径的弧5．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于12AC长为半径画弧，两弧交于M、N，过点M和点N作直线，交BC、AC分别于D、E，若AE＝8，△ABD的周长是30，则△A．30 B．38 C．46 D．546．某公司准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离相等，则送奶站C的位置应该在（）A． B． C． D．7．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AC，∠A＝56°．则∠A．74° B．84° C．86° D．96°二．填空题（共5小题）8．如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交AB和BC于点P，Q，以点P，Q为圆心，大于12PQ的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线BH交边AD于点E；分别以点A，E为圆心，大于12AE的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交边AD于点F，连接CF，交BE于点G，连接GD，若CD＝4，DE＝1，则S△DFGS9．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为5cm2，则OC的长为cm．10．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点D和E；②分别以点D，E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线BF交AC于点G；④过点G作GH∥BC交AB于点H．若∠HGB＝36°，则∠ABG的度数是11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D．若AC＝3，AB＝5，△ABC的面积为6，则CD的长为12．如图，已知线段a，b，求作一条线段，使它等于2a﹣b．作法：①画射线AM；②在射线AM上顺次截取AB＝a，BC＝a；③在线段AC上截取CD＝b．那么所求作的线段是线段．三．解答题（共3小题）13．作图题，求作一点P，使PM＝PN，且到∠AOB的两边距离也相等．14．如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上．（1）请在图1中的⊙O上作一点D（异于点B），使AD=AB，连接BD并延长交AC的延长线于点M，过A作BC的垂线交BM于点（2）在（1）中所作的图形中，若AB＝12，AC＝9，则AG的长为．（如需画草图，请使用图2）15．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ABC周长为16，AB＝5，则△ACD的周长为一．选择题（共2小题）1．（2020•深圳）如图，在△ABC中，AB＝AC．在AB、AC上分别截取AP，AQ，使AP＝AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于12PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．若BC＝6，则BDA．2 B．3 C．4 D．52．（2019•深圳）如图，已知AB＝AC，AB＝5，BC＝3，以A，B两点为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，