2.2 等腰三角形（解析版）

2.2等腰三角形了解等腰三角形和等边三角形的概念掌握等腰三角形和等边三角形的性质定理和判定定理掌握有一个角是30°的直角三角形的性质知识点一等腰三角形概念有两边相等的三角形叫做等腰三角形(isoscelestriangle).如图,在△ABC中,AB=AC△ABC是等腰三角形即学即练1如图，点D在AC上，AB=AC，AD=BD．你能在图中找到几个等腰三角形？分别说出每个等腰三角形的腰、底边和顶角．【答案】见解析【分析】根据等腰三角形的定义，即可进行解答．【详解】解：∵AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，△ABC中，腰：AB和AC，底边：BC，顶角为∠A；∵AD=BD，∴△DAB为等腰三角形，△DAB中，腰：AD和BD，底边：AB，顶角为∠ADB．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的相关定义，解题的关键是掌握在等腰三角形中，相等的两条边为腰，另外一条边为底边，底边所对的角为顶角．即学即练2已知线段a，b（如图）．用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使AB=AC=b，BC=a．【答案】见解析【分析】根据尺规作图方法和步骤即可进行解答．【详解】解：①在射线BD上，以点B为圆心，截取BC=a，②分别以点B和点C为圆心，b为半径画弧，两弧相交于点A，③连接AB,AC，△ABC即为所求．【点睛】本题主要考查了尺规作图，解题的关键是熟练掌握尺规作图的规则．注意尺规作图工具是没有刻度的直尺和圆规．即学即练3求证：等腰三角形两腰上的中线相等．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，CD，BE分别是腰AB，【答案】见解析【分析】根据等腰三角形的性质可得AB=AC，根据中线的定义可得AD=12AB，AE=12AC，则【详解】∵CD，BE分别是∴AD=12AB∵AB=AC（已知），∴AD=AE．在△ABE和△ACD中，AB=AC∠A=∠A∴△ABE≅△ACDSAS∴BE=CD（全等三角形的对应边相等）．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，中线的定义，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形两腰相等；全等三角形的判定定理有SSS,SAS,AAS,ASA,HL，全等三角形对应边相等，对应角相等．知识点二等腰三角形的对称性当我们沿着等腰三角形ABC的顶角平分线AD所在的直线把△ABC对折时，因为∠BAD=∠CAD,所以射线AB与AC重合，又因为AB=AC,所以点B与点C重合,即直线AD两侧的形能够完全重合.因此我们有下面的结论:等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在的直线是它的对称轴.知识点三等边三角形1.概念我们知道，三条边都相等的三角形叫做等边三角形(equilateraltriangle).如图,AB=BC=AC,△ABC是一个等边三角形.2.等边三角形于等腰三角形的关系等边三角形是一类特殊的等腰三角形3.等边三角形的对称性等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.4.常见轴对称图形及其对称轴名称图形及其对称轴对称轴的条数对称轴角1角平分线所在的直线等腰三角形1底边上的高(顶角平分线或底边上的中线)所在的直线等边三角形3各边上的高(内角平分线或中线)所在的直线等腰梯形1上、下底的中点的连线所在的直线圆无数过圆心的直线正方形4①对角线所在的直线;②对边中点的连线所在的直线正五边形5顶点与对边中点的连线所在的直线正六边形6①相对的两顶点的连线所在的直线;②对边中点的连线所在的直线注意(1)对称轴是一条直线,不是射线或线段.(2)一个轴对称图形的对称轴可以有1条,也可以有多条,还可以有无数条(3)轴对称图形是对于一个图形而言的，反映的是其自身的对称性即学即练如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB，AC上的点，且AD=AE．AP是△ABC的角平分线．点D，E关于AP对称吗？DE与【答案】点D和点E关于AP对称，且DE∥BC．理由见解析【分析】根据AD=AE可知三角形ADE为等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可进行解答．【详解】解：点D和点E关于AP对称，且DE∥BC．理由如下：∵AP是∠BAC的平分线，AB=AC，AD=AE，∴等腰三角形ABC和等腰三角形ADE都是以直线AP为对称轴的轴对称图形，∴点B和点C，点D和点E都关于AP对称．根据“对称轴垂直平分连结两个对称点的线段”，知AP⊥DE，AP⊥BC，∴DE∥BC．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形“三线合一”，对称轴垂直平分两个对称点的连线．题型一等腰三角形的定义例1（2022秋·浙江金华·八年级校联考期中）如果等腰三角形的两条边长分别为23cm和10cm，那么周长为cm【答案】56【分析】根据等腰三角形的性质和三角形三边关系即可得到结果．【详解】解：∵等腰三角形的两条边长分别为23cm和10cm，∴可有两种情况，分别是：23cm、23cm、10cm和23cm、10cm、10cm，根据三角形三边关系可得23cm、23cm、10cm符合条件，所以周长为23+23+10=56cm故答案为：56．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．举一反三1（2023秋·浙江杭州·八年级统考阶段练习）等腰三角形的周长为21．(1)若已知腰长是底边长的3倍，求各边长．(2)若已知一边长为6，求其他两边长．【答案】(1)等腰三角形的三边长是3，9，9(2)等腰三角形其他两边的长为7.5，7.5或6，9【分析】（1）设底边BC=a，则AC=AB=3a，代入求出即可；（2）分类讨论，然后根据三角形三边关系定理判断求出的结果是否符合题意．【详解】（1）解：如图，设底边BC=a，则AC=AB=3a，

∵等腰三角形的周长是21，∴3a+3a+a=21，∴a=3，∴3a=9，∴等腰三角形的三边长是3，9，9；（2）解：①当等腰三角形的底边长为6时，腰长=(21-6)÷2=7.5；则等腰三角形的三边长为6、7.5、7.5，能构成三角形；②当等腰三角形的腰长为6时，底边长=21-2×6=9；则等腰三角形的三边长为6，6、9，能构成三角形．故等腰三角形其他两边的长为7.5，7.5或6、9．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．举一反三2（2023·浙江金华·统考三模）等腰三角形的周长为10，腰长为x，求x的取值范围【答案】2.5<x<5【分析】由等腰三角形的周长是10，腰长为x，可得底边长为：10-2x，然后由三角形三边关系可得2x>10-2x，由底边大于0可得10-2x>0，继而求得答案．【详解】解：∵等腰三角形的周长是10，腰长为x，∴底边长为：10-2x，∴2x>10-2x解得：2.5<x<5．故答案为：2.5<x<5．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，利用三角形的三边关系得到关于x的不等式组是解题的关键．题型二确定第三边的取值范围例2（2023春·山西运城·八年级统考期中）等腰三角形腰长为5，则其底边长a的取值范围为．【答案】0<a<10【分析】由已知条件腰长是5，底边长为a，根据三角形三边关系列出不等式，通过解不等式即可得到答案．【详解】解：根据三边关系可知：5-5<a<5+5，即0<a<10．故答案为：0<a<10．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系的运用．列出不等式，通过解不等式求解是正确解答本题的关键．举一反三1（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）若a，b是△ABC(1)试求a，b的值，并求第三边(2)若△ABC是等腰三角形，试求此三角形的周长．【答案】(1)1<c<7(2)10或11【分析】（1）利用非负数的性质可求得a、b的值，根据三角形三边关系可求得c的范围；（2）分腰长为3或4两种情况进行计算.【详解】（1）解：∵|a-3|+(b-4)∴a=3，b=4，∵b-a<c<b+a，∴1<c<7；（2）解：当腰长为3时，此时三角形的三边为3、3、4，满足三角形三边关系，周长为：3+3+4=10；当腰长为4时，此时三角形的三边长为4、4、3，满足三角形三边关系，周长为：4+4+3=11；综上可知等腰三角形的周长为10或11；【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，三角形三边的关系，非负数的性质，分类讨论是解题的关键．举一反三2（2023秋·浙江金华·八年级校考阶段练习）已知在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=m．(1)求m的取值范围；(2)若△ABC是等腰三角形，求△ABC的周长．【答案】(1)2<m<14(2)20或22【分析】（1）根据三角形三边关系“在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，列出不等式即可求解；（2）分两种情况：AB为腰或AB为底，分别求解即可．【详解】（1）解：根据题意，AB-BC<AC<AB+BC，即8-6<m<8+6，∴m的取值范围为2<m<14；（2）若△ABC是等腰三角形，则当AB为腰时，AC=AB=8，此时，△ABC的周长为AB+AC+BC=8+8+6=22，当AB为底时，AC=BC=6，此时，△ABC的周长为AB+AC+BC=8+6+6=20．综上所述，△ABC的周长为20或22．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系以及等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题关键．题型三等腰三角形的对称性例3如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC．(1)作出△ABC的对称轴AD．(2)分别作出点E，F关于AD的对称点．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据等腰三角形“三线合一”的性质，画出△ABC底边上的高即可；（2）根据轴对称的性质呼出图形即可．【详解】（1）解：如图所示：（2）如图所示：【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形顶角的角平分线，底边上的高，底边上的中线重合；等腰三角形是轴对称图形对称轴是底边上的高．对称轴垂直平分对称点的连线．举一反三1（2021春·广东佛山·七年级统考期末）如图，△ABC中，AB=AC，利用尺规作图，作出△ABC的对称轴（不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析【分析】作∠BAC的角平分线即可（解法不唯一，作底边中线或高也可以）．【详解】解：以点A为圆心，适当长度为半径，画弧，交AB，AC各一点，以这两点为圆心，适当长度为半径画弧，交于∠BAC内一点，过这点作射线AE交BC于E，如图，直线AE即为所求．【点睛】本题考查作图-轴对称变换，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解等腰三角形是轴对称图形．举一反三2等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（

）A．腰上的中线 B．腰上的高所在的直线C．顶角的平分线所在的直线 D．过顶点的直线【答案】C【分析】轴对称图形的定义和等腰三角形的性质进行求解即可．【详解】解；等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的中线所在的直线或顶角的角平分线所在的直线或底边上的高所在的直线，故选C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和轴对称图形的定义，熟知三线合一定理是解题的关键．单选题1．（2022秋·广东广州·八年级广州市番禺区市桥星海中学校考期末）如图，把一张长方形的纸，按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC是（）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】依据折叠即可得到AB＝AC，进而得出△ABC的形状．【详解】解：由题可得，AB与AC可重合，即AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．故选：C．【点睛】本题考查了剪纸问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．2．（2022春·陕西西安·八年级校考期末）已知△ABC的三边a、b、c满足aa+c-bc-ab=0，则△ABC的形状为（A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】先提取公因式，得到a-ba+c=0，进而得出a-b=0，a+c≠0，即可判断【详解】解：∵aa+c∴aa+c∵a、b、c是△ABC的三边，∴a-b=0，a+c≠0，∴a=b，∴△ABC的形状为等腰三角形，故选：A．【点睛】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，解题的关键是能够对题目提供的式子进行因式分解．3．（2021秋·江苏盐城·八年级统考期中）在平面直角坐标系xOy中，点A2,0，B0,2，若点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】分为AB=AC、BC=BA，CB=CA三种情况画图判断即可．【详解】解：如图所示：当AB=AC时，符合条件的点有2个；当BC=BA时，符合条件的点有1个；当CB=CA，即当点C在AB的垂直平分线上时，符合条件的点有一个．故符合条件的点C共有4个．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．4．（2021秋·江西宜春·八年级校考阶段练习）已知等腰三角形一边长为4，一边的长为2，则等腰三角形的周长为（

）A．6 B．8 C．10 D．8或10【答案】C【分析】由于等腰三角形的底边和腰不能确定，故应分两种情况进行讨论．【详解】解：当4为底时，其它两边都为2，2、2+2=4，不可以构成三角形，舍去；当4为腰时，其它两边为4和2，因为2+4>4，所以能构成三角形，周长为4+4+2=10．故选C．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，解答此题时要注意分类讨论，舍去不符合条件的情况．5．（2022秋·湖北省直辖县级单位·八年级校联考期中）已知等腰三角形两边长为3cm和7cm，则周长为（）A．13cm B．17cm C．13cm或17cm D【答案】B【分析】分当腰长为3cm时，当底边长为3cm时，根据等腰三角形的定义求出等腰三角形的三边长，再根据构成三角形的条件结合三角形周长公式进行求解即可．【详解】解：当腰长为3cm时，则等腰三角形三边长分别为3cm，3cm，7cm，∵3+3<7，∴此时不能构成三角形；当底边长为3cm时，则等腰三角形三边长分别为3cm，7cm，7cm，∵7-3<7<7+3，∴此时能构成三角形，∴该等腰三角形的周长为7+7+3=17cm，故选B．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，熟知三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．二、填空题1．（2022春·陕西西安·八年级校考期中）等腰三角形两边长分别为4和8，则该三角形第三边长为．【答案】8【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和8，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：当4是腰时，因4+4=8，不能组成三角形，应舍去；当8是腰时，4、8、8能够组成三角形．则第三边应是8．故答案为：8．【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键．2．（2022秋·江西抚州·七年级江西省临川第二中学校考开学考试）一个等腰三角形相邻两个内角的度数比是2∶5，这个等腰三角形的顶角是度．【答案】30或100【分析】本题应分为当顶角较小时和当顶角较大时两种情况，然后根据等腰三角形的性质两底角相等求解．【详解】解：（1）当顶角较小时，顶角度数是：180°×2（2）当顶角较大时，顶角度数为：180°×5故答案为：30或100．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．注意：在没有说明谁大谁小的情况下应分为两种情况．3．（2023秋·海南海口·七年级海南华侨中学校考开学考试）已知一个等腰三角形一条边长4厘米，另一条边长9厘米，那么这个等腰三角形的周长是厘米．【答案】22【分析】根据构成三角形的条件和等腰三角形的性质得这个等腰三角形的底边长4厘米，腰长9厘米，即可得．【详解】解：∵4+4<9，∴这个等腰三角形的底边长4厘米，腰长9厘米，∴这个等腰三角形的周长是：4+9+9=22(cm)，故答案为：22．【点睛】本题考查了构成三角形的条件，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握这些知识点．4．（2023春·江西鹰潭·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，A，B的坐标分别为4,0，0,2，在x轴上找一点P，使△PAB是以线段AB为腰的等腰三角形，那么P点的坐标为．

【答案】(4-5,0)或(4+【分析】由等腰三角形定义得等量关系：PA=AB,或PB=AB，设P(m,0)，得PA2=(m-4)【详解】解：由题意，PA=AB,或PB=AB，设P(m,0)，则PA2=∴(m-4)2=20，解得，m=4+25或m=4-25或m=4故答案为：(4-5,0)或(4+【点睛】本题考查等腰三角形定义，两点间距离公式，利用平方根解方程；由几何图形的性质得到相等关系进而建立方程求解是解题的关键．三、解答题1．（2022秋·天津·八年级校考期中）在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．(1)在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A(2)在正方形网格中存在个格点，使得该格点与B、C两点构成以BC为底边的等腰三角形．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）分别作出△ABC关于直线l的对称点，顺次连接可得；（2）作线段BC的垂直平分线，从而得出符合条件的格点．【详解】（1）如图所示，△A（2）如图，在正方形网格中存在4个格点，使得该格点与B，C点构成以BC为底边的等腰三角形．故答案为：4．【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，熟知关于直线l对称的点的特点是解题的关键．2．（2019秋·河南濮阳·八年级统考期末）如图，AB⊥