人教版八年级下册数学 期末复习训练

第28讲期末复习训练(1)

考点精讲精练

|二次根式|

'二次根式:式子G(aNO)叫做二次根式

J最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式

同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同,

那么这几个二次根式叫做同类二次根式

(1)yfah-\[a\[b(a?0,b20)

(3)(\[ci)2=a(a，0)

次

根(4)=\al=<

-a(a<0)

式

(5)当时，(&/;必

V

、一加减法：合并同类二次根式

启算〈

乘法：\/a.扬=4cib(〃NO,b》O)

除法:%=、回心0,b>0)

4bvz?

考点一、二次根式的基本概念

【典型例题】

例1、二次根式、迎、声、^^2、"OR、J/+.中,最简二次根式有

（）个。

A、1个B、2个C、3个D、4个

例2、若式子五且有意义，则x的取值范围为（）

x—3

A、x>2B、xx3C>x22或XN3D、X22且XN3

例3、二次根式而开中的字母〃的取值范围是

例4、若实数4、匕满足|。+2|+7^=0,则£=

例5、计算:（3—玻2的值是（）

A、3-7TB、—0.14C^7T-3D、(3—

例6、下面四组二次根式中，同类二次根式是（）

例7、如果最简根式2咫赤工豆和3咫”2H8是同类根式,那么。。的值分别是（）

A、。=1,b=1B、〃=1,b=-1

C>a=-1,b=1D、a=—1,b=-1

举一反三：

1、若VT每在实数范围内有意义，则x的取值范围是.

2、如果、匚匚是二次根式，那么x应满足的条件是（）

V2-x

A、xw2的实数B、x<2的实数

C、x>2的实数D、x>0且xH2的实数

3、在&5、亚彳、后中、正-尸、3岳中，最简二次根式的个数有（）

A、4B、3C、2D、1

4、a,b,c是AABC的三边长，满足关系式Y_从+1a-b|=0,则△ABC的形状

为•

5、Q的算术平方根是（）

V16

6、当加=时，最简二次根式gj3m+l和4j2-/〃是同类二次根式。

考点二、二次根式的性质及运算

【典型例题】

例1、下列计算正确的是(

A、=-13B、3V2-2V2=1

C、-3V5+V5=-275D、V36=±6

例2、若”^^,则J+2x+l等于()

A、V2B、2+V2C、2D、V2-1

例3、+V3(73-l)-3°-|V3-2|=

例4、已知。=石-2,。=石+2,分别求下列代数式的值。

(1)、ab(2)、a2+ab+b2

口竽的值

例5、已知且x为偶数，求(1+x)

举一反三：

1、将(c-l)、旦中的根号外的因式移入根号内后为()

Vc-1

A、Jl-cB、Jc—1C、—《c—1D、—Vl—

2、小明在计算时遇到以下情况，结果正确的是（）

A、7^4x7^9=7(-4)x(-9)

C、[\[a)-a(。2。)D、以上都不是

3、计算：（2后-5n2而+5严

4、12

V3-V2VaO3-J1--V3+-V27

+7271V3+1V33

u-b+^b2-4ac-b-4b--4ac.、门、

5、----------------------------(h2-4«c>0)

2a2a

6、已知。一/?=1+后，b-c=1-V2o求：a2+b2+c2-ah-bc-ca

勾股定理

1、勾股定理：|对于任意的直角三角形,如果它的两条直角边分别为a、b,斜边为c,

22

那么一定有/+h=c,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2、勾股定理的逆定理：|如果三角形的三边长a,b,c有下面关系：a2+b2=c2,那么

这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理遮Jn面积问题

2、求长度问题

3、折叠问题

,4、最短距离问题

5、航海问题

6、网格问题

勾股定理中的转化思想：在解决实际的应用问题上，通常将实际问题中的"形"抽象简化

为形象的数学问题中的"数”的问题，在利用勾股定理计算时，常先利用转化的数学思想

构造出直角三角形，比如立体图形上两点之间的最短距离的求解，解答时先把立体图形

转化为平面图形，在平面图形中构造直角三角形求解。

4、命题与逆命题:

考点一、勾股定理

【典型例题】

例1、如图，在△ABC中，ZA=45°,ZB=30°,CD±AB,垂足为D,CD=1,则AB的长

为（）

A、2B、2A/3C、返+1D、V3+1

3

例2、如图,△ABC和^DCE都是边长为4的等边三角形，点B,C,E在同一条直线上，连接BD,

则BD长（）

A、V3B、2石C、3后D、4百

（例2）（例3）

例3、如图①是一直角三角形纸片，ZA=30",BC=4cm,将其折叠，使点C落在斜边

上的点U处，折痕为BD,如图②，再将图②沿DE折叠，使点A落在DU的延长线上

的点A处，如图③，则折痕DE的长为（）

8

A、3cmB、2^/5cmC、2\[2cmD、3cm

例4、如图，有两条公路OM,ON相交成30。角.沿公路OM方向离。点80米处有一

所学校A,当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆

形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大.若已

知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时.

（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；

（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间.

例5、己知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角

边作等腰直角三角形PCQ,其中NPCQ=90。，探究并解决下列问题：

（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+仃，PA=&,则：

①线段PB=,PC=；

②猜想：PA?,PB*12,3PQ2三者之间的数量关系为；

（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用

图②给出证明过程；

（3）若动点P满足詈,，求曝■的值.（提示：请利用备用图进行探求）

1JjJAv

举一反三：

1、在等腰△ABC中，AB=5,底边BC=8,则下列说法中正确的有（）

（1）AC=AB；

（2）SAABC=6；

（3）△ABC底边上的中线为4；

（4）若底边中线为AD,则△ABD合&ACD.

A、1个B、2个C、3个D、4个

2

2、如图，已知圆柱体底面圆的半径为7,高为2,AB,CD分别是两底面的直径.若一

只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是

（结果保留根号）.

3、在四边形ABCD中，AB=AD=8,ZA=60°,ZD=150",四边形周长为32,求BC和CD

的长度.

4、在某段限速公路BC上（公路视为直线），交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能

超过60km/h,并在离该公路100m处设置了一个监测点A.在如图的平面直角坐标系中，

点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在点A的北偏西60。方向上，点C在点A

的北偏东45。方向上.另外一条公路在y轴上，AO为其中的一段.

（1）求点B和点C的坐标；

（2）一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15s,通过计算，判断该汽车在这

段限速路上是否超速.（参考数据：^3=1.7）

北

5、如图，在RtZs.ABC中，ZACB=90°,AB=5cm,AC=3cm,动点P从点B出发沿射

线BC以lcm/s的速度移动，设运动的时间为t秒.

⑴求BC边的长;

⑵当△ABP为直角三角形时，借助图①求t的值;

⑶当△ABP为等腰三角形时，借助图②求t的值.

考点二、勾股定理逆定理

【典型例题】

例1、如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（）

A、7,24,25B、3—,4—,5—C、3,4,5D、47花

222

例2、下图是单位长度为1的网格图，48、C、。是4个网格线的交点，以其中两点为

端点的线段中，任意取3条，能够组成直角三角形个.

例3、观察下面几组勾股数，并寻找规律：

①4,3,5；②6,8,10；③8,15,17；④10,24,26；请你根据规律写出第⑤组

勾股数是.

例4、如图，在四边形ABC。中，AB.BC、8、DA的长分别为2、2、273>2,S.AB±BC,

求NBAD的度数。

例5、如图所示，在△A8C中，AB=5,AC=13,8c边上的中线AD=6,求8c的长.

举一反三：

1、若三角形的三边a,b,c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,则此三角形是

三角形，面积为.

2、等边三角形的三条高把这个三角形分成直角三角形的个数是()

A、8个B、10个C、11个D、12个

3,如图，AB=5,AC=3,8c边上的中线AD=2,则△ABC的面积为_______.

4、当a、b、c为何值时，代数式而与+〃+/-10ZJ—8C+6有最小值？并求出这个最

小值和此时以a、b、c值为边的三角形的面积.

5、(1)如图①所示，P是等边△ABC内的一点，连接PA、PB、PC,将△BAP绕B点

顺时针旋转60。得△BCQ,连接PQ.若PA2+PB2=PC2,证明NPQC=90。；

(2)如图②所示，P是等腰直角△ABC(NABC=90。)内的一点，连接PA、PB、PC,将

△BAP绕B点顺时针旋转90。得4BCQ,连接PQ.当PA、PB、PC满足什么条件时，

ZPQC=90°?请说明.

Ei

平行四边形

①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

②性质：平行四边形的对边平行且相等；

平行四边形的邻角互补，对角相等；

平行四边形的对角线互相平分；

平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；

③判定方法：

定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

判定方法1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

判定方法2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

判定方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形；

判定方法4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

④三角形中位线：

三角形中位线的定义：连结三角形两边叫做三角形的中位线.

三角形中位线性质：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.

考点一、平行四边形的性质

【典型例题】

例1、若平行四边形的一边长为5,则它的两条对角线长可以是（）

A、12和2B、3和4C、4和6D、4和8

例2、在平行四边形ABCD中，ZA：ZB：ZC：ND的值可以是（）

A、1：2：3：4B、1：2：2：1

C、1：2：1：2D、1：1：2：2

例3、如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点0,AB=5,AC=6,DB=8,

则四边形ABCD是的周长为o

例4、如图，在nABCD中，点P是AB的中点，PQIIAC交BC于Q,则图中与aAPC面

积相等的三角形有个.

（例4）

例5、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点。，经过点。的直线交AB于E,

交CD于F,求证：0E=0F.

举一反三：

1＞如图，在平行四边形ABCD中，AB=2,BC=4,AC的垂直平分线交AD于点E,则△CDE

的周长为.

2、如图，在。ABCD中，过点C作CE_LAB,垂足为E,若NBCE=42°,则ND度数是（）

A、42°B、48°C、58°D、138°

D

3、平行四边形ABCD的周长为20cm,对角线AC、BD相交于点。，若△BOC的周长比

△AOB的周长大2cm,则CD=cm。

4、如图，已知在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点0,且BD±CD,若AD=13,

CD=5,则B0的长度为.

5、已知：在平行四边形A8CD中，AE±BC,垂足为E,CE=C。，点F为CE的中点，点

G为CD上的一点，连结DF,EG,AG,Z1=Z2.

(1)若CF=2,AE=3,求8E的长；

1

(2)求证：ZCEG=5NAGE.

考点二、平行四边形的判定

【典型例题】

例1、四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点下列条件不能判定这个四边形是平行四

边形的是()

A、ABIIDC,ADIIBCB、AB=DC,AD=BC

C、AO=CO,BO=DOD、ABIIDC,AD=BC

例2、如图，已知在四边形ABCD中，ABIICD,AB=CD,E为AB上一点，过点E作EFIIBC,

交CD于点F,G为AD上一点，H为BC上一点，连接CG,AH.若GD=BH,则图中的平

行四边形有（）

A、2个B、3个C、4个D、6个

AGD

一

BHC

（例1）（例2）

例3、不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）

A、AB=CD,AD=BCB、AB=CD,ABIICD

C、AB=CD,ADIIBCD、ABIICD,ADIIBC

例4、如图3-34所示，E,F分别为平行四边形A8C。中AD,BC的中点，G,H在BD上,

且8G=DH,求证四边形EGF”是平行四边形.

AED

三

BFC

例5、如图1,在AOAB中，ZOAB=90°,ZAOB=30°,0B=8.以OB为边，在^OAB外

作等边AOBC,D是0B的中点，连接AD并延长交0C于E

（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；

（2）如图2,将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG,求0G

的长.

图1

举一反三：

1、下列条件不能识别一个四边形是平行四边形的是（）

A、一组对边平行且相等B、两组对边分别相等

C、对角线互相平分D、一组对边平行，另一组对边相等

2、如图，已知在=ABCD中，E,F是对角线BD上的两点，则以下条件不能判断四边形

AECF为平行四边形的是()

A、BE=DFB.AFXBD,CE±BD

C、ZBAE=ZDCFD、AF=CE

3、已知：如图，在△ABC中，ZBCA=90°,D、E分别是AC、AB的中点，点F在BC延

长线上，且NCDF=ZA；

(1)求证：四边形DECF是平行四边形；

(2)2四边形EBFD的周长为22，求DE的长。

A.B5

4,已知，如图，在"88中，延长。A到点E,延长8c到点F,使得AE=CF,连接EF,

分别交AB,CD于点M,N,连接DA4,BN.

⑴求证：△AEM^△CFN；⑵求证：四边形8A40N是平行四边形.

EAD

5、已知：如图，在△入8c中，ZACB=90°＞。是8c的中点，DELBC»CEII/W.如果

AC=2,CE=4.

(1)求证：四边形4CED是平行四边形;

(2)求四边形4CEB的周长；

(3)直接写出CE和4?之间的距离.

考点三、三角形中位线

【典型例题】

例1、如果等边三角形的边长为3,那么连结各边中点所成的三角形的周长为()

9

A、9B、6C、3D、一

2

例2、如图，点D,E分别为△ABC的边AB,BC的中点，若DE=3cm,贝UAC=cm.

例3、如图，四边形ABCD中，NA=90。，AB=3麻，AD=3,点M,N分别为线段BC,AB

上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E,F分别为DM,MN的中点，则EF

长度的最大值为.

（例2）（例3）

例4、如图，△ABC中，M是BC的中点，AD是NA的平分线，BD_LAD于D,AB=12,

AC=18,求DM的长。

例5、在△ABC中，D是△ABC的BC边上的中点，F是AD的中点，BF的延长线交AC

于点E.求证：AE=—CE.

B

D

举一反三：

1、如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、DF.若△ABC的周长为

10,则^DEF的周长为.

2,如图，已知在正方形ABCD中，连接BD并延长至点E,连接CE,F、G分别为BE,

CE的中点，连接FG,若AB=6,则FG的长度为

(1)(2)

3、如图，点A,B为定点，定直线IIIAB,P是I上一动点，点M,N分别为PA,PB的

中点，对下列各值：①线段MN的长；②4PAB的周长；③aPMIM的面积；④

直线MN,AB之间的距离；⑤NAPB的大小.

其中会随点P的移动而变化的是（）

A、②③B、②⑤C、①③④D、④⑤

4、如图，已知BD,CE分别是△ABC的外角平分线，过点A分别作BD,CE的垂线，交

BD,CE于点F,G,交直线BC于点M,N.求证：FGIIMN,FG=-(AB+BC+AC).

2

5、如图，D,E,F分别是正三角形ABC的边AB,BC,AC的中点，P为BC上任意一点,

△DPM为正三角形.求证：PE=FM.

特殊平行四边形一一矩形

①定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形.

②性质：具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等;

矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。

③判定方法：

定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；

判定方法1:有三个角是直角的四边形是矩形；

判定方法2：对角线相等的平行四边形是矩形.

④直角三角形斜边中线定理：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

考点一、矩形的性质

【典型例题】

例1、一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（-1,-1）,（-1,2）,

（3,-1）,则第四个顶点的坐标为（）

A、（2,2）B、（3,2）C、（3,3）D、（2,3）

例2、在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,若NAOB=60°,AC=10,则AB=.

例3、如图,把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的E处，若AE=2,DE=6,ZEFB=60°,

则矩形ABCD的面积是（）

A、12B、24C、126D'165/3

例4、重庆一中初二年级要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（2018•重庆校级模拟）

下列矩形都是由大小不等的正方形按照一定规律组成，其中，第①个矩形的周长为6,

第②个矩形的周长为10,第③个矩形的周长为16,...则第⑥个矩形的周长为（）

例5、如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点夕的位置，AB，与CD交

于点E.

（1）试找出一个与AAED全等的三角形，并加以证明；

（2）若AB=8,DE=3,P为线段AC上的任意一点，PG±AE于G,PH_LEC于H,试求PG+PH

的值，并说明理由.

举一反三：

1、矩形各内角的平分线能围成一个（）

A、矩形B、菱形C、等腰梯形D、正方形

2、矩形ABCD的两条对角线相交于点0,ZAOD=120°,AB=5cm,则矩形的对角线长

是（）

A、5cmB、10cmC、2非cmD、2.5cm

3、如图，在矩形ABCD中，BC=6,CD=3,将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C'

处，BC咬AD于点E,则线段DE的长为（）

15

A、3B、一C、5

4

4、如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，且AE=BC,DFJ_AE,垂足是F,连接DE.求

证：（1）DF=AB；（2）DE是NFDC的平分线.

5、如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，点A,点B落在点M处，点C,点D

落在点N处，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,若EH=3cm,EF=4cm,求

AD的长.

考点二、矩形的判定

【典型例题】

例1、如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH,要使四边形EFGH为矩

形，应添加的条件是（）

A、ABIICDB、AB=CDC、AC±BDD、AC=BD

例2、如图所示，过矩形八88的对角线80上一点K,分别作矩形两边的平行线MN与

PQ，则矩形AMKP的面积Si与矩形QCNK的面积52的大小关系是SiS2（填

或.

（例1）

例3、如图,在菱形ABCD中,AB=2,NDAB=60。,点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个

动点(不与点A重合)，延长ME交CD的延长线于点N,连接MD,AN.

⑴求证:四边形AMDN是平行四边形.

(2)当AM为何值时,四边形AMDN是矩形?请说明理由.

例4、如图，△ABC中，点。是边AC上一个动点，过0作直线MNIIBC.设MN交NACB

的平分线于点E,交NACB的外角平分线于点F.

(1)求证:OE=OF；

(2)若CE=12,CF=5,求0C的长；

(3)当点。在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由.

例5、如图，已知E是。ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点

(1)求证：△ABE合△FCE.

(2)连接AC、BF,若NAEC=2NABC,求证：四边形ABFC为矩形.

举一反三：

1＞在四边形ABCD中，AC、BD交于点0,在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD

为矩形的是()

A、AB=CD,AD=BC,AC=BDB、A0=C0,BODO,ZA=90°

C、ZA=ZC,ZB+ZC=180°,AC±BDD、ZA=NB=90°,AC=BD

2、如图，已知在四边形ABCD中，AB=DC,AD=BC,连接AC,BD,AC与BD交于点。，

若AO=BO,AD=3,AB=2,则四边形ABCD的面积为()

A、4B、5C、6D、7

3,如图，在四边形ABCD中，ADIIBC,ZD=90°,若再添加一个条件，就能推出四边形

ABCD是矩形，你所添加的条件是(写出一种情况即可)。

(2)(3)

4、如图，点0是菱形ABCD对角线的交点，DEIIAC,CEIIBD,连接0E.求证:

⑴四边形OCED是矩形；

(2)0E=BC.

5、如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,A0=C0,B0=D0,且

ZABC+ZADC=180°.

(1)求证：四边形ABCD是矩形.

(2)DFXAC,若NADF：ZFDC=3：2,则NBDF的度数是多少？

D

考点三、直角三角形斜边中线定理

【典型例题】

例1、直角三角形中，两直角边长分别为12和5,则斜边中线长是.

例2、在直角三角形ABC中，ZC=90°,CD是AB边上的中线，ZA=30°,AC=5百，则

△ADC的周长为o

例3、如图，在△ABC中，ZACB=90°,ZA=60°,AC=a,作斜边AB边中线CD,得到第

一个三角形ACD；DELBC于点E,作RtABDE斜边DB上中线EF,得到第二个三角形

DEF；依此作下去…则第n个三角形的面积等于.

例4、如图，△ABC中，NACB=90。，点E、F分别是AD、AB的中点，AD=BD.

证明：CF是NECB的平分线.

E

例5、在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三

角形，得到如图所示的四边形，则原直角三角形纸片的斜边长是多少？

4

举一反三：

1、如图，在RSABC中，ZACB=90°,CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的

对称点E恰好为AB的中点，则NB的度数是（）

A、60°B、45°C、30°D、75°

2、如图：已知在△ABC中，NC=25。，点D在边BC上，且NDAC=90。，AB=；DC.求NBAC

的度数.

3、如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点，PE±ABE,PF.LAC

于F,M为EF中点，则A/Vf的最小值为()

(2)(3)

4、如图，在四边形ABCD中，ZDAB=ZDCB=90°,对角线AC与BD相交于点0,M、N

分别是边BD、AC的中点.

(1)求证：MN±AC；

(2)当AC=8cm,BD=10cm时，求MN的长

5、如图所示，在nABCD中，AD=2AB,M是AD的中点，CE_LAB于E,ZCEM=40°,求

ZDME是多少度？

答案

第28讲期末复习训练(1)

考点精讲精练

二次根式

考点一、二次根式的基本概念

【典型例题】

例1、C

例2、D

例3、a>1

例4、--

2

例5、C

例6、B

例7、A

举一反三：

I

1、X~3

2,C

3、C

4、等腰直角三角形.

5、C

考点二、二次根式的性质及运算

【典型例题】

例1、C

例2、C

例3、373

例4、(1)-1；(2)13

9-x>0x<9

例5、解：由题意得♦

x-6>0x>6,6<x<9

x为偶数，，x=8・

x~—2x+1d)2

原式=(l+x)下丁=(l+x)

(x+l)(x-l)

lx-1y/x-1

=(1+X)J-----7=

Vx+lVx+l

=J(l+X)(X_l)

・・・当X=8时，原式=忻=3b

举一反三：

1>D

2、C

3、1

4、0；---V3

30

2

匚yIb-4aca+b

->>--------；---7

aa-b

6、原式=g[(a-b)2+g-c)2+(c-a)2]=5

勾股定理

考点一、勾股定理

【典型例题】

例1、D

例2、D

例3、A

例4、解：(1)作ADLON于D,

ZMON=30°,A0=80m,

AD=-^OA=40m,

即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离40m.

(2)如图以A为圆心50m为半径画圆，交ON于B、C两点,

ADJ_BC,

BD=CD』C,

在RtAABD中，BD=^B2-AD^VsO2-40？=30m-

BC=60m,

・「重型运输卡车的速度为18千米/时=300米/分钟，

重型运输卡车经过BC的时间=60+300=0.2分钟=12秒，

答：卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒.

例5、解：（1）①ABC是等腰直角三角形，AC=1+E，

AB=VAC2+BC2=V2AC2=

PA=&,

PB=AB-PA=%

如图1,过C作CD_LAB于点D,贝AD=CD=~1~AB=&”,

2

在PCD中，PC={PD2+CD2=2,

故答案为：V6；2；

(2)PA2+PB2=PQ2,

证明如下：

如图1,△ACB为等腰直角三角形，CD_LAB,

CD=AD=DB,

PA2=(AD-PD)2=(CD-PD)2=CD2-2CD*PD+PD2,PB2=(BD+PD)2=(CD+PD)2=CD2

-2CD»PD+PD2,

PA2+PB2=2CD2+2PD2=2(CD2+PD2),

在RtAPCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2,

PA2+PB2=2PC2,

V△CPQ为等腰直角三角形，且NPCQ=90。，

2PC2=PQ2,

PA2+PB2=PQ2,

故答案为：PA2+PB2=PQ2；

(2)证明：

△ACB为等腰直角三角形,CD±AB,

CD=AD=DB,

PA2=(AD+PD)2=(CD+PD)2=CD2-2CD»PD+PD2,PB2=(DP-BD)2=(PD-CD)2=CD2

-2CD*PD+PD2,

PA2+PB2=2CD2+2PD2=2(CD2+PD2),

在RSPCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2,

PA2+PB2=2PC2,

ACPQ为等腰直角三角形，且NPCQ=90。，

2PC2=PQ2,

PA2+PB2=PQ2；

(3)过点C作CD_LAB于点D,

..PA_1

'PB~T,

•・•点P只能在线段AB上或在线段BA的延长线上,

①如图3,当点P在线段AB上时，

..PA_1

PB~T

PA旺AB$D=PD,

42

在RtACPD中，由勾股定理可得CP=7cD2+PD2=2yCD»

在RtAACD中，由勾股定理可得AC=7AD2+CD2CD2=V2CD,

...PC=y-CD-VTo.

下而「

②如图4,当点P在线段BA的延长上时，

D

PB3

PA=4-AB=CD,

2

在RtACPD中，由勾股定理可得CP=VCD2+PD2=VCD2+(2CD)，

在RtAACD中，由勾股定理可得AC=VAD2+CD2=V2CD2=yf^D9

.PC二遥CD二亿

一而一&CD_h;__

综上可知兽的值为逗或型.

AC42

举一反三:

1>B

2、272

3、解:如图，连接BD,由AB=AD,ZA=60°.

则△ABD是等边三角形.即BD=8,Z1=60°.

又N1+Z2=150°,则N2=90°.

设BC=x,CD=16-x,由勾股定理得：x2=82+(16-x)2,解得x=10,16-x=6

所以BC=10,CD=6.

4、解：⑴在RQAOB中，

ZBAO=60°,

1

•«NABO—30°,OA—2AB.

・「OA=100m,AB=200m.

由勾股定理，得0B=MAB2—OA2=N2002—1002=10班班).

在R3AOC中，ZCAO=45°,

ZOCA=ZOAC=45°.

AOC=OA=100m.B(—10附，0),C(100,0).

10师+10050

(2)VBC=B04-C0=(10(hj3+I00)m,15

•••这辆汽车超速了.

5,解：(1)在世△ABC中,BC2=AB2-AC2=52-32=16,

/.BC=4cm.

(2)由题意知BP=tcm,

①如图①，当NAPB为直角时，点P与点C重合，BP=BC=4cm,即t=4；

②如图②，当NBAP为直角时，BP=tcm,CP=(t-4)cm,AC=3cm,

在RtaACP中，AP2=32+(t-4)2,

在Rtz\BAP中，AB2+AP2=BP2,

25

即52+m+(t—4)21=t2,解得t=ir.

25

故当△ABP为直角三角形时，t=4或t=W.

①②

(2)

⑶①如图①，当BP=AB时，t=5；

②如图②，当AB=AP时，BP=2BC=8cm,t=8；

(3)

③如图③，当BP=AP时，AP=BP=tcm,CP=|t-4|cm,AC=3cm,

25

在R3ACP中,AP2=AC2+CP2,所以t2=32+(t—4)2,解得t=石.

25

综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t=5或1=8或1=百.

考点二、勾股定理逆定理

【典型例题】

例1、B

例2、3

例3、详解：根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是

第n组数，则这组数中的第一个数是2(n+l),第二个是：n(n+2),第三个数是：(n+l)2+l.根

据这个规律即可解答.

第⑤组勾股数是12,35,37.

例4、连接入C.

,：AB±BC=^B,：.Z8=90°,

在△A8C中，Z8=90°,AB2+BC2=AC2,

y.'：AB=CB=2,AC=2五,ZBAC=N8cA=45°,

•••CD=2y/3,DA=2,：.CD2=12,DA2=^,AC2=8.：.AC2+DA2=CD2,

由勾股定理的逆定理得：ZDAC=90°,

ZBAD=NBAC+^D^C=45°+90o=135°.

D

BC

例5、

延长AO到上使.3,连接CN,

,\AB=CE=5,AD=DE=6,，E=12,

在-，£T中,.4C=13,AE=12,CE=5r

：,AC2=AE2+CE2,

「"=90°,

日勾股定理得：^D=^DE^+CE2=4«1,

在--400和-ECD中

.■,BC=2CD=2^i,

AD=DE

答：。中］区是2M.

<NADB-EDCF

BD=DC

.・.」AOgECDr

举一反三：

1、一直角一；一6一

2、D

3、解：延长4。到E,使DE=A。，连接8E,

•・^D为8C的中点，.•.DC=8。，

,在△/WC与△E08中，AD=ED,ZADC=^EDBrDC=BD,

二△ADC^△EDB(SAS),「.BE=AC=3,ZCAD=AE,

又；4E=2/W=4,AB=5,：.AB2=AE2+BE2,ZCAD=AF=90°,

nl1111

贝1JSAABC=SAA8£>+SAADC-~AD9BE+—AD9AC=-x2x3+—x2x3=6.

2222

故答案为：6.

4、解答：:7^+42+。2一1的一8。+6

=yJa-3+b2-106+25-25+c2-8c+16-16+6

=Ja-3+(b-5)2+(c-4)2-35,

y/a-3>0,(b-5)2>0,(c-4)2>0,

，代数式与+〃+c°8c+6有最小值时，a=3,b=5,c=4,

这个最小值为-35,

••・以。、b、c值为边的三角形为直角三角形，直角边为a和c,

・•・以a、b、c值为边的三角形的面积为12.

5,解答：(1)证明：由旋转的性质知：BP=BQ、PA=QC,NABP=NCBQ；

•・•△ABC是等边三角形，

ZABC=60°,即NCBP+ZABP=60°；

,/ZABP=ZCBQ,

ZCBP+ZCBQ=60°,即NPBQ=60°；

又••・BP=BQ,「.&BPQ是等边三角形；

BP=PQ；

•••PA2+PB2=PC2,即PQ2+QC2=PC2；

△PQC是直角三角形，且NPQC=90"；

(2)PA2+2PB2=PC2；理由如下:

同(1)可得：△PBQ是等腰直角三角形，则PQ=J/B,即PQ2=2PB2；

由旋转的性质知：PA=QC；

在^PQC中，若NPQC=90°,贝ljPQ2+QC2=PC2,即PA2+2PB2=PC2；

故当PA2+2PB2=PC2时，ZPQC=90".

平行四边形

考点一、平行四边形的性质

【典型例题】

例1、D

例2、C

例3、20

例4、3

【解答】解:AP