考研数学二(二次型)模拟试卷20(题后含答案及解析)

考研数学二（二次型）模拟试卷20(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．下列二次型中是正定二次型的是()A．f1=(x1一x2)2+(x2一x3)2+(x3一x1)2。B．f2=(x1+x2)2+(x2一x3)2+(x3+x1)2。C．f3=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3一x4)2+(x4一x1)2。D．f4=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4一x1)2。正确答案：D解析：f=xTAx正定对任意的x≠0，均有xTAx＞0；反之，若存在x≠0，使得f=xTAx≤0则f或A不正定。A选项因f1(1，1，1)=0，故不正定。B选项因f2(一1，1，1)=0，故不正定。C选项因f3(1，一1，1，1)=0，故不正定。由排除法，故选D。知识模块：二次型2．关于二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列说法正确的是()A．是正定的。B．其矩阵可逆。C．其秩为1。D．其秩为2。正确答案：C解析：二次型的矩阵所以r(A)=1，选项A、B、D都不正确。故选C。知识模块：二次型3．n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是()A．二次型xTAx的负惯性指数为零。B．存在可逆矩阵P使P—1AP=E。C．存在n阶矩阵C使A=C—1C。D．A的伴随矩阵A*与E合同。正确答案：D解析：选项A是必要不充分条件。这是因为r(A)=p+q≤n，当q=0时，有r(A)=p≤n。此时有可能p＜n，故二次型xTAx不一定是正定二次型。因此矩阵A不一定是正定矩阵。例如f(x1，x2，x3)=x12+5x32。选项B是充分不必要条件。这是因为P—1AP=E表示A与E相似，即A的特征值全是1，此时A是正定的。但只要A的特征值全大于零就可保证A正定，因此特征值全是1是不必要的。选项C中的矩阵C没有可逆的条件，因此对于A=CTC不能说A与E合同，即没有A是正定矩阵的结论。例如显然矩阵A不正定。关于选项D，由于A正定A—1正定A*正定A*与E合同，所以D项是充分必要条件。故选D。知识模块：二次型4．已知实二二次型f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2正定，矩阵A=(aij)3×3，则()A．A是正定矩阵。B．A是可逆矩阵。C．A是不可逆矩阵。D．以上结论都不对。正确答案：B解析：f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2=xTATAx=(Ax)T(Ax)。因为实二次型f正定，所以对任意x≠0，f＞0的充要条件是Ax≠0，即齐次线性方程组Ax=0只有零解，故A是可逆矩阵。故选B。知识模块：二次型5．设f=xTAx，g=xTBx是两个n元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是()A．xT(A+B)x。B．xTA—1。C．xTB—1x。D．xTABx。正确答案：D解析：因为f是正定二次型，A是n阶正定阵，所以A的n个特征值λ1，λ2，…，λn都大于零。设Apj=λjpj，则A—1pj=，A—1的n个特征值(j=l，2，…，n)必都大于零，这说明A—1为正定阵，xTA—1x为正定二定型。同理，xTB—1x为正定二次型，对任意n维非零列向量x都有xT(A+B)x=xTAx+xTBx＞0，这说明xT(A+B)x为正定二次型。由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵，所以xTABx未必为正定二次型。故选D。知识模块：二次型6．设A，B均为n阶正定矩阵，下列各矩阵中不一定是正定矩阵的是()A．A—1+B—1。B．AB。C．A*+B*。D．2A+3B。正确答案：B解析：A，B为正定矩阵，则A—1，B—1仍是正定矩阵，故A—1+B—1也是正定矩阵。类似地，选项C、D中的矩阵均为正定矩阵。故选B。事实上，由于(AB)T=BTAT=BA，但AB=BA不一定成立，故AB不一定是正定矩阵。知识模块：二次型7．下列条件不能保证n阶实对称阵A正定的是()A．A—1正定。B．A没有负的特征值。C．A的正惯性指数等于n。D．A合同于单位矩阵。正确答案：B解析：A—1正定表明存在可逆矩阵C，使CTA—1C=E，两边求逆得到C—1A(CT)—1=C—1A(C—1)T=E，即A合同于E，A正定，因此不应选A。D选项是A正定的定义，也不正确。C选项表明A的正惯性指数等于n，故A是正定阵。由排除法，故选B。事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正定阵的特征值必须全是正数。知识模块：二次型填空题8．二次型f(x1，x2，x3)=(x1+2x2+a3x3)(x1+5x2+b3x3)的合同规范形为______。正确答案：z12—z22解析：令则=3，所以该线性变换是非退化的，则原二次型与变换之后的二次型f=y1y2是合同的，故有相同的合同规范形。二次型f=y1y2的矩阵为，其特征值为，所以原二次型的正、负惯性指数均为1，故原二次型的合同标准形为z12—z22。知识模块：二次型9．设f=x12+x22+5x32+2ax1x2一2x1x3+4x2x3为正定二次型，则未知系数a的范围是______。正确答案：解析：二次型的矩阵为其各阶主子式为因为f为正定二次型，所以必有1一a2＞0且一a(5a+4)＞0，因此。故当时，A正定，从而f正定。知识模块：二次型10．设A是三阶实对称矩阵，满足A3=2A2+5A一6E，且kE+A是正定阵，则k的取值范围是______。正确答案：k＞2解析：根据题设条件，则有A3一2A2一5A+6E=O。设A有特征值λ，则λ满足条件λ3一2λ2一5λ+6=0，将其因式分解可得λ3一2λ2一5λ+6=(λ一1)(λ+2)(λ一3)=0，因此可知矩阵A的特征值分别为1，一2，3，故kE+A的特征值分别为k+1，k一2，k+3，且当k＞2时，kE+A的特征值均为正数。故k＞2。知识模块：二次型11．设α=(1，0，1)T，A=ααT，若B=(kE+A)*是正定矩阵，则k的取值范围是______。正确答案：k＞0或k＜一2解析：矩阵A=ααT的秩为1，且tr(A)=ααT=2，故矩阵A的特征值是2，0，0，从而矩阵kE+A的特征值是k+2，k，k。矩阵B=(kE+A)*=｜kE+A｜(kE+A)—1的特征值是k2，k(k+2)，k(k+2)。矩阵B正定的充要条件是特征值均大于零，即k2＞0且k(k+2)＞0，解得k＞0或k＜一2。知识模块：二次型12．设A是m×n矩阵，E是n阶单位阵，矩阵B=一aE+ATA是正定阵，则a的取值范围是______。正确答案：a＜0解析：BT=(一aE+ATA)T=一aE+ATA=b，故B是一个对称矩阵。B正定的充要条件是对于任意给定的x≠0，都有xTBx=xT(一aE+ATA)x=一axTx+xTATAx=一axTx+(Ax)TAx＞0，其中(Ax)T(Ax)≥0，xTx＞0，因此a的取值范围是一a＞0，即a＜0。知识模块：二次型解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13．设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，证明BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n。正确答案：必要性：设BTAB为正定矩阵，则r(BTAB)=n，因为r(BTAB)≤r(B)≤n，故有r(B)=n。充分性：因(BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，故BTTAB为实对称矩阵。若r(B)=n，则线性方程组Bx=0只有零解，从而对任意的n维实列向量x≠0，有Bx≠0。又A为正定矩阵，所以对于Bx≠0，有(Bx)TA(Bx)＞0。于是当x≠0，有xT(BTAB)x=(Bx)TA(Bx)＞0，故BTAB为正定矩阵。涉及知识点：二次型设为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵。14．计算PTDP，其中；正确答案：因为PT=，则涉及知识点：二次型15．利用上题的结果判断矩阵B一CTA—1C是否为正定矩阵，并证明结论。正确答案：由上一题中结果知矩阵D与矩阵M=合同，又因D是正定矩阵，所以矩阵M为正定矩阵，从而可知M是对称矩阵，那么B一CTA—1C是对称矩阵。对m维零向量x=(0，0，…，0)T和任意n维非零向量y=(y1，y2，…yn)T，都有即yT(B一CTA—1C)y＞0，依定义，yT(B一CTA—1C)y为正定二次型，所以矩阵B一CTA—1C为正定矩阵。涉及知识点：二次型设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记16．证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT；正确答案：f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2所以二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT。涉及知识点：二次型17．若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。正确答案：设A=2ααT+ββT，由于｜α｜=1，αTβ=βTα=0，则Aα=(2ααT+ββT)α=2α｜α｜T+ββTα=2α，所以α为矩阵对应特征值λ1=2的特征向量；Aβ=(2ααT+ββT)β=2ααTβ+β｜β｜2=β，所以β为矩阵对应特征值λ2=1的特征向量。而矩阵A的秩r(A)=r(2ααT+ββT)≤r(2ααT)+r(ββT)=2，所以λ3=0也是矩阵的一个特征值。故f在正交变换下的标准形为2y12+y22。涉及知识点：二次型18．用正交变换将二次型f(x1，x2，x3)=x12一2x22一2x32一4x1x2+4x1x3+8x2x3化为标准形，并给出所施行的正交变换。正确答案：二次型的矩阵为A=，特征多项式为｜λE一A｜==(λ一2)2(λ+7)，矩阵A的特征值为λ1=一7，λ2=λ3=2。由(λiE一A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ1=一7和λ2=λ3=2对应的特征向量分别为α1=(1，2，一2)T，α2=(一2，1，0)T，α3=(2，0，1)T，由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以先将α2，α3正交化，即β2=α2=(一2，1，0)T，β3=α3一再将α1，β2，β3单位化，即那么令Q=(γ1，γ2，γ3)=则二次型xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为一7y12+2y22+2y32。涉及知识点：二次型设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32一2x1x2—2x1x3+2ax2x3通过正交变换化为标准形2y12+2y22+by32。19．求常数a，b及所用的正交变换矩阵Q；正确答案：二次型矩阵及其对应的标准形矩阵分别为由矩阵B可知矩阵A的特征值为2，2，6。由矩阵A的迹tr(A)=3=2+2+b可得b=一1。由于2是A的二重特征值，而实对称矩阵A必可相似对角化，所以矩阵A的对应于特征值2的线性无关的特征向量有两个。于是矩阵2E—A的秩为1，而所以a=一1。由(λiE—A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ1=λ2=2和λ3=一1对应的特征向量分别为α1=(1，0，一1)T，α2=(0，1，一1)T，α3=(1，1，1)T，由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以先将α1，α2正交化，即β1=α1=(1，0，一1)T，再将β1，β2，α1单位化，即则正交变换矩阵Q=(γ1，γ2，γ3)=涉及知识点：二次型20．求f在xTx=3下的最大值。正确答案：二次型f=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为2y12+2y22—y32。条件xTx=3等价于yTQTQy=y12+y22+y32=3，此时f=2y12+2y22一y32=6—3y32的最大值为6，所以f在xTx=3下的最大值是6。涉及知识点：二次型已知二二次型f(x1，x2，x3)=4x22一3x32+4x1x2—4x1x3+8x2x3。21．写出二次型f的矩阵表达式；正确答案：二次型的矩阵为则二次型的矩阵表达式为f=xTAx。涉及知识点：二次型22．用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵。正确答案：矩阵A的特征多项式为｜λE—A｜==(λ一1)(λ一6)(λ+6)，矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=6，λ3=一6。由(λiE一A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ1=1，λ2=6，λ3=一6对应的特征向量分别为α1=(一2，0，1)T，α2=(1，5，2)T，α3=(1，一1，2)T，由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以可直接将α1，α2，α3单位化，即则正交变换矩阵Q=(γ1，γ2，γ3)=且二次型xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为f=y12+6y22一6y32。涉及知识点：二次型设二二次型f(x1，x2，x3)=3x12+3x22+5x32+4x1x3—4x2x3。23．写出二次型的矩阵表达式；正确答案：二次型的矩阵为则二次型的矩阵表达式为f=xTAx。涉及知识点：二次型24．求正交矩阵P，作变换x=Py将二次型化为标准形。正确答案：矩阵A的特征多项式为｜λE—A｜==(λ一1)(λ一3)(λ一7)，矩阵A的特征值为λi=1，λ2=3，λ3=7。由(λiE—A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ1=1