专题2.1 等式性质与不等式性质【七大题型】（举一反三）（人教A版2019必修第一册）（原卷版）

专题2.1等式性质与不等式性质【七大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1不等关系的建立】 1【题型2利用作差法比较大小】 2【题型3利用作商法比较大小】 2【题型4利用作差法比较大小的应用】 3【题型5利用不等式的性质判断正误】 4【题型6利用不等式的性质证明不等式】 5【题型7利用不等式的性质求取值范围】 6【知识点1不等关系】1．不等关系的建立在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组．【题型1不等关系的建立】【例1】（2022秋·西藏林芝·高一校考期中）下列说法正确的是（

）A．某人月收入x不高于2000元可表示为“x<2000”B．某变量y不超过a可表示为“y≤a”C．某变量x至少为a可表示为“x>a”D．小明的身高xcm，小华的身高ycm，则小明比小华矮表示为“x>y”【变式1-1】（2023·高一课时练习）某医院工作人员所需某种型号的口罩可以外购，也可以自己生产．其中外购的单价是每个1.2元，若自己生产，则每月需投资固定成本2000元，并且每生产一个口罩还需要材料费和劳务费共0.8元．设该医院每月所需口罩nn∈NA．n>800 B．n>5000 C．n<800【变式1-2】（2022秋·黑龙江双鸭山·高一校考期中）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是（

）A．5x+4yC．5x+4y【变式1-3】（2022·全国·高一专题练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（

）A．4×x0.5<100 B．4×x0.5≥100【知识点2比较大小】1．两个实数大小的比较如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a<b⇔a－b<0.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．【题型2利用作差法比较大小】【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知a>0，b>0，M＝a+b，N＝a+b，则A．M>N B．M<N C．M≤N D．M，N大小关系不确定【变式2-1】（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知x=-a2A．x<y BC．x>y D．x与【变式2-2】（2023秋·安徽蚌埠·高一统考期末）已知0<x<1，则下列不等式成立的是（A．x2>1x>x B．1【变式2-3】（2023·江苏·高一假期作业）已知a，b，c为不全相等的实数，P=a2+b2+c2A．P>Q BC．P<Q D【题型3利用作商法比较大小】【例3】（2023·全国·高一假期作业）已知c＞1，且x＝c+1－c，y＝c－c-1，则x，yA．x＞y B．x＝yC．x＜y D．x，y的关系随c而定【变式3-1】（2022秋·山东泰安·高一校考期中）设p=a2+aA．p>q B．p<q C．【变式3-2】（2023·江苏·高一假期作业）若0<x<1，则x、1x、x、x【变式3-3】（2021·全国·高一专题练习）P=a2+a【题型4利用作差法比较大小的应用】【例4】（2023·高一课时练习）某单位计划组织员工参观花博会需租车前往．甲租车公司：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”．乙租车公司：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两家租车公司的单人全票价、车型都是一样的，试根据该单位参观的人数，选择一下租车公司．【变式4-1】（2022·上海·高二专题练习）有甲、乙两位股民，分两次同时以a，b两种不同价格（单位：元/股）买入同一种股票；甲的买入方式为：每次买入10000元的股票：乙的买入方式为：每次买入股票2000股；请根据两人所买股票的平均每股价格，判断哪一位的买入方式比较合算？【变式4-2】（2023秋·广东·高一统考期末）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积与地板面积分别为am2，(1)若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为220m(2)若同时增加窗户面积和地板面积各nm【变式4-3】（2023·江苏·高一假期作业）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；(3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了.【知识点3等式性质与不等式性质】1．等式的基本性质性质1如果a＝b，那么b＝a；性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4如果a＝b，那么ac＝bc；性质5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).2．不等式的性质(1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．【题型5利用不等式的性质判断正误】【例5】（2023春·福建·高二统考学业考试）已知a<2，则下列不等式正确的是（

A．a+c<2+c B．a2<【变式5-1】（2023春·上海宝山·高一统考期末）如果a<b<0A．a2>ab B．a2<b【变式5-2】（2023春·江苏扬州·高一统考开学考试）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（

）A．若a>bB．若a>bC．若a>bD．若a>b>【变式5-3】（2023秋·河南省直辖县级单位·高二校考阶段练习）下列命题中正确的是（

）A．若a>b，则ac2>bcC．若a>b，c>d，则a-c>【题型6利用不等式的性质证明不等式】【例6】（2023·全国·高一假期作业）证明下列不等式：(1)已知a>b(2)已知a>b>0,【变式6-1】（2023·全国·高一假期作业）（1）已知a<b<c，且（2）证明：a-a【变式6-2】（2022秋·内蒙古呼和浩特·高一统考期中）证明不等式．(1)bc-ad≥0，bd＞0(2)已知a＞b＞c＞0，求证：ba【变式6-3】（2023·高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式：(1)若a<b，c<0(2)若a<0，-1<b【题型7利用不等式的性质求取值范围】【例7】（2023·全国·高三专题练习）已知－1<x＋y<4，2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围