2023年湖南省株洲市成考专升本数学(理)自考真题(含答案)

2023年湖南省株洲市成考专升本数学(理)

自考真题(含答案)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

1.等比数列{%}中,已知对于任意自然数n有ai+a2+..a=2n-l,则

a，+a22+...an2的值为()

A.(2"-l)2

B.1/3(27)2

C.1/3(4M)

D.4M

2.设P={x|x2—4x+3<0},Q={x|x(x-1)>2},则PCQ等于()

A.A.{x|x>3}

B.{x|-l<x<2)

C.{x|2<x<3)

D.{x|l<x<2}

^0<0<-,则

2

(A)sin0>cos0(B)cos0<cos20

3(C)sin0<sin20(D)sin0>sin1©

函数y=/(»)的图像与函数y=2”的图像关于直线y对称，则，幻=

(A)2*(B)log2x(x>0)

4.(2(D)log(2*)(x>0)

5在△48C中.已知sirU=y.eo>«=3那么cosCYj

16

A.A.65

56

B.M

16.56

C.K或65

16一卡56

D.

抛物线/=__4x的准线方程为

/(A)x=-l(B)x=l(C)y=l(D)y=-l

o.

7.

下列函数中，为奇函数的是()

A.y=-x3

B.y=x3-2

C.'=6I

8.以‘-"7二°的两个根的平方为根的一元二次方程是

A.J2—11x4-1=0

B.12j]=o

C.X1-11j-l=o

D.工2+1+1=。

9.9种产品有3种是名牌，要从这9种产品中选5种参加博览会，如果

名牌产品全部参加，那么不同的选法共有（）

A.A.30种B.12种C.15种D.36种

10.过点P(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程为()

A.x/5+y/5=lB.x/5+y/5=l或y=3/2xC.x+y=5D.y-3=3/2(x-2)

尸=l+rcosj

11.圆L=-2+C为参数)的圆心在()上

A.(l,-2)B,(0,5)C,(5,5)D,(0,0)

12.

设aW（0.彳）,cos■，则sin2a等于（）

A.8/25B.9/25C.12/25D.24/25

若a,8是两个相交平面,点4不在a内，也不在0内，则过4且与a和6都平行的

直线（）

（A）只有一条（B）只有两条

13（C）只有四条（D）有无数条

14.一切被3整除的两位数之和为（）

A.4892B.1665C.5050D,1668

15.下列函数的图像向右平移-个单位长度之后，与y=f（x）的图像重合的

是（）

A.y=f（x+1）B,y=f（x-1）C,y=f（x）+1D,y=f（x）-1

16.

在RtAABC中，已知C=90。，B=75°,c=4,则b等于（）

A.

B.

C.2^+2

D.2丘-2

不等式当二3MO的解集是

4一%

(A){*|»x<4}

(B){x-yCx«4|

(C)|x|xW］一或x>4}

(D){x|xW"或z>4}

18.

第3题下列各函数中，既是增函数又是奇函数的是()

A.y=3xB.y=x3C.y=log3xD.y=sinx

没角a£6以用的.则

(A)cosa<0<Htan«>0(B)cosa<0.fltana<0

1

；(C)cosu*o।,HIt,()(D)cos<i->0•fltuna*

20.已知偶函数y=f(x)在区间［a,b］(0<a<b)上是增函数，那么它在区间［-

b,-a］上是()

A.增函数B.减函数C.不是单调函数D.常数

在。到21r之间满足sinx=-/的了值是)

(A)学或学(B)竽鳄

(D)M或等

21.)6取60O

(15)椭圆。I5=I与圆+4>+丁=2的公共点个数是

22.(A)4(B；21C)I(D)0

23.已知平面向量2={3,x),b=-(-2,5),且a_Lb,则2=

()

A.A.6/5B.5/6C.-5/6D.-6/5

24.函数y=2x的图像与函数y=log2X的图像关于()

A.A.X轴对称B.y轴对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称

25.以x2-3x-l=0的两个根的平方为根的一元二次方程是0

A.x2-llx+l=O

B.X2+X-11=0

C.x2-llx-l=0

D.X2+X+1=0

有6人站成一排,其中有亲姐妹3人恰好相邻的概率为()

(A谛(B)f

26.(呜⑼看

27.已知f(x+l)=XA2-4,则f(x-l)=()

A.A.xA2-4xB.xA2-4C.xA2+4xD.xA2

28.已知｛i,j,k｝是单位正交基底，a=i+j,b=—i+j—k,贝!|a・b=

()

A.A.-1B.lC.OD.2

29.若函数f(x)=ax2+2ax(a>;0),则下列式子正确的是

A.f(-2)>f(1)

B.f(-2)<f(1)

C.f(-2)=f(1)

D.不能确定f(-2)和f(1)的大小

C：—+=1

30.已知三角形的两个顶点是椭圆,的两个焦点，第三

个顶点在C上，则该三角形的周长为（）。

A.10B.20C.16D.26

二、填空题(20题)

巳知随机变He的分布列为

E—10122

P0.I0.10.40.30.

31MEf-

布+G+述-云=

32._•_-・一一

33.若正三棱锥底面边长为a,且三条侧棱两两垂直，则它的体积为

某射手有3发子弹，射击一次，命中率是08,如果命中就停止射击，否则一直射到

34.子弹用完为止，那么这个射手用子弹数的期望值是------

35.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的

余弦值等于

36.斜率为2,且在x轴上的截距为-3的直线的方程是

37.一个圆柱的底面半径和高都与一个球的直径相等，则该圆柱与该球

的体积的比为

38.

39.已知随机应量，的分布列是：

fI,345

pu.4♦0.20.20.10.1|

则槎=

40.已知5九V(1<11/2兀，且|cosa|=m,则cos(a/2)的值等于.

41.已知>4.1>1«

42.正方体的全面积是a2,它的顶点都在球面上，这个球的表面积是

43.某同学每次投篮命中的概率都是0.6,各次是否投中相互独立，则该

同学投篮3次恰有2次投中的概率是______o

（了一上下展开式中，*

44.石的系数是

45.

从生产一批袋装牛肉松中随机抽取10袋测得重量如下，（单位：克）

76908486818786828583则样本方差等于

46.已知ij,k为单位向量且互相垂直，向量a=i+j,b=-i+j-k则a*b=

47.从新一届的中国女子排球队中随机选出5名队员，其身高分别为（单

位:cm）

196,189,193,190,183,175,

则身高的样本方差为cm2（精确到O.lcnP）.

48.

展开式中的常数项是

已知球的半径为i.它的一个小苗的面积是这个球表面积的;，则球心到这个小

0

49.，

50(17)的数y,«*的导致y'・.

三、简答题(10题)

51.

(本小题满分12分)

已知参数方程

x=+e")cosd,

y=4~(c，-e'f)»inft

2

(1)若，为不等于零的常量,方程表示什么曲线？

(2)若趴8~y.keN.)为常量.方程表示什么曲线？

(3)求证上述两个方程所表示的曲线有相同的焦点•

52.(本小题满分12分)

如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出肘，每天可销售100件。

现采取提高售出价，减少进货量的办法增加每天的利润，已知这种商品

每件涨价1元，其销售数量就减少10件，问将售出价定为多少时，赚

得的利润最大？

53.(本小题满分12分)

已知小吊是椭圆卷=1的两个焦点.尸为椭圆上一点,且z,"%=30°,求

△尸K吊的面积.

(25)(本小题满分13分)

已知抛物线/=去，0为坐标原点,F为抛物线的焦点・

(I)求10尸1的值；

(n)求抛物线上点p的坐标，使AOFP的面积为差

54.

55.

(本小题满分12分)

已知等差数列Ia」中=9,a3+«,=0,

(I)求数列［a」的通项公式•

(2)当n为何值时,数列"1的施”页和S.取得最大位，并求出该最大值.

56.(本小题满分12分)

某服装店将进价为40元一件的衬衫，按50元一件售出时，能卖出500

件，如果这种衬衫每件涨价1元，其销售量就减少10件，商店为了获

得大利润，问售价应为多少？

57.

(24)(本小题满分12分)

在aABC中*=45。,B=60°,AB=2,求△ABC的面积(精确到0.01)

58.

（本小题满分13分）

如图，已知椭88G：q+/=1与双曲线G：^-/=1（o>i）.

a.、.4

⑴设分别是C、，G的离心率,证明egVI；

（2）设4H是G长轴的两个端点『（颉,九）（1/1>a）在J上,直线与G的

另一个交点为Q,直线尸4与a的另一个交点为七证明QR平行于y轴.

59.

（本小题满分12分）

已知数列I。1中.，=2.a..t=ya..

（I）求数列Ia1的通项公式；

（U）若数列la」的前"项的和S.=器，求n的值.

10

60.体小题满分12分）

椭圆2x2+y2=98内有一点A（-5,0）,在椭圆上求一点B,使|AB|最大.

四、解答题（10题）

61.

（本小题满分12分）

在aABC中，A=30°,AB=2,BC=。求：

(l)sinC;

(2)AC

62.

三角形两边之和为10,其夹角的余弦是方程2--3x-2=0的根，求这个三角形周长

的最小值.

63.已知等比数列｛an｝中，ai=16,公比q=(l/2)

(I)求数列｛an｝的通项公式；

(H)若数列｛an｝的前n项的和Sn=124,求n的值

64.

设函数/(•rXwr'+bx、-3工在X」】处取得极值.

(I)求a,b的值;

(II)求f(x)的单调区间与极值；

(III)求曲线f(x)在点(2,2)处的切线方程.

65.已知六棱锥的高和底的边长都等于a

I.求它的对角面(过不相邻的两条侧棱的截面)的面积、全面积和体

积

II.求它的侧棱和底面所成的角，侧面和底面所成的角

已知椭圆的离心率为享,且该椭圜与双曲4焦点相同,求椭圆的标准

方程和准线方程.

66.

设函数,=〃，)是定义在IT上的M雨败,并且濡足=〃*)♦/(7)J(j)*L

(I)求/U)的值；

(2)如果人，)♦〃2・D<2.求*的取值低闱一

67.

68.

巳知黑的方程为+3+2,♦«'・(),一定点为4(1.2),要使其过定点4(1.2)

作KI的切线有两条.求a的取值簿用.

MHZx1+/=98内有一点4(-5,0),在楠圆上求一点比使IAB\最大•

69.

已知△,43C中，4=30。，BC=\,AB=43AC.

C])求/BI

70II，或△/8C的面积.

五、单选题(2题)

8in42°8in72<,+co842°co»72°等于()

(A)sin60°(B)cos60°

71「C；C"S114"(I)IMH1I4

72.在^ABC中，已知AB=5,AC=3,ZA=120°,贝！IBC长为

()

A.A.7

B.6

C.C.s/2o

D.D.719

六、单选题(1题)

73.若a=(l,5,-2),b=(m,2,m+2),且a_l_b,则m的值为()

A.OB.6C.-6D.l

参考答案

nnn1n12n

1.CV已知Sn=ai+a2+...an=2-l,Aan=Sn-Sn-i=2-l-2-+l=2-,Aann=(2-

1)2,ai2=l,a22=4,a32=16,a422=64,即:ai2,ai2.......anM是以q=4的等比

222nn

数列.Sn=ai+a2+...anii=(l-4)/(l-4)=l/3(4-l)

2.C

3.D

4.B

5.C

6.B

7.A

8.A

设x1-3工-1=0的两根分别为

X,，工：.则曲根与系数的关系得M+勺=3,

X1Xt=~\.

又所求方程的两根为了；♦*，

则=(工1+工2)：—2X1X2=11,4二

2

(J|X2)=1.

求方程为X2—1lx+1=0.

所以圆的圆心为(1,-2)

9.C

10.B选项A中，x/5+y/5=l,在轴上截距为5.但答案不完整了.•选项B中

有两个方程，y=3/2x在X轴上横截距与y轴上的纵截距都为0,也是相等

的.选项c,虽然过点(2,3),实质上与选项A相同.选项D,转化为y=3/2x,

答案不完整.

11.A

1+rcosd

因为|

［y=-2+rsin^

所以圆的圆心为0(1,2)

12.D

D【解析】因为a£(0.g),所以sina=

/】一(a»a供=J1-(1)’=卷.sin2a=

2sinacosa=!|.

13.A

14.B被3整除的两位数有：12,15,18,...,99.等差数列d=3,n=99/3-

9/3=33-9/3=30,S=((12+99)x30)/2

15.A图像向右平移-个单位长度后与y=f(x)的图像重合，即求y=f(x响左

平移一个单位的函数表达式.由y=f(x)图像向右平移©个单位，得

y=f(x+c)(c<0)图像，向左平移c个单位，得:y=f(x+c)图像，向上平移c

个单位，得:y=f(x)+c图像，向下平移|c|个单位，得:y=f(x)+c(c<0)图像.

反之：由：y=f(x+c)向右平移c个单位得:y=f(x)的图像.

16.A

17.A

18.B

19.B

20.B

由偶函数的性质，偶函数在［a,b］和上有相反的单调性，可知，

y=f(x)在区间［a,b］(O<a<b)是增函数，它在［-b,-a］上是减函数，此题考查

函数的性质。

21.D

22.D

23.A

6

a•b二2.5)二口：：)N-。./=三.(卷案为？^)

24.D

y=2x与y=log2X互为反函数，故它们的图象关于y=x对称.(答案

为D)

25.A

谩一―3*—1・0»同依全断玲»・*,.■(*椎川塞•的关泰得/,+1,-3.4，,=一1.

1畤4才as•根为？

划X+X—Ui+xi),-2xiXi>'-l.

二偌”.才〃为

26.B

27.A

28.C

a-b=(l,1,0)-(-1,1,-l)=lx(-l)+lxl+Ox(-l)=O.(答案为

C)

29.B

解法1由a>0,二次函数的图像开口向上，对称轴为工=噂=-1，所以

解法2,f(-2)=4a-4a=0,f(l)=a+2a=3a>0,所以f(-2)<f(l).

【解题指要】本题考查一元二次函数的知识.在研究二次函数的过程

中，要充分利用二次函数的图像辅助研究.

30.C

该小题主要考查的知识点为椭圆的性质.

林圆的两个焦点的距离为2c=

2Va--bz=6.又因为第三个顶点在C上，则该

点与两个焦点间的距离的和为2a=2X5=10.则

［考试指导］三角形的冏长为】()十616.

31.Eq=-1X0.1+0x0.l+lxo.4+2x0.3+3x0.1=1.2.（答案为

1.2）

32.

【答案】3AB

AB+AC+CB-13A

=AB+AB-BA

=2AB+AB=3AB.

33.

731

•—-/j•一—回a，.

224

由题章和正三顿钵的例粒装为%，

：.（学!）'一（华.告）f

也K7。$.・・.旺V6・£6，丁3卜少4・告5/♦4祭.

Z4

341,216

35.

（20）【参考答案】《

n

设三棱锥为P-ABC,0为底面正三角形A8C的中心,则OP1面AHC./.PCO即为侧梭与底

面所成角.

设48=1,则PC=2,OC=号.所以

co*乙PC。嘿噜

【解题指要】本题考查三棱锥的知识及线面角的求法.

正三棱锥的底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面正三角形的中

心，这是解题中应使

用的条件.

求线面角通常的方法是利用线面角的定义，求斜线和斜线在平面内的射

影所成角的大小.

36.由题意可知，直线的斜率为2,且过点（-3,0）.

工直线方程为y=2（x+3）,即2x-y+6=0.（答案为2x-y+6=0。）

37.

38.

,八为国也：侑形.八B"J.n所成的曲为60.余弦值为）.（答案为

39.

40.

•.•5xVaV?K（ae第三象限角），.•卓〈年〈之＜（年£第二象限南）,

4LL4'4）

41.

12U析；I。•l'・（a5）•（■"）■16-2*4.4»12.

42.

设正方体的校长为z・6/=”,工=今,因为正方体的大对角线为球体的直径.为2r^l3i

V6

=ya,UPr#a.所以这个球的表面积是S=W=4x•冷）：豺（答案为-；/）

22

43.0.432投篮3次恰有2次投中的概率为C3-0.6-0.4=0.432.

44.答案：21

设(z—白”的展开式中含工’的项

是第r+1项.

7rrr

VTr+l=Gx-(--^)=G/-，.(-x-7)

=C八-

令7-r-^-=4=>r=2,

Li

c,•(-l)^=c?­(-l)2=21,.*.x4的系数

是21.

45.

46.答案：0解析：由向量是内积坐标式，坐标向量的性质得:

「=/=A?=l,i・j=j・k=i•k=0

@=i+j.b=_i+j_匕得；

a・占=(i+j)(_j+j_jt)

=一产+产

=-14-1

=0.

47.

『=47.9(使用科挈计樽卷计算)J答案为47.9)

48.

由二项式定理可褥.常数项为C(外'(-3>=一能援=-84.(答案为一84)

49.

20.[

50.(17)Jr/

51.

（1）因为“0,所以e'+eVO.e'-eVO.因此原方程可化为

「产:尸os0,①

e+c

|=»»ng.②

Ke-e

这里e为参数.①1,消去参数心得

所以方程表示的曲线是椭圆.

（2）由"等入N.知co?”。血,”0,而，为参数，原方程可化为

CP2-②1.得

一名G=(e'+e-*)J-(e*

c<»flsin。

因为2e'e'=2J=2,所以方程化简为

?/ul

cos%sin2^

因此方程所表示的曲线是双曲线.

（3）证由（I）知，在神圜方程中记a?=«+：二f.『=><'）；

44

则d=0'-力=1,-1,所以焦点坐标为（±1.0）.

由（2）知，在双曲线方程中记a'=88、，y=6in'a

.则，“：+配=1,c=l.所以焦点坐标为（±1,0）.

因此（I>与（2）中的两方程所表示的曲线有相同的焦点.

52.

利润=精售总价-进货总仰

设每件提价工元(*N0),利润为y元,则每天售出(100-10动件,倘售总价

为(10+了)•(100-lOw)元

进货总价为8(100-10*)元(0«x<10)

依题意有:y=(10+*)-(100-lOx)-8(100-10x)

=(2+x)(100-10x)

=-10/+80x+200

y'=-20x+80,令y'uO得H=4

所以当x=4即售出价定为14元一件时，・得利润，大，最大利润为360元

53.

由已知.棚园的长轴长2a=20

设"用1=m.lPFJ由椭圆的定义知,m+n=20①

又/=100-64=364=6,所以"(-6,0)解(6,0)且15玛1=12

在中,由余弦定理得m2+na-2mnc(M3O°=12,

m:♦2mn+/=400,③

③-②,得(2♦回mn=256.m=256(2-玲

因此的面枳为%>“疝>30°=64(2-万)

(25)解：(I)由已知得F(4-,0),

O

所以IOFI=

O

(口)设尸点的横坐标为明(”0)

则P点的纵坐标为4或-第，

△OFP的面积为

11/T1

28V24'

解得z=32,

54.故尸点坐标为(32,4)或(32.-4).

55.

(1)设等比数列la」的公差为(由巳知%+4=0,得2%+9d=0・

又已知%=9,所以d=-2.

得数列Ia.|的通项公式为a.=9-2(n-1).即a.=11-20

(2gIa.I的前n项和S.吟(9+11-2/1)=-J+10n=-(n-5)’+25,

则当n=5时.S.取得最大值为25.

56.解设衬衫每件提高X元售出时，利润为Y元，此时卖出的件数为

500—10x件，获得收入是(50+X)(500一10x)元，则利润

Y=(50+X)(500—10x)—40(500—10x)=—f0x2+400x+5000=—10(x—

20)2+9000,所以当X=20时，利润Y取得最大值9000元，此时售价

为50+20=70元

(24)解：由正弦定理可知

刍=柴,则

sinAsinC

2x^

8c=雪$°=^_^=2(6-1).

31n750区+戊

-4~

SA4SC=xBCxABxsinB

«yx2(^-l)x2x?

=3-4

57.*1.27.

58.证明：(1)由已知得

又a>l,可得。<(5)'<1.所以.eg<l.

(2)设Q(与,)，火(与.力).由题设，

力为

■“，♦，,・，m-11一.①

X]♦。一下0+a

”；=i.

将①两边平方.化简得

(*o+a)y=(«1+a)3.④

由②③分别得£=与«-心=;（。’-<?）.

aa

代人④整理得

a-Wx-a

――=—0—,即x

a>x,XQ4a

同理可得

所以孙=巳'0,所以QR平行于y轴.

59.

(1)由已知得3。,舒寸，

所以la.I是以2为首项.‘为公比的等比数列.

工、•

所以a"=21").即a.心分

(U)由已知可得群用-你〕・所以6)=6)，

解得n=6.12分

60.解

设点8的坐标为（与,力）.则

=/（孙+5）'+yJ①

因为点B在桶03上.所以2才+y「=98

yj=98-2x「②

将②代人①，得

1401=，（4+5尸+98-2婷

=，-（*--10航+25）+148

=y-（x,-5）5+148

因为-5-5）‘W0,

所以当》=5时，-（即-5）'的值最大，

故M8I也最大

当盯=5时.由②.得y严士4百

所以点8的坐标为（5.4万）或（5.-4厅）时MBI最大

61.

..・s一.inC=.sinA

ABBC*

=3

3•

(2)由脍意知，CV90',

故cosC=/I-sin2c

=乐

sinB=sin[1800—(A+C)J

=sin(A+C)

-5inAcosC+cosAsinC

=3+痣

6，

AC—,sinB=yj4*,Ji.

解设三角形三边分别为明6,c且a+6=10,则6u10-a.

方程廿-3工-2=0可化为(2*l)(w-2)=0.所以孙=”2.

因为a、6的夹角为仇且lea⑼W1,所以co蓟，-y.

由余弦定理，得

c2=a2+(IO-a):-2a(IO-a)x(-

=2a2+100-20a+10a—a:=a'-10a+100

=(aA)?+75.

因为(a-5)\0,

所以当a-5=0,即a=5时.c的值最小，其值为后=56

又因为a+6=10,所以c取得最小值,a+6+c也取得最小假

62因此所求为10+58

63.(1)因为a3=aiq2,即16=aix(l/4),得a3=64,所以，该数列的通项公

n1

式为an=64x(l/2)-

(H)由公式Sn=[ai(l-qn)]/(Lq)得124=[64(l-l/2n)]/(l-l/2)

化简得2n=32,解得n=5

64.

(1)/(jr)=3ar*+2Ax-3.由题意.得

(11VXHXX8-亚/(工)=3/-3=0,l=±1.

极大值为〃-1)=2,极小值为

(IB)点(2,2)在曲线人工)="-37上./(2)=9.

所求切线方程为y—2=9(X—2).即9x-y—16-0

65.I.设正六棱锥为S-ABCDEF,SO为高，SK为面SEF的斜高，连

接AC、AD,△SAMSAD都

是对角面2AB•sin600=V3a•

SA=SC=仆。+A*=&a.

2

(I)SA«o=a.

〜V5

△SAC的高八二三八

V3,

-2a'

SK=v^SE1—EKr=互“

2a,

S"-=s+s+=吗?+%,

=去夕+⑶..

n.因为SO_LAO,SO_LAO所以NSAO=45。因为SO_L底面，SK±

EF,EF?OK±EF所以NSKO是面SEF与底面所成的二面角的平面

角

ian/SKO=四=_£_=2/