期末复习讲义数列十二、十三

PAGE亭湖高中高一下数学期末复习讲义十二课题：数列(1)一．知识清单1．等差数列：恒成立等式判断方法：等差数列(为常数)；等比数列：恒成立等式判断方法：等比数列.二．基础练习1．在等差数列{an}中，S4=6,S8=20,则S16=。2．在项数为n的等差数列{an}中，前三项之和为12，最后三项之和为132，前n项之和为240，则n=。3.数列{an}是正数组成的等比数列，公比q=2,a1a2a3……a20=250,则a2a4a64．已知数列{an}是公比q的等比数列，给出下列六个数列：（1）{kan}(k)(2){a2n-1}(3){an+1-an}(4){anan+1}(5){nan}(6){an3},其中仍能构成等比数列的个数为个。 5．若Sn为等差数列{an}的前n项和，S9=－36，S13=－104，则a5与a7的等比中项为．6.等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为．三．例题选讲例1．是等差数列的前n项和，已知的等比中项为，的等差中项为1，求数列的通项．例2.已知数列是等比数列，为其前项和．（1）已知，，求；（2）若，，成等差数列，证明，，也成等差数列。例3.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)求证：数列{an－n}是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn；(3)求证：不等式Sn＋1≤4Sn对任意n∈N*皆成立．例4．若数列{an}满足an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”．(1)设数列{an}为“凸数列”，若a1＝1，a2＝－2，试写出该数列的前6项，并求出前6项之和；(2)在“凸数列”{an}中，求证：an＋3＝－an，n∈N*；(3)设a1＝a，a2＝b，若数列{an}为“凸数列”，求数列前2011项和S2011.四.作业：1.在等差数列前15项的和为__________.2.在等比数列中，已知，则的值为3.在等差数列中，前项和为，若，则.4.已知和均成等差数列，而成等比数列，且，则=__5．设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若EQ\f(S\S\do(3),S\S\do(6))＝EQ\f(1,3)，则EQ\f(S\S\do(6),S\S\do(12))＝_________________。6．已知公差不为0的等差数列{an}满足a1、a4、a16成等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，则的值为．7.已知等差数列{}首项>0,前项和为,若,则最大时,的值___.8.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a)的四个根可以组成首项为的等差数列，则a+b的值为．9.记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N*)，若am－1·am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，则m＝10.已知是以a为首项，q为公比的等比数列，为它的前n项和．（Ⅰ）当、、成等差数列时，求q的值；（Ⅱ）当、、成等差数列时，求证：对任意自然数k，、、也成等差数列．11．已知数列的前项和为．（Ⅰ）若数列是等比数列，满足，是，的等差中项，求数列的通项公式；（Ⅱ）是否存在等差数列，使对任意都有？若存在，请求出所有满足条件的等差数列；若不存在，请说明理由．12.已知数列中,点在直线y=x上，其中n=1,2,3….(Ⅰ)令,

求证数列是等比数列;(Ⅱ)求数列的通项;(Ⅲ)设分别为数列的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在,试求出.若不存在,则说明理由.亭湖高中高一下数学期末复习讲义十三课题：数列(2)一．知识清单1.求和通法:公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.求和先看项2.递推公式求数列的通项公式方法（有套就套,没套就造,待定系数猜后证；作差累加,作商累乘,同取倒对同平开）二．基础练习1．在等比数列{an}中，Sn=k-()n，则实数k的值为____________2.等差数列{an}的前12项和为354,前12项中奇数项和与偶数项和之比为27:32,则公差d=____________.3．已知数列的首项前项和为，且则4．已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设（），则数列的前10项和=____________5.数列{an}满足an＋an＋1＝eq\f(1,2)(n∈N*)，a1＝－eq\f(1,2)，Sn是{an}的前n项和，则S2014＝__.6.已知函数f(n)＝n2cosnπ，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝____.三．例题选讲例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足eq\f(b1,a1)＋eq\f(b2,a2)＋…＋eq\f(bn,an)＝1－eq\f(1,2n)，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn.例2正项数列{an}的前n项和Sn满足：Seq\o\al(2,n)－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝eq\f(n＋1,n＋22a\o\al(2,n))，数列{bn}的前n项和为Tn.例3.已知函数f(x)＝eq\f(x2,x＋m)的图像经过点(4,8)．(1)求该函数的解析式；(2)数列{an}中，若a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且满足an＝f(Sn)(n≥2)，证明数列{eq\f(1,Sn)}成等差数列，并求数列{an}的通项公式；(3)另有一新数列{bn}，若将数列{bn}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：b1b2b3b4b5b6b7b8b9b10…记表中的第一列数b1，b2，b4，b7，…构成的数列即为(2)中数列{an}，上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当b81＝－eq\f(4,91)时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和．四、作业1.已知数列{an}中,a1=－20,an+1=an+4,则|a1|+|a2|+…+|a20|=.2.已知等比数列{an}中，a3=1,S3=4,则q=.3.一个等差数列共有2n+1项,其中奇数项之和为290,偶数项之和为261,则第n+1项值为4.已知一个凸多边形各个内角的度数组成公差为5°的等差数列,且最小角为120°,则=.5.已知数列｛an｝的前n项和为,,=，则=．6.等差数列{an},满足比值是一个与n无关的常数，试写出一个．7.某种卷筒卫生纸在盘上,空盘时盘芯直径40mm,满盘时直径120mm,已知卫生纸的厚度为0.1mm,则满盘时卫生纸的总长度大约是米(精确到1m)。8.对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.9.数列满足，且（），则数列的前10项和为10．下表给出一个“三角形数阵”： ， ，， …………已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等．记第i行第j列的数为aij(i≥j，i，j∈N*)．(1)求a83；(2)试写出aij关于i，j的表达式；(3)记第n行的和为An，求11.在数列中，，，．（Ⅰ）证明数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立．12.已知数列{an}中,a1=3,前n项和为Sn=(n+1)(an+1)－1.(1)求证数列{an}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式;(3)设数列{}的前n项和为Tn,是否存在实数M,使得Tn≤M对一切正整数n都成立?若存在,求出M的最小值,若不存在,试说明理由.亭湖高中高一下数学期末复习讲义十二课题：数列(1)一．知识清单1．等差数列：恒成立等式判断方法：等差数列(为常数)；等比数列：恒成立等式判断方法：等比数列.二．基础练习1．在等差数列{an}中，S4=6,S8=20,则S16=。722．在项数为n的等差数列{an}中，前三项之和为12，最后三项之和为132，前n项之和为240，则n=。103.数列{an}是正数组成的等比数列，公比q=2,a1a2a3……a20=250,则a2a4a6……a20的值为4．已知数列{an}是公比q的等比数列，给出下列六个数列：（1）{kan}(k)(2){a2n-1}(3){an+1-an}(4){anan+1}(5){nan}(6){an3},其中仍能构成等比数列的个数为个。5 5．若Sn为等差数列{an}的前n项和，S9=－36，S13=－104，则a5与a7的等比中项为．．6.（全国1）等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为．三．例题选讲例1．是等差数列的前n项和，已知的等比中项为，的等差中项为1，求数列的通项．解析由已知得，即，解得或或经验证或均满足题意，即为所求．例2.已知数列是等比数列，为其前项和．（1）已知，，求；（2）若，，成等差数列，证明，，也成等差数列。解：（1）因为，，易知所以，……①，……②由②①，得，所以，代入①，得．所以，…7分（2）设数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，且．所以，因为，所以．…………11分所以，即．所以也成等差数列．………………15分（注：不分类各扣2分）例3.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)求证：数列{an－n}是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn；(3)求证：不等式Sn＋1≤4Sn对任意n∈N*皆成立．(1)证明：由题设an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.又a1－1＝1，所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列．(2)解：由(1)可知an－n＝4n－1，于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n，所以数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(4n－1,3)＋eq\f(n（n＋1）,2).(3)证明：对任意的n∈N*，Sn＋1－4Sn＝eq\f(4n＋1－1,3)＋eq\f(（n＋1）（n＋2）,2)－4eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4n－1,3)＋\f(n（n＋1）,2)))＝－eq\f(1,2)(3n2＋n－4)≤0，所以不等式Sn＋1≤4Sn对任意n∈N*皆成立．例4．若数列{an}满足an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”．(1)设数列{an}为“凸数列”，若a1＝1，a2＝－2，试写出该数列的前6项，并求出前6项之和；(2)在“凸数列”{an}中，求证：an＋3＝－an，n∈N*；(3)设a1＝a，a2＝b，若数列{an}为“凸数列”，求数列前2011项和S2011.(1)解：a1＝1，a2＝－2，a3＝－3，a4＝－1，a5＝2，a6＝3，故S6＝0.(2)证明：由条件得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an＋1＝an＋an＋2，,an＋2＝an＋1＋an＋3，))所以an＋3＝－an.(3)解：由(2)的结论得an＋6＝－an＋3＝an，即an＋6＝an.a1＝a，a2＝b，a3＝b－a，a4＝－a，a5＝－b，a6＝a－b，∴S6＝0.由(2)得S6n＋k＝Sk，n∈N*，k＝1，…，6，故S2011＝S335×6＋1＝a1＝a.四.作业：1.在等差数列前15项的和为__________.3602.在等比数列中，已知，则的值为123.在等差数列中，前项和为，若，则.-20084.已知和均成等差数列，而成等比数列，且，则=__25．设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若EQ\f(S\S\do(3),S\S\do(6))＝EQ\f(1,3)，则EQ\f(S\S\do(6),S\S\do(12))＝__________________6．已知公差不为0的等差数列{an}满足a1、a4、a16成等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，则的值为．87.已知等差数列{}首项>0,前项和为,若,则最大时,的值___.168.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a)的四个根可以组成首项为的等差数列，则a+b的值为．9.记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N*)，若am－1·am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，则m＝________.解析：因为{an}是等比数列，所以am－1am＋1＝aeq\o\al(2,m).又因为am－1am＋1－2am＝0，即aeq\o\al(2,m)－2am＝0，所以am＝2(am＝0舍去)．又T2m－1＝a1a2…a2m－2a2m－1＝aeq\o\al(2m－1,m)＝128＝27，所以2m－1＝7，解得m＝4.10.已知是以a为首项，q为公比的等比数列，为它的前n项和．（Ⅰ）当、、成等差数列时，求q的值；（Ⅱ）当、、成等差数列时，求证：对任意自然数k，、、也成等差数列．解：（Ⅰ）由已知，，因此，，．当、、成等差数列时，，可得．化简得．解得．（Ⅱ）若，则的每项，此时、、显然成等差数列．若，由、、成等差数列可得，即．整理得．因此，．所以，、、也成等差数列．11．已知数列的前项和为．（Ⅰ）若数列是等比数列，满足，是，的等差中项，求数列的通项公式；（Ⅱ）是否存在等差数列，使对任意都有？若存在，请求出所有满足条件的等差数列；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）设等比数列的首项为，公比为，依题意，有即由得，解得或.当时，不合题意舍；当时，代入(2)得，所以，.（Ⅱ）假设存在满足条件的数列，设此数列的公差为，则方法1：，得对恒成立，则解得或此时，或．故存在等差数列，使对任意都有．其中，或．方法2：令，，得，令，得，①当时，得或，若，则，，，对任意都有；若，则，，，不满足．②当时，得或，若，则，，，对任意都有；若，则，，，不满足．综上所述，存在等差数列，使对任意都有．其中，或．12.已知数列中,点在直线y=x上，其中n=1,2,3….(Ⅰ)令,

求证数列是等比数列;(Ⅱ)求数列的通项;(Ⅲ)设分别为数列的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在,试求出.若不存在,则说明理由.亭湖高中高一下数学期末复习讲义十三课题：数列(2)一．知识清单1.求和通法:公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.求和先看项2.递推公式求数列的通项公式方法（有套就套,没套就造,待定系数猜后证；作差累加,作商累乘,同取倒对同平开）二．基础练习1．在等比数列{an}中，Sn=k-()n，则实数k的值为____________12.等差数列{an}的前12项和为354,前12项中奇数项和与偶数项和之比为27:32,则公差d=____________.53．已知数列的首项前项和为，且则4．已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设（），则数列的前10项和=_______85_________5.数列{an}满足an＋an＋1＝eq\f(1,2)(n∈N*)，a1＝－eq\f(1,2)，Sn是{an}的前n项和，则S2014＝__.eq\f(1007,2)解：由题意得数列{an}的各项为－eq\f(1,2)，1，－eq\f(1,2)，1，…，以2为周期的周期数列，所以S2014＝eq\f(1,2)×1007＝eq\f(1007,2).6.已知函数f(n)＝n2cosnπ，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝____.－100解析：f(n)＝n2cosnπ＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－n2n为奇数,n2n为偶数))＝(－1)n·n2，由an＝f(n)＋f(n＋1)＝(－1)n·n2＋(－1)n＋1·(n＋1)2＝(－1)n[n2－(n＋1)2]＝(－1)n＋1·(2n＋1)，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100.三．例题选讲例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足eq\f(b1,a1)＋eq\f(b2,a2)＋…＋eq\f(bn,an)＝1－eq\f(1,2n)，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn.[解](1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由S4＝4S2，a2n＝2an＋1，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝8a1＋4d，,a1＋2n－1d＝2a1＋2n－1d＋1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2.))因此an＝2n－1，n∈N*.(2)由已知eq\f(b1,a1)＋eq\f(b2,a2)＋…＋eq\f(bn,an)＝1－eq\f(1,2n)，n∈N*，当n＝1时，eq\f(b1,a1)＝eq\f(1,2)；当n≥2时，eq\f(bn,an)＝1－eq\f(1,2n)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n－1)))＝eq\f(1,2n)，所以eq\f(bn,an)＝eq\f(1,2n)，n∈N*.由(1)知an＝2n－1，n∈N*，所以bn＝eq\f(2n－1,2n)，n∈N*.所以Tn＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,22)＋eq\f(5,23)＋…＋eq\f(2n－1,2n)，eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,22)＋eq\f(3,23)＋…＋eq\f(2n－3,2n)＋eq\f(2n－1,2n＋1).两式相减，得eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,22)＋\f(2,23)＋…＋\f(2,2n)))－eq\f(2n－1,2n＋1)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2n－1)－eq\f(2n－1,2n＋1)，所以Tn＝3－eq\f(2n＋3,2n).例2正项数列{an}的前n项和Sn满足：Seq\o\al(2,n)－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝eq\f(n＋1,n＋22a\o\al(2,n))，数列{bn}的前n项和为Tn.证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<eq\f(5,64).解：(1)由Seq\o\al(2,n)－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.由于数列{an}是正项数列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n.于是a1＝S1＝2，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.综上可知，数列{an}的通项公式an＝2n.(2)证明：由于an＝2n，bn＝eq\f(n＋1,n＋22a\o\al(2,n))，则bn＝eq\f(n＋1,4n2n＋22)＝eq\f(1,16)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,n2)－\f(1,n＋22))).Tn＝eq\f(1,16)eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,32)＋\f(1,22)－\f(1,42)＋\f(1,32)－\f(1,52)＋…＋\f(1,n－12)－\f(1,n＋12)))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(＋\f(1,n2)－\f(1,n＋22)))＝eq\f(1,16)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,22)－\f(1,n＋12)－\f(1,n＋22)))<eq\f(1,16)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,22)))＝eq\f(5,64).例3.已知函数f(x)＝eq\f(x2,x＋m)的图像经过点(4,8)．(1)求该函数的解析式；(2)数列{an}中，若a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且满足an＝f(Sn)(n≥2)，证明数列{eq\f(1,Sn)}成等差数列，并求数列{an}的通项公式；(3)另有一新数列{bn}，若将数列{bn}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：b1b2b3b4b5b6b7b8b9b10…记表中的第一列数b1，b2，b4，b7，…构成的数列即为(2)中数列{an}，上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当b81＝－eq\f(4,91)时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和．解：(1)由函数f(x)＝eq\f(x2,x＋m)的图像经过点(4,8)得m＝－2，所以函数的解析式为f(x)＝eq\f(x2,x－2).(2)证明：由已知，当n≥2时，an＝f(Sn)，即an＝eq\f(S\o\al(2,n),Sn－2).又因为Sn＝a1＋a2＋…＋an，所以Sn－Sn－1＝eq\f(S\o\al(2,n),Sn－2)，即2Sn＋Sn·Sn－1＝2Sn－1，所以eq\f(1,Sn)－eq\f(1,Sn－1)＝eq\f(1,2).又因为S1＝a1＝1，所以数列{eq\f(1,Sn)}是首项为1，公差为eq\f(1,2)的等差数列．由上可知eq\f(1,Sn)＝1＋eq\f(1,2)(n－1)＝eq\f(n＋1,2)，即Sn＝eq\f(2,n＋1).所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(2,n＋1)－eq\f(2,n)＝－eq\f(2,nn＋1)因此an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,－\f(2,nn＋1)，n≥2.))(3)设表中从第三行起，每行的公比都为q，且q>0.因为1＋2＋…＋12＝eq\f(12×13,2)＝78，所以表中第1行至第12行共含有数列{bn}的前78项，故b81在表中第13行第三列，因此b81＝a13q2＝－eq\f(4,91).又因为a13＝－eq\f(2,13×14)，所以q＝2.记表中第k(k≥3)行所有项的和为S，则S＝eq\f(ak1－qk,1－q)＝－eq\f(2,kk＋1)·eq\f(1－2k,1－2)＝eq\f(21－2k,kk＋1)(k≥3)．四、作业1.已知数列{a