14022014届江苏省南通市高三数学一模试卷

页共8页南通市2014届高三一模试卷--数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知集合U{1，2，3，4，5}，A{1，2，4}，则．2．已知复数，(为虚数单位)．在复平面内，对应的点在第象限．3．命题：“，”的否定是．输入xNY结束（第6题）开始输出y4．在平面直角坐标系中，输入xNY结束（第6题）开始输出y5．设实数，满足则的最大值是．6．如图是一个算法的流程图．若输入x的值为2，则输出y的值是．7．抽样统计甲，乙两个城市连续5天的空气质量指数(AQI)，数据如下：城市空气质量指数(AQI)第1天第2天第3天第4天第5天甲109111132118110乙110111115132112则空气质量指数(AQI)较为稳定(方差较小)的城市为（填甲或乙）．8．已知正三棱锥的侧棱长为1，底面正三角形的边长为．现从该正三棱锥的六条棱中随机选取两条棱，则这两条棱互相垂直的概率是．9．将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则等于．10．等比数列{an}的首项为2，公比为3，前n项和为Sn．若log3［EQ\F(1,2)an(S4m+1)］=9，则EQ\F(1,n)+EQ\F(4,m)的最小值是．11．若向量，，且，则的值是．12．在平面直角坐标系中，直线是曲线的切线，则当＞0时，实数的最小值是．13．已知集合M=≤y≤，N=≥，则表示M∩N的图形面积等于．14．若函数对任意实数，在闭区间上总存在两实数、，使得8成立，则实数的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)如图，在四棱柱中，，，且．（1）求证：∥平面；（2）求证：⊥平面．AA1B1C1CDABD1（第15题）16．(本小题满分14分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边长，且c=－3bcosA，tanC=．（1）求tanB的值；（2）若，求△ABC的面积．

17．(本小题满分14分)已知a为实常数，y=f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x<0时，f(x)=2x－EQ\F(a3,x2)+1．（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若f(x)≥a－1对一切x＞0成立，求a的取值范围．

18．(本小题满分16分)如图，一块弓形薄铁片EMF，点M为的中点，其所在圆O的半径为4dm（圆心O在弓形EMF内），∠EOF=．将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD(不计损耗)，AD∥EF，且点A、D在上，设∠AOD=．（1）求矩形铁片ABCD的面积S关于的函数关系式；②M·（2）当矩形铁片ABCD的面积最大时，求cos的值②M·（第18题）M（第18题）MFOE·①M·

19．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，离心率为，又椭圆内接四边形ABCD(点A、B、C、D在椭圆上)的对角线AC，BD相交于点，且，．（1）求椭圆的方程；（2）求直线AB的斜率．（第19题）（第19题）ABCDxPy·O

20．(本小题满分16分)已知等差数列{an}、等比数列{bn}满足a1+a2＝a3，b1b2＝b3，且a3，a2+b1，a1+b2成等差数列，a1，a2，b2成等比数列．（1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式；（2）按如下方法从数列{an}和数列{bn}中取项：第1次从数列{an}中取a1，第2次从数列{bn}中取b1，b2，第3次从数列{an}中取a2，a3，a4，第4次从数列{bn}中取b3，b4，b5，b6，……第2n－1次从数列{an}中继续依次取2n－1个项，第2n次从数列{bn}中继续依次取2n个项，……由此构造数列{cn}：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12，…，记数列{cn}的前n和为Sn．求满足Sn＜22014的最大正整数n．

（第21—A题）A（第21—A题）ABCMNO21．【选做题】选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC于点N，且BN2AM．求证：ABAC．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）设二阶矩阵，满足，，求．C．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知曲线：，过极点O的直线与曲线相交于A、B两点，，求直线的方程．D．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）已知x，y，z均为正数，求证：．

【必做题】22．（本小题满分10分）如图，设，，…，为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量．（1）求的概率；（2）求的分布列及数学期望．（第22题）P（第22题）P123．（本小题满分10分）已知1，2，…，满足下列性质T的排列，，…，的个数为（n≥2，且n∈N*）．性质T：排列，，…，中有且只有一个（{1，2，…，}）．（1）求；（2）求．

数学Ⅰ参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知集合U{1，2，3，4，5}，A{1，2，4}，则．【答案】{3，5}．2．已知复数，(为虚数单位)．在复平面内，对应的点在第象限．【答案】二．3．命题：“，”的否定是．【答案】，．4．在平面直角坐标系中，抛物线上横坐标为1的点到其焦点的距离为．输入xNY输入xNY结束（第6题）开始输出y5．设实数，满足则的最大值是．【答案】7．6．如图是一个算法的流程图．若输入x的值为2，则输出y的值是．【答案】．7．抽样统计甲，乙两个城市连续5天的空气质量指数(AQI)，数据如下：城市空气质量指数(AQI)第1天第2天第3天第4天第5天甲109111132118110乙110111115132112则空气质量指数(AQI)较为稳定(方差较小)的城市为（填甲或乙）．【答案】乙．8．已知正三棱锥的侧棱长为1，底面正三角形的边长为．现从该正三棱锥的六条棱中随机选取两条棱，则这两条棱互相垂直的概率是．【答案】．9．将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则等于．【答案】．10．等比数列{an}的首项为2，公比为3，前n项和为Sn．若log3［EQ\F(1,2)an(S4m+1)］=9，则EQ\F(1,n)+EQ\F(4,m)的最小值是．【答案】．11．若向量，，且，则的值是．【答案】1．12．在平面直角坐标系中，直线是曲线的切线，则当＞0时，实数的最小值是．【答案】．13．已知集合M=≤y≤，N=≥，则表示M∩N的图形面积等于．【答案】．14．若函数对任意实数，在闭区间上总存在两实数、，使得8成立，则实数的最小值为．【答案】8．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)如图，在四棱柱中，，，且．A1B1C1CDABA1B1C1CDABD1（第15题）（2）求证：⊥平面．（1）证明：在四棱柱中，，平面，平面，所以平面．……………………6分（2）证明：在四棱柱中，四边形为平行四边形，又，故四边形为菱形．从而．……………9分又，而，平面，所以平面．…………………14分16．(本小题满分14分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边长，且c=－3bcosA，tanC=．（1）求tanB的值；（2）若，求△ABC的面积．（1）解：由正弦定理，得，………………2分即．所以．从而．因为，所以．……………………4分又，由（1）知，，解得．………………6分（2）解：由（1），得，，．………………10分由正弦定理，得．……………12分所以△ABC的面积为．………………14分17．(本小题满分14分)已知a为实常数，y=f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x<0时，f(x)=2x－EQ\F(a3,x2)+1．（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若f(x)≥a－1对一切x＞0成立，求a的取值范围．（1）解：由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f(x)在区间(－∞，0)的单调性即可．f′(x)＝2＋EQ\F(2a3,x3)，令f′(x)＝0，得x＝－a．…………………2分①当a≤0时，f′(x)＞0，故f(x)在区间(－∞，0)是单调递增．………4分②当a＞0时，x∈(－∞，－a)，f′(x)＞0，所以f(x)在区间(－∞，－a)是单调递增．x∈(－a，0)，f′(x)＜0，所以f(x)在区间(－a，0)是单调减．………6分综上所述：当a≤0时，f(x)单调增区间为(－∞，0)，(0，+∞)；当a＞0时，f(x)单调增区间为(－∞，－a)，(a，+∞)，单调减区间为(－a，0)，(0，a)．……7分（2）解：因为f(x)为奇函数，所以当x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－(－2x－EQ\F(a3,x2)＋1)＝2x＋EQ\F(a3,x2)－1．……9分①当a＜0时，要使f(x)≥a－1对一切x＞0成立，即2x＋EQ\F(a3,x2)≥a对一切x＞0成立．而当x＝－EQ\F(a,2)＞0时，有－a+4a≥a，所以a≥0，则与a＜0矛盾．所以a＜0不成立．………………………11分②当a＝0时，f(x)＝2x－1＞－1=a－1对一切x＞0成立，故a＝0满足题设要求．…12分③当a＞0时，由(1)可知f(x)在(0，a)是减函数，在(a，+∞)是增函数．所以fmin(x)=f(a)＝3a－1＞a－1，所以a＞0时也满足题设要求．…13分综上所述，a的取值范围是．……………………14分18．(本小题满分16分)如图，一块弓形薄铁片EMF，点M为的中点，其所在圆O的半径为4dm（圆心O在弓形EMF内），∠EOF=．将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD(不计损耗)，AD∥EF，且点A、D在上，设∠AOD=．（1）求矩形铁片ABCD的面积S关于的函数关系式；②M·（2）当矩形铁片ABCD的面积最大时，求cos的值②M·（第18题）M（第18题）MFOE·①M·（1）解：设矩形铁片的面积为，．当时（如图①），，，．……………3分当时（如图②），，，故．综上得，矩形铁片的面积S关于的函数关系式为………7分（2）解：当时，求导，得．令，得．……………10分记区间内余弦值等于的角为（唯一存在）．列表：0增函数极大值减函数又当时，在上的单调减函数，所以当即时，矩形的面积最大．…………………16分19．(本小题满分16分)（第19题）ABCDxPy·O如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，离心率为，又椭圆内接四边形ABCD(点A、B、C、D在椭圆上)的对角线AC，BD相交于点，且（第19题）ABCDxPy·O（1）求椭圆的方程；（2）求直线AB的斜率．（1）解：依题意，解得所求椭圆的方程为．…………6分（2）解：设，则．由，得．……………………8分代入椭圆方程，得．整理，得，…………………10分即．③……………12分设，同理可得．④……………14分③④，得，即直线AB的斜率为．……16分20．(本小题满分16分)已知等差数列{an}、等比数列{bn}满足a1+a2＝a3，b1b2＝b3，且a3，a2+b1，a1+b2成等差数列，a1，a2，b2成等比数列．（1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式；（2）按如下方法从数列{an}和数列{bn}中取项：第1次从数列{an}中取a1，第2次从数列{bn}中取b1，b2，第3次从数列{an}中取a2，a3，a4，第4次从数列{bn}中取b3，b4，b5，b6，……第2n－1次从数列{an}中继续依次取2n－1个项，第2n次从数列{bn}中继续依次取2n个项，……由此构造数列{cn}：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12，…，记数列{cn}的前n和为Sn．求满足Sn＜22014的最大正整数n．（1）解：设等差数列{an}的公差为，等比数列{bn}的公比为，依题意，得解得a1=d=1，b1=q=2．故an=n，bn=2n．……………6分（2）解：将a1，b1，b2记为第1组，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6记为第2组，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12记为第3组，……以此类推，则第n组中，有2n－1项选取于数列{an}，有2n项选取于数列{bn}，前n组共有n2项选取于数列{an}，有n2＋n项选取于数列{bn}，记它们的总和为Pn，并且有．…………11分，．当＋（2＋22＋…＋22012）时，．…………………13分当＋（2＋22＋…＋22013)时，．可得到符合的最大的n=452＋2012=4037．……16分数学Ⅱ（附加题）参考答案与评分标准21．【选做题】选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC于点N，且BN2AM．求证：ABAC．证明：如图，在△ABC中，因为CM是∠ACM的平分线，（第21—A题）ABC（第21—A题）ABCMNO又因为BA与BC是圆O过同一点B的割线，所以，即……6分又BN=2AM，所以②……………8分由①②，得ABAC．………10分选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）设二阶矩阵，满足，，求．解：设，因为，…………………2分所以，即……………6分解得所以．……………………10分C．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知曲线：，过极点O的直线与曲线相交于A、B两点，，求直线的方程．解：设直线的方程为(ρ∈R)，，，…………………2分则．…………………5分又，故．……………7分解得+2kπ或+2kπ，k∈Z．所以直线的方程为或(ρ∈R)．…………10分D．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）已知x，y，z均为正数，求证：．证明：因为x，y，z均为正数，所以．………………4分同理可得，．…………………7分当且仅当xyz均时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边左，右两边分别相加，并除以2，得．……………10分【必做题】22．（本小题满分10分）如图，设，，…，为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构