2023-2024学年山东省枣庄市滕州市高二上学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3山东省枣庄市滕州市2023-2024学年高二上学期期末数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知A，B，C，D是空间中互不相同的四个点，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B.2.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，，所以.故选：B3.椭圆的长轴长是（）．A.3 B.6 C.9 D.4〖答案〗B〖解析〗由椭圆方程知：，故长轴长为6.故选：B4.已知圆，圆，则两圆的公切线的条数为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗因为圆，圆，所以，，所以，所以两圆相交，所以两圆的公切线的条数为2，故选：B5.在等差数列中，，则的值为（）A.20 B.15 C.10 D.5〖答案〗A〖解析〗在等差数列中，，则，因此．故选：A．6.若离心率为的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，所以，得渐近线为，因为其中一条渐近线与直线垂直，则，得．故选：C7.已知数列的通项公式为，若，当数列的前项和取最大值时，（）A.29 B.32 C.33 D.34〖答案〗C〖解析〗因为，令，则，所以当时，，当时，，则，，，，，，则当时，，当时，，所以只需要考虑的大小即可；，则，，则，，则，所以当时，取最大值.故选：C8.已知三棱锥中，，，则异面直线AP与BC所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，将三棱锥补成长方体，设长宽高分别为，则，解得，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，，，，，，，设直线与所成角为，.故选：A.二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.在等差数列中，已知，，是其前项和，则下列选项正确的是（

）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由，，可得，解得，，故A，B正确；又，故C错误；同理，，，，，则，故D正确.故选：ABD.10.已知直线与⊙O：交于A，B两点，则（）A.直线l恒过定点B.使得的直线l有2条C.面积的最大值为D.⊙O在A，B两点处的切线的交点在直线上〖答案〗ACD〖解析〗对于A，直线方程可化为，显然，即直线恒过定点，故A正确；对于B，由，圆的半径为3，得弦心距，结合图形及A易知，满足题意得弦所在直线为或，即直线斜率，或不存在，由题意斜率存在，故只有1条满足题意，故B错误；对于C，设弦心距为，则的面积，结合A可知，由二次函数的单调性可知，当时，，故C正确；对于D，设两切线交点为，则四点共圆，以为直径，故其圆心为，半径为，该圆方程为，与作差得切点弦的方程为，又过点，所以，即交点P在直线上，故D正确．故选：ACD．11.如图，已知正方体的棱长为1，点M为的中点，点P为该正方体的上底面上的动点，则（）A.满足平面的点P的轨迹长度为B.存在唯一的点P满足C.满足的点P的轨迹长度为D.存在点P满足〖答案〗ABC〖解析〗对于A，如图（1）所示，在正方体中，可得，因为平面，平面，所以平面，同理可证：平面，因为，且平面所以平面平面，又因为平面，所以平面，所以点在线段上运动，所以点的轨迹长度为，所以A正确；对于B，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图（2）所示，可得，设，且，则，由，解得，所以存在唯一的点使得，所以B正确；对于C，由，可得，即，因为，当时，可得；当时，可得；所以点的轨迹为线段，且，则，所以C正确；对于D，如图（2）所示，点关于平面的对称点为，当点三点共线时，最短，所以，所以不存在点使得，所以D不正确.故选：ABC.12.如图，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，过y轴左侧一点P作抛物线C的两条切线，切点为A、B，、分别交y轴于M、N两点，则下列结论一定正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗设抛物线上一点，则，过点的切线方程为，联立方程组，整理，令，解得，即过抛物线上一点的切线的斜率为，对于A中，设，则过点的切线方程为，令，可得，即，又由抛物线的焦点为，所以，则，所以，即，同理可得，则四点共圆，所以，所以A正确；对于B中，若点在准线上，可直线的方程为，此时直线过焦点，则，所以，所以B错误；对于C中，由，，可得，，若，可得，则，所以，此时直线过焦点，设直线，代入抛物线，可得，设方程的两根为，可得，即当直线过抛物线焦点时，两交点的纵坐标之积为，而直线不一定过抛物线的交点，所以C错误；对于D中，由，可得，联立方程组，解得，即,则，所以，所以D正确.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在等比数列中，若，，则__________．〖答案〗8〖解析〗在等比数列中，，，也成等比数列，因为，，所以，故〖答案〗为：14.过定点且与直线平行的直线的一般式方程为______．〖答案〗〖解析〗过点且与直线平行的直线方程为：，即.故〖答案〗为：15.在三棱锥中，在线段上，满足是平面内任意一点，，则实数__________.〖答案〗〖解析〗依题意，，则，由于四点共面，所以.故〖答案〗：16.已知双曲线，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点，且，则双曲线的离心率为_______________．〖答案〗〖解析〗不妨设双曲线的渐近线为，则直线为，由得，，即，设点，则，因为，所以，解得，即，由点在双曲线上，代入得，整理得，则，故〖答案〗为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知正项数列满足.（1）求的通项公式；（2）记，数列的前项和为，求.解：（1）因为，当时，，两式相减得，因为，可得，，令，可得，满足，所以的通项公式为；（2），所以.18.已知以点为圆心的圆与直线相切．过点的直线与圆相交于两点．（1）求圆的标准方程；（2）当时，求直线的方程．解：（1）设圆A的半径为r，由题意知，圆心到直线l的距离为，即，所以圆A的方程为；（2）当直线与x轴垂直时，直线方程为，即，点A到直线的距离为1，此时，符合题意；当直线与x轴不垂直时，设，即，取的中点Q，连接，则，因为，所以，又点A到直线的距离为，所以，解得，所以直线方程为．综上，直线的方程为或．19.已知数列满足，，（1）求；（2）当为奇数时，求数列的前项和解：（1）因为，所以数列构成首项为，公差为的等差数列，所以.（2）由，所以数列构成首项为，公差为的等差数列，得到，设，则，又，所以为奇数时，20.在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，，E是PC的中点，作于点F．求证：（1）平面EDB；（2）平面EFD．解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设，连接AC交BD于点G，连接EG，可得，，，，因为底面ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故点G的坐标为，所以，又因为，所以，所以．而平面，且平面，所以平面．（2）由（1）得，所以，，可得，所以，即．又由，且，所以平面EFD．21.如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，，分别是，的中点，平面经过点，，与棱交于点，．（1）求的值；（2）求直线与平面所成角的余弦值．解：（1）过点作直线与平行，则，所以、共面，延长与交于点，连接，与的交点即为点，因为为正方形，是的中点，所以，，又，所以，因为是的中点，所以，则，又，所以.（2）连接，取的中点，连接，因为，所以，且，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，取，所以，设直线与平面所成角为，则，所以，所以直线与平面所成角的余弦值为.22.已知椭圆过点，焦距为.（1）求椭圆的方程；（2）直线：与椭圆交于异于的两点，直线分别与直线交于点两点，为坐标原点且，求证：直线过定点，并求出定点坐标.解：（1）由椭圆过点，焦距为，得，解得，则椭圆的方程为.（2）消去并整理得，此时，即，设，则，直线的方程为，令，得点的纵坐标，即点，同理得点，由，得，即，于是，整理得，则，化简得，解得或，当时，直线的方程为，即，直线过定点，不符合题意；当时，直线方程为，即，直线过定点，所以直线经过定点.山东省枣庄市滕州市2023-2024学年高二上学期期末数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知A，B，C，D是空间中互不相同的四个点，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B.2.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，，所以.故选：B3.椭圆的长轴长是（）．A.3 B.6 C.9 D.4〖答案〗B〖解析〗由椭圆方程知：，故长轴长为6.故选：B4.已知圆，圆，则两圆的公切线的条数为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗因为圆，圆，所以，，所以，所以两圆相交，所以两圆的公切线的条数为2，故选：B5.在等差数列中，，则的值为（）A.20 B.15 C.10 D.5〖答案〗A〖解析〗在等差数列中，，则，因此．故选：A．6.若离心率为的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，所以，得渐近线为，因为其中一条渐近线与直线垂直，则，得．故选：C7.已知数列的通项公式为，若，当数列的前项和取最大值时，（）A.29 B.32 C.33 D.34〖答案〗C〖解析〗因为，令，则，所以当时，，当时，，则，，，，，，则当时，，当时，，所以只需要考虑的大小即可；，则，，则，，则，所以当时，取最大值.故选：C8.已知三棱锥中，，，则异面直线AP与BC所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，将三棱锥补成长方体，设长宽高分别为，则，解得，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，，，，，，，设直线与所成角为，.故选：A.二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.在等差数列中，已知，，是其前项和，则下列选项正确的是（

）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由，，可得，解得，，故A，B正确；又，故C错误；同理，，，，，则，故D正确.故选：ABD.10.已知直线与⊙O：交于A，B两点，则（）A.直线l恒过定点B.使得的直线l有2条C.面积的最大值为D.⊙O在A，B两点处的切线的交点在直线上〖答案〗ACD〖解析〗对于A，直线方程可化为，显然，即直线恒过定点，故A正确；对于B，由，圆的半径为3，得弦心距，结合图形及A易知，满足题意得弦所在直线为或，即直线斜率，或不存在，由题意斜率存在，故只有1条满足题意，故B错误；对于C，设弦心距为，则的面积，结合A可知，由二次函数的单调性可知，当时，，故C正确；对于D，设两切线交点为，则四点共圆，以为直径，故其圆心为，半径为，该圆方程为，与作差得切点弦的方程为，又过点，所以，即交点P在直线上，故D正确．故选：ACD．11.如图，已知正方体的棱长为1，点M为的中点，点P为该正方体的上底面上的动点，则（）A.满足平面的点P的轨迹长度为B.存在唯一的点P满足C.满足的点P的轨迹长度为D.存在点P满足〖答案〗ABC〖解析〗对于A，如图（1）所示，在正方体中，可得，因为平面，平面，所以平面，同理可证：平面，因为，且平面所以平面平面，又因为平面，所以平面，所以点在线段上运动，所以点的轨迹长度为，所以A正确；对于B，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图（2）所示，可得，设，且，则，由，解得，所以存在唯一的点使得，所以B正确；对于C，由，可得，即，因为，当时，可得；当时，可得；所以点的轨迹为线段，且，则，所以C正确；对于D，如图（2）所示，点关于平面的对称点为，当点三点共线时，最短，所以，所以不存在点使得，所以D不正确.故选：ABC.12.如图，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，过y轴左侧一点P作抛物线C的两条切线，切点为A、B，、分别交y轴于M、N两点，则下列结论一定正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗设抛物线上一点，则，过点的切线方程为，联立方程组，整理，令，解得，即过抛物线上一点的切线的斜率为，对于A中，设，则过点的切线方程为，令，可得，即，又由抛物线的焦点为，所以，则，所以，即，同理可得，则四点共圆，所以，所以A正确；对于B中，若点在准线上，可直线的方程为，此时直线过焦点，则，所以，所以B错误；对于C中，由，，可得，，若，可得，则，所以，此时直线过焦点，设直线，代入抛物线，可得，设方程的两根为，可得，即当直线过抛物线焦点时，两交点的纵坐标之积为，而直线不一定过抛物线的交点，所以C错误；对于D中，由，可得，联立方程组，解得，即,则，所以，所以D正确.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在等比数列中，若，，则__________．〖答案〗8〖解析〗在等比数列中，，，也成等比数列，因为，，所以，故〖答案〗为：14.过定点且与直线平行的直线的一般式方程为______．〖答案〗〖解析〗过点且与直线平行的直线方程为：，即.故〖答案〗为：15.在三棱锥中，在线段上，满足是平面内任意一点，，则实数__________.〖答案〗〖解析〗依题意，，则，由于四点共面，所以.故〖答案〗：16.已知双曲线，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点，且，则双曲线的离心率为_______________．〖答案〗〖解析〗不妨设双曲线的渐近线为，则直线为，由得，，即，设点，则，因为，所以，解得，即，由点在双曲线上，代入得，整理得，则，故〖答案〗为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知正项数列满足.（1）求的通项公式；（2）记，数列的前项和为，求.解：（1）因为，当时，，两式相减得，因为，可得，，令，可得，满足，所以的通项公式为；（2），所以.18.已知以点为圆心的圆与直线相切．过点的直线与圆相交于两点．（1）求圆的标准方程；（2）当时，求直线的方程．解：（1）设圆A的半径为r，由题意知，圆心到直线l的距离为，即，所以圆A的方程为；（2）当直线与x轴垂直时，直线方程为，即，点A到直线的距离为1，此时，符合题意；当直线与x轴不垂直时，设，即，取的中点Q，连接，则，因为，所以，又点A到直线的距离为，所以，解得，所以直线方程为．综上，直线的方程为或．19.已知数列满足，，（1）求；（2）当为奇数时，求数列的前项和解：（1）因为，所以数列构成首项为，公差为的等差数列，所以.（2）由，所以数列构成首项为，公差为的等差数列，得到