变化率与导数

关于变化率与导数在吹气球的过程中,可发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢?第2页,共40页，2024年2月25日，星期天第3页,共40页，2024年2月25日，星期天操作验证：利用函数图象计算：r(0)=_________r(1)≈_______r(2)≈________r(2.5)≈_______r(4)≈_________所以：r(1)-r(0)1-0≈_____(dm/L)r(2)-r(1)2-1≈_____(dm/L)r(2.5)-r(2)2.5-2≈_____(dm/L)r(4)-r(2.5)4-2.5≈_____(dm/L)所以，随着气球体积逐渐变大，它的____________逐渐变小了。00.620.780.8510.620.160.140.10平均膨胀率函数r(V)=(0≤V≤5)的图象为:第4页,共40页，2024年2月25日，星期天问题2高台跳水在跳水运动中，运动员相对于水面高度h（单位:m）与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系：h(t)=-4.9t2+6.5t+10（如图）h(0.5)-h(0)0.5-0t:00.5时,

v=t:12时,

v==4.05(m/s)h(2)–h(1)2–1=-8.2(m/s)一般地,t1t2时,v=h(t2)–h(t1)t2–t1第5页,共40页，2024年2月25日，星期天探究：答:(1)不是。先上升，后下降。(2)平均速度只能粗略的描述运动员的运动状态它并不能反映某一刻的运动状态。计算运动员在0≤t≤这段时间里的平均速度：v=______，思考下面的问题：(1)运动员在这段时间里是静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？0m/s第6页,共40页，2024年2月25日，星期天建构数学－平均变化率在例2中：对于函数h=-4.9t2+6.5t+10计算运动员在0s到0.5s内的

平均速度在例1中：对于函数当空气容量从V1增加到V2时,气球的

平均膨胀率一般地，函数f（x）在区间［x1，x2］上的平均变化率第7页,共40页，2024年2月25日，星期天建构数学－平均变化率所以，平均变化率可以表示为：第8页,共40页，2024年2月25日，星期天平均变化率:式子令△x=x2–x1,△y=f(x2)–f(x1),则称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.平均变化率的定义：第9页,共40页，2024年2月25日，星期天1、式子中△x、△y的值可正、可负，但的△x值不能为0，△y

的值可以为02、若函数f(x)为常函数时，△y=0理解3、变式:第10页,共40页，2024年2月25日，星期天观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?xyoBx2f(x2)Ax1f(x1)f(x2)-f(x1)x2-x1直线AB的斜率y=f(x)思考第11页,共40页，2024年2月25日，星期天直线AB的斜率AB思考第12页,共40页，2024年2月25日，星期天思考：函数y=f(x)，从x1到x2的平均变化率=的几何意义是什么？ΔyΔxf(x2)–f(x1)x2–x1答：连接函数图象上对应两点的割线的斜率第13页,共40页，2024年2月25日，星期天例(1)计算函数f(x)=2x+1在区间[–3,–1]上的平均变化率；(2)求函数f(x)=x2

+1的平均变化率。(1)解：△y=f(-1)-f(-3)=4△x=-1-(-3)=2(2)解：△y=f(x+△x)-f(x)=2△x·x+(△x)2

题型一：求函数的平均变化率第14页,共40页，2024年2月25日，星期天练习1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=(

)A.3B.3Δx-(Δx)2C.3-(Δx)2D.3-Δx

D3.求y=x2在x=x0附近的平均变化率.

A△x+2x0第15页,共40页，2024年2月25日，星期天课堂练习：1、已知自由落体的运动方程为s=gt2，求:(1)落体在t0到t0+Δt这段时间内的平均速度；(2)

落体在t0=2秒到t1=2.1秒这段时间内的平均速度(g=10m/s2)。

2、过曲线f(x)=x2上两点P(1,1)和Q(2,4)做曲线的割线，求割线PQ的斜率k。

第16页,共40页，2024年2月25日，星期天小结：1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量：Δy=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率：第17页,共40页，2024年2月25日，星期天（1）[1,3];（2）[1,2];（3）[1,1.1];（4）[1,1.001];（5）[1,1.0001];

一运动质点的位移S与时间t满足S(t)=t2,分别计算S(t)在下列区间上的平均变化率.(位移单位为m,时间单位为s)432.12.0011.9991.991.92（6）[0.999,1];（7）[0.99,1];（8）[0.9,1].2.0001练一练

如何刻画t=1这一时刻质点运动的快慢程度呢？思考：第18页,共40页，2024年2月25日，星期天一、复习1.平均变化率:平均变化率的几何意义:割线的斜率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y第19页,共40页，2024年2月25日，星期天理解：1，式子中△x、△y的值可正、可负，但的△x值不能为0，△y的值可以为02，若函数f(x)为常函数时，

△y=03,变式第20页,共40页，2024年2月25日，星期天求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率第21页,共40页，2024年2月25日，星期天问题3高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.

如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?hto第22页,共40页，2024年2月25日，星期天请计算htoh(t)=-4.9t2+6.5t+10第23页,共40页，2024年2月25日，星期天计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:探究:(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.

如何求瞬时速度呢?比如，t=2时的瞬时速度是多少？第24页,共40页，2024年2月25日，星期天△t是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0。我们先考察t=2附近的情况：在t=2之前或之后，任意取一个时刻2+△t，当△t<0时，2+△t在2之前；当△t>0时，2+△t在2之后。计算区间[2+△t，2]和区间[2，2+△t]内的平均速度，可以得到如下表格：第25页,共40页，2024年2月25日，星期天当△t=–0.01时,当△t=

0.01时,当△t=–0.001时,当△t=0.001时,当△t=–0.0001时,当△t=0.0001时,△t=–0.00001,△t=0.00001,△t=–0.000001,△t=0.000001,…………如何求（比如，t=2时的）瞬时速度？通过列表看出平均速度的变化趋势

：第26页,共40页，2024年2月25日，星期天当△t趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近与一个确定的值–13.1.从物理的角度看,时间间隔|△t|无限变小时,平均速度就无限趋近于t=2时的瞬时速度.因此,运动员在t=2

时的瞬时速度是–13.1.表示“当t=2,△t趋近于0时,平均速度趋近于确定值–13.1”.从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度第27页,共40页，2024年2月25日，星期天探究:1.运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示?2.函数f(x)在x=

x0处的瞬时变化率怎样表示?第28页,共40页，2024年2月25日，星期天定义:函数y=f(x)在x=

x0处的瞬时变化率是称为函数y=f(x)在x=

x0处的导数,记作或,即第29页,共40页，2024年2月25日，星期天定义:函数y=f(x)在x=

x0处的瞬时变化率是称为函数y=f(x)在x=

x0处的导数,记作或,即第30页,共40页，2024年2月25日，星期天由导数的定义可知,求函数y=f(x)的导数的一般方法:求函数的改变量2.求平均变化率3.求值口诀：一差、二化、三极限第31页,共40页，2024年2月25日，星期天例1:(1)求函数y=x2在x=1处的导数;(2)求函数y=x+1/x在x=2处的导数.第32页,共40页，2024年2月25日，星期天第33页,共40页，2024年2月25日，星期天练1:求y=f(x)=x2+1在x=1处的导数.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx第34页,共40页，2024年2月25日，星期天例3将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第xh时,原油的温度(单位:)为f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).计算第2h和第6h,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解:在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是和根据导数的定义,所以,同理可得在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.它说明在第2h附近,原油温度大约以3/h的速率下降;在第6h附近,原油温度大约以5/h的速率上升.第35页,共40页，2024年2月25日，星期天例3将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第xh时,原油的温度(单位:)为f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).计算第