光电变换的统计特性

关于光电变换的统计特性7.1双随机泊松点过程

一般光电子的发射过程遵守所谓双随机泊松点过程。设在不同瞬时t1,t2,…,tN产生光电子的联合概率分布P(t1,t2,…,tN)可表示为(7.1-1)第2页,共63页，2024年2月25日，星期天

按量子力学的观点，将电子从束缚态激发到非束缚态的过程，就被看作是光电子发射过程。在Δt时间内，从面元Δs上释放电子的个数为

ΔPt=λ(t)Δt=αI(r,t)ΔsΔt(7.1-2)λ(t)=αI(r,t)Δs(7.1-3)第3页,共63页，2024年2月25日，星期天

其中α是探测器的量子效率。λ是发射电子的速率，可理解为单位时间内平均发射光电子的个数，ΔPt可理解为发射电子的概率。对探测器表面积分，就得到探测器发射电子速率为(7.1-4)第4页,共63页，2024年2月25日，星期天7.2相干光的光电子统计和泊松变换

由于相干光是光强恒定的，无起伏，因此光电子发射过程是泊松过程。则在t0~t0+T间隔内产生n个光电子的概率为(7.2-1)第5页,共63页，2024年2月25日，星期天

其中W表示在t0~t0+T时间内产生的平均光电子数:(7.2-2)

随机变量n的正常矩母函数Qn(s)为(7.2-3)第6页,共63页，2024年2月25日，星期天累积量母函数(7.2-4)阶乘矩母函数(7.2-5)第7页,共63页，2024年2月25日，星期天正常矩为(7.2-6)于是

〈n〉=W〈n2〉=W2+W〈n3〉=W3+3W2+W第8页,共63页，2024年2月25日，星期天阶乘矩(7.2-7)累积量(7.2-8)第9页,共63页，2024年2月25日，星期天

在式(7.2-1)中的W是光强一定时T间隔内产生的平均光电子数。若W是随机的，则光电子计数n的概率分布P(n)也是随机的。需要取平均值给出有实际意义的概率分布:(7.2-9)P(n)与P(W)的这种关系叫泊松变换，记为P(n)=PT［P(W)］(7.2-10)第10页,共63页，2024年2月25日，星期天7.3线性极化热光的光电子统计7.3.1T<<τc,A<<Ac的情形

τc和Ac分别为热光场的相干时间和相干面积；而T是探测时间(或计数时间);A是探测器面积。A<<Ac可以看作是点探测器。由于取样时间很短，在这段时间内I可被看成常数，于是W=CI(r,t)T(7.3-1)第11页,共63页，2024年2月25日，星期天

其中C=αA。这时的W可理解成t～t+T时间内被接收器接收到的平均能量。因为W与光强度成正比，所以W的统计分布与光强度的统计分布有相同的形式，即(7.3-2)对应地有(7.3-3)(7.3-4)(7.3-5)第12页,共63页，2024年2月25日，星期天

再利用泊松变换，就得到T<<τc,A<<Ac情况下线性极化热光的光电子统计分布：(7.3-6)利用分步积分或查积分表,可得(7.3-7)第13页,共63页，2024年2月25日，星期天

式(7.3-7)称为玻色—爱因斯坦分布，也叫几何分布，其中〈n〉=〈W〉。这种分布有递推关系第14页,共63页，2024年2月25日，星期天

式(7.3-7)称为玻色—爱因斯坦分布，也叫几何分布，其中〈n〉=〈W〉。这种分布有递推关系(7.3-8)(7.3-9)(7.3-10)(7.3-11)第15页,共63页，2024年2月25日，星期天7.3.2T>>τc,A<<Ac的情况

T>>τc,A<<Ac时仍是点探测器，但取样时间T较长，这时要考虑W的时间积分效应:(7.3-12)第16页,共63页，2024年2月25日，星期天

时要根据I(t)的分布求W的分布一般是困难的，这里只给出处理问题的思路和结论。

基本思路：

(1)将光场V(t)在区间［0,T］内用一组完全正交基展开，即所谓Karhunen-Loeve(K-L)展开。

(2)把K-L展开模的平方代入式(7.3-12)，并利用正交性可得(7.3-13)(7.3-14)第17页,共63页，2024年2月25日，星期天(3)Wk的正常矩母函数为(7.3-16)第18页,共63页，2024年2月25日，星期天(4)求式(7.3-16)的Laplace逆变换或式(7.3-14)的多重卷积就可求出W的概率分布。第19页,共63页，2024年2月25日，星期天7.4部分极化热光的光电子统计

仍然设两个正交的极化分量是统计独立的，所以探测器探测的光强度I是两个独立的分量I1与I2之和，即第20页,共63页，2024年2月25日，星期天相应地，积分强度W为(7.4-1)(7.4-2)(7.4-3)第21页,共63页，2024年2月25日，星期天

对应的光电子计数为

n=n1+n2(7.4-4)

其中,n1和n2分别对应着两个独立的分量W1和W2的光电子计数，它们也是统计独立的。第22页,共63页，2024年2月25日，星期天7.4.1T<<τc,点探测器(A<<Ac)

与7.3节讨论的情况一样，这时W∝I，W的概率分布与I的概率分布形式相同。利用6.2节中讨论部分极化热光的结果，我们有(7.4-17)第23页,共63页，2024年2月25日，星期天矩母函数(7.4-18)再利用QcW(s)=lnQW(s)可以得到累积量：(7.4-19)第24页,共63页，2024年2月25日，星期天方差(7.4-20)第25页,共63页，2024年2月25日，星期天

把矩母函数式(7.4-18)代入式(7.4-16),可求得光电子计数分布：(7.4-21)式(7.4-21)当然也可以利用两个具有平均值第26页,共63页，2024年2月25日，星期天光电子分布的阶乘矩为(7.4-22)(7.4-23)第27页,共63页，2024年2月25日，星期天7.4.2T>>τc,点探测器(A<<Ac)

在T>>τc,A<<Ac的情况下，W1、W2分别是I1、I2的积分，利用Karhunen-Loeve展开，可将W1、W2都表示为N个独立的随机变量之和，则W1、W2都服从形如(7.4-24)第28页,共63页，2024年2月25日，星期天

的Γ分布。利用泊松变换，可以得到对应的光电子计数n1和n2的分布均为负二项分布:(7.4-25)另外,W的矩母函数为(7.4-26)第29页,共63页，2024年2月25日，星期天再利用式(7.4-16)可以算出(7.4-27)第30页,共63页，2024年2月25日，星期天相应的阶乘矩为(7.4-28)第31页,共63页，2024年2月25日，星期天

其中利用了Γ(n+1)=n!,Γ(1)=1以及另外,由式(7.3-17)知第32页,共63页，2024年2月25日，星期天7.5相干光与热光相混合的光电子统计7.5.1极化的相干光和极化的热光相混合的光电子统计极化的相干光和极化的热光相混合的情况下光场的统计特性已在6.3节中讨论过。光强度I的概率分布P(I)是Bessel分布:(7.5-1)第33页,共63页，2024年2月25日，星期天7.5.2相干光与部分极化热光混合的情形相干光与部分极化热光混合时，积分强度

可分为两部分:W=W1+W2(7.5-9)

其中，(7.5-10)(7.5-11)第34页,共63页，2024年2月25日，星期天

其中,P是部分极化光的极化度，θ是相干光振动方向与部分极化光的一个独立分量所对应方向的夹角。根据独立随机变量和的统计规律，我们有(7.5-12)(7.5-13)(7.5-14)(7.5-15)(7.5-16)第35页,共63页，2024年2月25日，星期天7.6调制光束的光电子统计

调制光束模型的一个重要应用领域是光通信。为了传递信息，在光通信中必须对光束进行调制。本节我们首先讨论一般的处理方法，然后讨论一些实例。设光束受到一个统计独立的效应的调制，那么光强度是两种效应的乘积，即

I(t)=β(t)I0(t)(7.6-1)第36页,共63页，2024年2月25日，星期天

式中I0(t)是原来未被调制的光束的强度，β(t)是调制效应，I0(t)和β(t)是两个统计独立的随机过程。在计数时间间隔［t,t+T］内的积分强度为(7.6-2)W=W1W2(7.6-3)第37页,共63页，2024年2月25日，星期天(1)对于β(t)的相干时间τcβ>>T:第38页,共63页，2024年2月25日，星期天(2)对于I0(t)的相干时间τc0>>T:第39页,共63页，2024年2月25日，星期天(3)对于同时有τc0>>T和τcβ>>T:

W=αI0(t)Tβ(t)=W0W1

其中

W0=αI0(t)TW1=β(t)第40页,共63页，2024年2月25日，星期天

总之，不论上面哪种情形，都能将W写成两个独立的随机变量W1和W0的乘积，接下来的事情就是如何求出W的统计特性与W1、W0的统计特性之间的关系。由定义:(7.6-4)(7.6-5)第41页,共63页，2024年2月25日，星期天图7.6-1分布函数的积分区间示意图第42页,共63页，2024年2月25日，星期天

例7-1相干光受热光调制(如激光在大气中传输时因随机起伏造成的影响)这时在

I=βI0

中,I0是常数，β是热光光强，所以调制光束变为热光束，故其统计特性就是热光的统计特性。光强度为指数分布，对于极化和部分极化的不同情况已作过详细讨论。例7-2热光束受热噪声调制的情况(如星际观察等)。例7-3热光强度被实数高斯噪声调制(通信模型)。第43页,共63页，2024年2月25日，星期天

例7-4用一个确定的与计数不同步的周期信号进行强度调制。这里假定β(t)是一个确定的周期信号,调制周期为Tβ，但取样与该周期信号不同步，这样在计数时会引起额外的随机性。有时在β(t)的峰值取样，有时在谷值取样。假设T<<Tβ，取样时间中心t是［0,Tβ］内均匀分布的随机变量。不难算出β(t)的概率分布(当给定β的函数形式后)。对于如图7.6-2所示的几种波形，已知t～［0,T］均匀分布,则0＜t＜T其它

于是三种波形概率的求法如下(只考虑一个周期)。第44页,共63页，2024年2月25日，星期天

图7.6-2几种β的波形

(a)方波；(b)三角形；(c)正弦波第45页,共63页，2024年2月25日，星期天1.方波方波如图7.6-3所示。图7.6-3方波第46页,共63页，2024年2月25日，星期天其中,按分布函数的定义

F(β)=P{B(t)≤β}第47页,共63页，2024年2月25日，星期天

显然:当β＜β1时，F(β)=0；当β≥β2时，F(β)=1;当β1≤β＜β2时β＜β1

β1≤β＜β2β≥β2

第48页,共63页，2024年2月25日，星期天2.三角波三角波如图7.6-4所示。图7.6-4三角波第49页,共63页，2024年2月25日，星期天

其中,β2=1+0.5m,β1=1-0.5m。显然,当β＜β1时，F(β)=0;当β＞β2时，F(β)=1；当β1≤β≤β2时第50页,共63页，2024年2月25日，星期天不难算出第51页,共63页，2024年2月25日，星期天3.正弦波正弦波如图7.6-5所示。图7.6-5正弦波第52页,共63页，2024年2月25日，星期天

其中β2-β1=m。显然,当β＜β1时,F(β)=0；当β＞β2时，F(β)=1；当β1≤β≤β2时第53页,共63页，2024年2月25日，星期天不难算出第54页,共63页，2024年2月25日，星期天7.7光电子统计应用举例7.7.1光信号的直接探测在给定的时间间隔内直接记录光电子计数，并用来估计光强度即光信号(注意：记录光电子是随机变化的)。第55页,共63页，2024年2月25日，星期天

基本原理如下：设光信号为I(t)，为了测量I(t)，根据Nyquist定理可选择一系列时间测出I1,I2,I3,…,从而得到I(t)。下面以某个测量为例说明如何测I。为了测出I(t)的变化，每次记录Ii的时间比起I(t)的变化要足够小。不妨设某次测量是在［0,T0］时间内测量的，T0与I(t)变化相比来说很小，故在这段时间内I不变。测量步骤为：第56页,共63页，2024年2月25日，星期天(1)把［0,T0］等间隔地分为M段，每段间隔T;(2)设每一段时间光电子计数为{n}=n1,n2,…,nM;(3)从n1,n2,…,nM中估计出单位时间内平均光电子数λ；

(4)由I=λhΓ/ηA得到光强，其中η是量子效率，A是探测器面积。第57页,共63页，2024年2月25日，星期天1.样本设X的分布函数为F，若随机变量X1,X2,…,Xn为具有同一分布的相互独立的随机变量，则称X1,X2,…,Xn为从X得到的容量为