串讲03 平面向量(考点串讲)(原卷版)_第1页
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文档简介

串讲03平面向量知识网络二、常考题型三、知识梳理1.向量的概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模.(2)零向量:长度为0的向量,其方向是任意的.(3)单位向量:长度等于1个单位的向量.(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0与任一向量共线.(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法求a与b的相反向量-b的和的运算a-b=a+(-b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|=|λ||a|,当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ<0时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=0λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μ_a;λ(a+b)=λa+λb3.向量的共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b=λa.4.平面向量基本定理如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数,使.其中,不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.5.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设,则,,,.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标;②设,则,.6.平面向量共线的坐标表示设,其中,.7.向量的夹角(1)定义:已知两个非零向量a和b,作eq\o(OA,\s\up6(→))=a,eq\o(OB,\s\up6(→))=b,则∠AOB就是向量a与b的夹角.(2)范围:设θ是向量a与b的夹角,则0°≤θ≤180°.(3)共线与垂直:若θ=0°,则a与b同向;若θ=180°,则a与b反向;若θ=90°,则a与b垂直.8.平面向量的数量积定义设两个非零向量a,b的夹角为θ,则|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影,|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积9.向量数量积的运算律(1)a·b=b·a.(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).(3)(a+b)·c=a·c+b·c.10.平面向量数量积的结论已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|=eq\r(a·a)|a|=eq\r(xeq\o\al(2,1)+yeq\o\al(2,1))夹角cosθ=eq\f(a·b,|a||b|)cosθ=eq\f(x1x2+y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)+yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)+yeq\o\al(2,2)))a⊥b的充要条件a·b=0x1x2+y1y2=0四、常考题型探究考点一向量的概念例1.设是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是(

)A.与的方向相反 B.与的方向相同C. D.【变式探究】判断下列命题:①两个有共同起点而且相等的非零向量,其终点必相同;②若,则与的方向相同或相反;③若,且,则.其中,正确的命题个数为(

)A.0 B.1 C.2 D.3考点二向量的加减法例2.化简得(

)A. B. C. D.【变式探究】.考点三向量的数乘运算例3.已知向量,那么等于(

)A. B. C. D.【变式探究】化简.考点四平行向量基本定理例4.在中,点为边的中点,记,则.【变式探究】已知,是两个不共线的向量,与共线,则实数.考点五向量的直角坐标运算例5.已知向量,,则等于()A. B.C. D.例6.已知向量,,则等于()A. B.C. D.【变式探究】已知向量,则下列结论正确的是(

)A. B.C.与同向 D.考点六向量平行的充要条件例7.已知平面向量,且,则(

)A. B. C.1 D.3【变式探究】已知向量,,若与共线,则实数(

)A. B. C.1 D.2考点七向量的坐标公式例8.已知,则的中点坐标是(

)A. B. C. D.例9.已知平面向量,,若,则实数(

)A. B. C.1 D.【变式探究】已知向量,若,则(

)A. B. C.0 D.3考点八向量数量积求模例10.已知向量,则.【变式探究】已知向量,若,则.考点九向量数量积求夹角例11.已知平面向量,则与的夹角为(

)A. B. C. D.【变式探究】已知,,若,则.考

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