2024年广东深圳市高三二模高考数学模拟试卷试题（含答案）

试卷类型：A2024年深圳市高三年级第二次调研考试数 学2024.4本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知n为正整数，且，则A． B． C． D．2．已知正方体，过点A且以为法向量的平面为，则截该正方体所得截面的形状为A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形3．对于任意集合M，N，下列关系正确的是A． B．C． D．4．已知，且，则函数的图象一定经过A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限5．已知，其中为虚数单位，则A． B． C． D．6、已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名（无并列情况），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有A．72种 B．96种 C．144种 D．288种7．P是椭圆C：（）上一点，、是C的两个焦点，，点Q在的平分线上，O为原点，，且．则C的离心率为A． B． C． D．8．设函数，，若存在，，使得，则的最小值为A． B．1 C．2 D．e二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知m，n是异面直线，，，那么A．当，或时，B．当，且时，C．当时，，或D．当，不平行时，m与不平行，且n与不平行10，已知函数（，）的最大值为2，其部分图象如图所示，则A． B．函数为偶函数C．满足条件的正实数，存在且唯一 D．是周期函数，且最小正周期为11．设函数的函数值表示不超过x的最大整数，则在同一个直角坐标系中，函数的图象与圆（）的公共点个数可以是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知样本，，的平均数为2，方差为1，则，，的平均数为．13．已知圆锥的内切球半径为1，底面半径为，则该圆锥的表面积为．注：在圆锥内部，且与底面和各母线均有且只有一个公共点的球，称为圆锥的内切球．14．已知△ABC中，，双曲线E以B，C为焦点，且经过点A，则E的两条渐近线的夹角为；的取值范围为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且，．（1）证明：平面ABC；（2）若，，求平面与平面夹角的余弦值．16．（15分）已知函数，是的导函数，且．（1）若曲线在处的切线为，求k，b的值；（2）在（1）的条件下，证明：．17．（15分）某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为97%．（1）从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望；（2）为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．设事件“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件“该大型企业把零件交给甲工厂生产”、已知，证明： ．18．（17分）设抛物线C：（），直线l：交C于A，B两点．过原点O作l的垂线，交直线于点M．对任意，直线AM，AB，BM的斜率成等差数列．（1）求C的方程；（2）若直线，且l＇与C相切于点N，证明：△AMN的面积不小于．19．（17分）无穷数列，，…，，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是﹔如果n是奇数，就对尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是．（1）写出这个数列的前7项；（2）如果且，求m，n的值；（3）记，，求一个正整数n，满足．

2024年深圳市高三年级第二次调研考试数学试题参考答案及评分标准本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案CABDBCCB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。题号91011答案ABACDABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．5 13． 14．；（注：第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）证明：（1）取BC的中点M，连结MA、．因为，，所以，．由于AM，平面，且，因此平面．因为平面，所以．又因为，所以，因为平面平面ABC，平面平面，且平面，所以平面ABC．因为，所以平面ABC．解：（2）（法一）因为，且，所以．以AB，AC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．所以，，．设平面的法向量为，则，可得，令，则，设平面的法向量为，则，可得，令，则，设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为．（法二）将直三棱柱补成长方体．连接，过点C作，垂足为P，再过P作，垂足为Q，连接CQ．因为平面，且平面，所以．又因为，由于BD，平面，且，所以平面．由于平面，所以．因为CQ，平面CPQ，且，所以平面CPQ．因为平面CPQ，所以．则∠CQP为平面与平面的夹角或补角，在中，由等面积法可得．因为，所以，因此平面与平面夹角的余弦值为．16．（15分）解：（1）因为，所以，则．因为，所以．则曲线在点处的切线斜率为．又因为，所以曲线在点处的切线方程为，即得，．（2）证：设函数，，则．设，则，所以，当时，，单调递增．又因为，所以，时，，单调递增；时，，单调递减．又当时，，综上在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值，即，所以，当时，．17．（15分）解：（1）设甲工厂试生产的这批零件有m件，乙工厂试生产的这批零件有n件，事件“混合放在一起零件来自甲工厂”，事件“混合放在一起零件来自乙工厂”，事件“混合放在一起的某一零件是合格品”，则，，，计算得．所以．X的可能取值为0，1，2，3，，，，，，．所以，X的分布列为：X0123P证明：（2）因为在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，所以．即．因为，，所以．因为，，所以．即得，所以．即．又因为，，所以．因为，，所以．即得证．18．（17分）解：（1）设点，，由题可知，当时，显然有；当时，直线OM的方程为，点．联立直线AB与C的方程得，，所以，，因为直线AM，AB，BM的斜率成等差数列，所以．即，，化简得．将代入上式得，则，所以曲线C的方程为．（2）（法一）设直线l＇：，联立C的方程，得．由，得，点，设AB的中点为E，因为，，则点．因为，所以点M，N，E三点共线，且点N为ME的中点，所以△AMN面积为△ABM面积的．记△AMN的面积为S，点到直线AB：的距离，所以，当时，等号成立．所以命题得证．（法二）设直线l＇：，联立C的方程，得．由，得，点．所以直线MN与x轴垂直．分记△AMN的面积为S，所以．当时，等号成立．所以命题得证．19．（17分）解