2025届新高考数学精准突破复习：直线与圆

直线与圆2025届新高考数学精准突破复习考情预览

明确考向√2.[圆中最值问题](2023·全国乙卷)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是(

)√4.[直线与圆的位置关系](2022·新高考Ⅱ卷)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是

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考法聚焦

讲练突破热点一直线的方程及应用(1)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为零),直线l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为零),则l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,且A1C2-A2C1≠0;l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.典例1

(1)(多选题)已知直线l1:(a+1)x+ay+2=0,l2:ax+(1-a)y-1=0,则(

)√√(2)(2023·内蒙古赤峰模拟)已知直线l:ax+by+c=0,其中a,b,c成等差数列,则直线l恒过定点

,若P(-1,0),N(2,1),过点P作直线l的垂线,垂足为M,则|MN|的最大值为

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(1,-2)解决直线方程问题的三个注意点(1)求解两条直线平行的问题时,在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出参数的值后,要注意代入检验,排除两条直线重合的可能性.(2)要注意直线方程每种形式的局限性,点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直,而截距式方程既不能表示过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线.(3)讨论两直线的位置关系时,要注意直线的斜率是否存在.热点训练1

(1)已知直线l1:x-my+1=0过定点A,直线l2:mx+y-m+3=0过定点B,l1与l2相交于点P,则|PA|2+|PB|2等于(

)A.10 B.13 C.16 D.20√(2)已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=x+b将△ABC分割为面积相等的两部分,则b等于(

)√热点二圆的方程及应用(1)圆的标准方程当圆心为(a,b),半径为r时,其标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,特别地,当圆心在原点时,方程为x2+y2=r2.典例2

(1)已知圆C与直线y=x及x-y-4=0都相切,圆心在直线y=-x上,则圆C的方程为(

)A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x+1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x-1)2+(y+1)2=2√√√√(1)直接法求圆的方程:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.(2)待定系数法求圆的方程:①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;②若已知条件没有明确给出圆心或半径,选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.热点训练2

(1)(2023·山东菏泽模拟)已知两条直线l1:2x-3y+2=0,l2:3x-2y+3=0,有一动圆(圆心和半径都在变动)与l1,l2都相交,并且l1,l2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,24,则动圆圆心的轨迹方程为(

)A.(y-1)2-x2=65 B.x2-(y-1)2=65C.y2-(x+1)2=65 D.(x+1)2-y2=65√(2)数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.后人称这条直线为欧拉线,已知△ABC的顶点A(-2,0),B(2,4),其欧拉线的方程为x-y=0,则△ABC的外接圆方程为

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(x-1)2+(y-1)2=10热点三直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系有相交、相切和相离.判断方法有①点线距离法.(2)与圆的切线有关的结论①过圆x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则过A,B两点的直线方程为x0x+y0y=r2.③过圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一点P(x0,y0)作圆C的两条切线,切点分别为A,B,则切点弦AB所在直线的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(3)圆与圆的位置关系,即内含、内切、相交、外切、外离.考向1直线与圆的位置关系典例3

(1)(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sinα等于(

)√(2)(多选题)已知直线l:kx-y-k+1=0,圆C的方程为(x-2)2+(y+2)2=16,则下列选项正确的是(

)√√考向2圆与圆的位置关系典例4

(1)(2023·四川达州模拟预测)已知圆O1:x2+y2=1与圆O2:(x-2)2+(y-2)2=1,圆I与圆O1,O2均相切,则圆心I的轨迹中包含了哪条曲线(

)A.圆 B.椭圆

C.双曲线 D.抛物线√解析:(1)由圆O1:x2+y2=1可得r1=1,由圆O2:(x-2)2+(y-2)2=1可得r2=1,设圆I的半径为r,当圆I与圆O1,O2同时外切或内切时,如图,①当同时外切时,|IO1|=|IO2|=1+r;②当同时内切时,|IO1|=|IO2|=r-1,故始终|IO1|=|IO2|,此时I的轨迹为线段O1O2的中垂线.当圆I与圆O1,O2一个内切一个外切时,如图,①当圆I与圆O1内切,与圆O2外切时,则|IO2|-|IO1|=(r+1)-(r-1)=2;(2)(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程

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x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0(其中一条作答即可)解析:(2)法一如图,因为圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径r1=1,圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心为A(3,4),半径r2=4,所以|OA|=5,r1+r2=5,所以|OA|=r1+r2,所以两圆外切,公切线有三种情况:①易知公切线l1的方程为x=-1.法二根据题意,精确作出两圆(需用到尺规),由图形可直观快速看出直线x=-1是两圆的一条公切线,经验证符合题意,故可填x=-1.(1)直线与圆相切问题的解题策略①直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直,圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式,所以求切线方程时主要选择点斜式.过圆外一点求解切线段长的问题,可先求出圆心到圆外一点的距离,再结合半径利用勾股定理计算.(2)直线与圆相交问题的求法①弦长