2025届新高考数学精准突破复习立体几何中的动态问题

2025届新高考数学精准突破复习立体几何中的动态问题“动态”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更新颖.同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化.考情分析思维导图内容索引典型例题热点突破典例1

(1)(多选)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为四边形ABCD所在平面上一动点，则下列命题正确的是考点一动点的轨迹A.若MN与平面ABCD所成的角为

则点N的

轨迹为圆B.若MN＝4，则MN的中点P的轨迹所围成图

形的面积为2πC.若点N到直线BB1与直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线D.若D1N与AB所成的角为

则点N的轨迹为双曲线√√√如图所示，对于A，根据正方体的性质可知，MD⊥平面ABCD，所以∠MND为MN与平面ABCD所成的角，所以点N的轨迹是以D为圆心，2为半径的圆，故A正确；取MD的中点E，因为P为MN的中点，即点P在过点E且与DD1垂直的平面内，对于C，连接NB，因为BB1⊥平面ABCD，所以BB1⊥NB，所以点N到直线BB1的距离为NB，所以点N到点B的距离等于点N到定直线CD的距离，又B不在直线CD上，所以点N的轨迹是以B为焦点，CD为准线的抛物线，故C正确；对于D，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(4,0,0)，B(4,4,0)，D1(0,0,4)，A.当λ＝1时，△AB1P的周长为定值B.当μ＝1时，三棱锥P－A1BC的体积为定值√√图1对于选项A，当λ＝1时，点P在棱CC1上运动，如图1所示，此时△AB1P的周长为AB1＋AP＋PB1＝不是定值，故A错误；对于选项B，当μ＝1时，点P在棱B1C1上运动，如图2所示，图2方法二对于选项D，分别取BB1，CC1的中点E，F，连接EF，则当μ＝

点P在线段EF上运动，以点C1为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,1,1)，B1(0,1,0)，方法一对于选项D，易知四边形ABB1A1为正方形，所以A1B⊥AB1，设AB1与A1B交于点K，连接PK，要使A1B⊥平面AB1P，需A1B⊥KP，所以点P只能是棱CC1的中点，故选项D正确.解得λ＝1，所以只存在一个点P，使得A1B⊥平面AB1P，此时点P与F重合，故D正确.跟踪训练1

(多选)(2023·扬州模拟)已知圆柱OO1的高为1，下底面圆O的直径AB长为2，BB1是圆柱OO1的一条母线，点P，Q分别在上、下底面内(包含边界)，下列说法正确的有A.若PA＋PB＝3，则点P的轨迹为圆B.若直线OP与直线OB1所成的角为45°，则点P的轨迹是抛物线的一部分C.存在唯一的一组点P，Q，使得AP⊥PQD.AP＋PQ＋QB1的取值范围是√√对于B，如图，不妨以O为原点，以AB的垂直平分线，OA，OO1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(0,1,0)，B(0，－1,0)，B1(0，－1,1)，由于点P在上底面内，所以点P的轨迹是抛物线的一部分，故B正确；对于A,PA＋PB＝3，即点P的轨迹为椭圆，故A错误；对于C，设点P在下底面的投影为P1，若AP⊥PQ，则AP2＋PQ2＝AQ2，而点Q只有在与点B重合时，AQ2才能取到4，此时点B与点Q重合，点P与点O1重合，故C正确；对于D，当点P与点B1，点Q与点A重合时，典例2

(多选)如图，在矩形ABCD中，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M，连接B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是A.存在某个位置，使得CN⊥AB1B.翻折过程中，CN的长是定值C.若AB＝BM，则AM⊥B1DD.若AB＝BM＝1，当三棱锥B1－AMD的体积最大时，三棱锥B1－AMD的

外接球的表面积是4π考点二折叠、展开问题√√对于A，取AD的中点为E，连接CE交MD于点F，如图1，则NE∥AB1，NF∥MB1，如果CN⊥AB1，则EN⊥CN，由于AB1⊥MB1，则EN⊥NF，由于三线NE，NF，NC共面且共点，故EN⊥CN和EN⊥NF不能同时成立，故A错误；对于B，如图1，由∠CEN＝∠MAB1，∴在△CEN中，由余弦定理得NC2＝NE2＋EC2－2NE·EC·cos∠NEC，是定值，故NC也是定值，故B正确；对于C，如图2，取AM的中点O，∵AB＝BM，即AB1＝B1M，则AM⊥B1O.若AM⊥B1D，由于B1O∩B1D＝B1，且B1O，B1D⊂平面ODB1，∴AM⊥平面ODB1，OD⊂平面ODB1，∴OD⊥AM，则AD＝MD，由于AD≠MD，故AM⊥B1D不成立，故C错误；对于D，根据题意知，只有当平面B1AM⊥平面AMD时，三棱锥B1—AMD的体积最大，取AD的中点E，连接OE，B1E，ME，如图2，∵AB＝BM＝1，则AB1＝B1M＝1，且AB1⊥B1M，平面B1AM∩平面AMD＝AM，∴B1O⊥AM，B1O⊂平面B1AM，∴B1O⊥平面AMD，OE⊂平面AMD，∴B1O⊥OE，易知EA＝ED＝EM＝1，∴AD的中点E就是三棱锥B1－AMD的外接球的球心，球的半径为1，表面积是4π，故D正确.跟踪训练2

(多选)(2023·泰安模拟)如图，正方形ABCD的边长为1，M，N分别为BC，CD的中点，将正方形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，以下结论中正确的是A.异面直线AC与BD所成的角为定值B.三棱锥D－ABC外接球的表面积为2πC.存在某个位置，使得直线AD与直线

BC垂直D.三棱锥M－ACN体积的最大值为√√√对于A，取AC的中点O，连接OB，OD，则AC⊥OB，且AC⊥OD，∵OD∩OB＝O，OD，OB⊂平面OBD，∴AC⊥平面OBD，∴AC⊥BD，异面直线AC与BD所成的角为90°，为定值，故A正确；对于B，∵OA＝OB＝OC＝OD，∴三棱锥D－ABC的外接球球心是O，对于C，若直线AD与直线BC垂直，∵AB⊥BC，AD∩AB＝A，AD，AB⊂平面ABD，∴BC⊥平面ABD，∴BC⊥BD，又BD⊥AC，AC∩BC＝C，AC，BC⊂平面ABC，∴BD⊥平面ABC，∴BD⊥OB，而△OBD是以OB和OD为腰长的等腰三角形，与题意不符，故C错误；对于D，V三棱锥M－ACN＝V三棱锥N－ACM，当平面DAC⊥平面ABC时，三棱锥M－ACN的体积取得最大值，典例3

(多选)(2023·亳州模拟)已知圆锥的顶点为S，高为1，底面圆的直径AC＝

B为圆周上不与A重合的动点，F为线段AB上的动点，则考点三最值、范围问题√√如图1，平面SAC为圆锥的轴截面，O为底面圆心，则SO＝1，SA＝SC＝2，所以∠SCA＝30°，所以∠ASC＝120°，所以0°<∠ASB≤120°，设∠ASB＝θ(0°<θ≤120°)，根据圆锥的结构特征可知，点B在平面SAC上的投影在AC上，又SB为定值，则当点B到直线AC的距离最大时，直线SB与平面SAC所成的角最大，所以当B是

的中点时，直线SB与平面SAC所成的角最大，又因为高为1，所以直线SB与平面SAC所成角的最大值为60°，故C正确；此时△SAB为等腰三角形，△ABC为等腰直角三角形，将△SAB，△ABC沿AB展开至同一个平面，得到如图2所示的平面图形，取AB的中点D，连接SC，SD，CD，当且仅当S，F，C三点共线时，等号成立，故D不正确.跟踪训练3

(多选)(2023·永州模拟)已知四面体ABCD的所有棱长均为M，N分别为棱AD，BC的中点，F为棱AB上异于A，B的动点，点G为线段MN上的动点，则A.线段MN的长度为1B.△FMN周长的最小值为

＋1C.∠MFN的余弦值的取值范围为D.直线FG与直线CD互为异面直线√√因为四面体ABCD的所有棱长均为所以四面体ABCD为正四面体，将四面体ABCD放置在正方体中，则正方体的棱长为1，由M，N分别为棱AD，BC的中点，得M，N是正方体两个对面的中心，则MN＝1，故A正确；对于D，当F为AB的中点，G为MN的中点时，设I为CD的中点，由正方体的结构特征可知F，I，G三点共线，此时直线FG与直线CD交于点I，故D错误；对于B，将等边△ABC和等边△ABD沿AB展开成平面图形，如图所示，则MF＋NF≥MN，当且仅当M，N，F三点共线时，等号成立，对于C，如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，设F(1，a,1－a)(0<a<1)，总结提升求解动态范围的选择、填空题，有时应把这类动态的变化过程充分地展现出来，通过动态思维，观察它的变化规律，找到两个极端位置，即用特殊法求解范围.对于探究存在问题或动态范围(最值)问题，用定性分析比较难或繁时，可以引进参数，把动态问题化归为静态问题.具体地，可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算，以算促证.1.(2023·株洲模拟)已知三棱锥A－BCD的侧面展开图放在正方形网格中的位置如图所示，那么在三棱锥A－BCD中，AB与CD所成的角为12345678√12345678取CD的中点E，连接AE，BE，所以AE⊥CD，BE⊥CD，因为AE∩BE＝E，AE，BE⊂平面ABE，所以CD⊥平面ABE，因为AB⊂平面ABE，所以CD⊥AB，即AB与CD所成的角为2.(2023·九江模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M是平面BCC1B1内一动点，且DM⊥A1C，则DM＋MC的最小值为12345678√12345678如图1，连接BD，BC1，DC1，易知A1C⊥平面BDC1，因为DM⊥A1C，所以DM⊂平面BDC1，即M在线段BC1上，将△BDC1沿着BC1展开，使得D，B，C，C1四点共面，如图2，又因为正方体的棱长为2，则BC1＝当D，M，C三点共线时，DM＋MC取得最小值，123456783.(2023·山东联考)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝

AC＝AA1＝1，BC＝2，点M是BC的中点，点P是线段A1B上一动点，点Q在平面AMC1上移动，则P，Q两点之间距离的最小值为12345678√12345678连接A1C交AC1于点O，连接OM(图略)，∵O，M分别为A1C，BC的中点，则OM∥A1B，且OM⊂平面AMC1，A1B⊄平面AMC1，∴A1B∥平面AMC1，则线段A1B上的点到平面AMC1的距离相等，设为d，则P，Q两点之间距离的最小值为d，即点A1到平面AMC1的距离d，∵A1C的中点O在AC1上，则点C到平面AMC1的距离为d，由题意可得AC＝CM＝CC1＝1，12345678∵，4.(多选)(2023·石家庄模拟)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的侧面ABB1A1内(包含边界)有一点P，则下列说法正确的是A.若点P到直线AB与到直线B1C1的距离之比为2∶1，则点P的轨迹为双曲

线的一部分B.若点P到直线AB与到直线B1C1的距离之比为1∶1，则点P的轨迹为抛物

线的一部分C.过P，C，D三点作正方体ABCD－A1B1C1D1的截面，则截面图形是平行

四边形D.三棱锥P－ABC体积的最大值为12345678√√√12345678如图，以B1为坐标原点，以B1A1，B1C1，B1B所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B1(0,0,0)，设侧面ABB1A1内(包含边界)点P(x,0，z)(0≤x≤1,0≤z≤1)，对于A，点P到直线AB的距离为1－z，由正方体知B1C1⊥平面ABB1A1，又PB1⊂平面ABB1A1，所以B1C1⊥PB1，12345678对于C，过点P作MN∥AB，分别交AA1，BB1于点M，N，连接CN，DM，如图，则MN∥CD且MN＝CD，所以四边形MNCD是平行四边形，对于B，点P到直线AB与到直线B1C1的距离之比为1∶1，即点P到直线AB与到定点B1的距离相等，根据抛物线定义知点P的轨迹为抛物线的一部分，故B正确；则平行四边形MNCD为过P，C，D三点的截面，故C正确；12345678对于D，当点P在A1B1上时，点P到平面ABCD的距离最大为1，又S△ABC为定值，故此时三棱锥P－ABC的体积最大，5.(多选)(2023·菏泽模拟)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内的一个动点(不包含四个顶点)，则下列说法中正确的是A.三角形AD1P的面积无最大值、无最小值B.存在点P，满足DP∥平面AB1D1C.存在点P，满足DP⊥BPD.BD1与BP所成角的正切值的取值范围为12345678√√√12345678在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面BCC1B1∥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，P∈平面BCC1B1，则点P到AD1的距离的最小值为平面BCC1B1与平面ADD1A1的距离2，此时点P在BC1上，因为正方体ABCD－A1B1C1D1的对角面ABC1D1为矩形，且AB＝2，又AD1＝此时△AD1P的面积有最小值，故A错误；12345678连接BD,C1D，由A可知，四边形ABC1D1为矩形，即有BC1∥AD1，AD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，则BC1∥平面AB1D1，同理BD∥平面AB1D1，又BC1∩BD＝B，BC1，BD⊂平面BDC1，因此平面BDC1∥平面AB1D1，当P∈BC1时，DP∥平面AB1D1，故B正确；因为BD＝DC1＝

取BC1的中点P，则DP⊥BC1，即DP⊥BP，故C正确；12345678因为P是侧面BB1C1C内的一个动点(不包含四个顶点)，则射线BP必与折线段CC1B1存在交点Q，设C1Q＝2－t,0≤t≤2，BP所成的角为θ，12345678123456786.(多选)(2023·黄山模拟)如图，圆柱OO1的底面半径和母线长均为3，AB是底面直径，点C在圆O上且OC⊥AB，点E在母线BD上，BE＝2，点F是上底面的一个动点，则A.存在唯一的点F，使得AF＋FE＝B.若AE⊥CF，则点F的轨迹长为4C.若AF⊥FE，则四面体ACEF的外接球的表面积为40πD.若AF⊥FE，则点F的轨迹长为√√√12345678设E关于点D的对称点为E′，如图，则AF＋EF＝AF＋FE′≥AE′＝由题意知OC⊥AB，OO1⊥OC，OO1⊥AB，以O为坐标原点，以OC，OB，OO1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－3,0)，C(3,0,0)，E(0,3,2)，设F(x，y,3)，123456786y＋6＝0，所以y＝－1，所以点F的轨迹为上底面圆O1的一条弦MN，O1到MN的距离为1，12345678所以AC2＋CE2＝AE2，所以△ACE为直角三角形，其外心为AE与OO1的交点Q，且OQ＝1，QE＝12345678所以QF＝QE＝QC＝QA，所以Q为四面体ACEF的外接球的球心，球的半径为

所以球的表面积为40π，故C正确.123456787.(2023·南昌模拟)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB＝2CD，点M是侧棱PC上的定点，点Q在侧棱AP上运动，若三棱锥M－BDQ的体积为定值，则

＝____.212345678在四棱锥P－ABCD中，点M是侧棱PC上的定点，则△MBD的面积为定值，因为