2021-2022学年河南省洛阳市创新发展联盟高二下学期第一次联考数学（文）试题

20212022学年河南省洛阳市创新发展联盟高二下学期第一次联考数学（文）试题一、单选题1．“所有可以被5整除的整数，末位数字都是5”的否定是（

）A．所有可以被5整除的整数，末位数字都不是5B．所有不可以被5整除的整数，末位数字不都是5C．存在可以被5整除的整数，末位数字不是5D．存在不可以被5整除的整数，末位数字是5【答案】C【分析】根据全称量词命题的否定是特称量词命题即可求解.【详解】“所有可以被5整除的整数，末位数字都是5”的否定是:存在可以被5整除的整数，末位数字不是5.故选：C.2．在中，内角所对的边分别为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理角化边可得，利用余弦定理可求得结果.【详解】由正弦定理得：，令，，，.故选：A.3．关于下面演绎推理：大前提：幂函数的图象恒过点.小前提：是幂函数.结论：的图象过点.下列表述正确的是（

）A．因大前提错误导致结论错误 B．因小前提错误导致结论错误C．因推理形式错误导致结论错误 D．此推理结论正确【答案】B【分析】判断大前提和小前提的正误后可得．【详解】是指数函数，而非幂函数，所以是因小前提错误导致结论错误.故选：B．4．复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】由的幂运算的周期性和复数除法运算法则可计算得到，由共轭复数定义可得，进而得到其对应的点的坐标，从而确定结果.【详解】，，，，则对应的点为，位于第四象限.故选：D.5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】由双曲线定义可直接构造方程求得结果.【详解】由双曲线方程知：；根据双曲线定义知：，解得：（舍）或.故选：B.6．执行如图所示的程序框图，则输出的（

）A．2 B．1 C． D．【答案】C【分析】根据的周期性进行求解即可.【详解】，；，；，；，；….所以的值以，，2的形式循环，当时，输出的.故选：C7．“”是“或”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据必要不充分条件的定义，前面推不出后面，后面推出前面，即可得到答案；【详解】若，则A，B没有公共元素，A，B不一定是空集；若或，则.故“”是“或”的必要不充分条件.故选：B8．已知函数的图象在处的切线方程为，则（

）A．的单调递减区间为，单调递增区间为B．的单调递减区间为，单调递增区间为C．的单调递减区间为，单调递增区间为D．的单调递减区间为，单调递增区间为【答案】B【分析】由导数的几何意义可得，求出实数的值，利用导数与函数单调性的关系可求得函数的增区间和减区间.【详解】因为，则，由已知可得，解得，所以，.由，得；由，得．故函数的单调递减区间为，单调递增区间为．故选：B.9．世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离．已知复数满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由复数几何意义可得的轨迹为圆，从而将问题转化为点到点的距离，则所求最大值为圆心到的距离加上半径.【详解】，对应的点的轨迹为圆；的几何意义为点到点的距离，.故选：C.10．在三角形中，我们将三条边的中线的交点称为三角形的重心，且重心到任一顶点的距离是到对边中点距离的2倍.类比上述结论可得：在三棱锥中，我们将顶点与对面重心的连线称为三棱锥的“中线”，将三棱锥四条“中线”的交点称为三棱锥的“重心”.则三棱锥的“重心”到顶点的距离是到对面重心距离的（

）A．倍 B．2倍 C．倍 D．3倍【答案】D【分析】本题考查类比推理的思想，通过空间几何与平面几何的结合，利用相似三角形思想解题.【详解】如图，在四面体中，为的中点，连接，，且，分别为，的重心，，交于点，在中，，分别为，的三等分点，则，所以，，即与相似，比例为1：3，所以，故三棱锥的“重心”到顶点的距离是到对面重心距离的3倍.故选：D11．已知，分别为椭圆的左､右焦点，是上一点，为坐标原点，过点作的角平分线的垂线，垂足为，若，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】延长交直线于点，求出，，化简即得解.【详解】解：延长交直线于点.因为为的角平分线，且，所以，所以.因为，分别为，的中点，所以为的中位线，所以，所以.由椭圆的定义知，不妨设，则，.在中，因为，所以，所以，所以.因为，所以，故.故选：D【点睛】12．已知正数，满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用双换元法化简后，根据基本不等式计算【详解】，令，，则，，，当且仅当，即，时，等号成立，故有最小值．故选：B二、填空题13．若实数满足，则的最大值为______．【答案】【分析】由约束条件可得可行域，将问题转化为在轴截距最大的问题，采用数形结合的方式可求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示，由得：，则取最大值时，在轴截距最大；由图形可知：当过点时，在轴截距最大，由得：，即，.故答案为：.14．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则______．【答案】【分析】由正弦定理求出，再由平方关系求出，最后根据利用两角和的正弦公式计算可得；【详解】解：由正弦定理，所以，可得，显然，所以．所以．故答案为：15．观察下列各式：，，，，…据此规律，推测第个式子为___________.【答案】【分析】根据各式子的特点找规律即可.【详解】由，可得，，，，，成以为首项，为公比的等差数列，故第项为，故第个式子为，故答案为：.16．已知函数在上恰有一个极值，则___________.【答案】1【分析】由导数知识可知，函数上恰有一个变号零点，利用导数得出的单调性，借助图象得出的值.【详解】因为，所以.因为在上恰有一个极值，所以在上恰有一个变号零点，即函数上恰有一个变号零点.令，则.当时，；当时，.故在，上单调递减，在上单调递增.因为，，，所以的大致图象如图所示，因为函数在恰有一个变号零点，所以，此时函数在上恰有一个极值.【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于将函数在上恰有一个极值转化为函数上恰有一个变号零点，利用导数画出其简图，从而得出的值.三、解答题17．北京冬奥会的举办，不仅带动了3亿人参与冰雪运动，更是激发了全民健身的热情.冰雪运动的开展，全民健身的顺利推进，为建设体育强国奠定了坚实基础.随着冰雪运动“南展西扩东进”战略的实施，冰雪运动已不再局限于一些传统冰雪省市.某调查中心为了解市民参与冰雪运动的情况，从A城和B城各随机抽取100人，调查这些人是否参与过冰雪运动，得到了如下列联表：参与过冰雪运动没有参与过冰雪运动合计A城60100B城70合计200(1)完成列联表，并判断是否有99.9%的把握认为是否参与冰雪运动与城市有关；(2)依据统计表，按城市用分层抽样的方法从“参与过冰雪运动”的人中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求A城和B城恰好各1人的概率.附：，.【答案】(1)列联表答案见解析，有99.9%的把握认为是否参与冰雪运动与城市有关；(2).【分析】（1）完善列联表，再利用独立性检验求解；（2）利用古典概型的概率公式求解.【详解】(1)解：列联表如下：参与过冰雪运动没有参与过冰雪运动合计A城6040100B城3070100合计90110200因为，所以有99.9%的把握认为是否参与冰雪运动与城市有关.(2)解：按照分层抽样，从A城抽取4人，记为a，b，c，d，从B城抽取2人，记为e，f.从这6人中抽取2人的所有情况有，，，，，，，，，，，，，，，共15种，其中A城和B城恰好各1人的情况有，，，，，，，，共8种，所以所求概率为.x34567y4550606570(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程.参考公式：，，.参考数据：，.(2)【分析】（1）根据相关系数公式直接求解即可，然后再判断（2）根据回归方程公式直接求解即可【详解】(1)因为，，所以，.因为，所以所以，(2)由（1）知，，所以.因为，所以y关于x的线性回归方程为.19．已知函数.(1)若在上不单调，求a的取值范围；(2)若的最小值为，求a的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正难则反思想，根据导数求在上单调时a的范围即可得解；（2）分和，分别利用导数研究函数的最小值，再根据最小值为求解.【详解】(1).若在上单调，则在上恒成立，所以在上恒成立，所以，即.因为在上不单调，所以a的取值范围是.(2).①当时，，在上单调递增，此时无最值.②当时，令，得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.所以的最小值是，则.令则，所以在上单调递减，在上单调递增，因为，所以方程只有一个根，所以故a的值为.20．已知函数.(1)用反证法证明方程没有负根.(2)证明：过点有且仅有两条直线与曲线相切.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）假设方程有负根，则可得，然后通过判断等式两边的正负可得结论，（2）设切点为，利用导数的几何意义可求出切线方程，把代入可得，有一个根为0，再令，利用导数判断其只有一个零点即可【详解】(1)证明：假设方程有负根，即.因为，所以.因为，所以.由，解得，与矛盾，所以假设不成立，故方程没有负根.(2)证明：设切点为，则.因为，所以，所以曲线在处的切线方程为.将代入上式并化简得.方程显然有一个根.令，因为在上为增函数，在，上单调递增，所以在，上单调递增.当时，，所以在上没有零点，因为，，所以在上有唯一零点，所以有且仅有两个不同的根，即过点有且仅有两条直线与曲线相切.21．已知在数列中，，且．在数列中，，且．(1)证明：数列为等比数列．(2)求数列和数列的通项公式．【答案】(1)证明见解析(2)，．【分析】（1）根据等比数列的定义证明等于不为零的常数，即可证明结论；（2）由（1）的结果可求得数列的通项公式，根据可得的表达式，采用累加法结合错位相减法求和，可求得数列的通项公式．【详解】(1)证明：由，可得，即,因为，所以是以3为首项，3为公比的等比数列．(2)由（1）可得：，所以；由，得，所以．设，则，两式相减得，故，因为，所以，因为，所以．22．已知抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，过F且垂直于x轴的直线交抛物线C于M，N两点，的面积为⒉.(1)求抛物线C的方程.(2)过作两条直线与抛物线C分别交于A，B和C，D，再分别以线段AB和CD为直径作圆，两圆的公共弦所在直线记为l，试判断l是否过定点.若是，请求出该定点；若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)过定点，定点【分析】（1）利用抛物线的通径得出，根据，求出，进而求出抛物线的方程；（2）根据题意求两圆公共弦所在的直线，需要写出这两个圆的方程，然后两圆相减即可得出公共弦所在的直线，进而能够求出公共弦恒过定点.【详解】(1)由题知，令，代入，得，所以，所以，解得，所以抛物线C的方程为：.(2)当