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2024年4月稽阳联考数学科评分标准一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1-4.ADBC5-8.CBCD1.【解析】当时,,位于第二象限,正确选项为A.2.【解析】,故,正确选项为D.3.【解析】由二项式定理展开,中的常数项为.4.【解析】,即,而,即 ,由,则“”是“”的充分不必要条件.5.【解析】如图,在两圆及其内部的范围内,故得最大值为4. 6.【解析】设数列,,由成等比数列,公比为2,则,,故由成等差数列,得,2两13铢需要放置一枚2两,一枚12铢,一枚1铢的环权,故需要3枚. 7.【解析】样本偏度反应数据偏离方向与程度,由图表可得,有比较多的小于样本均值的数据,当右侧有长尾时,受极端值影响,,而样本方差,则.8.【解析】取,则,故,选项A正确. 取,则,则,选项B正确. 取,则,则, 取,,,则是奇数,选项C正确. 取函数,符合题目条件,但此时无最小值,故选项D错误.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.AC 10.BCD 11.ACD9.【解析】关于中心对称,故A正确; 令,解得或,所以极小值为,极大值为,故只有唯一解,B错误;在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,,故C正确;过点作的切线,有2条,故D错误.10.【解析】由,则,若时,为等差数列,B正确;若时,,则,则,故A错误; 若,,,故C正确; 若,,,故D正确.11.【解析】对选项A,取中点分别为,再取中点为,则,球内切于棱台,则点即为梯形内切圆心,易知为SR中点,且均为角平分线,故,则,故球的表面积,故A正确. 对选项B,由上述分析可得,,则正四棱台侧棱. 作,垂足为,则为三等分点(靠近). 设,由勾股定理即得,则,的外接圆心为三等分点(靠近),则三棱锥的外接球球心满足,显然,故三棱锥的外接球球心不可能为,故B错误. 对选项C,若直线面,作,垂足为,则的轨迹为以为直径的圆,圆所在的平面与垂直,又点为侧面上一点(含边界),取中点,作,垂足为,此时. 对选项D,平面与球的截面为圆,半径满足,故只需找离最远的平面即可,显然观察四个顶点即可,其中取时为同一平面,此时显然离较近. 当取时,作,垂足为,则OF⊥平面PBC1,; 当取时,作,垂足为,则OG⊥平面PBC1,,故,故D正确.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.(填也对) 13. 14.12.【解析】由,几何意义为平行四边形的两条对角线互相垂直,即菱形,故.由,,容易得,则,均可.13.【解析】,当且时等号成立.14.【解析】与轴的交点为,.根据阿波罗尼斯圆的定义,得到,又,则,因为,代入,得到,在中,余弦定理得到,解得.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)【解析】(I)选①:,即,又,则,又,故.--------------------------------------------------------------6分选②:,即,所以,解得,故.---------------------------------------------------------------------------------------6分选③:,则,所以,故. ------------------------------------------6分(Ⅱ),所以,--------------------------------------------------------------8分又,故.-------------------------------------------------------------------------------------------------------10分又,-----------------------------------------12分所以.----------------------------------------------------------------------------------------------------13分16.(本小题满分15分)【解析】 (I)取中点,连接,因为,所以.又因为面面,且面面,所以.-------------------------------------------------------3分面,所以,又因为,且,所以,所以,又,所以.----------------------------------------------6分(Ⅱ)因为在直角梯形中,,,,易求得,又,,所以三角形为等边三角形,-----------------------------8分如图,以为原点建立直角坐标系,,,,----------------------------------------------------------9分因为是中点,所以点坐标为所以---------------------------------------------------------------------------------------------10分,设面BDF的法向量为,,即则可取-----------------------------------------------------13分所以.----------------------------------------------------------------------15分17.(本小题满分15分) 【解析】 (I)若,设抽取次中抽中黑球的次数为, 则,故.------------------------------------------------------4分 由,,故最大值为或,即.--------------------------7分 (Ⅱ)(i),-------------------------------------------9分 ,-----------------------------------------------------10分 ,(写出一个2分,后面2个每个1分)----11分 (ii)由(i)可进行猜测,抽取次中恰有2次抽中的黑球的概率与抽球次序无关, 则.---------------------------------15分18.(本小题满分17分)【解析】(I)因为,线段是抛物线的通径,,得到.抛物线方程为.---------------------------------------------------------------------------------------------4分(Ⅱ)(i)因为,在以为直径的圆上,得到.设,则,直线方程为; ,所以.方程为,直线过定点;-------------------------------------------------8分(ii)设,为的角平分线,则;,整理得;因为,解得;------------------------------------------------------------------------------10分即,不妨设,因为,则,同理;直线的方程为,与直线的交点横坐标,同理,--------------------------------------------12分,,,,-------------------------15分令,则,,当且仅当,取到最大值.------------------------------------------------------------------------------17分19.(本小题满分17分) 【解析】 (I)当时,,.------------------------------------------2分 由,则易知在单调递增,且.故时,,单调递减,时,,单调递增. 则的最小值为.----------------------------------------------------------------------------------------5分 (Ⅱ)若在定义域内单调递增,则在上恒成立. ,令, 则且可知.------------------------------------------------------------8分 下证时,. 由关于单调递增,则, 令,则, 故在上单调递增,且, 则在上单调递减,在上单调递增,. 综上所述,时,在定义域上单调递增.----------
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