曲线y3=x2+x+2的主要性质及图像示意图_第1页
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文档简介

曲线y3=x2+x+2的主要性质及图像示意图主要内容：本文主要介绍曲线方程y3=x2+x+2的定义域、单调性、凸凹性及极限等性质，并通过函数导数知识求函数的单调和凸凹区间，简要画出函数图像。※.曲线的定义域观察曲线的特征，自变量x可以取全体实数，则曲线方程的定义域为：（-∞，+∞）。※.曲线的单调性主要思路是求出曲线方程的一阶导数，再判断曲线的单调性。∵y3=x2+x+2,∴3y2*y'=2x+1,则：y'=eq\f(2x+1,3y2),令y'=0，有:2x+1=0。即：x=-eq\f(1,2)，进一步可知函数单调性及单调区间：(1)当x∈(-∞，-eq\f(1,2)]时，y'<0,此时为减曲线。(2)当x∈(-eq\f(1,2)，+∞)时，y'>0,此时为凹曲线。※.曲线的凸凹性主要思路是求出曲线方程的二阶导数，再判断函数的凸凹性性。∵y'=eq\f(1,3)(2x+1)*y-2∴y"=eq\f(1,3)[2*y-2+(2x+1)*(-2)*y-3*y'],即：y"=eq\f(2,3)[1y-2-(2x+1)y-3*y']=eq\f(2,3)[1y-2-(2x+1)y-3*eq\f(1,3)(2x+1)*y-2]=eq\f(2,9)[3y-2-(2x+1)2*y-5]=eq\f(2,9)[3y3-(2x+1)2]*y-5将y3代入上式得到：y"=eq\f(2,9)[3(x2+x+2)-(2x+1)2]*y-5，=eq\f(2,9)(-x2-x+6-1)*y-5=-eq\f(2,9)(x2+x-5)*y-5对于g(x)=x2+x+2判别式△=1-8=-7<0;则g(x)在定义上为正数，即y-5>0。令y"=0,则：x2+x-5=0;x1,2=eq\f(-1±\r(21),2),此时：x1≈-2.79；x2≈1.79。(1)x∈(1.79,+∞)时，y"<0,此时曲线为凸曲线。(2)x∈[-2.79,1.79]时，y">0,此时曲线为凹曲线。(3)x∈(-∞,-2.79)时，y"<0,此时曲线为凸曲线。※.曲线的极限lim(x→-∞)y=lim(x→-∞)(x2+x+2)eq\s\up10(-\f(1,3))=0,lim(x→+∞)y=lim(x→+∞)(x2+x+2)eq\s\up10(-\f(1,3))=0。※.曲线的五点图x-4.00-3.00-2.79-0.51.793.004.00x2+x+214871.7571422y2.4102.0001.9131.2051.

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