重庆市九龙坡区育才中学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含解析）

重庆育才中学教育集团初2025届初二（下）半期自主作业数学试卷（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卷上对应的位置涂黑．1．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（）A． B． C． D．2．下列根式中，属于最简二次根式的是（

）A． B． C． D．3．甲、乙、丙、丁四位同学3次数学成绩的平均分都是120分，方差分别是，，，．则这四位同学3次数学成绩最稳定的是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁4．满足下列条件时，不是直角三角形的是（

）A． B．C．，， D．，5．如图，已知，添加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（

）A． B． C． D．6．小明在平面直角坐标系内画了一个一次函数的图象，图象特点如下：①图象过点；②图象与轴的交点在轴下方；③随的增大而增大．符合该图象特点的函数关系式为（

）A． B． C． D．7．若，则表示实数的点会落在如图所示数轴的（

）A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上8．如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为、、．和是台阶两个相对的端点，在点有一只蚂蚁，想到点去觅食，那么它爬行的最短路程是（

）A． B． C． D．9．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若正方形的面积为6，，则的长为（

）A．6 B．5 C． D．10．已知两个整式：，，将这两个整式进行如下操作：第一次操作：用这两个整式的和除以2，将结果放在这两个整式之间，可以得到一个新的整式串：，，，新整式串的和记作；第二次操作：用相邻两个整式的和除以2，将结果放在这两个整式之间，又得到一个新的整式串：，，，，，新整式串的和记作；以此类推．某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论：①经过三次操作后的整式串共有9个整式；②若，经过四次操作后，；③第10次操作后，从左往右第2个整式为：；④若，，则．以上四个结论正确的有（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11．若最简二次根式和是同类二次根式，则a＝．12．要使是关于的一次函数，则．13．如图，在中，，，若，则的度数为．14．如图，在中，D，E分别是，的中点，点F在上，且，若，，则的长为．

15．若点，点都在一次函数的图象上，则．（填“”，“”或“”）16．如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则的最小值为．17．如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点恰好落在边上的点处，连接，再将沿翻折，使点恰好落在上的点处，若，，则线段的长等于．18．如图，在正方形中，，点是上一动点（点不与、重合），连接交对角线于点，过点作交于点，过点作于点，连接，给出四个结论：①周长为6；②；③；④最大为；上述结论中，所有正确结论的序号为．

三、解答题（本大题8个小题，共78分）解答每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．计算：(1)；(2)．20．如图，矩形中，点是上的一点，连接，且．(1)尺规作图：过点作的垂线交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）；(2)根据（1）中作图，小育和小才猜测．于是他们进行了如下探究，他们的思路是先利用矩形的性质得到对边平行且相等，，再根据条件进行等量代换证明，最后根据全等三角形的性质证得．请你帮助他们把证明过程补充完整．证明：四边形是矩形，，，，，，①，②．．③，．又，④，．在和中，．．21．每年4月15日为全民国家安全教育日．“国家安全，从我做起”，某校组织有关国家安全教育知识线上测试活动，测试满分100分，为了解七、八年级学生此次线上测试成绩的情况，分别随机在七、八年级各抽取了20名学生的成绩进行整理、描述和分析（比赛成绩用表示），共分成4组：．，．，．，．．下面给出了部分信息：七年级学生组的竞赛成绩为：81，82，82，82，84，86．八年级被抽取学生的竞赛成绩为：60，61，65，67，70，74，75，77，83，84，84，84，84，84，90，90，91，92，94．七八年级抽取的竞答成绩统计表年级七年级八年级平均数8080中位数83众数83请根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：______，______，______；(2)根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生更了解国家安全教育知识？请说明理由（写出一条即可）；(3)该校七年级学生有1000人，八年级学生有1200人，请你估计该校七、八年级学生中竞答成绩不低于90分的总人数．22．如图，台风中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又已知，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．(1)海港受台风影响吗？为什么？(2)若台风中心的移动速度为4千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？23．如图，在直角梯形中，，已知，，，点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿折线运动，当点与点重合时停止运动．设点的运动时间为秒，的面积为．请回答下列问题：

(1)直接写出关于的函数关系式，并注明自变量的取值范围；(2)在平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，直接写出当时，的取值范围：______．（结果保留1位小数，误差不超过0.2）24．如图，在四边形中，，对角线、交于点，，且平分，点为边的中点，连接，连接交于点．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求的度数．25．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点．直线与轴交于点，与轴交于点，两直线交于点，若点为的中点，．(1)求直线的解析式；(2)如图2，连接，点为直线上一动点且位于直线下方，若有，请求出点坐标；(3)如图3，将直线平移得到直线，使得直线经过点，并交轴于点，点为直线上一动点，是否存在以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由．26．在中，，．(1)如图1，点为线段上一点，连接，过点作交延长线于点，过点作交于点，若，，求的长；(2)如图2，点在内部，以为斜边作等腰直角，使得点、在两侧，连接，连接交于点，点在上，连接并延长交于点，若，求证：；(3)如图3，过点作交于点，为上一点，以为直角边作等腰直角，斜边交线段于点，点和点分别为线段、线段上的动点，连接、，将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，若，，在线段上找一点，连接、，请直接写出的最小值．

参考答案与解析1．B【分析】根据二次根式有意义的条件可得，即可求解．【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，∴解得：，故选：B．【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．2．C【分析】本题考查判断最简二次根式．根据最简二次根式是被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断即可．【解答】解：，故不是最简二次根式，故A不符合题意；，故不是最简二次根式，故B不符合题意；是最简二次根式，故C符合题意；，故不是最简二次根式，故D不符合题意．故选C．3．B【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据方差的意义解答即可．【解答】解：∵s甲2=8.6，s乙2=2.6，s丙2=5.0，s丁2=7.2，∴s乙2＜s丙2＜s丁2＜s甲2，∴这4名同学3次数学成绩最稳定的是乙，故选：B．【点拨】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义．4．A【分析】本题考查直角三角形的判定，三角形内角和定理，勾股定理逆定理．掌握有一个角为直角的三角形为直角三角形和勾股定理逆定理判断直角三角形是解题关键．通过三角形内角和定理可判断A和D；通过勾股定理逆定理可判断B和C．【解答】解：A．∵，∴可设，则，．∵，∴，解得：，∴，，，故此三角形不是直角三角形，符合题意；B．∵，∴可设，则，．∵，∴，∴此时是直角三角形，不符合题意；C．∵，，，，∴，∴此时是直角三角形，不符合题意；D．∵，，∴，∴此时是直角三角形，不符合题意．故选A．5．C【分析】本题考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题关键．由平行四边形的判定定理逐项判断即可．【解答】解：A．由可得，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意；B．由，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意；C．，结合题意，可由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形证明四边形为平行四边形，符合题意；D．，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意．故选C．6．D【分析】本题考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题关键．根据一次函数的图象和性质逐项判断即可．【解答】解：A．，随的增大而减小，不符合题意；B．，当时，，故不经过点，不符合题意；C．，随的增大而减小，不符合题意；D．，随的增大而增大；当时，，故经过点；当时，，故图象与轴的交点在轴下方，符合题意．故选D．7．B【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，实数和数轴，先化简二次根式，计算出a的值，再估算出a范围，再结合数轴即可得出结果．【解答】，∵∴∴∴表示实数的点会落在如图所示数轴的段②上．故选：B．8．C【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，勾股定理．根据题意画出台阶的侧面展开图，再根据勾股定理求出的长即可得出结论．【解答】解：如图所示，，．故选C．9．D【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质．掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．由题意证明，即得出．【解答】解：∵正方形的面积为6，∴．由“赵爽弦图”得：，，．∵，∴，∴，∴．故选D．10．B【分析】利用列举法即可判断①的正确；分别写出操作所得的整式串，计算新整式串的和并找出规律，利用规律计算即可得出②的错误；依次写出操作后的第2个整式中x的系数，并找出规律，依据规律即可判定③的错误；利用②中的规律得到Mn=，将已知条件代入，利用指数幂的特征解答即可得出④的正确．【解答】解：①第一次操作，2个整式变成3个，二次后，变成：个，三次后变成个，故①正确；②两个整式：x，，它们的和为，第一次操作所得的整式串：，，第二次操作所得的整式串：，，第三次操作所得的整式串：，……第n次操作所得的整式串的和：．由题意得：，，，∴②的结论不正确；③第一次操作后的第2个整式中x的系数是，y的系数是，第二次操作后的第2个整式中x的系数是，y的系数是，第三次操作后的第2个整式中x的系数是，y的系数是，第四次操作后的第2个整式中x的系数是，y的系数是，……，第n次操作后的第2个整式中x的系数是，y的系数是，∴第10次操作后的第2个整式中x的系数是，y的系数是，第2个整式为．∴③的结论错误；④由②知：，，，，，，，．∴④的结论正确．综上，结论正确的有：①④，故选：B．【点拨】本题主要考查了整式的除法，非负数的应用，数字变化的规律，整式的意义，整式的加减，本题是规律型，准确找出数字变化的规律是解题的关键．11．1【分析】根据同类二次根式的定义即可得到关于a的方程，解方程即可;【解答】解：∵最简二次根式和是同类二次根式，，∴,∴,故答案为：1.【点拨】此题主要考查了同类二次根式的定义，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式.12．0【分析】根据一次函数的定义进行分析解答即可．【解答】∵函数是一次函数，∴，解得：．故答案为：0【点拨】此题考查了一次函数的概念，熟记“一次函数的定义：形如（其中为常数，且）的函数叫做一次函数”是解答本题的关键．13．##20度【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握平行四边形对角相等，等腰三角形等边对等角，直角三角形两锐角互余．先根据平行四边形的性质得出，再得出，最后根据，即可解答．【解答】解：∵四边形是平行四边形，，∴，∵，∴，∵，∴，故答案为∶．14．1【分析】根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可．【解答】解：∵D、E分别为、的中点，，∴，∵，D为的中点，，∴，∴，故答案为：1．【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．15．【分析】本题考查的是一次函数的性质，根据，随的增大而减小，可得答案．【解答】解：一次函数，，∴随的增大而减小，∵，∴．故答案为：16．【分析】连接，可证明，即得出，．结合题意可证为等边三角形，得出，即说明当最小时，最小．由垂线段最短可知当时，最小，此时，结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解．【解答】解：如图，连接．∵在菱形中，，∴，，∴和都为等边三角形，∴，．∵，∴，∴，．∵，∴，∴为等边三角形，∴，∴当最小时，最小．由垂线段最短可知当时，最小，∴，∴，∴，即．故答案为：．【点拨】本题考查菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，理解，且当时，最小，即最小是解题关键．17．5【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等，对应角相等，矩形对边平行且相等，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．根据折叠的性质得出，，，推出，，根据勾股定理求出，则，设则，根据勾股定理可得，列出方程求解即可．【解答】解：∵四边形为矩形，∴，根据折叠的性质可得：，，，∴四边形为正方形，四边形为矩形，，∴，，根据勾股定理可得：，∴，设则，根据勾股定理可得：，则，解得：，故答案为：5．18．①②③【分析】连接，过点P作于S，交于Q，作于T，将绕点A顺时针旋转得到，可证得，即可判断结论①；作于N，于Q，证明四边形是矩形，再运用勾股定理即可判断结论②；结合等腰直角三角形性质即可判断结论③；利用三角形面积计算公式即可判断结论④．【解答】解：①如图，连接，过点P作于S，交于Q，作于T，

，，，四边形是正方形，，，，，，，，，，将绕点A顺时针旋转得到，，，，，B，H共线，，，，在和中，，，，，，；故①正确；②作于N，四边形是矩形，，∵四边形是正方形，，中，，中，，中，，，故②正确；③作于M，，，，，，，，，，，故③正确；④，，设，，，，∵的面积=∴时，即时，的面积最大，即，或（舍），，，故④错误，故答案为：①②③．【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．19．(1)(2)【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；（2）先根据平方差公式和完全平方公式去括号，再计算即可．【解答】（1）解：；（2）解：．20．(1)见解析(2)，，，，．【分析】（1）根据尺规作图作垂线的方法作图即可；（2）由矩形的性质结合题意易证，再根据等腰三角形的性质即得出，结合平行线的性质即可求证．由垂线的定义得出，结合为公共边，即可证，得出．【解答】（1）解：如图，即为所做；（2）证明：四边形是矩形，，，，，，，．．，．又，．在和中，．．故答案为：，，，，．【点拨】本题考查尺规作图—作垂线，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂线的定义，平行线的性质等知识．掌握基本作图方法，特殊四边形的性质和三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．21．(1)82，84，30(2)见解析(3)600【分析】本题主要考查统计的知识，熟练根据统计图得出相应的数据是解题的关键．（1）分别根据中位数、众数的意义可求解a和b，用“组”的人数除以总人数乘以可得m的值；（2）从平均数、中位数、众数的角度比较得出结论；（3）分别用七、八年级总人数乘七、八年级不低于80分人数所占百分比，再相加即可．【解答】（1）解：由题意可知七年级A组和B组的学生人数相等，为：，∴把被抽取七年级20名学生的数学竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为82，82，∴七年级学生竞赛成绩的中位数为：，故；八年级被抽取学生的竞赛成绩中，84分出现最多，故；，故．故答案为：82，84，30；（2）解：八年级成绩较好，理由：因为八年级学生成绩的中位数比七年级的高，所以七年级成绩较好；（3）解：人．答：估计该校七、八年级学生中竞答成绩不低于90分的总人数约为600人．22．(1)海港受台风影响，理由见解析(2)7小时【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、勾股定理的实际应用等知识，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．（1）由勾股定理逆定理可证明为直角三角形，且．过点作于点D，由等积法可求出，即说明海港受台风影响；（2）在直线上取点E和F，使，根据勾股定理可求出，，即得出，从而可求解．【解答】（1）解：∵，，，又∵，∴，∴为直角三角形，且．过点作于点D，如图，∵，∴，即，∴，∴海港受台风影响；（2）解：如图，在直线上取点E和F，使，∴线段内都受台风影响．在中，，在中，，∴．小时，答：台风影响该海港持续的时间为7小时．23．(1)(2)画出图象见解析，y随x的增大而先增大后减小（性质不唯一）(3)【分析】（1）分类讨论：当点在线段上运动，即时，根据题意得出，，再根据三角形面积公式和梯形面积公式，结合可求解；当点在线段上运动，即时，结合题意可求出，结合三角形面积公式即可求解；（2）描点连线作图即可，根据图象写一条性质即可；（3）由图象得出与的图象交点坐标，再根据当图象位于图象下方时，，得出其横坐标取值范围即可．【解答】（1）解：当点在线段上运动时，即时，∴，，∴，．∵，∴；当点在线段上运动时，即时，∴，∴，∴．综上可知；（2）解：画出函数的图象如图，

由图可知y随x的增大而先增大后减小；（3）解：由图可知与的图象交点坐标大致为，又∵当时，图象位于图象下方，即，∴此时的取值范围是．故答案为：．24．(1)见解析(2)【分析】（1）由平行线的性质结合题意可证，得出，即证明四边形是平行四边形．结合角平分线的定义可得出，即证明四边形是菱形；（2）由三角形中位线定理得出，从而得出，结合菱形的性质可得出，，进而由三角形外角的性质求解即可．【解答】（1）证明：∵，∴，．又∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形．∵平分，∴，∴，∴，∴