高考数学专题：导数大题专练(含答案)

高考数学专题：导数大题专练(含答案)一、解答题1．已知函数．(1)若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．(2)若在时恒成立，求实数的取值范围．2．已知曲线(1)求曲线在点处的切线方程．(2)求曲线过点的切线方程．3．已知.(1)当时，求曲线上的斜率为的切线方程；(2)当时，恒成立，求实数的范围.4．已知函数．(1)分别求n=1和n=2的函数的单调性；(2)求函数的零点个数．5．设函数，其中.(1)时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数极值点的个数，并说明理由；(3)若成立，求的取值范围.6．已知函数，.(1)当时，求函数在区间的最大值和最小值；(2)当在有解，求实数k的取值范围；(3)当函数有两个极值点，，且时，是否存在实数m，总有成立，若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由.7．已知函数.(1)求在处的切线方程；(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；8．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.(1)若曲线与在处的曲率分别为，，比较，大小；(2)求正弦曲线（）曲率的平方的最大值.9．已知函数．(1)若在处取得极值，求的单调区间；(2)若函数有1个零点，求a的取值范围．10．已知函数，，其中e是自然对数的底数，.(1)试判断函数的单调性与极值点个数；(2)若关于x的方程在上有两个不等实根，求实数a的最小值.【参考答案】一、解答题1．(1)(2)【解析】【分析】（1）求出导函数，由题意可得在上恒成立，从而可求出的取值范围，（2）将问题转化为在时恒成立，构造函数，利用导数求出其最大值即可(1)由，得，因为在区间上是增函数，所在上恒成立，所以在上恒成立，因为在上为增函数，所以满足题意只需，得，所以的取值范围为(2)因为所以即在时恒成立，

令，，则，所以在上递减，所以，所以，所以的取值范围为2．(1)(2)【解析】【分析】（1）求得函数的导数，得到曲线在点处的切线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解；（2）设切线坐标为，得出切线的方程为，根据点在切线上，列出方程求得的值，代入即可求解.(1)由题意，函数，可得，所以，即曲线在点处的切线的斜率为，所以所求切线方程为，即.(2)解：设切点坐标为，则切线的斜率为，所以切线的方程为，因为点在切线上，可得，解得，所以所求切线的方程为，即.3．(1)；(2).【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义可利用斜率求得切点坐标，由此可得切线方程；（2）令，将问题转化为当时，恒成立；①当时，由导数可证得单调递增，由可求得范围；②当时，利用零点存在定理可说明存在，并得到单调性，知，由此可解得的范围，根据可求得范围.(1)当时，，；令，解得：，切点坐标为，所求切线方程为：，即；(2)令，则原问题转化为：当时，恒成立，即恒成立；，，则当时，，在上单调递增，；①当，即时，，在上单调递增，，解得：，；②当，即时，，当时，；，使得，即，则当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，，解得：，即，又，，令，则，当时，，在上单调递减，，即；综上所述：实数的取值范围为.【点睛】思路点睛：本题重点考查了导数中的恒成立问题的求解，解题基本思路是通过构造函数的方式，将问题转化为，从而利用对含参函数单调性的讨论来确定最小值点，根据最小值得到不等式求得参数范围.4．(1)当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；(2)1个.【解析】【分析】（1）利用导数求函数的单调区间得解；（2）求出，再对分奇数和偶数两种情况讨论得解.(1)解：由已知，得．①当时，，．由，得；由，得．因此，当时，函数在上单调递增，在上单调递减．②当时，，．因为在恒成立，且只有当时，，所以在上单调递增．(2)解：由，得．当为偶数时，在恒成立，且只有当时，，所以在上单调递增．因为，所以有唯一零点．当为奇数时，由，得；由，得．因此，在上单调递增，在上单调递减．因为，所以有唯一零点．综上，函数有唯一零点，即函数的零点个数为1．5．(1)(2)当时，函数有一个极值点；当时，函数无极值点；当时，函数有两个极值点.(3)【解析】【分析】（1）将代入函数中，得出函数的解析式，进而可以求出切点坐标，再利用导数的几何意义及点斜式即可求解；（2）根据已知条件，对进行分类讨论，利用导数法求函数极值的步骤及函数极值的定义即可求解；（3）根据成立，转化为即可，再利用第（2）的结论即可求解.(1)当时，，所以切点为，，所以曲线在点处的切线的斜率为，所以曲线在点处的切线的斜率切线方程为，即(2)由题意知函数的定义域为，，令，（i）当时，，函数在单调递增，无极值点（ii）当时，，①当时，，所以函数在单调递增，无极值点；②当时，，设方程两根，此时时，，函数单调递增；时，，函数单调递减.函数有两个极值点；③当时，，设方程两根此时时，，函数单调递增；时，，函数单调递减.函数有一个极值点；综上所述：当时，函数有一个极值点；当时，函数无极值点；当时，函数有两个极值点.(3)由成立等价于即可.①当时，函数在上单调递增，时，，符合题意；②当时，由，得，函数在上单调递增，又时，，符合题意；③当时，由，得时，单调递减,时，时，不合题意；④当时，设，，时，在上单调递增.当时，，即，可得，当时，，此时，不合题意.综上，的取值范围是.【点睛】解决此题的关键是第一问利用导数的几何意义及点斜式即可，第二问主要是对参数进行分类讨论，再结合利用导数法求函数的极值的步骤即可，第三问主要将恒成立问题转化为最值问题再结合第二问的结论即可求解.6．(1)最大值为，最小值为；(2)；(3).【解析】【分析】（1）求得，利用导数研究函数在区间上的单调性，再利用单调性求其最值即可；（2）分离参数并构造函数，求其在区间上的值域即可求得参数的范围；（3）根据是的极值点，求得的等量关系以及取值范围，等价转化目标不等式，且构造函数，对参数进行分类讨论，利用导数研究其值域，即可求得参数范围.(1)当时，，，令，解得，当时，单调递减，当时，单调递增；又，且，故在上的最大值为，最小值为.(2)令，因为，则，故，令，则，故当，单调递减，当，单调递增，又，且，故的值域为，则要满足题意，只需.即的取值范围为：.(3)因为，，因为有两个极值点，故可得，也即，且.因为，，故，则，即，因为，故上式等价于，即，又当时，，当时，，令，则，当时，，故在单调递增，又，故当时，，当时，，故不满足题意；当时，令，若方程对应的时，即时，，单调递减，又，故当时，，当时，，满足题意；若，即时，又的对称轴，且开口向下，又，不妨取，故当，，单调递增，又，故此时，不满足题意，舍去；综上所述：的取值范围为.【点睛】本题考察利用导数研究函数值域，有解问题，以及利用导数处理恒成立问题；其中第三问中，合理的处理以及多变量问题，以及构造函数，是解决本题的关键，属综合困难题.7．(1)(2)【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义直接求解即可；（2）分离变量可得，利用导数可求得，由此可得的取值范围.(1)，，又，在处的切线方程为；(2)当时，由得：，令，则，令，则，当时，，在上单调递增，，，在上单调递增，，，即实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义、利用导数解决函数中的恒成立问题；解决恒成立问题的基本思路是采用分离变量的方式，将问题转化为变量与函数最值之间关系，即由得；由得.8．(1)；(2)1.【解析】【分析】（1）对、求导，应用曲率公式求出处的曲率，，即可比较大小；（2）由题设求出的曲率平方，利用导数求的最大值即可.(1)由，，则，由，，则，所以；(2)由，，则，，令，则，故，设，则，在时，递减，所以，最大值为1.9．(1)单调减区间为，单调增区间为(2)或【解析】【分析】（1）求导，因为函数再处取得极值，所以（1），解得，进而可得函数的解析式，再求导，分析函数的单调性．（2）分类讨论，利用导数判断函数的单调性，根据函数的零点个数，确定函数的最值情况，从而求得答案.(1)，，因为函数在处取得极值，所以，所以，所以，，故当时，所以，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以函数在处取得极小值，所以实数的值为2，函数的单调减区间为，单调增区间为．(2)当时，，而，此时函数无零点，不合题意；当时，，，函数单调递减，作出函数

的大致图象如图：此时在的图象在内有一个交点，即在有一个零点；当时，，当时，，函数递增，当时，，函数递减，故，作出函数的大致图象如图此时要使函数有1个零点，需使得，即，解得，综合上述，可知求a的取值范围为或.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间以及函数零点问题，解答时要明确函数的单调性以及极值和导数之间的关系，解答的关键是分类讨论，利用导数判断函数单调性，确定函数零点有一个的处理方法.10．(1)答案见解析(2)【解析】【分析】（1）求出，分类讨论，分和讨论的单调性与极值；（2）利用分离参数法得到，令，利用导数判断的单调性与最值，根据直线与函数的图像有两个交点，求出实数a的最小值.(1)，则.①当时，，则在R上单调递增，此时函数的极值点个数为0；②当时，令，得，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，此时函数的极值点个数为1.综上所述，当时，在R上单调递增，极值点个数为0；当时，在上单调递增，在上单调递减，极值点个数为1.(2)由，得.令，因为关于x的方程在上有两个不等实根，所以直线与函数的图像在上有两个交点.，令，则，因为，所以或，所以当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所