2021年海南省高考数学真题试卷(新高考Ⅱ卷)带答案解析

2021年海南省高考数学真题试卷（新高考H卷）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。（共8题；共37分）

1.设集合人={即先，3}B={x|24<4,}贝IJAUB=（）

A.{x|2<x<3}{x|2<x<3}B.{x|l<x<4}C.D.{x|l<x<4}

2.J=（）

1+2i

A.1B.1C.iD.i

3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，

丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）

A.120种B.90f中C.6喇D.30f中

4.日暑是中国古代用来测定时间的仪器，利用与唇面垂直的唇针投射到唇面的影子来测定时间.把地球看

成一个球（球心记为O）,地球上一点A的纬度是指0A与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指

过点A且与0A垂直的平面.在点A处放置一个日号，若唇面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬

40P,则唇针与点A处的水平面所成角为（）

A.20°B.40°C.50°D.90°

5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学

生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）

A.62%B.56%C.46%

6.基本再生数R。与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，

世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：（）=描

述累计感染病例数脸时间t（单位:天）的变化规律，指数增长率r与R,0T近似满足R=1护有学盘

于已有数据估计出R°=3.28,T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约

为（ln2=Q69（））

A.12天B.18天C.25天D.35天

7.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，贝的取值范围是（）

A.（2,6）（6,2）B.（2,4）C.（4,6）D.

8.若定义在R的奇函数瘫（8,0）单调递戒，且阶，0则满足（1）>0的x的取值范围是

（）

A.[1,1]U[3,也）B.[3,1]U[0,l]C.[1,0]U[l,-k»）D.[1,0]U[l,3]

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。(共4题，•共17分)

9.已知曲线：2+2=1.()

A.若m>n>0,则C是椭圆，其焦点在y轴上

B.若m=n>0,则C是圆，其半径为

C.若mn〈0,则C是双曲线，其渐近线方程为=卬-

D.若m=O,n>0,则C是两条直线

10.下图是函数y=s^iKt的p部)分图像，则sin(cox+(p)(=)

A-sin(sinG效cos(2+Gf)cos(%4

11.已知a>0,b>0,且a+b=l,贝lj()

A.2+2p-2>1B.log.+l(h£>2N'YIIQ

22/乙

12.信息帽是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,,，且(=)=>

0(=1,2,,),工1=1,定义X的信息嫡。=X=|log2.()

A.若n=l,则H(X)=0

B.若n=2,则H(X)随着i的增大而增大

C.若=1=1,2,,)，则H(X)随着n的增大而增大

D.若n=2m,随机变量Y所有可能的取值为1,2,,，且(=)=+2+1(=1,2,,)

则H(X)<H(Y)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。(共4题；共17分)

13.斜率为4一的直线过抛物线C：yMx的焦点，且与C交于A,B两点，则||=.

14.将数列｛21｝与｛3-2｝的公共项从小到大排列得到数列｛a｝,.则｛a｝的前n项和为.

15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆

心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC1DG,垂足

为C,tan/ODC=3,//,EF=12cm,DE=2cm,A到直线DE和EF的距离均为7cm,圆孔半径为

5

1cm,则图中阴影部分的面积为cm.

2

16.已知直四棱柱ABCD塾pfp1的棱长均为2,ZBAD=60°.以।为球心，位为半径的球面与侧面

BCCjB］的交线长为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(共6

题；共68分)

17.在①=3■，②sin=3，③=*一这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题

q

中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在△,它的内角，,的对边分别为，，，且sin=犷sin，

▲2

6,一

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.已知公比大于1的等比数列｛｝满足2+4=20,3=8.

(1)求｛｝的通项公式；

(2)求I223++⑴I+1

19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中

的PM2.5和9浓度(单位:gg/m'')得下表

S0

S02|),50](5(,150](150,75]

[o,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

附.2=----------------------------------

•「(+)(+)(+)，

(2>)0,0500.0100.001

3.8416.63510.82£

(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且2浓度不超过I*50”的概率；

S0

(2)根据所给数据，完成下面的2x2列联表：

so2[),150](15),475]

PM2.5

3

(75,115]

⑶根据⑵中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2浓度有关？

20.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD_L底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交旗为1.

(1)证明：U平面PDC；

(2)已知PD=AD=1,Q为1上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.

21.已知椭圆C：二+二=K>>0)过点M(2,3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为上

222

(1)求C的方程；

(2)点N为椭圆上任意一点，求4AMN的面积的最大值.

22.已知函数()=iIn+In.

(1)当=时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若f(x)>1,求a的取值范围.

4

答案解析部分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

L【答案】C

【考点】并集及其运算

【解析】【解答】U=[1,3]U(2,4>[1,4)

故答案为：C

【分析】根据集合并集概念求解.

2.【答案】D

【考点】复数代数形式的乘除运算

【解析】【解答】J----------------

1+2(1+2)(12)5

故答案为：D

【分析】根据复数除法法则进行计算.

3.【答案】C

【考点】排列、组合及简单计数问题

【解析】【解答】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16；

然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有g；

最后剩下的3名同学去丙场馆.

故不同的安排方法共有©「6x10=60种.

故答案为：C

【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.

4.【答案】B

【考点】平面与平面平行的性质，直线与平面垂直的判定

【解析】【解答】画出截面图如下图所示，

其中是赤道所在平面的截线；1是点A处的水平面的截线，依题意可知±；是唇针所在直

线.m是暑面的截线，依题意依题意，号面和赤道平面平行，号针与唇面垂直，

5

根据平面平行的性质定理可得可知〃、根据线面垂直的定义可得-L..

由于N=40°,，所以N=N=40°,

由于N+Z=Z+Z=90°,

所以Z=Z=40°,也即署针与点处的水平面所成角为Z=40°.

故答案为：B

【分析】画出过球心和善针所确定的平面截地球和暑面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的

定义判定有关截线的关系，根据点A处的纬度，计算出暑针与点A处的水平面所成角.

5.【答案】C

【考点】概率的基本性质，条件概率与独立事件

【解析】【解答】记'该中学学生喜欢足球”为事件A,'该中学学生喜欢游泳”为事件B,则“该中学学生喜

欢足球或游泳”为事件+，'该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，

则()=0.6,()=0.82,(+)=0.96,

所以()=()+()(+)=0.6+0.820.96=0.46

所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.

故答案为：C.

【分析】记'该中学学生喜欢足球”为事件A「该中学学生喜欢游泳”为事件，贝IJ“该中学学生喜欢足球

或游泳”为事件+，'该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，然后根据积事件的概率公式

()=0+0(+)可得结果.

6.【答案】B

【考点】类比推理

【解析】【解答】因为3.28.=6,。=1+，所以二升0.38，所以()=

设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1天，

则0.38(+|>=20,38,所以0.38n2,所以0.38[=ln2,

所以=三产5天.

10.380.38

故答案为：B.

【分析】根据题意可得()==0.38,设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要

的时间为I天根据0.38(+口=20.38,解得即可得结果.

7.【答案】A

【考点】平面向量数量积的含义与物理意义，平行投影及平行投影作图法

【解析】【解答】的模为2,根据正六边形的特征，

6

D

P

可以得到在方向上的投影的取值范围是（1,3）,

结合向量数量积的定义式，

可知等于的模与在方向上的投影的乘积，

所以的取值范围是（2,6）,

故答案为：A.

【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是

（1,3）,利用向量数量积的定义式，求得结果.

8.【答案】D

【考点】奇偶性与单调性的综合

【解析】【解答】因为定义在R上的奇函数（）在（8,0）上单调递减，且（2）=0,

所以（）在（0,收）上也是单调递减，且⑵=0,（0）=0,

所以当e（8,2）U（0,2）时，（）>0,当e（2,0）U（2,E）时，（）<0,

所以由（1）>0可得：

2<1或1或dW1<2或1W2或二°

解得1MW0或15W3,

所以满足（DK）的的取值范围是口,0]U[l,3],

故答案为：D.

【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数（）在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于

等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9.【答案】A,C,D

【考点】二元二次方程表示圆的条件，椭圆的定义，双曲线的定义

【解析】【解答】对于A,若>>0,则2+2=1可化为V=1

因为>>o,所以N,

即曲线表示焦点在轴上的椭圆，A符合题意；

对于B,若=>0,贝IJz+2=1可化为2+=工

2,

此时曲线表示圆心在原点，半径为二的圆，B不正确；

7

对于C,若<o,贝IJ2+2=1可化为十+?=1,

此时曲线表示双曲线，

由2+2=0可得=虫二〜一，

对于D,若=0,>0,贝IJ,，=:

2+2=1可化为2,

=为二此时曲线表示平行于轴的两条直线，D符合题意；

故答案为：ACD.

【分析】结合选项进行逐项分析求解，>>0时表示椭圆，=>0时表示圆，<0时表

示双曲线，=0,>0时表示两条直线.

10.【答案】B.C

【考点】由y=Asin(3x+(p)的部分图象确定其解析式，诱导公式

【解析】【解答】由函数图像可知：;-=-，则=匕"上2,所以不选A,

2362

当=匚=。时，=1,2X5—+=2-+2(6),

212122

解得：=2+：(G),

即函数的解析式为：

=sin(2+-+2)=sin(2+」)=cos(2+)=sin(-2).

36263

而cos(2+-)=cos(—2)

66

故答案为：BC.

【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得

正确结果.

11.【答案】A,B.D

【考点】对数的运算性质，基本不等式

【解析】【解答】对于A,2+2=2+(1)2=222+1=2(L)2+3'-,

222

当且仅当==1•时，等号成立，A符合题意；

2

对于B,=21>1,所以2>21=L,B符合题意；

2

对于C,log2+1%=1%<log-4-2=log；：2,

当且仅当==L时，等号成立，C不正确；

2

对于D,因为《一均3=1+2、―<1++=2,

所以口7弛，漕且仅当二二L时，等号成立，D符合题意；

2

故答案为:ABD

8

【分析】根据+=1,结合基本不等式及二次函数知识进行求解.

12.【答案】A.C

【考点】对数函数的图象与性质，基本不等式

【解析】【解答】对于A选项，若1,则1，1所以（）(1xlogp=0,所以A

选项正确.

对于B选项，若：2,贝IJ:1,2,1

2.

所以（X）=11吗1+(1J1。%（11）］,

当「时，0(口吗2Jog2T

4z4434

当「泄，0(门。g;土Jog2

4/444

两者相等，所以B选项错误.

对于c选项，若=+（1,2,,)则

+10^4-)Xlog广log

021

则（）随着的增大而增大，所以C选项正确.

对于D选项，若2,随机变量的所有可能的取值为1,2,,，且（)+

2+1

（=1,2,,).

2

21

0log210g之一

=1

11%」2W”+1喝一+2

21

221

+2)1吗7-++4-+)1。一

01221)IF+1

12

1%—I—十+1。%—I------+>0(

2212亡由于

122212+21

1,2,,2）,所以->―L,所以log」＞1吗

+2+12+1

所以lo^->10g2

2+1

所以0>0,所以D选项错误.

故答案为：AC

【分析】对于A选项，求得（），由此判断出A选项的正确性；对于B选项，利用特殊值法进行排除；

对于C选项，计算出（），利用对数函数的性质可判断出C选项的正确性；对于D选项，计算出

0,0,利用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项的正确性.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.【答案】弋

【考点】直线的点斜式方程，抛物线的定义，直线与圆锥曲线的综合问题

抛物线的焦点F坐标为（1,0）

【解析】【解答】；抛物线的方程为2=4

9

又•••直线AB过焦点F且斜率为4一,.•.直线AB的方程为：=芈1）

代入抛物线方程消去y并化简得3210+3=0,

解法_:解得］=二2=3

3

所以II=71+2）?|=71+3〔3'4=

1233

解法二：=10036=64>0

1'父'】，】），（2,2）,则1+2=3,

过，分别作准线=1的垂线，设垂足分别为，如图所示.

【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并

整理得到关于X的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.

14.【答案】322

【考点】等差数列的前n项和，等差关系的确定

【解析】【解答】因为数列｛21｝是以1为首项，以2为公差的等差数列，

数列｛32｝是以1首项，以3为公差的等差数列，

所以这两个数列的公共项所构成的新数列｛｝是以1为首项，以6为公差的等差数列，

所以｛｝的前项和为-6=322,

2

故答案为：322.

【分析】首先判断出数列｛21｝与｛32｝项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首

项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.

15.【答案】4+1

【考点】直线与圆的位置关系，扇形的弧长与面积

10

【解析】【解答】设==,由题意==7,=12,所以=5

因为=5所以Z=45。，

因为〃，所以N=45。

在直角△中，=54，=7口，

22

因为tanZ=-=a,所以21他=25她-

522

解得=22；

等腰直角△的面积为1="他xR2=不；

12

扇形的面积2=""哗也）=飞2,

424

所以阴影部分的面积为i+2I=4+--

1/22

故答案为：4+1.

2

【分析】利用tan",求出圆弧所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形的面

5

积，求出直角△的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.

16.【答案】豆

2

【考点】球面距离及相关计算，直线与平面垂直的性质，扇形的弧长与面积

【解析】【解答】如图：

11

取|i的中点为E,1的中点为F,I的中点为

因为/=60°,直四棱柱的棱长均为2,所以△［I］为等边三角形，所以

1=4一，i^ii.

又四棱柱I［］］为直四棱柱，所以i，平面］］1।,所以］，1］,

因为川1「］,所以।，侧面11,

设为侧面〔I与球面的交线上的点，则］，,

因为球的半径为＜,1=＜二所以II=4I12I「灯3^,

所以侧面II与球面的交线上的点到的距离为

因为II=II=2,所以侧面11与球面的交线是扇形的弧，

因为N।=/1=；，所以N=-,

所以根据弧长公式可得=-x也三

22

故答案为：1.

2

【分析】根据已知条件易得］=＜一，］，侧面।,可得侧面］］与球面的交线上的

点到的距离为立一，可得侧面与球面的交线是扇形的弧，再根据弧长公式可求

得结果.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.【答案】解：解法一：

由二«可得：-二«,

sinsin

不妨设=,3,=(＞0),

y_

贝IJ：2=2+22=3+22-xX、二一，即二

LUb之2

选择条件①的解析：

据此可得：=遮X=2=«7=1,此时==1.

选择条件②的解析：

据此可得：=2+22=2+232=+

COS2222,

12

则：sin="1(>2='丫此时：八=x$三3,贝IJ：==2电.

22CL”2

选择条件③的解析：

可得_=_=1,=,

与条件=V3矛盾，则问题中的三角形不存在.

解法二：：=烟=-,=(+),

6

/.=在ni(+)=V3sin(+)-,

修in(+)=4芋+C

若选①，=-V3；/3~；.《一电《

若选②，仁3,2心7

若选③，与条件=f矛盾.

【考点】两角和与差%正弦公式，诱导公式，正弦定理，余弦定理

【解析】【分析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比

例关系，设出长度长度，由余弦定理得到的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.解法二：利用

诱导公式和两角和的三角函数公式求得的值，得到角，，的值，然后根据选择的条件进行分析

判断和求解.

+=+=

18.【答案】⑴解：设等比数列｛｝的公比为q(q>l),则｛24_1_1,

3=12=83

整理可得：2z5+2=0,

V>1,=2,1=2,

数列的通项公式为：=22.=2.

(2)解：由于：⑴।+i=(1)>x2x2+i=(1).22H,故：

++(1)1

1223+1

=2325+272++(1)122+1

9

=23-M2~=8-(1)2^3—,

1(22)55

【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和

【解析】【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列

的通项公式；(2)首先求得数列｛(D.+,)的通项公式，然后结合等比数列前""‘…’

n项和即可.

19.【答案】(1)解：由表格可知，该市100天中，空气中的2.5浓度不超过75,且2浓度不超

过150的天数有32+6+18+8=64天，

所以该市一天中，空气中的2.5浓度不超过75,且2浓度不超过150的概率为-0.64；

zino

13

(2)解：由所给数据，可得2x2列联表为：

2[0,150](150,475]合计

2.5

[0,75]641680

(75,115]101020

合计7426100

(3)解：根据2x2列联表中的数据可得

2-。2-ioox(64xioi6xio)2二94844>6.635,

(+)(+)(+)(+)80x20x74x26481

因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中2.5浓度与2浓度有关.

【考点】独立性检验的应用，古典概型及其概率计算公式

【解析】【分析】(1)根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；(2)根据表格中数据可得

2x2歹联表；⑶计算出2,结合临界值表可得结论.

20.【答案】(1)解：在正方形中，〃，

因为平面,平面>

所以//平面

又因为平面,平面n平面=,

所以//>

因为在四棱锥中，底面是正方形，所以±,±,

且，平面,所以±,

因为n二

所以，平面

因为==1,则有(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)

设(,0,1),则有=(0,1,0),=(,0,1),=(1,1,1),

设平面的法向量为=(,,),

14

=0=0

则｛=o，即｛+=0,

令=1,贝IJ=,所以平面的一个法向量为=(1,0,),贝IJ

cos<,>=------=一±必-：

||I限2+1

根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线

与平面所成角的正弦值等于hos<,>I，」用一=£r-------=匚/1+-

®2+132+132+13

41+当且仅当=1时取等号，

2+133

所以直线与平面正

~所成角的正弦值的最大值为3

【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面平行的性质，直线与平面垂直的判定，用空间向量求直线与

平面的夹角

【解析】【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证得_L平面，利用线面平行的判定定理以及

性质定理，证得〃，从而得到，平面；(2)根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得

到相应点的坐标，设出点(,0,1),之后求得平面的法向量以及向量的坐标，求得cos<

,>的最大值，即为直线与平面所成角的正弦值的最大值.

21.【答案】⑴解：由题意可知直线AM的方程为：3=；(2)，即2=4,

当y=0时，解得=4,所以a=4,

椭圆：上+上=1(>>0)过点M(2,3),可得L=1,

22162

解得62=12.

所以C的方程：二十上二1・

1612

(2)解：设与直线AM平行的直线方程为：2=

如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N,此时^AMN的面积取得最

大值.

15

联立直线方程2=与椭圆方程二+二二1,

1612

可得：3(+2)2+42=48,

化简可得：16z+12+3248=0,

所以=14424xl6(3248)=0,即成=64解得m=Q

与AM距离比较远的直线方程：2=8,

直线AM方程为：2=4,

点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，

利用平行线之间的距离公式可得：=士"巴二，

V1+45

由两点之间距离公式可得II=7(2+4)升3耳3*一•

所以AAMN的面积的最大值工x36x£18.

25

【考点】椭圆的定义，椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；(2)首先利用几何关系找到三角形面积最

大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形

面积的最大值.

22.【答案】⑴解：加=In+1,二-()=1,/.=-(1)=1.

•••(1)=+1,；•切点坐标为(1,1+e),

•••函数瘫点(草(处1)的切线方程为1=(1)(D即1)+2,

・••切线与坐标轴交点坐标分别为(。,2),什,。)，

所求三角形面积为&2x；

2'11