《样本的数字特征》示范公开课教案【高中数学必修第一册北师大】

《样本的数字特征》教学设计

♦教学目标

1.握基本数字特征的概念、意义以及它们各自的特点.

2.能准确地计算出样本的数字特征.

3.能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均

数、标准差)；建立适当的数学模型，从不同的角度进行逻辑推理，从而作出合理的解释与

决策；认识统计的作用，感受统计在实际问题中的应用价值

4.经历样本的数字特征的生成、处理过程，加强数学运算能力的同时，在实际问题中会

用样本的数字特征估计总体的数字特征，领悟”用数据说话”的统计思想.

♦教学重难点

________________

重点：用样本数字特征估计总体数字特征，初步掌握样本估计总体的思想.

难点：多角度认识样本数字特征，解决简单的实际问题.

♦教学过程

一'、新课导入

情境：在智慧城市建设领域，科大讯飞秉持“用A.I.建设美好城市”的使命，打造

城市超脑赋能城市智慧化发展.铜陵城市超脑基于互联网、物联网的基础设施，在统一的时

空坐标体系上汇聚城市数据，利用人工智能发掘数据关联关系，开展即时分析和模拟仿真,

进而促进物理现实城市的公共资源优化配置、社会管理精细有序、居民生活质量提升、城市

高效运行和可持续发展.

说一说：超脑需要大数据，才能做出准确恰当的判断辅助生活，那生活中还遇到其他的

数据应用实例么？

答：天气、股市指数、乒乓球运动员的统计排名等.

思考：什么是统计呢？

统计是一门用科学的方法收集、整理、分析数据，提取有用的信息，作出推断和决策的

学科.在终极的分析中，全部知识都是历史；在抽象的意义下，一切科学都是数学；在理性

的基础上，所有判断都是统计.一劳(CalyampudiRadhakrishnaRao,1920—)

二、新知探究

问题1:前几节我们学习统计过程的哪些内容？

答：

-普查

.抽查f抽样f简单随机抽样、分层随机抽样

一条形统计图、频率分布表

-频率分布直方图、频率折线图

用样本的分布估计总体分布，那么样本就要代表总体，即样本的分布与总体分布近似相

同.根据初中已经学过的知识，当样本数据确定后，就可以计算这些数据的平均数、中位数、

极差、方差等.它们从不同的角度反映了数据的数字特征.

实例回顾.

某赛季篮球运动员甲每场比赛的得分(单位：分)情况如表:

比赛

12345678910111213

场次

得分12243115362550353144394136

求在该赛季比赛中，这名运动员得分情况的平均数、中位数、众数、极差、方差和标准差.

解：平均数元=翅+/-3=12+2；；-+36=詈_32.23(分)；

中位数35分，众数31分、36分，极差：50-12=38(分)；

方差$2_(X]X)2+(XzX)2~l13T产

(12-32.23产+(24-32.23)2+-+(36-32.23)2

=---------------------------------------------------------------------------«110.95

标准差sx10.53分.

深化概念

1.平均数、众数、中位数、极差的定义

(1)平均数：若几个数分别为的，x2...,xn,则―=~+犯；-+工”称为这几个数的平均数.

(2)众数：一组数据中重复出现次数最多的数.

(3)中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置(或中间两个数的平

均数)的数.

(4)极差：一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差.(表示这组数据之间

的差异情况)

目斗(次一为斗…十(今「为：

2.方差：s2=(XL其中，x(Z=1,2,n)是样本数据，n

n1

是样本容量，尤是样本平均数.

3.标准差：s=-一药+区-郎+…坟卫

7n

方差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大

小:方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小、方差的取值范围是

[0,+oo).

问题2：这几个数字特征的具体含义是什么？

答：平均数是指这组数据的平均值.一般地，将这组数据按从小到大的顺序排列后，“中

间”的那个数据为这组数据的中位数，它使数据被分成的两部分的数据量是一样的.众数是

指这组数据中出现次数最多的数据.在统计中，平均数是最常用的量.但有时候，如数据中

个别数据特别大或特别小时，用中位数会更合理.极差和方差、标准差都刻画数据的离散

程度.极差是数据中最大值和最小值的差，它计算简单，但没有充分利用其他数据.方差与

标准差刻画的是数据偏离平均数的离散程度.

问题3：为什么有了方差还要出现标准差呢？

答：由于方差的单位是原始数据单位的平方，而刻画离散程度的一种理想度量应当具有

与原始数据相同的单位.

统计是一门用科学的方法收集、整理、分析数据，提取有用的信息，作出推断和决策的

学科.然而，我们已经掌握了用科学的方法收集、整理数据，接下来我们一起来通过几个实

例体验怎样分析数据，提取有用信息，帮助我们作出科学的推断与决策.

实例分析

在1996年美国亚特兰大奥运会上，中国香港帆板运动员李丽珊，以惊人的耐力和斗志,

勇夺金牌，实现了中国香港体育史上奥运金牌零的突破.这枚金牌能在比赛过程中预测出来

吗？在帆板比赛中，成绩以低分为优胜，共赛11场，并以最佳的9场成绩计算最终的名次.

此次比赛前7场比赛结束后，排名前5位的选手积分如表：

比赛场次

排名运动员总分

1234567891011

1李丽珊（中国香港）322212722

2简度（新西兰）2361105532

3贺根（挪威）784431835

4威尔逊（英国）5514556444

5李科（中国）135927646

根据前7场的比赛结果，能否预测谁将获得最后胜利？

问题4：预测胜利需要那些数据？

答：分别计算5位运动员前7场比赛积分的平均数和标准差，作为判断各运动员比赛的

成绩及稳定情况的依据，结果如表.

排名运动员平均得分得分标准差

1李丽珊（中国香港）3.141.73

2简度（新西兰）4.572.77

3贺根（挪威）5.002.51

4威尔逊（英国）6.293.19

5李科（中国）6.573.33

问题5：为什么要通过前7场的比赛结果来预测？用前3场的比赛成绩来预测可否？用

11场比赛的成绩来预测可否？

答：选取样本应具有合理性和代表性，7场赛程过了一大半，具备预测性；前3场的样

本代表性不足，预测的结果可能会有较大的误差；11场就不是预测了，结果已经确定.

问题6：根据数据，我们可以得到什么样的预测结果？

答:从表中可以看出：李丽珊的平均得分及得分标准差都比其他运动员的小，也就是说，

在前7场的比赛过程中，她的成绩最为优异，而且表现也最为稳定.

尽管此时还有4场比赛没有进行，但可以假定每位运动员在各自的11场比赛中发挥的

水平大致相同（实际情况也确实如此），因而可以把前7场比赛的成绩作为总体的一组样

本，并由此估计每位运动员最后比赛的成绩.所以，有足够的理由相信李丽珊在后面的4场

比赛中会继续保持优异而稳定的成绩，获得最后的冠军.

根据运动员的现有比赛成绩，从平均数和标准差两个方面进行分析，对运动员的运动成

绩进行预测，是数据分析素养的具体应用.当然，事实也进一步验证了这一预测，李丽珊正

是凭着自己优异而稳定的表现，成为中国香港首位奥运金牌得主.

有甲、乙两名射击运动员，10次射击成绩（单位：环）如表

次数12345678910

甲77898910999

乙89781071010710

现要从两名运动员中选拔一人参加比赛，根据两名运动员的运动成绩，如何进行选拔?

分析要从两名运动员中选拔一人参加比赛，首先应该根据不同的要求和状况确定选拔的

标准，然后再根据标准和运动员的成绩进行决策.

当标准不同时，人们的决策会随之发生改变.

情境1如果10次射击成绩中，前9次都是个人独自进行训练的成绩，最后一次是教练

在场的射击成绩，那么作为教练员，你最有可能根据什么成绩作为选拔的标准？

在情境1中，教练员可能会制订这样的标准，即标准1：以两名运动员的最后一次射击

成绩作为评价标准，选择成绩较高者参赛.据此，显然应选择乙参加比赛.

情境2如果这10次射击成绩是大型比赛选拔赛中的射击成绩，作为教练员，你可能怎

样制订选拔标准？

在情境2中，教练员可能会制订这样的标准，即标准2：以两名运动员10次射击成绩

的众数作为评价标准，选择众数较高者参赛.甲射击成绩的众数是9环，乙射击成绩的众数

是10环.据此，选择乙参加比赛.

教练员也可能制订标准3：以两名运动员10次射击成绩的中位数作为评价标准，选择

中位数较高者参赛.甲射击成绩的中位数是9环，乙射击成绩的中位数是8.5环.据此，选

择甲参加比赛.

教练员还可能制订标准4：以两名运动员10次射击成绩的平均数作为评价标准，选择

平均数较高者参赛.甲射击成绩的平均数是8.5环，乙射击成绩的平均数是8.6环.据此，

选择乙参加比赛.

情境3教练员发现，按照上面的标准看，甲、乙两名运动员相差不大，并且该运动队的

成绩已经超过其他同水平运动队，只要维持目前状态就能取得冠军.因此，教练员需要选择

一名运动水平相对稳定的队员参赛.此时，通常会再提出其他的要求（即使运动员的成绩相

差很大，也可以提出新的要求）.例如，分别按照数据的极差、标准差的大小给出标准.

标准5：可以用两名运动员10次射击成绩的标准差作为评价标准，标准差越小成绩越

稳定，甲射击成绩的标准差0.92环，乙射击成绩的标准差1.28环据此，选择甲参加比赛.

从上述问题可以看出，根据问题的实际背景，利用数据的数字特征，可以帮助人们进行

决策，从而真正发挥数据分析的作用.

值得注意的是，在这里，不同的标准没有对和错的问题，也不存在所谓唯一解的问题，

而是根据需要来选择“好”的决策.至于决策的好坏，是根据提出的标准而定的.

例如，甲、乙两名运动员，后者发挥极不稳定，有时成绩很好，有冲击金牌的可能，但

有时又会很差，可能拿不到名次；前者没有冲击金牌的能力，但他成绩极其稳定，如果让他

参加比赛，保证能拿到一块铜牌.在这种情况下，如果运动队要先保奖牌，那么甲去参赛应

该是更好的选择;反之，如果运动队已经得到了不少银牌和铜牌，最想要的是拿到一块金牌，

这时可能就应该让乙参加比赛.

用样本的数字特征估计总体的数字特征时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以很

好地反映总体的信息.虽然从样本数据得到的数字特征并不是总体真正的数字特征，只是总

体数字特征的一个估计，但这种估计是合理的.样本容量越大，样本所包含的总体信息就越

多，估计的合理性就越充分.

三、应用举例

例1：16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩前8位进入决赛.如果小刘

知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，那么其他15位同学成绩的下列数据中，能使

他得出结论的是()

A.平均数B.众数C.中位数D.方差

解：判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前8位，所以只要知道其他15位同学的

成绩中是不是有8位高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8位的成绩即可，

小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，第8位的成绩就是

这15位同学成绩的中位数.答案：C

例2：一次数学知识竞赛中，两组学生的成绩如下：

经计算，两组的平均分都是80分，请根据所学过的统计知识，进一步判断这次竞赛中

哪个组更优秀，并说明理由.

解：从不同的角度分析如下：

①甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数这一角度看，甲

组成绩好些.

222

②s余匚[2X(50-80)+5X(60-80)+10X(70-80)+13X

2十5十1。十13十14十6

(80-80)2+14X(90-80)z+6X(100-80)2]=172.同理得雯=256.因为扁＜s"所以

甲组的成绩比乙组的成绩稳定.

③甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中甲组成绩在80分以上(含80分)

的有33人，乙组成绩在80分以上(含80分)的有26人，从这一角度看，甲组成绩总体较

好.

④从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于90分的有20人，乙组成绩大于或等于90分

的有24人，所以乙组成绩在高分段的人数多.同时，乙组满分比甲组多6人，从这一角度

看，乙组成绩较好.

方法归纳

用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似值.在

实际应用中，需先计算平均数分析平均水平，再计算标准差（方差）分析稳定情况.

在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究样本数据的离散程度（即方差

或标准差），方差大说明样本数据分散性大，方差小说明样本数据分散性小或者样本数据集

中、稳定.

四、课堂练习

1.某鞋店试销一款新女鞋，销售情况见下表：

鞋号3435363738394041

数量/双259169532

如果你是鞋店经理，那么下列统计量中对你来说最重要的是（