同济第六版高数答案(高等数学课后习题解答)

同济第六版高数答案（高等数学课后习题解答）.

习题33

1按(x4)的皋展开多项式x45x3x23x4

解设f(x)x45x3x23x4因为

f(4)56

f(4)(4x315x22x3)|x421

f(4)(12x230x2)|x474

f(4)(24x30)|x466

f(4)(4)24

所以

f(x)f(4)f(4)(x4)(4)f(4)(4)2f(4)3f(x4)(x4)(x4)4

2!3!4!5621(x4)37(x4)2ll(x4)3(x4)4

2应用麦克劳林公式按x幕展开函数f(x)(x23x1)3

解因为

f(x)3(x23xl)2(2x3)

f(x)6(x23x1)(2x3)26(x23x1)230(x23x1)(x23x2)

f

(x)30(2x3)(x23x2)30(x23x1)(2x3)30(2x3)(2x26x3)

f(4)(x)60(2x26x3)30(2x3)(4x6)360(x23x2)

f(5)(x)360(2x3)

f(6)(x)720

f(0)1f(0)9f(0)60f(0)270

f(4)(0)720f(5)(0)1080f(6)(0)720

所以

f(0)2f(0)3f(4)(0)4f(5)(0)5f(6)(0)6

f(x)f(0)(0)xxxxxx2!3!4!5!6!

19x30x345x330x49x5x6

3求函数f(x)x按(x4)的睡展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式解因为

f(4)2f(4)1x22

f(4)3x28511f(4)lx2x444731x4323

f(4)(x)15x2x483216

所以

f(4)f(4)f(4)()23xf(4)f(4)(x4)(x4)(x4)(x4)4

2!3!4!

152l(x4)l(x4)2l(x4)31(x4)4(01)

4645124!164(x4)]7

4求函数f(x)Inx按(x2)的幕展开的带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式解因

为

f(x)x1f(x)(l)x2f(x)(1)(2)x3

f

f

所以

f(2)f(2)f(n)(2)231nxf(2)f(2)(x2)(x2)(x2)

(x2)no[(x2)n]2!3!n!

(l)n111123nnln2(x2)2(x2)3(x2)

(x2)o[(x2)]22232n2n

5求函数f(x)1按(x1)的事展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式

x(n)(l)n1(n1)!(x)(1)(2)

(nl)xxnn(k)(l)k1(k1)!(k12n1)(2)2k

解因为

f(x)x1f(x)(l)x2f(x)(1)(2)x3

f(n)(x)(1)(2)n)x(n1)(1)nn!n1

x(k)(l)kk!(1)k!(k12n)

(Df(Df(1)所以1f(1)f(1)(x1)(x1)2(x1)3

x2!3!

f(n)(l)f(n1)()n(x1)(xl)n1n!(nD!

(l)nl(xl)n1(01)[1(x1)(x1)(x1)

(x1)][1(x1)]23n

6求函数f(x)tanx的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式解因为

f(x)sec2x

(x)2secxsecxtanx2sec2xtanx

(x)4secxsecxtan2x2sec4x4sec2xtan2x2sec4x

8sinx(sin2x2)f(x)8secxtanx8secxtanx8secxtanxcosx

f(0)0(0)1(0)0(0)2(4)2344

2x()[si(nx)2]413sin所以tanxxxx(01)33co5s(x)

7求函数f(x)xex的带有佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式解因为

(x)exxex

(x)exexxex2exxex

(x)2exexxex3exxex

(n)(x)nexxex;

f(k)(0)k(k12n)

f(0)2f(0)3f(n)(0)n所以xef(0)f(0)xxx

xo(xn)2!3!n!

xx21x3Ixno(xn)2!(n1)!x

23xxlx8验证当0x时按公式e1x计算ex的近似值时所产生的误

262

差小于001并求的近似值使误差小于001

23xx解因为公式e1x右端为ex的三阶麦克劳林公式其余项为26x

eR3(x)x44!

23xxlx所以当0x时，按公式e1x计算ex的误差262

|R3(x)||

e4!x4|132(140.00450.014!21

e2111(121(1)31.64522262

9应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值并估计误差

⑴

(2)sinl8

解⑴设f(x)x则f(x)在x027点展开成三阶泰勒公式为

f(x)x1273(x27)1(2273)(x27)232!925

110273)(x27)31(803)(x27)4(介于27与x之间)

3!274!81811

于是127331(2273)321(10273)3332!93127258

15)3.107243(113610333

其误差为

5

|R3(30)||1803)3488104!814!814!311

1111

(2)已知

sin4sinxx1x3x(介于0与x之间)3!4!

所以sin18sin1()30.309010103110

其误差为

sinsin4()42.03104|R3()|i)|104!104!10

10利用泰勒公式求下列极限

(1)lim(x33x2x42x3)x

(2)limx

cosxe22

x0x2[xIn(1x)]

11x2x2

(3)lim2x0(cosxex)sinx2

解(1)lim(x33x2x42x3)limx3x2xxlim3t2t

tOt

x

因为3t1to(t)2t1Ito(t)所以2

[1to(t)][1Ito(t)]o(t)3lim(x33x2x42x3)limlim3]

xtOt0t2t2

21x21x4o(x4)][11x211x4o(x4)]x[lcosxe2lim(2)lim

x0x[xln(lx)]x0x3[1ln(lx)x]

o(x4)1x00limllx01elIni(x)x

11x2[11x23x4o(x4)]11x2x2

lim(3)lim

2x0(cosxex)sinx2x02442442[(1xxo(x))(1xxo(x))]x2!4!2!

3o(x4)3x4o(x4)3

41limlim4x046x0311122o(x)xxx2o(x4)x2242224x

习题34

1判定函数f(x)arctanxx单调性

解因为f(x)1

11

0且仅当x。时等号成立所以£&)在()1xlx

内单调减少

2判定函数f(x)xcosx(0x2)的单调性

解因为f(x)1sinx0所以f(x)xcosx在［02］上单调增加3

确定下列函数的单调区间

⑴y2x36x218x7

(2)y2x8(x0)x

(3)y104x9x6x

(4)yln(xx2)

⑸y1)(x1)3

(6)y(2xa)(ax)2(a0)

⑺yxnex(n0x0)

(8)yxsin2x

解⑴y6x212x186(x3)(x1)0令y0得驻点xl1x23

列表得

可见函数在(1］和［3)内单调增加在［13］内单调减少

2(x2)(x2)⑵y28

20令y0得驻点xl2x22(舍去)xx2

因为当x2时.y0当0x2时yo所以函数在(02］内单调减少

在［2)内单调增加

(3)y60(2x1)(x1)1x1不可导点为x0令y0得驻点

x212(4x39x26x)2

列表得

可见函数在（0)(0,][1）内单调减少在L1］上单调增加22

1(4)因为y(12x10所以函数在（）内单调增加

xx22x2x2

12324(x)(x1)(5)y(x1)3(x1)(x1)因为当x1时y0

当x1时y0222

所以函数在（，1］内单调减少在1,）内单调增加22

(x2a)(6)y驻点为xl2a不可导点为x2ax3a232xa)2(ax)

列表得

可见函数在（，a）（a,2a］（a）内单调增加在［2a,a）内单调减少

2233

（7）yexxn1（nx）驻点为xn因为当0xn时y0当xn时

y0所以函数在［0n］上单调增加在［n）内单调减少

xsin2xkxk2(8)y(k012)

xsin2xkxk2

12cos2xkxk2y(k012)

12cos2xkxk2

y是以为周期的函数在［0］内令y0得驻点xlx25不可

导点为62x32

列表得

根据函数在［0］上的单调性及y在（）的周期性可知函数在［,]±

单223调增加在k,k］上单调减少（k012)

2322

4证明下列不等式

(1)当x0时1lxx2

(2)当x0时1xln(xx2)x2

(3)当0x时sinxtanx2x2

(4)当0x时tanxx1x323

⑸当x4时2xx2

证明(1)设f(x)1lxx则f(x)在［0)内是连续的因为2

x10f(x)11

22x2x

所以f(x)在(0)内是单调增加的从而当x0时f(x)f(0)0即

1lxx02

也就是1lxx2

(2)设f(x)1xln(xx2)x2则f(x)在［0)内是连续的因为

f(x)lnx(x2)x1(1x)xInx(x2)0xx2x2x2

所以f(x)在(0)内是单调增加的从而当x0时f(x)f(0)0即

(x2)x201xlnx

(x2)x2也就是1xlnx

(3)设f(x)sinxtanx2x则f(x)在［0,内连续2

(cosx1)［(cos2x1)cosx］f(x)cosxsecx22cosx2

因为在(0,内cosx10cos2x10cosx0所以f(x)0从而

£6)在(0,)22内单调增加因此当0x时f(x)f(0)0即2

sinxtanx2x0

也就是sinxtanx2x

(4)设f(x)tanxx1x3则《)在［0,内连续23

2cx1x2tanxx2(taxnx)(taxnx)f(x)se2

因为当0x时tanxxtanxx0所以f(x)在(0,)内单调增加

因此当22

0x时f(x)f(0)0即2

tanxx1x303

也就是tanxx1x23

⑸设f(x)xln221nx则f(x)在［4)内连续因为

f(x)ln22ln42Ine20x2x24

所以当x4时f(x)0即f(x)内单调增加

因此当x4时f(x)f(4)0即xln221nx0也就是2xx2

5讨论方程Inxax(其中a0)有儿个实根？

解设f(x)Inxax则f(x)在(0)内连续f(x)1a1ax驻点为

x1axx

因为当0x1时一(x)0所以f(x)在(0,1)内单调增加当x1时f

(x)0所aaa

以f(x)在(1,)内单调减少又因为当x0及x时f(x)所以如

果a

f(l)Ini10即a1则方程有且仅有两个实根如果f⑴Ini10即

aaeaa

a1则方程没有实根如果fl)Ini10即a1则方程仅有一个实根

eeaa

6单调函数的导函数是否必为单调函数？研究下面这个例子

f(x)xsinx

解单调函数的导函数不一定为单调函数

例如f(x)X$m乂在()内是单调增加的但其导数不是单调函数事实

上f(x)1cosX0

这就明£6)在()内是单调增加的f(X)53*在()内

不保持确定的符号故f6)在()内不是单调的

7判定下列曲线的凹凸性

(1)y4xx2

(2)yshx

⑶y11(x0)x

(4)yxarctanx

解(l)y42xy2

因为y0所以曲线在()内是凸的

(2)ychxyshx令y0得x0

因为当x0时yshx0当xO时yshx0所以曲线在

(0]内是凸的在

[0)内是凹的

(3)y1

y2xx

因为当x0时y0所以曲线在(0)内是凹的

(4)yarctanxx

2y2

22(1x)lx

因为在()内y0所以曲线yxarctgx在()内是凹的

8求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间

(1)yx35x23x5

(2)yxex

(3)y(x1)4ex

(4)yln(x21)

(5)yearctanx

(6)yx4(121nx7)

解(Dy3x2lOx3y6x10令y0得x53

因为当X5时y0当x5时y0所以曲线在（，5］内是凸的

在333

[5,）内是凹的拐点为（5,20）3273

(2)yexxexyexexxexex(x2)令y0得

x2

因为当x2时y0当x2时y0所以曲线在（2］内是凸的

在［2）内是凹的拐点为（22e2）

(3)y4(x1)3exy12(x1)2ex

因为在（）内y0所以曲线y（x1）4ex的在（）内

是凹的无拐点

2(x21)2x2x2(x1)(x1)2x(4)y2y令y。得

xl1x212222(x1)(xl)x1

列表得

(1ln2)

arctanxlel⑸ye令y0得y(12x)x21x21x2

因为当xl时y0当xl时y<0所以曲线y,

1内是凹的222可见曲线在（1］和［1）内是凸的在［11］内是凹

的拐点为（1ln2）和arctanx

arctan2）在［1,）内是凸的拐点是（1,e221

(6)y4x3(121nx7)12x3y144x2Inx令y0得x1

因为当0x1时y0当x1时y0所以曲线在（01］内是凸的

在［1）内是凹的拐点为（17）

9利用函数图形的凹凸性证明下列不等式

xyn(1)1(xnyn))(x0y0xyn1)22

xy(2)eee2xy2(xy)

xy(x0y0xy)2(3)xlnxylny(xy)In

证明(1)设f(t)tn则f(t)ntn1f(t)n(nl）tn2因为当

t0时f(t)0所以曲线f(t)tn在区间(0）内是凹的由定义

对任意的x0y0xy有

xyl[f(x)f(y)]f()22

xyn即1(xnyn))22

⑵设f(t)et则f(t)et（t）et因为f(t)0所以曲线

f(t)61在()内是凹的由定义对任意的xy）

xy有

xyl[f(x)f(y)]f()22

xy即eee2xy2(xy)

(3)设f(t)tInt则f(t)Int1f(t)1t

因为当t。时⑴0所以函数f(t)tInt的图形在（0）内是凹的

由定义对任意的x0y0xy有

xyl[f(x)f(y)]f()22

即xlnxylny(xy)In

10试证明曲线yx1

x2lxy2有三个拐点位于同一直线上

232x2x12x6x6x22(x1)[x(2)][x(2)]证明y

y(x2l)3(x2l)3(x21)2

令y0得xl1x22x32

例表得

可见拐点为（11)(2,1)(2,1)因为4(2)4(2)

1(1)1(1)4(2)4(2)11442(1)21)

所以这三个拐点在一条直线上

11问a、b为何值时点（13）为曲线yax3bx2的拐点？

解y3ax22bxy6ax2b要使(I3)成为曲线yax3bx2的拐点

必须y(l)3且y(1)0即ab3且6a2b0解此方程组得a3

b922

12试决定曲线yax3bx2exd中的a、b、c、d使得x2处曲线有水平切

线(110)为拐点且点(244)在曲线上

解y3ax22bxcy6ax2b依条件有

y(2)448a4b2cd44y(l)10abcd10即

y(2)012a4bc0y(l)06a2b0

解之得a1b3c24d16

13试决定yk(x23)2中k的值使曲线的拐点处的法线通过原点

解y4kx312kxy12k(x1)(x1)令y0得xl1x21

因为在xl1的两侧y是异号的又当x1时y4k所以点(14k)是拐

点因为y(1)8k所以过拐点(14k)的法线方程为y4k1(x1)要

使法线过8k

原点则(00)应满足法线方程即4k1k88k

同理因为在xl1的两侧y是异号的又当x1时y4k所以点(14k)也

是拐点

因为y(1)8k所以过拐点(14k)的法线方程为y4kl(x1)要使法线

过8k

原点则(00)应满足法线方程即4k1k88k

因此当k时该曲线的拐点处的法线通过原点8

14设yf(x)在xx0的某邻域内具有三阶连续导数如果f(x0)0而f

(x0)0

试问(x0f(xO))是否为拐点？为什么？

解不妨设f(x0)0由f(x)的连续性存在x0的某一邻域(x0

x0)在此邻域内有f(x)0由拉格朗日中值定理有

f(x)f(x0)f()(xxO)(介于xO与x之间)

即f(x)f()(xxO)

因为当xOxxO时f(x)0当xOxxO时f(x)0所

以(xOf(xO))是拐点

习题35

1求函数的极值

(1)y2x36x218x7

(2)yxln(lx)

(3)yx42x2

(4)yxx

13x(5)y245x

3x24x4(6)y2xxlx(7)yecosx

(8)1

yxx

(9)

(10)yxtanx

解(D函数的定义为()

y6x212x186(x22x3)6(x3)(x1)驻点为xl1x23歹U

表

可见函数在lx(2)函数的定义为(1)y1驻点为x0因为当

1x0时y0当xO时Ixlx

0所以函数在X0处取得极小值极小值为y(0)0

(3)函数的定义为()

y4x34x4x(x21)y12x24

令y0得xl0x21x31

因为y(0)40y(1)80y(1)80所以y(0)0是函

数的极小值y(1)1和y(D1是函数的极大值

(4)函数的定义域为(1]

y11

2x2x1

2x34x

2x(2x1)ly32(x1)3

3令y0得驻点X4

335因为当x时y>0当x1时y<0所以y⑴为函数的极大值444

125(x)5驻点为x12(5)函数的定义为()y5(45x2)3

因为当x

y(121212时y0当x时y0所以函数在x处取得极大值极大值为

55512205)510

x(x2)

(xx1)22(6)函数的定义为()y

列表

驻点为xl0x22可见函数在X2处取得极小值在x0处取得极大值

43

(7)函数的定义域为()

yex(cosxsinx)yexsinX

令y0得驻点x2kx2(k1)(k012

)44

因为y2k)0所以y(2k)e4

442k2是函数的极大值2

2(k1)因为y[2(k1)]0所以y[2(k1)]e4

44

(8)函数

lyxx2是函数的极小值2的定义域为(0)1(1Inx)x2

令y0得驻点xelyxx

因为当x<e时y>0当x>e时y<0所以f(x)的极大值

21(9)函数的定义域为()y因为y0所以函数在(

)是单调3(x1)2/3

减少的无极值

k(k012)22因为y1secx>0所以函数f(x)

无极值

2试证明如果函数yax3bx2exd满足条件b23ac<0那么这函数没有

极值证明y3ax22bxc由b23ac<0知a0于是配方得到

ly(e)ee为函数(10)函数yxtgx的定义域为x

2bcb23acb22y3ax2bxc3a(xx)3a(x)3a3a3a3a

因3acb20所以当a0时y0当a0时y0因此

yax3bx2exd是单调函数没有极值

13试问a为何值时函数f(x)asinxsin3x在x处取得极值？它是极大值还

是极小33

值？并求此极值

解f(x)acosxcos3xf(x)asinx3sinx

1要使函数f(x)在x处取得极值必有f()0即a10a2

33222

当a2时f()20因此当a2时函数f(x)在x处取得

极值而且取得极323

)32

4求下列函数的最大值、最小值

(1)y=2x33x21x4

(2)yx48x221x3

⑶yxx5x1

解(Dy6x26x6x(x1)令y0得xl0x21计算函数值得

y(1)5y(0)0y(l)1y(4)80

经比较得出函数的最小值为y(1)5最大值为y(4)80

(2)y4x316x4x(x24)令y0得xl0x22(舍去)x32

计算函数值得

y(1)5y(0)2y⑵14y(3)11

经比较得出函数的最小值为y(2)14最大值为y(3)11

13(3)y1令y0得x计算函数值得42x

35y(5)56y0y(l)44

35经比较得出函数的最小值为y(5)56最大值为y()44325问函数

y2x6x18x7(1x4)在何处取得最大值？并求出它的最大值

解y6x212x186(x3)(x1)函数f(x)在1x4内的驻点为x3

比较函数值

f(l)29f(3)61f(4)47

函数函x)在x1处取得最大值最大值为f(1)29

546问函数yx2(x0)在何处取得最小值？x

54解y2x2在(0)的驻点为x3因为x

108108y23y(3)2027x

所以函数在x3处取得极小值又因为驻点只有一个所以这个极小值也就是最小

值即函数在x3处取得最小值最小值为丫(3)27

x7问函数y2(x0)在何处取得最大值？x1大值极大值为何

解y函数在(0)内的驻点为x1(x21)2

因为当0<x<l时y>0当x>l时y<0所以函数在x1处取得极大值又因为

函数在

(0)内只有一个驻点所以此极大值也是函数的最大值即函数在X1处取得

最大值最大值

1为f⑴2

8某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋现有存砖只够砌20cm长的墙壁间应围成怎

样的长方形才能使这间小屋的面积最大？

解设宽为x长为y则2xy20y202x于是面积为

Sxyx(202x)20x2x2

S204x4(10x)S4

令S0得唯一驻点x10

因为S(10)40所以x10为极大值点从而也是最大值点

当宽为5米长为10米时这间小屋面积最大

9要造一圆柱形油罐体积为V问底半径r和高h等于多少时才能使表面积最

小？这时底直径与高的比是多少？

解由Vr2h得hVlr2于是油罐表面积为

2VS2r22rh2r2(0x)r

2VS4r2r

令S0得驻点r因为S4

为hVV2V处取得极小值也就是最小值这时相应的高21x24Vr30所

以S在驻点r2r底直径与高的比为2rh11r02

10某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图)截面的面积

为5m2问底宽x为多少时才能使截面的周长最小从而使建造时所用

的材料最省？

1x5解设矩形高为h截面的周长S则xh()25hx22x8

于是

40x10)xx(0x24x

10s124xSx2h

令S0得唯一驻点x

因为S20

x30所以x40440为极小值点同时也是最小值点4

40时所用的材料最省4

11设有重量为5kg的物体置于水平面上受力F

的作用因此底宽为x

而开始移动(如图)设摩擦系数025间力F与水平线的交角为多少时才可

使力F的大小为最小？

解由Fcos(mFsin)得

mF(0)cossin2

m(sincos)F2(cossin)

驻点为arctan

因为F的最小值一定在(0,)内取得而F在(0,)内只有一个驻点arctan

22

所以arctan一定也是F的最小值点从而当arctanO2514时力F

最小

12有一杠杆支点在它的一端在距支点01m处挂

一重量为49kg的物体加力于杠杆的另一端使杠杆保持

水平(如图)如果杠杆的线密度为5kg/m求最省力的杆

长？

解设杆长为x(m)加于杠杆一端的力为F则有

154.9xFx5x490.1即Fx(x0)22x

54.9F22x

驻点为X14由问题的实际意义知F的最小值一定在(0)内取得而F在

(0)内只有一个驻点x14所以F一定在x14m处取得最小值即最省

力的杆长为14m

13从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图)

问留下的扇形的中心角取多大时做成的漏斗的容积最大?

解漏斗的底周长1、底半径r、高h分别为

RR1RrhR2r242222

漏斗的容积为

R321222Vhr(0<<2)43242

VR3

242(8232)422,驻点为23

由问题的实际意义V一定在(02)内取得最大值而V在(02)内只有一个驻

点所以该驻点一定也是最大值点因此当26时漏斗的容积最大3

14某吊车的车身高为15m吊臂长15m现在要把一个

6m宽、2m高的屋架水平地吊到6m高的柱子上去(如图)问

能否吊得上去？

解设吊臂对地面的倾角为时屋架能够吊到的最大高度为h在直角三角形EDG中

15sin(h15)23tan

1故h15sin3tan2

3h15cos2cos

1令h0得唯一驻点arccos5436sin因为h15sin0所

以54为极大值点同时这也是最大值点3cos

1当54时h15sin3tan7.5m2

所以把此屋最高能水平地吊至75m高现只要求水平地吊到6m处当然能吊上去

15一房地产公司有50套公寓要出租当月租金定为1000元时公寓会全部租出去

当月租金每增加50元时就会多一套公寓租不出去而租出去的公寓每月需花费

100元的维修费试问房租定为多少可获最大收入？

解房租定为X元纯收入为R元

当x1000时R50x5010050x5000且当x1000时得最大纯收入45000

元当x1000时

111R[50(x1000)]x[50(x1000)]100x272x70005550

1Rx7225

1令R0得（1000）内唯一驻点x1800因为R0所以1800为

极大值点同时也25

是最大值点最大值为R57800

因此房租定为1800元可获最大收入

习题3-6

描绘下列函数的图形

1y1(x46x28x7)5

解（D定义域为（)

(2)y1(4x312x8)4(x2)(x1)255

y4(3x23)12(xD(x1)55

令y0得x2x1令y0得x1x1

⑶列表

⑷作图2

y

xlX

2

解（D定义域为（)

（2）奇函数图形关于原点对称故可选讨论x0时函数的图形

X1)

(3)y(x1)(22

(1x)

y

2x(x3)(x3)

(1x2)3

x

当xO时令y0得xl令y0得xO

(4)列表

⑸有水平渐近线y0(6)作图

3

ye(x1)

2

2

2

解(1)定义域为()(2)y2(xl)e(x1)

y4e(x1)[x(1

22)][x(1)]22

令y0得x1令y0得x1(3)列表

22

X1

22

⑷有水平渐近线y0(5)作图4

yx2

1x

解(1)定义域为(0)(0)(2)y2x

lx

2

2x3lx

2

y2

2x3

2(x31)x3

令y0得xl令y0得x1

2

⑶列表

(4)有铅直渐近线x0(5)作图5

ycosx

cos2x

2

4

解（1）定义域为xn（n012）

⑵是偶函数周期为2可先作［0］上的图形再根据对称性作出［0)

内的图形最后根据周期性作出［］以外的图形（3）y

sinx(32sin2x)

cos2x

2

y

cosx(312sin2x4sin4x)

cos2x

3

2

在［0］上令y0得xOx令y0得x

(4)列表

⑸有铅直渐近线x及x3

4

4

(6)作图

习题37

1求椭圆4x2+y2=4在点(02)处的曲率解两边对x求导数得

4x4y4xy

8x2yy0yy

yy2y|(02)0yI(02)2

所求曲率为

lyII2|2(1y2)3/2(102)3/2

2求曲线y=lnsecx在点(xy)处的曲率及曲率半径

1解ysecxtanxtanxysec2xsecx

所求曲率为

Iy||sec2x|KIcosx(1y2)3/2(1tan2x)3/2K

曲率半径为

11IsecxK|cosx|

3求抛物线y=x24x+3在其顶点处的曲率及曲率半径

解y2x4y2

令y0得顶点的横坐标为x2

y|x20y|x22

所求曲率为

|y||2|K223/223/2(1y)(10)

曲率半径为

11K2

4求曲线xacos3tyasin3t在ttO处的曲率

(asin3t)(tanx)1解y

tanty334(acosx)(acosx)3asintcost

所求曲率为

11|4|y|12K23/223/23(1y)(1tant)3asintcost3|asin2t|

2tt03|asin2t0

5对数曲线yInx上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径

11解yy2xx

12||y|xxK23/223/21(1y)(12)3/2(1x)xK

(1x

x23)2

133(1x2)22xx(1x2)2x2(2x21)x2x2

令0得x

因为当0x

当x22222时0当x时0所以x是的极小值点同时也

最小值点222222332时yIn因此在曲线上点(，In)处曲率半径最小最

小曲率半径为22222

y2x6证明曲线yach在点(xy)处的曲率半径为aa

xlx解yshychaaa

在点(xy)处的曲率半径为

xx(1sh2)3/2(ch2)3/223/2(1y)y22xach

Ixlx|y|aa|ch!|ch|aaaa

x2

7一飞机沿抛物线路径y(y轴铅直向上单位为m)作俯冲飞行在坐标原点0处

飞10000

机的速度为V200m/s飞行员体重G70Kg求飞机俯冲至最低点即原点0处时座椅对

飞行员的反力

2xxll解yyyx00y|x010000500050005000

(1y2)3/2(102)3/2

x050001|y|

5000

mV2702002

向心力F560(牛顿)5000

飞行员离心力及它本身的重量对座椅的压力为

79985601246(牛顿)

8汽车连同载重共5t在抛物线拱桥上行驶速度为216km/h桥的跨度为10m

拱的矢高为025m求汽车越过桥顶时对桥的压力

解如图取