人教A版高中数学必修二第六章第1节《平面向量的概念》解答题 (23)(含答案解析)

必修二第六章第1节《平面向量的概念》解答题(23)

一、解答题(本大题共30小题，共360.0分)

1.设平面向量3=(cosa,sina)(0Wa<2TT),b=

(1)求证：向量五+E与五一坂垂直；

(2)若向量+3与方一次石的模相等，求角a.

2.已知向量五=(2,3),方=(m,2)1=(—1,2);⑴若3)+2方与五一3方共线,求如

(2)若石13^.\2a-b+c\.

3.已知平面上三个向量落b，己的模均为1,它们相互之间的夹角均为120。.

(1)求证：(a-h)1c：

(2)若生五+坂+口|>l(kCR)，求实数二的取值范围.

4.已知。是正方形ABC。对角线的交点，四边形OAE。，0CF8都是正方形，在如图所示的向量

中：

(1)分别找出与而，而相等的向量:

(2)找出与正共线的向量；

(3)找出与前相等的向量；

(4)向量近与的是否相等？

5.已知4(1,2),B(4,0),C(8,6),D(5,8),判断以此四点为顶点的四边形的形状.

6.在平面直角坐标系xOy中，向量落B，泄方向如图所示，且I为I=2,

\b\=3,\c\=4,分别计算出它们的坐标.

7.在44BC中，设a,6,c是内角A,B,C的对边，若sin2c-cos2S-sin2/l=sinAsinB-cos2B.

(1)求角C;

(2)若。为AB中点，c=4g，CD=3,求△ABC的面积.

8.已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,h,c,sin(4+B)=&sin4,b=5,AC=3MC，

/.ABM=2Z.CBM.

(I)求”8(；的大小；

(n)求△4BC的面积.

9.已知同=2,|)|=3,苍与石的夹角0=60。，求：⑴方不；

(2)(2a-b)-(a+36);

⑶|有一片|.

10.已知五，石是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量冷茜足(五-？)•]-20=0,求|小的最大

值.

11.已知定点尸(1,0),动点P在y轴上运动，过点P作尸M交X轴于点M,并延长MP到点M且丽.

PF=0.\PM\=|丽

(1)求动点N的轨迹方程；

(2)直线/与动点N的轨迹交于A,B两点,若就•南=一4，且4乃三|四|W4闻，求直线/

的斜率k的取值范围.

12.如图所示，在直角坐标系my中，圆O:/+y2=4与x轴负半轴交于点A,过点A的直线AM,AN

分别与圆。交于MN两点.

(1)若心“=2，KN=-;，求AAMN的面积；

(2)过点P(3百,-5)作圆。的两条切线，切点分别记为瓦F,求两.两;

(3)若k.M-kAN=-2,求证：直线MN过定点.

13.已知向量五=(cos],sin|x),b=(cos|,-sin^),且

(1)求五•正及|五+B|;

(2)若/(x)=为小一/3+b|,求/(x)的最小值.

14.已知向量£与向量石的夹角为%且同=1,|2方一方|

(1)求W；

(2)若苍_L0—43)，求九

15.已知向量五=(6,2),[=(一3的,当「为何值时,

⑴方〃击

(2)alK;

(3)五与石的夹角为钝角.

16.如图，已知在n/lBCO中,E,尸是对角线4c上的两点，且4E=FC=

AC用向量方法证明四边形OEBF也是平行四边形.

\4,

17.如图所示，在中，/.BAC=120°,AB=4C=3,点。在线段8c上，且BD=^DC.求:

(1)4。的长;

(2)血C的大小.

2222

18.已知椭圆G：・+A=l(a>b>0)的离心率为g椭圆。2：3》+J=l(a>6>0)经过点

ab33a3b

(?4)-

(1)求椭圆G的标准方程；

(2)设点M是椭圆Q上的任意一点，射线与椭圆。2交于点M过点用的直线/与椭圆G有且

只有一个公共点，直线/与椭圆C2交于48两个相异点，证明：△NAB面积为定值.

19.已知点。(0,0),4(1,2),B(l+3t,2+3t),前=函+而，问f为何值时,

(1)点P在x轴上？

(2)点P在y轴上？

(3)点尸在第二象限?

20.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30。方向行驶2千米到达。地，然后从£>

地沿北偏东60。方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30。方向行驶2千米才到达B地.

北

西A东

南

(1)在图中画出近，DC，CB,AB；

(2)求B地相对于A地的位移.

21.如图，网格纸上小正方形的边长为1,已知向量五.

(1)试以8为终点画一个向量石，使»=方.

(2)在图中画一个以4为起点的向量高使得|不|=通，并说出向量表的终点的轨迹是什么？

22.如图，在菱形ABCQ中，对角线AC,8。相交于。点，^DAB=60°,分别以A,B,C,D,O

中的不同两点作为向量的起点与终点.

(1)写出与而平行的向量；

(2)写出与方的模相等的向量.

23.如图，在四边形A8CD中，AB=^C,N,M是A£>,BC上的点，且丽=加.求证：丽=丽.

24.如图所示，在中心为。的正八边形4〃243A/^^公心中，可=

石石二(i=1,2,…,7),⑹=可0=1,2…,8),试化简布+码+元+

K+K-

25.已知向量|矶=2,弓=(_?曰)，且为与方夹角为拳

(1)求|苍+2办

(2)若@+kB)J.(23-砂，求实数我的值.

26.已知向量0,b,c,求作向量3五一2至+［人

27.在平面直角坐标系xO)，中，已知向量沆=0+企/),n=(%-V2,y),且|沆|+|元|=4.

(1)求动点P(x,y)的轨迹C的方程；

(2)已知直线/过坐标原点，且与(1)中的轨迹C交于M,N两点，M在第三象限，且MHlx轴,

垂足为，，连接NH并延长交C于点。，证明：QM1MN.

28.设6R,向量N=(%,2)]=(l,y)1=(2,—6)，且五万//3则|1+2至|=

29.已知椭圆C：9+'=l(a>6>0)经过点(百,1),离心率为手.

(1)求椭圆C的方程;

(2)过点M(4,0)的直线交椭圆于48两点，若询=4而,在线段AB上取点使而=-ADB，

求证：点£>在定直线上.

30.一辆消防车从4地去8地执行任务，先从A地向北偏东30。方向行驶2千米到。地，然后从£(

地沿北偏东60。方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30。方向行驶2千米才到达B地.

(1)在如图所示的坐标系中画出而，DC，CB，AB-,

(2)求8地相对于A地的位置向量.

【答案与解析】

1.答案：(1)证明：由题意，H\a+b=(cosa-I，sina+y)»

a—b=(cosa+|,sina——)•

・•・(a+K)•(a—K)=cos2a—1+sin2a—^=0,

A(a+b)1(a—b).

(2)解：易得同=1,\b\=1.

由题意，知(遍五+3)2=①一次另)2,化简得Q/=O,

1,V3,M

：■——cosaH----sina=0A，••・tana=——•

223

又0<a<2TT,a=g或a=—.

66

解析：本题考查向量的模，向量的垂直的判定，同角三角函数的基本关系以及向量的数量积.

利用向量的垂直的判定和向量的坐标运算进行求解即可.

2.答案:解：⑴•.响量五=(2,3),B=(zn,2)，

3a.+2b=(2m+6,13)>a-3£>=(2—3m,-3)>

v3五+2区与五一3石共线，

・••13(2—3m)+3(2m+6)=0,

解得巾=£

(2)vb=(m,2)，c=(-1,2),61c，

.-.K-c=-m+4=0，解得m=4,•,•加=(4,2),

■:Q=(2,3),2fl—Z?+c=(-1,6),

/.|2a-h+c|=Vl2+62=V37.

解析：本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量垂直、向量共线的性质等基础知识，

考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.

(1)求出3万+2至=(2m+6,13)，五一3方=(2—3m,—3)，由3a+21与五一3一共线,能求出

(2)由石_13求出石=(4,2)，从而2五一至+口=(一1,6)，由此能求出|2芽一了+个.

3.答案：解：(1)证明•••(a-b')-c=a-c-b-c=\a\\c\-cosl20°-\b\-|c|cosl20°=0;

(a-K)1c.

(2)解|k五+1+列>1(fca+K+c)2>1，

即1片+,+2k五不+2卜五1+2日々>

­•,|a|=|b|=|c|=1,且五花正相互之间的夹角均为120。，

-g2=b2=c2=1>a-b=b-c=a-c=-^,

/c2+1-2/c>1,即k2-2k>0,

k.>2或k<0.

解析：(1)利用向量的分配律及向量的数量积公式求出0-5•2利用向量的数量积为0向量垂直

得证.

(2)利用向量模的平方等于向量的平方及向量的数量积公式将已知等式平方得到关于k的不等式求出

々的范围.

本题考查向量垂直的充要条件、向量模的平方等于向量的平方、向量的数量积公式.

4.答案：解：(1)而=前，BO=AE

(2)与南共线的向量有：BF，CO,DE.

(3)与正模相等的向量有：CO.DO.BO.BF,CF,AE,DE.

(4)向量而与而不相等，因为它们的方向不相同.

解析：本题考查向量的共线，相等的概念，属基础题，掌握有关概念即可解决.

(1)方向相同，大小相等的向量是相等向量;

(2)共线向量的有向线段平行或共线;

(3)与⑴同;

(4)与⑴同.

5.答案：解:因为荏=(4,0)-(1,2)=(3,-2)，DC=(8,6)-(5,8)=(3,-2).

所以费=觉，所以四边形A8CQ是平行四边形.

因为而=(8,6)-(1,2)=(7,4)，~BD=(5,8)-(4,0)=(1,8)，

所以|前1=1前即AC=BD,所以四边形ABC。是矩形.

因为而=(5,8)-(1,2)=(4,6)，所以|同|=2回，又|而|=值，所以|荏南|，

所以四边形A8C。不是正方形.

综上，四边形ABC。是矩形.

解析：本题考查平面向量的坐标表示及运算，涉及向量模的计算，属于基础题.

根据向量坐标得到四=小，判断出四边形A8CD是平行四边形，根据向量的模得|而|=|而

\AB\^\AD\＞可得结论.

6.答案：解设a=(t?i，o,2),b=(bi，%)，。

则由=|a|cos45°=2x曰=夜，a2=\a|sin450=2Xy=VI；

bt=\b|cos1200=3x=-|,b2=\b|sin120°=3x曰=苧；

Ci=|c|cos(—30°)=4xy=2聒,c2=|c|sin(-30°)=4X=-2.

因此若=(企,a),5=(一I，•)，c=(2V3,-2).

解析：本题考查向量的坐标表示，设豆=(峻2),b=(bvb2)，工=(q,C2),根据图中所给角度结

合向量的模即可求出答案，属于基础题.

7.答案：解：(1)由题意得sin2c—cos2B—sin2X=sinAsinB—cos2B,

化为sin2c—sin2/l=sinAsinB+sin2B,

由正弦定理得c2—Q2=Qb+b2,

即a24-ft2-c2=-ab

由余弦定理得cosC=

又ce(O.TT)

所以c=g；

(2)由题意c?=a2+b2—2abcosC=48,

由刀+方=2CD

两边同时平方可得M+2abcosC+h2=36,

所以4abcosC=-12

故ab=6

所以S=-abcosC=

22

解析：本题考查解三角形，考查推理能力和计算能力，属于中档题.

(1)原式化为sin?。一siM%=sinAsinB+sin2F,由正弦定理化简得M+&2-c2=-ab由余弦定理

得cosC=所以C=y;

(2)由题意c2=Q2+b2-2abcosC=48,再由Z7+丽=2而，解得ab=6,利用三角形面积公式

求解.

8.答案：解：(I)因为前=3前乙

所以点M在线段4C上，且AM=2CM,

HSAB."_CM_J

故二嬴=而=5・

记4cBM=e,

则S.BC=\BC'-sin0,

=

SABA/、-4Z?-BAt-sin2().

_LLBCsin。1BC

故——：--=即nnCOS。n=—.

ABsin262AB

因为sin(A+8)=V^sinA,

所以sinC=&sin4^AB=y[2BC.

故cos。=—.

2

因为eG（O,TT）,

所以J=w

4

故乙4BC=39=—■,

4

(口)在△ABC中，

由余弦定理，得炉=-2QCC0S乙4BC,

即25=a24-(V2a)24-2a•(企a)•解得a=V5.

故S/U”^acsinZ.ABC

=-1-a•V/2TTa-si.n—3TT=5

242

解析：本题考查解三角形，考查推理能力和计算能力，属于中档题.

(I)由彳？-3MC»得=yrv=1，记=0,由:‘得cos。=与，由

sin(A+B)=岳inA，结合正弦定理得AB=&BC，可求得cos。=争由9G(0,兀)，即可求出。=

所以4ABC=36=—;

4

(n)由余弦定理求出。=石，利用三角形的面积公式即可求面积.

9.答案：解：(1)1•b=|引•|b|cosO=2x3xcos60°=3.

(2)(2a-K)-(a+3b)=2a2+5a-b-3b=2|a|2+5a-K-3|K|2=2x22+5x3-3x

32=-4.

(3)|a-b|=J(a-K)2=Ja2-2a-K+h2=V4-6+9=V7-

解析：本题考查平面向量数量积的运算，涉及模长公式，属于基础题.

(1)把已知数据代入a•b=同bcos60°,计算可得；

(2)(2左一I)•0+3])=2五2+5苍小一3武代值计算可得；

(3)a-b=同2_2髭+了2,代值计算可得.

10.答案：解：如图示：设a=五，OB=b，OC=c，

^\\OA\=\OB\=1，

设OB的中点为。，连接A£>,CD,CA,

(a-c)"(b-2c)=0>

(a-c)•(|K-c)=0.

则五一不=刀，^b-c=CD,

•••CA-CD=0-

故C在以AO为直径的圆M上.

oA±ob>

。在圆M上，

Ic|的最大值即为圆M的直径|而|=^\OA\2+\OD\2=导

解析：本题考查向量平面向量的数量积，垂直，模长以及集合表示,属于中档题.

利用平面向量的数量积以及向量垂直的充要条件数形结合满足题意的向量的终点C在以A。为直径

的圆周上，故容易得到|小的最大值.

11.答案：解：(1)设动点N(x,y),则M(-x,0),P(01)(x>0),

vPM1PF,

yy

**•kpj^kpp——1,即z.-2———1,

x-1

・・.y2=4x(%>0)即为所求.

（2）设/与抛物线交于点4（%1，%）,8（%2，乃）・

当/与X轴垂直时，则由初•话=-4,

得力=2伤y2=-2>/2,\AB\=4V2<4V6.不合题意，故/与x轴不垂直.

可设直线/方程为y=kx+b,

则由04.OB=—4,得+y,iVi=-4，+%丫2=—4,解得%丫2=-8,

16

由y=kx+b可得-4y+4b=0(其中k=0),

•••y^2=F=-8,解得b=-2k,

当4=16-16kb=16(1+2k2)>0时，

22

\AB\=(1+^)(y2-yi)=詈［(丫2+yJ2_4yly2［=詈(Q+32).

由题意，4>/6<\AB\<4V30-

可得16x64譬瑙+32)S16x30,即4W掌128，

噂;驾2H。°,解得太S

•••I</c<1>或-1</c<-|.

即所求％的取值范围是［一1,一刍

解析：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，两个向量的数量的运算，考查运用解析几何的

方法分析问题和解决问题的能力，属于中档题.

（1）设出动点N,则M,尸的坐标可表示出，利用PM1PF,kPMkPF=-1,求得x和〉的关系式，

即N的轨迹方程；

（2）设出直线/的方程，A,8的坐标，根据布.南=-4，推断出+%丫2=—4进而求得ya的

值，把直线与抛物线方程联立消去x求得丫02的表达式，进而气的人和4的关系式，利用弦长公式表

示出|AB『，根据|4B|的范围，求得女的范围.

12.答案：（1）解：由题意，直线AM的方程为y=2x+4,直线AN的方程为、=-1,

所以圆心到直线AM的距离d=t=乎，

因此AM=2I4--=延，同理可得AN=/，

7555

由己知心“=2,kAN=-p所以4N14M,

4”1…"214Vs8V516

以S^AMN=20,^/V=-X—X—=y

（2）解：由已知得矶=J（3%）2+（_5）2=2m，

因此阿|=\PF\=J（3⑹2+（_5）2_4=4V3,

所以co«NOPE=

2/13—

txisZFPE-2Vos2NOPE--1=H

所以方.时=|无H方|.cosZEPF=(44yx曰=臀.

(3)证明：由题意可知直线AM和直线AN的斜率都存在，且都不为0,

不妨设直线AM的方程为y=k(x+2),

则直线AN的方程为y=-：(x+2),

则联立方程卮2；；；?，化简整理得，(x+2)((1+k2)x+2k2-2]=0,

得％=-2或%=上等，所以M(学,4)，

1+k2\1+k21+k2/

同理可得'(会，言).

4k—8k

所以直线MN的方程为广涔二/宗居(X-审)，整理得y=^x+M=^(x+

\+kz~4+A2

2

所以直线MN过定点(-一,0).

解析：本题考查了向量的数量积，两条直线垂直的判定，直线与圆的位置关系及判定，两点间的距

离公式，圆锥曲线中的定点与定值问题和直线的倾斜角与斜率，考查了学生的运算能力，属于较难

题.

(1)根据已知条件，可求出两条直线的方程，根据直线交圆的弦长求得AM、AN,再利用两条直线垂

直的判定得AN14”,最后计算三角形面积得结论；

(2)利用向量模的几何意义和两点间的距离公式得庐研=2回，再利用向量模的几何意义、两点间

的距离公式和切线长定理得|而|=|PF|=4V3,解直角三角形得cos4OPE=警，再利用余弦的二

倍角公式得cos/FPE=装，最后利用向量的数量积，计算得结论；

(3)设直线AM的方程为y=k(x+2),直线AN的方程为y=-g+2),与圆0的方程联立，求得

“、N的坐标，再求出的直线方程，从而得结论.

13.答案:解：⑴因为向量五=(cos|x,sin|x),b=(cos-sin且x€[0,J

所以丘•b=cosYcos：-sin与sin：=cos2x,xG[0,.

|a+K|=Ja2+2a-b+b2=V2+2cos2x=2\cosx\'

又xe[0,J

故14+b|=2cosx-

(2)由(1)得：

/(x)=a-b—||a4-/?|=cos2x—3cosx=2cos2x—3cosx—1,xG[0,,

设t=cosx,则tE[0,1],

则g(t)=2t2—3t—l=2(t—》2—£,te[0,l],

则g(t)min=g(}=-短,

故答案为：-J.

解析：【试题解析】

(1)由平面向量数量积的运算得:a-b=cosycos^—sinysin^=cos2xfxE[0,^].\a+b\=

Ja2+2a-b+b2=V2+2cos2x=2|cosxr又故|五+B|=2cosx.

(2)由及二次函数的最值的求法得:/(x)=a-K-||a+b|等价于g(t)=2t2-3t-1=2(t-|)2-

则g(t)min=9(5=一£,得解.

本题考查了平面向量数量积的运算及二次函数的最值的求法，属中档题.

14.答案:(1)由12a-b\=近得4a2_4a•b+炉=7,

那么b\-2b-3=0：

解得b=3或闻=一1(舍去)

—>

•*.b=3；

(2)由Q1(Q—(b)得a,(a—Ab)=0,

那么片一71a・1=o,

因此1—|A=0A=|.

解析：本题考查平面向量模的计算，平面向量垂直的充要条件，属基础题目.

—>2—»

(1)对已知|2a—b|=V7.平方即可得b-2b-3=0.进一步求解即可;

(2)利用平面向量垂直的充要条件a(a-Ab)=0,计算即可.

15.答案：解：(1)五〃方=6k=—6解得k=-1：

(2)方1方=丘不=0=-18+2k=0解得k=9；

(3)乙方所成角6是钝角o五•石<0且乙方不反向

解得k<9,k手一1

解析：(1)利用两向量共线的充要条件列出方程求出k

(2)利用向量垂直的充要条件数量积为0列出方程求出左值

(3)利用熄了灯数量积表示向量的夹角值向量的夹角为钝角等价于数量积为负且不反向.

本题考查向量共线的充要条件、向量垂直的充要条件、利用向量表示向量的夹角.

16.答案：证明：•.・四边形是平行四边形，.,.而=卷+而，且而=而，

AE=FC=-AC,：.AE=FC=-AC=-AB+-AD,

4444

,■■,>,"-1■'■>1,,,■>>>1,*21■,■>

/.DE=AE-AD=-AB-i--AD-AD=-AB--AD,

4444

1111

,•,•一・♦,—―”>[■■>1—"i-，‘'一,1，1…+.……,1■■■>Q一

FB=FC+CB=-AB4--AD-BC=-AB+-AD-AD=-AB--AD,

444444

DE=FB，

:,DE=FB,DE//FB,

四边形OEB尸是平行四边形.

解析：用乐,而表示出丽，而即可得出而=而，从而得出结论.

本题考查了平面向量在几何证明中的应用，属于基础题.

17.答案：解：(1)设荏=苕，~AC-K>

则而=AB+~BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB}=-AB+-AC=-a+-b.

33v73333

所以|荷『二而？=（|五+：3）2

4T22—♦1—»2

=9a+2x-ab+-b

491

=-x9+2x-x3x3xco81200+-x9=3.

999

故4。=V3.

(2)设则。为前与前的夹角.

力..(衬+广)汇

因为cos。=

|砌冏―6x3

_3+打b_」9+；X3X3X(-；)_

一3V3-3^一U

所以。=90。，即ND4c=90。.

解析：本题考查平面向量的三角形法则以及模的定义及平面向量的数量积的定义及性质，属于基础

题.

(1)设出丽=五，AC=b<求得而=|。+］左从而由|而产=而2求得A。的长；

(2)设/D4C=。，则。为而与前的夹角.

由夹角公式得到cos6=备禽=0，从而得到e=90°,即ND4C=90°.

18.答案：（1）解：因为G的离心率为彳，所以3=1—捺，解得。2=3匕2①.

又因为椭圆C2：条+磊=1经过点©片），

所以专+亲=1②。

联立①②解得。2=1,炉=%

因此椭圆G的标准方程为/+芋=1.

3

（2）证明：①当直线/的斜率不存在时，

点〃为（1,0）或（一1,0）,由对称性不妨取M（l,0）.

由(1)知椭圆的方程为9+y2=I,所以N(—V5,o).

将x=1代入椭圆C2的方程得y=土泽

所以SANAB=1\MN\-\AB\=1(V3+1).^=V2+^.

②当直线/的斜率存在时，设其方程为y=kx+m,

将y=kx+m代入椭圆G的方程得(1+3/c2)%2+6kmx+3m2—1=0,

由题意得4=(6fcm)2-4(1+3fc2)(3m2-1)=0,

整理得3m2=l+3fc2.

将y=fcx4-zn代入椭圆。2的方程得(1+3/c2)%2+6kmx+3m2—3=0.

2

设3（久2，丫2），则%l+%2=6km_3m-3

l+3k2f—I+3“2

2

因此|AB|=V1+k•+女/—4%I%2

6km23m2-3

=Jl+H.

+3fc2-4XTT3^

2V3-V3/c2+1-m2

=Jl+H-

1+3/c2

2后\/i+H

3|m|

设”(殉,yo)，/V(x3,y3),'ON=AMO(A>0)，

则X3=—4x(),y3=-Ay0.

（以+3必=1Xg+3y^=1

因为鼠毋=1

，所以

.暗+涮=1,

解得a=V3(A=—V5舍去)，

所以而=遮而，从而|NM|=(b+1)|OM|.

又因为点。到直线/的距离为d="%,

Vl+k2

所以点N到直线I的距离为(百+l)d=啜能,

因此S枷B=缗+l)d.网吟缥岩.鸯平

=应+争

综上，△M4B的面积为定值四+渔.

3

解析：本题考查了椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义，单位、零、共线、相反、相等

向量的概念，点到直线的距离公式，直线与椭圆的位置关系，直线与圆锥曲线相交的弦长和圆锥曲

线中的定点与定值问题，属于较难题.

(1)利用椭圆C1的离心率得。2=3炉，再利用椭圆C2的方程得9+a=1,最后计算得结论；

(2)当直线/的斜率不存在时得点〃为(1,0)或(-1,0),再利用椭圆的对称性，计算得结论，当直线/

的斜率存在时，设其方程为y=/ex+m,将y=fcx4-zn代入椭圆G的方程，利用直线与椭圆G相切

得37n2=1+3/，再将y=依+巾代入椭圆的方程，利用直线与圆锥曲线相交的弦长得|ZB|=

驾半，设M(xo，yo)，20：3，%)，丽=4丽。>0)，利用共线向量的概念得丽=%丽，从

而得|NM|=(V3+1)|OM|,再利用点到直线的距离公式得点N到直线/的距离，最后计算得结论.

19.答案：解：因为点0(0,0),4(1,2),B(l+3t,2+3t),OP=OA+OB，

所以加=(1,2)+(1+3t,2+3t)=(2+3t,4+3t)，

⑴当点P在x轴上时，4+3t=0,解得t=-g；

(2)当点P在y轴上时，2+3t=0,解得"一|：

(3)当点p在第二象限时，解得一9<”一：.

iq十5c>u§§

解析：本题考查平面向量的坐标运算，平面向量的基本定理以及向量的几何意义，属于基础题.

(1)求出向量前的坐标，利用纵坐标为0,得出关于，的方程，即可求出结果；

(2)利用横坐标为0,得出关于，的方程，即可求出结果；

(3)利用横坐标小于0,纵坐标大于0,得出关于7的不等式，即可求出结果.

20.答案：解：(1)向量近，DC，CB，AB，如图所示：

(2)由题意知而=配，

所以AO』8C,则四边形ABC。为平行四边形，

所以四=配，

则B地相对于A地的位移为“在北偏东60。的方向距A地6千米”.

解析：本题考查向量的概念及几何表示、向量相等的概念，属于基础题.

(1)根据题意直接画即可；

(2)由题意知而=近,所以AD=BC,则四边形ABCD为平行四边形,得出荏万乙即可求出结果.

21.答案：解：(1)图形如下，

(2)图形如下,

C的终点是以A为圆心，遍为半径的圆.

解析：本题考查向量的几何表示.

(1)画出图形即可；

(2)画出图形，并指出终点的轨迹即可.

22.答案：解：(1)与方平行的向量有而，BC，CB-,

(2)与方的模相等的向量有：

AD>BC,CB>AB'BA，DC>CD>BD>DB-

解析：本题考查向量平行的概念、向量的模，属于基础题.

(1)根据向量平行的概念直接求即可；

(2)根据向量模的概念求解..

23.答案：证明：：AB=DC，

:•AB“DC,AB=DC,

.••四边形ABC。是平行四边形,

：.\CB\=\DA\.

又丽=而

CN//MAB.CN=MA,

.••四边形CM4M是平行四边形，

•••NA=CM,；.DN=DA-NA,MB=CB-CM,

\'MB\=\DN\.

又DN“MB,且方向相同，

•••~DN=MB.

解析：本题主要考查向量关系的证明，属于基础题.

根据平行四边形的基本性质（对边平行且相等），结合向量相等的条件（大小相等，方向相同）进行证明

即可.

24.答案：解：因为04；+OAy-0>

所以+为+为+

=A2A^+A5A6+OA^+0^+0^7

=（耐+A2A3）+（0A1+j6）+西

_0A6

=«6

解析：本题主要考查了向量的加法运算，属于基础题.

利用相反向量的概念得出西+西=0>再利用向量的三角形加法法则得出石+就+豆+%+

25.答案：解：⑴因为石=（_3m，,,[K|=j（-02+（^）2=l>

又I矶=2,五与石的夹角为军，

a-6=—1-

\a+2b\=J(a+2b)2=^a2+4a-b+4b=^4+4x2x1x(-1)+4=2;

(2)由0+kE)1(2b-ay

得0+k石)-(23一通=0，^2a-b--a+2kf-ka-b=0'

所以-2—4+2k+k=0,

解得k=2.

解析：本题考查平面向量的数量积的运算，向量模的计算，向量垂直的判断，考查理解与运算能力，

属于中档题.

⑴由方=可得TT,又|有|=2,己与石的夹角为12(『可求得益小=-1，从而可求得|a+

2方|;

(2)由0+kl)1(2至一1)，得0+卜石)・(2石一初=0，可解得k=2.

26.答案：解：在平面内任取一点。，作办=3-

以A为起点作法=-2b'

以B为起点作位;=二京，

2

连结OC,则左即为所求作的向量

解析：本题考查

向量的作法，根

据向量加减法的

三角形法则，依

次分别作出

OA=3a1AB=

-2b'BC=1c，再连结OC,则儿即为所求作的向量，属基础题.

27.答案:解：⑴设6(-2,0),F2(V2,0)，

则由记=(x+yj2,y),n=(%—y［2,y)得

222

\m\=J(x4-V2)+y2=\PF1\,\n\=J(x—V2)+y=\PF2\,

因为I沆I+I元I=4,所以IPF/+IPF2I=4,

由椭圆的定义可知P的轨迹是以Fi(-鱼,0),「2(或，。)为焦点，4为长轴的椭圆，

故C的方程为式+^=1.

42

(2)证明：由题意可知直线/的斜率一定存在，设直线/的方程为y=上久(上>0),

与椭圆?+?=1联立可得(1+2k2)/=4,

所以万=而宰，”(而有，戒奉)’N(而有，磅q)-

点，的坐标为(总餐,0),直线HN的方程为y=?(x+焉行),

代入？+白］，可得小］)/+焉+急=。,

—6人2—4

所以%Q,XN=

号+1>(2/+1)

6k2+4

因为“N=焉G，所以XQ=一

(k2+2)-V2k2+l，

3

6k?+4-2k

。的坐标为(一:)，

(k2+2)-V2/c2+l|(/c2+2)-V2fc2+l

于是AQM=-%所以AQM.%N=-1，即QM1MN.

解析：本题考查椭圆的概念，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查两直线垂直

的判断，考查学生分析问题的能力及运算能力，难度较大.

2222

(1)由沆=(x+a,y)，n=(x-V2,y)^|m|=+V2)+y=\PFX|