内蒙古翁牛特旗乌丹一中2024届高考全国统考预测密卷数学试卷含解析

内蒙古翁牛特旗乌丹一中2024届高考全国统考预测密卷数学试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．复数，是虚数单位，则下列结论正确的是A． B．的共轭复数为C．的实部与虚部之和为1 D．在复平面内的对应点位于第一象限2．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）A．3 B． C． D．3．已知随机变量服从正态分布，且，则（）A． B． C． D．4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（）A． B． C． D．5．设a,b∈(0,1)∪(1,+∞)，则"a=b"是"logA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．下图所示函数图象经过何种变换可以得到的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位7．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（）A．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是1038．若θ是第二象限角且sinθ=，则=A． B． C． D．9．体育教师指导4个学生训练转身动作，预备时，4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时，每次都让3个学生“向后转”，若4个学生全部转到面朝正北方向，则至少需要“向后转”的次数是（）A．3 B．4 C．5 D．610．曲线在点处的切线方程为，则（）A． B． C．4 D．811．已知集合，则全集则下列结论正确的是()A． B． C． D．12．设数列的各项均为正数，前项和为，，且，则（）A．128 B．65 C．64 D．63二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在数列中，，，曲线在点处的切线经过点，下列四个结论：①；②；③；④数列是等比数列；其中所有正确结论的编号是______.14．已知平行于轴的直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为______.15．已知函数，（其中e为自然对数的底数），若关于x的方程恰有5个相异的实根，则实数a的取值范围为________.16．已知数列满足，且恒成立，则的值为____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．晋级成功晋级失败合计男16女50合计（1）求图中的值；（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为“晋级成功”与性别有关？（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为，求的分布列与数学期望．（参考公式：，其中）0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.02418．（12分）已知，其中．（1）当时，设函数，求函数的极值．（2）若函数在区间上递增，求的取值范围；（3）证明：．19．（12分）设函数，其中．（Ⅰ）当为偶函数时，求函数的极值；（Ⅱ）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围．20．（12分）在中，角所对的边分别为，若，，，且.（1）求角的值；（2）求的最大值.21．（12分）已知函数（）的图象在处的切线为（为自然对数的底数）（1）求的值；（2）若，且对任意恒成立，求的最大值.22．（10分）已知曲线：和：（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.（1）求曲线的直角坐标方程和的方程化为极坐标方程；（2）设与，轴交于，两点，且线段的中点为.若射线与，交于，两点，求，两点间的距离.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

利用复数的四则运算，求得，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．【详解】由题意，则，的共轭复数为，复数的实部与虚部之和为，在复平面内对应点位于第一象限，故选D．【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为．2、B【解析】由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，如图：

直三棱柱的体积为，消去的三棱锥的体积为，

∴几何体的体积，故选B.点睛：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及相关几何量的数据是解答此类问题的关键；几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，结合直观图分别求出直三棱柱的体积和消去的三棱锥的体积，相减可得几何体的体积.3、C【解析】

根据在关于对称的区间上概率相等的性质求解．【详解】，，，．故选：C．【点睛】本题考查正态分布的应用．掌握正态曲线的性质是解题基础．随机变量服从正态分布，则．4、C【解析】

将圆锥的体积用两种方式表达，即，解出即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为r，则，又，故，所以，.故选：C.【点睛】本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用，考查学生的运算求解能力、创新能力.5、A【解析】

根据题意得到充分性，验证a=2,b=1【详解】a,b∈0,1∪1,+∞，当"a=b当logab=log故选：A.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.6、D【解析】

根据函数图像得到函数的一个解析式为，再根据平移法则得到答案.【详解】设函数解析式为，根据图像：，，故，即，，，取，得到，函数向右平移个单位得到.故选：.【点睛】本题考查了根据函数图像求函数解析式，三角函数平移，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.7、D【解析】

计算两班的平均值，中位数，方差得到正确，两班人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，错误，得到答案.【详解】由题意可得甲班的平均分是104，中位数是103，方差是26.4；乙班的平均分是102，中位数是101，方差是37.6，则A，B，C正确.因为甲、乙两班的人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，故D错误.故选：.【点睛】本题考查了茎叶图，平均值，中位数，方差，意在考查学生的计算能力和应用能力.8、B【解析】由θ是第二象限角且sinθ=知：，．所以．9、B【解析】

通过列举法，列举出同学的朝向，然后即可求出需要向后转的次数.【详解】“正面朝南”“正面朝北”分别用“∧”“∨”表示，利用列举法，可得下表，原始状态第1次“向后转”第2次“向后转”第3次“向后转”第4次“向后转”∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨可知需要的次数为4次.故选：B.【点睛】本题考查的是求最小推理次数，一般这类题型构造较为巧妙，可通过列举的方法直观感受，属于基础题.10、B【解析】

求函数导数，利用切线斜率求出，根据切线过点求出即可.【详解】因为，所以，故，解得，又切线过点，所以，解得，所以，故选：B【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.11、D【解析】

化简集合，根据对数函数的性质，化简集合，按照集合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可求出结论.【详解】由，则，故，由知，，因此，，，，故选:D【点睛】本题考查集合运算以及集合间的关系，求解不等式是解题的关键，属于基础题.12、D【解析】

根据，得到，即，由等比数列的定义知数列是等比数列，然后再利用前n项和公式求.【详解】因为，所以，所以，所以数列是等比数列，又因为，所以，.故选：D【点睛】本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①③④【解析】

先利用导数求得曲线在点处的切线方程，由此求得与的递推关系式，进而证得数列是等比数列，由此判断出四个结论中正确的结论编号.【详解】∵，∴曲线在点处的切线方程为，则.∵，∴，则是首项为1，公比为的等比数列，从而，，.故所有正确结论的编号是①③④.故答案为：①③④【点睛】本小题主要考查曲线的切线方程的求法，考查根据递推关系式证明等比数列，考查等比数列通项公式和前项和公式，属于基础题.14、2【解析】

根据为等边三角形建立的关系式，从而可求离心率.【详解】据题设分析知，，所以，得，所以双曲线的离心率.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求解，根据条件建立之间的关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.15、【解析】

作出图象，求出方程的根，分类讨论的正负，数形结合即可.【详解】当时，令，解得，所以当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，当时，单调递减，且，作出函数的图象如图：（1）当时，方程整理得，只有2个根，不满足条件；（2）若，则当时，方程整理得，则，，此时各有1解，故当时，方程整理得，有1解同时有2解，即需，，因为（2），故此时满足题意；或有2解同时有1解，则需，由（1）可知不成立；或有3解同时有0解，根据图象不存在此种情况，或有0解同时有3解，则，解得，故，（3）若，显然当时，和均无解，当时，和无解，不符合题意．综上：的范围是，故答案为：，【点睛】本题主要考查了函数零点与函数图象的关系，考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题．16、【解析】

易得，所以是等差数列，再利用等差数列的通项公式计算即可.【详解】由已知，，因，所以，所以数列是以为首项，3为公差的等差数列，故，所以.故答案为：【点睛】本题考查由递推数列求数列中的某项，考查学生等价转化的能力，是一道容易题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；(2)列联表见解析，有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关；(3)分布列见解析，=3【解析】

（1）由频率和为1，列出方程求的值；（2）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，知随机变量服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望.【详解】解：（1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知，解得；（2）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为，所以晋级成功的人数为（人），填表如下：晋级成功晋级失败合计男163450女94150合计2575100假设“晋级成功”与性别无关，根据上表数据代入公式可得，所以有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关；（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率为，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75，所以可视为服从二项分布，即，，故，，，，.所以的分布列为：01234数学期望为.或（）．【点睛】本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题，属于中档题．若离散型随机变量，则.18、（1）极大值，无极小值；（2）．（3）见解析【解析】

（1）先求导，根据导数和函数极值的关系即可求出；（2）先求导，再函数在区间上递增，分离参数，构造函数，求出函数的最值，问题得以解决；（3）取得到，取，可得，累加和根据对数的运算性和放缩法即可证明.【详解】解：（1）当时，设函数，则令，解得当时，，当时，所以在上单调递增，在上单调递减所以当时，函数取得极大值，即极大值为，无极小值；（2）因为，所以，因为在区间上递增，所以在上恒成立，所以在区间上恒成立．当时，在区间上恒成立，当时，，设，则在区间上恒成立．所以在单调递增，则，所以，即综上所述．（3）由（2）可知当时，函数在区间上递增，所以，即，取，则．所以所以【点睛】此题考查了参数的取值范围以及恒成立的问题，以及不等式的证明，构造函数是关键，属于较难题.19、（Ⅰ）极小值，极大值；（Ⅱ）或【解析】

（Ⅰ）根据偶函数定义列方程，解得.再求导数，根据导函数零点列表分析导函数符号变化规律，即得极值，（Ⅱ）先分离变量，转化研究函数，，利用导数研究单调性与图象，最后根据图象确定满足条件的的取值范围．【详解】（Ⅰ）由函数是偶函数，得，即对于任意实数都成立，所以.此时，则.由，解得.当x变化时，与的变化情况如下表所示：00↘极小值↗极大值↘所以在，上单调递减，在上单调递增.所以有极小值，有极大值.（Ⅱ）由，得.所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线，有且只有两个公共点”.对函数求导，得.由，解得，.当x变化时，与的变化情况如下表所示：00↘极小值↗极大值↘所以在，上单调递减，在上单调递增.又因为，，，，所以当或时，直线与曲线，有且只有两个公共点.即当或时，函数在区间上有两个零点.【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.20、（1）；（2）.【解析】

（1）由正弦定理可得，再用余弦定理即可得到角C；（2），再利用求正弦型函数值域的方法即可得到答案.【详解】（1）因为，所以.在中，由正弦定理得，所以，即.在中，由余弦定理得，又因为，所以.（2）由（1）得，在中，，所以.因为，所以，所以当，即时，有最大值1，所以的最大值为.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角差的正弦公式、辅助角公式、向量数量积的坐标运算，是一道容易题.21、(1)a=-1,b=1;(2)-