人教版高中数学知识点总结1

A蕤版君中敢孽如钥点总得

1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如：集合A={xly=lgx},B={yly=lgx},C={(x,y)ly=Igx},A^B、C

中元素各表示什么？

2.进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集0的特殊情况。

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合A={xlx?—2x-3=。},B={xlax=1}

若BuA,则实数a的值构成的集合为

(答:0'，

3.注意下列性质：

(1)集合{a1，a2,……，a,,}的所有子集的个数是2"；

(2)若AGB=ADB=A,AUB=B；

(3)德摩根定律：

Cu(AUB)=(CuA)n(CuB),Cu(AnB)=(CuA)U(CuB)

4.你会用补集思想解决问题吗？(排除法、间接法)

如：已知关于X的不等式与^<0的解集为M,若3eM且5任M,求实数a

x-a

的取值范围。

a•3-5

(V3eM,二32\<0

=>ae1,』)U(9,25))

a•5-5°

V5gM,I.,-20

52-a

5.可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”(v),“月一”(人)和

“非”(「).

若p^q为真，当且仅当p、q均为真

若pvq为真，当且仅当p、q至少有一个为真

若「P为真，当且仅当P为假

6.命题的四种形式及其相互关系是什么？

(互为逆否关系的命题是等价命题。)

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7.对映射的概念了解吗？映射f：A-B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应

元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

(一对一，多对一，允许B中有元素无原象。)

8.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？

(定义域、对应法则、值域)

9.求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数y=的定义域是

lg(x-3)~

(答：(0，2)U(2,3)U(3,4))

10.如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是[a,b],b>-a>0,则函数F(x)=f(x)+f(-x)的定

义域是。

(答：[a,-a])

11.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

如：f(jx+1)=e*+x,求f(x).

令t=Jx+1，贝Ut>0

x=t~—1

.,.f(t)=e'2-1+t2-l

.'.f(x)=ex-l+x2-1(x>0)

12.反函数存在的条件是什么？

(一一对应函数)

求反函数的步骤掌握了吗？

(①反解X；②互换x、y；③注明定义域)

[1+x(x>0)

如：求函数f(x)=4、的反函数

-x2(x<0)

x-l(X>1)

(答：fT(X)=\)

—J—x(x<0)

13.反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y=x对称；

②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设y=f(x)的定义域为A,值域为C,aeA,beC,则f(a)=bQU(b)=a

f[f(a)]=f'(b)=a,f[f'(b)]=f(a)=b

14.如何用定义证明函数的单调性？

(取值、作差、判正负)

如何判断复合函数的单调性？

(y=f(u),u=(p(x),/Jy=f[(p(x)]

(外层)(内层)

当内、外层函数单调性相同时f[(p(x)]为增函数，否则f[(p(x)]为减函数。)

如：求y=log1(-x?+2x)的单调区间

2

(设u=-x2+2x,由u>0则0<x<2

月[og]uJ,u=-(x-1)2+1,如图：

当XE(0,1]时，uT,又log|uJ,AyxL

2

当XE[1,2)时，uJ,又log]uJ,AyT

2

J……)

15.如何利用导数判断函数的单调性？

在区间(a,b)内，若总有”x)20则f(x)为增函数。(在个别点上导数等于

零,不影响函数的单调性)，反之也对，若"x)<0呢？

如：已知a>0,函数f(x)=x，-ax在[1,+8)上是单调增函数，贝g的最大

值是()

A.0B.1C.2D,3

(令f'(x)=3x?-a=3x+1x-1>0

则X<-后或X>a

由已知f(x)在口，+8)上为增函数，则即a<3

；.a的最大值为3)

16.函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么？

(f(x)定义域关于原点对称)

若f(-X)=-f(X)总成立Qf(X)为奇函数Q函数图象关于原点对称

若f(-X)=f(X)总成立Qf(X)为偶函数Q函数图象关于y轴对称

注意如下结论：

(1)在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数：两个偶函数的乘积是偶函数；一

个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

(2)若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)=0。

如：若=为奇函数'则实数a

(,.,f(x)为奇函数，xeR,又OeR,/.f(0)=0

.a•2°+a—2.、

H即l-----------=0,..a=1)

2°+l

2X

又如：f(x)为定义在(-1,1)上的奇函数，当xe(0,1)时，f(x)

4X+1

求f(x)在(-1,1)上的解析式。

2-x

(令xw(-l,0),Wd-XG(0,1),f(-x)=—~-

2-x2X

又f(x)为奇函数，；.f(x)=-

4-x+11+4、

2Xxe(-l,0)

4X1v—0

又f(0)=0,，f(x)=+)

----xe(0,1)

l4'+l')

17.你熟悉周期函数的定义吗？

(若存在实数T(T/0),在定义域内总有f(x+T)=f(x),则f(x)为周期

函数，T是一个周期。)

如：若f(x+a)=-f(x),则

(答：f(x)是周期函数,T=2a为f(x)的一个周期)

又如：若f(x)图象有两条对称轴x=a,x=b(=)

即f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x)

则f(x)是周期函数，2|a-b|为一个周期

如：

18.你掌握常用的图象变换了吗？

£5)与£(-*)的图象关于例_对称

f(x)与-f(x)的图象关于x轴对称

£6)与-其-刈的图象关于型工对称

f(x)与fi(x)的图象关于直线y=x对称

£5)与~22-*)的图象关于直线x=a对称

f(x)与-f(2a-x)的图象关于点(a,0)对称

将¥=f(X)图象y=f(x+a)

右移a(a>0)个单位y=f(x-a)

上移b(b>0)个单位:y=f(x+a)+b

下移b(b〉O)个单位y=f(x+a)-b

注意如下“翻折”变换：

f(x)—>|f(x)|

f(x)——>f(lxl)

如：f(x)=log2(x+1)

作出y=|log2(x+l)|&y=任2卜+1|的图象

19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(1)一次函数：y=kx+b(k/O)

kk

(2)反比例函数：y=—(kH0)推广为y=b+----(kW0)是中心O'(a,b)

xx-a

的双曲线。

/、22

(3)二次函数丫=2*2+6*+(:位0)=2k+义)+竺丁-图象为抛物线

顶点坐标为1-色，4ac2'对称轴x=T

V2a4aJ

dt

开口方向：a>0,向上，函数ymin=4ib

4ac-b2

a<0,向下，yx

m4a

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

ax2+bx+c=0,△>()时，两根X1、X2为二次函数y=ax?+bx+c的图象与x轴

的两个交点，也是二次不等式ax?+bx+c>0（<0）解集的端点值。

②求闭区间［m,n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

如：二次方程ax

一根大于k,一根小于卜=穴1<）<0

(4)指数函数：y=ax(a>0,awl)

(5)对数函数y=log；,x(a>0,aW1)

山图象记性质!

(6)“对勾函数"y=x+-(k>0)

X

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

20.你在基本运算上常出现错误吗？

指数运算：a°=l(a，0),a-p=—(a0)

ap

m____m।

an=(a>0),an=.——(a>0)

Vam

对数运算：

logaM•N=logaM+logaN(M>0,N>0)

loga^=logaM-logaN,logaVM=-logaM

Nn

对数恒等式：alog«x=x

gcb

对数换底公式：logb=logb"=—logb

a1°ama

logcam

21.如何解抽象函数问题？

(赋值法、结构变换法)

如：(1)xeR,f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),证明f(x)为奇函数。

(先令x=y=0=f(0)=0再令y=-x,..........)

(2)xeR,f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),证明f(x)是偶函数。

(先令x=y=-tnf[(-t)(-t)]=f(t•t)

.,.f(-t)+f(-t)=f(t)+f(t)

•••f(-t)=f(t)……)

证明单调性：

(3)f(x2)=f[(x2-x,)+x2]=........

22.掌握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调

性法，导数法等。）

如求下列函数的最值：

(1)y=2x-3+V13-4x

2A/X^-4

(2)y=vm

2

(3)x>3,y=^2x-

x-3

(4)y=x+4+j9-x2(设x=3cos。,0e[0,兀])

9

(5)y=4x+—，xe(0,1]

x

23.你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为a,半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗?

(/=同•R，S扇=1/'R=1|a|-R?)

24.熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

sina=MP,cosa=OM,tana=AT

jr

如：若——<0<0,则sin。，cos0,tan。的大小顺序是

8----------

乂如：求函数y=-后cos（5-x）的定义域和值域。

(V1-V2)=1-V2sinx>0

/.sinx<——，如图:

2

2kir-y<x<2kn+(keZ),0<y<71+72

25.你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对

称轴吗？

|sinx|<L|cosx|<1

对称点为(kg,oj,keZ

y=sinx的增区间为2k兀-5，2k7t+y(keZ)

减区间为2k?t+四，2kK+—

22

图象的对称点为(km0),对称轴为x=k兀+5(keZ)

y=cosx的增区间为［2kjt,2k兀+兀］(kwZ)

减区间为［2k?t+兀，2kre+2K］(keZ)

图象的对称点为(k兀+],OJ,对称轴为x=k7t(keZ)

y=tanx的增区间为(kit-5,k?r+yjkeZ

26.正弦型函数y=Asin®x+(p)的图象和性质要熟记。[或y=Acos®x+(p)]

(1)振幅IAI,周期T='

Icol

若f(x0)=士A,则x=x0为对称轴。

若f(x0)=0,则(x0,0)为对称点，反之也对。

(2)五点作图：令3x+(p依次为0,~,兀，~,2兀，求出x与y,依点

(X,y)作图象。

CD(X］)+(p=0

如图列出＜/、兀

(D(X2)+(p=—

解条件组求co、他值

7T

△正切型函数y=Atan(3x+(p),T=一

l(ol

27.在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的

范围。

如:co{x+£也

~Txe兀,T'救值。

，•工x+—兀<5—兀,.兀5兀.13、

••XH=，・・X=K)

26636412

28.在解含有正、余弦函数的问题时，你注意(到)运用函数的有界性了吗？

如：函数y=sinx+sinlxl的值域是

(x?0时，y=2sinxe[-2,2],x<0时，y=0,ye[-2,2])

29.熟练掌握三角函数图象变换了吗？

(平移变换、伸缩变换)

平移公式：

(1)点P(x,y)■=(3k)小(X，,，),则彳

平移至1y-y+k

(2)曲线f(x,y)=0沿向量；=(h,k)平移后的方程为f(x-h,y-k)=0

如：函数y=2sin(2x1)-1的图象经过怎样的变换才能得到y=sinx的

图象？

(y=2sin(2x/)—1横坐标伸长到原来的2倍,丫=2$汁2&*)_；]_]

(兀],左平』个单位,上平移1个单位、>

纵坐标缩短到原来的1倍

---------------------------2---->y=sinx)

30.熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

兀

如：1=sin2a+cos2a=sec2a-tan2a=tana•cota=cosa,seca=tan—

4

jr

=sin—=cosO=.......称为1的代换。

2

“k•尹a”化为a的三角函数“奇变，偶不变，符号看象限”，

“奇”、“偶”指k取奇、偶数。

如：cos答+tan|(一+sin(21兀)=

sina+tana

又如：函数y=，贝Uy的值为

cosa+cota

A.正值或负值B.负值C.非负值D.正值

.sina

moc2

s+c0s°_sina(cosa+1)

>0,Va^O)

cosacos2a(sina-t-l)

cosa+一

sina

31.熟练掌握两角和、差、倍、降幕公式及其逆向应用了吗？

理解公式之间的联系：

sin(a±B)=sinacosp±cosasinp令a邛一>sin2a=2sinacosa

cos(a±p)=cosacosp+sinasinp——-->cos2a=cos2a-sin2a

tan(a±0)=Jna±tan"_2cos2a—1=1-2sin?a=

1+tana•tanp

21+cos2a

Vcosa=---------

2tana2

tan2a=

1-tan2a.1-cos2a

sin2a=---------

2

asina+bcosa=7a2+b2sin(a+(p),tan(p=—

sina+cosa=V2sin^a+—

sina+V3cosa=2sin(a+§J

应用以上公式对三角函数式化简。(化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含

三角函数，能求值，尽可能求值。)

具体方法：

(1)角的变换：如B=(a+B)—a,=—外一仔一口)……

(2)名的变换：化弦或化切

(3)次数的变换：升、降耗公式

(4)形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。

如：已知=tan(a—p)=—|,求tan(B-2a)的值。

sinacosacosa1.1

（由已知得:------------=---------=1,・・tana=一

2sin-a2sina2

2

又tan(p-a)=-

2」

tan(p-a)-tana3-21

/.tan(p_2a)=tan[(p-a)-a]==)

1+tan(p-a)•tana

32.正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形?

12.22

余弦定理：a2=b24-c2-2bccosA=cosA=———-----

2be

(应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。)

fa=2RsinA

正弦定理：一^―=-^-=-^=2R=，b=2RsinB

sinAsinBsinC

c=2RsinC

S=­a•bsinC

△A2

•A+B+C=TT,・・A+B=TI—C

・•/A,\

・・sin(A+BD)=sinC,s-in-A4---B=cosCy

A+B

如AABC中，2sin?-------+cos2C=l

2

（1）求角C；

2

(2)^a2=b2+—,求cos2A-cos2B的值。

2

((1)由已知式得：l-cos(A+B)+2cos2C-l=1

又A+B=兀-C,:・2cos"C+cosC_1=0

:.cosC=—或cosC=-1（舍）

jr

又0<C<7T,：.C=-

3

(2)由正弦定理及22=6?+4©2得：

2

2sin2A-2sin2B=sin2C=sin2—=-

34

、3

1-cos2A—1+cos2B=—

4

3

cos2A-cos2B=——)

4

33.用反三角函数表示角时要注意角的范围。

反正弦：arcsinxe--,—,xG[-1,11

反余弦：arccosxG[0,K],Xe[-1,1]

反正切：arctanx€,，，(xGR)

34.不等式的性质有哪些？

、c>0nac>be

(1)a>b,

c<0=>ac<be

(2)a>b,c>d=>a+c>b4-d

(3)a>b>0,c>d>O=>ac>bd

(4)a>b>0^>—<—,a<b<0=>—>—

abab

(5)a>b>0=>an>bn,Va>Vb

(6)lxl<a(a>0)«-a<x<a,lxl>aQx<-a或x>a

如：若工<工<0,则下列结论不正确的是()

ab

A.a2<b2B.ab<b2

ah

C.lal+lbl>la+blD.-+->2

ba

答案：C

35.利用均值不等式：

a2+b2>2ab(a,beR+)；a+b>2Vab;abW[&；卜)求最值时，你是否注

意到“a,beR+”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(a+b)其中之一为定

值？(一正、二定、三相等)

注意如下结论：

产芋"，小篝(a，beR+)

当且仅当a=b时等号成立。

a2+b2+c2>ab+be+ca(a,bGR)

当且仅当a=b=c时取等号。

a>b>0,m>0,n>0,贝1J

bb+m<a+na

—<-----<1<-----<—

aa+mb+nb

4

如：若x>0,2-3x—-的最大值为

x----------

(设y=2—(3x+fW2—2丘=2-46

42出l

当且仅当3x=W,又x>0,，x=a时，ymax=2-4V3)

x3R**IIICXA

又如：x+2y=l,则2*+4>'的最小值为

+2?y22亚西=26，工最小值为20）

36.不等式证明的基本方法都掌握了吗？

（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）

并注意简单放缩法的应用。

如：证明1++」■+•"+<2

2232n2

111,111

(1+-7-+—++—<1+-----1-------F+

2232n-1x22x3(n-l)n

,,11111

=1+1----1-------1-.....+

223n-1n

=2--<2)

n

f(x)

37.解分式不等式>a（aHO）的一般步骤是什么？

g(x)

（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1,穿轴法解得结果。）

38.用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

1是偶重根

如：(x+l)(x—1)-(x-2)3<0

39.解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如：对数或指数的底分a>1或0<a<1讨论

40.对含有两个绝对值的不等式如何去解？

(找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。)

例如：解不等式lx-3l-|x+l|<l

(解集为卜lx>g卜

41.会用不等式lal-IbKIa±bKlal+lbl证明较简单的不等问题

如:设f(x)=一x+13,实数a满足lx-al<l

求证：|f(x)-f(a)|<2(lal+l)

证明：lf(x)-f(a)l=l(x2-x+13)-(a2-a+13)l

=l(x-a)(x+a—1)1(vlx-al<1)

=lx-allx+a-ll<lx+a-ll

<lxl+lal+l

又IxHa隆lx-al<1,Ixl<lal+1

/.|f(x)-f(a)|<2lal+2=2(lal+l)

(按不等号方向放缩)

42.不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？(可转化为最值问题，或“△”问题)

如:a<f(x)恒成立Qa<f(x)的最小值

a>f(x)恒成立<=>a>f(x)的最大值

a>f(x)能成立u>a>f(x)的最小值

例如：对于一切实数x,若卜-3|+卜+2]>二恒成立，则a的取值范围是

(设u=|x-3|+|x+2],它表示数轴上到两定点-2和3距离之和

Umm=3-(-2)=5，，5>a,即a<5

或者：|x-3|+|x+2|>|(x-3)-(x+2)|=5,Aa<5)

43.等差数列的定义与性质

定义：a--a。=d(d为常数)，a。=a]+(n-l)d

等差中项：x,A,y成等差数列Q2A=x+y

~(a,+a)nn(n-1)

前n项和S.=U—n鱼-=na.+-^——

22

性质：｛an｝是等差数列

(1)若m+n=p+q,贝必巾+a1,=ap+aq；

(2)数列包.』，｛a2n｝,｛ka“+b｝仍为等差数列；

S“，S2n-Sn,S3n-S2n……仍为等差数列；

(3)若三个数成等差数列，可设为a-d,a,a+d；

(4)若an,b_是等差数列Sn，二为前n项和，则9=基口；

IIIIIIII[_，'|'

DmA2m-1

(5)｛aj为等差数列oSn=an2+bn(a,b为常数，是关于n的常数项为

0的二次函数)

Sn的最值可求二次函数Sn=an?+bn的最值；或者求出｛aj中的正、负分界

项，即:

fa>0

当小〉0,d<0,解不等式组n~八可得5„达到最大值时的n值。

ian+i<。

a<0

当诙<0,d>0,由n-，、可得s.达到最小值时的n值。

[an+1>0

如：等差数列｛aj,Sn=18,an+an_j+an_2=3,S3=1,则n=

(由an+an_j+an_2=3=>3an_j=3,=1

又S=3i,/.a2=-

23

⑶+ajn=E+a-J•n=G+f=

F-2一-T~

n=27）

44.等比数列的定义与性质

11-1

定义：=4(q为常数，q/0),an=a^

an

等比中项：x、G、y成等比数列nG?=xy,或6=±』歹

na,(q=1)

n

前n项和：Sn=]a,(l-q)(要注意！)

——4q*1)

Ii-q

性质：｛a0｝是等比数列

⑴若m+n=p+q,贝％•a1,=ap,aq

(2)S/S2n-Sn,S3n-S2n……仍为等比数列

45.由S”求a。时应注意什么？

（n=l时，a1=S］,n22时，an=Sn-Sn_j）

46.你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？

例如：（1）求差（商）法

如：｛La>*J｝满足2一1H—2?7aL2+...——2nnn=2n+5<1>

解：n=l时，-a,=2x1+5,Aa,=14

2

n22时,|a|+^-a2+……+£7aM=2n-l+5<2>

<1〉-<2>得：^-an=2

•凡=2用

.14（n=l）

••3.—<.

l2n+l（n>2）

［练习］

数列｛aj满足Sn+S“M=|an+"a1=4,求a“

(注意到an+|=Sn+|-Sn代入得:登=4

n

又5=4,...｛Sn｝是等比数列，Sn=4

n?2时，an=Sn-Sn_,=……=3•尸

(2)叠乘法

例如：数列｛aj中，a1=3,殳立=」-求a.

a„n+1

&a?a?a12n—1.ai

Hja2an_j23na〕n

「3

又=3,Aa=—

nn

(3)等差型递推公式

由an-a「i=f(n)，=a0,求用迭加法

n22时，a2-aj=f(2)

%一%-'(3)」两边相加，得：

a=fn

an-n-i().

an-a,=f(2)+f(3)+……+f(n)

.-.an=a0+f(2)+f(3)+……+f(n)

［练习］

数列｛aj,a1=1,a0=3nT+an_|(n22),求a。

区=如川)

(4)等比型递推公式

an=can_,+d(c^d为常数，c/0,cWl,dW0)

可转化为等比数列，设an+x=c(ae+x)

na”=cae+(c-l)x

令(c-l)x=d,...x=-----

c-1

•••L+」1-1是首项为由+/-,c为公比的等比数列

c-1c-1

d

［练习］

数列｛a”｝满足a〕=9,3an+I+an=4,求a。

(5)倒数法

2a

例如：a,=1,a,=———,求a。

1n+1n

an+2

由已知得：_L=%上2=2+'

a

n+i2ali2an

...J____1_=1

an+lan2

.一'I为等差数列，-=h公差为:

lanja.2

/.—=l+v(n-l)7,—=—(Vn+1)

an22'

47.你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？

例如：(1)裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

如：｛an｝是公差为d的等差数列，求£」一

k=l^k^k+l

_,11if11小

解：由--------=-------7=---------(d/0)

'ak+1ak(ak+d)d<akak+lJ

［练习］

111

求和:1+-------F-----------FH---------------------------------

1+21+2+31+2+3++n

(2)错位相减法：

若｛aj为等差数列，｛bj为等比数列，求数列｛a*」(差比数列)前n项

和，可由Sn-qSn求S'其中q为｛bj的公比。

如：Sn=l+2x+3x~+4x，+........+nx11<1>

x•Sn=x+2x2+3x3+4x4+........+(n-l)xn-14-nxn<2>

2n-1n

<1>-<2>：(1-x)Sn=l+x-f-x+........+x-nx

n(n+l)

x=l时，S=1+2+3+......+n=----------

n2

(3)倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

=

S„..3!.+a2,+.....+ann-।1+aIn.相.加

Sn=an+a.i+........+a2+aj

2Sa+aa+a++a+a

n=()n)+(2n-l)............(in)...............

［练习］

已知f(x)=Jy，则f(l)+f(2)++f(3)++f(4)+=

(由f(x)+f-----------1----------------=-------------1--------=--1-

l+x2］1+x21+X2

.•.原式=管)+f(2)+f(g+，⑶+，(1]+,“)+《)

=-+1+1+1=3-)

22

48.你知道储蓄、贷款问题吗？

△零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：

若每期存入本金p元，每期利率为r,n期后，本利和为：

S=p(l+r)+p(l+2r)+....+p(l+nr)=pn+r...等差问题

n。

△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型(按揭贷款——分期等额归

还本息的借款种类)

若贷款(向银行借款)p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期(如一年)

后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r(按复利)，那么每期应还

x元，满足

p(l+r)n=x(l+r)e+x(l+r)n-2+...+x(l+r)+x

l-0+r)n(l+r)J

X.

J(1+r)r

"MT"

(l+r)n-1

p——贷款数，I—利率，n——还款期数

49.解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

(1)分类计数原理：N=m,+m+

2+mn

(nij为各类办法中的方法数)

分步计数原理：N=m「m2mn

(nij为各步骤中的方法数)

(2)排列：从n个不同元素中，任取m(mWn)个元素，按照一定的顺序排成一

列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A〉

n!

A"=n(n-l)(n-2)n-m-F1)=-m<n)

n-m)!

规定：0!=1

(3)组合：从n个不同元素中任取m(mWn)个元素并组成一组，叫做从n个不

同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为C：.

Cm="=n(n-l)……(n-m+l)=n!

n-A^；"m!"m!(n-m)!

规定：C：=l

(4)组合数性质：

C-C：+C：T=C3,C"+……+C：=2。

50.解排列与组合问题的规律是：

相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问

题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐•排出结果。

如：学号为1,2,3,4的四名学生的考试成绩

Xj《｛89,90,91,92,93b(i=l,2,3,4)且满足x[<x?1X3<x”

则这四位同学考试成绩的所有可能情况是()

A.24B.15C.12D.10

解析：可分成两类：

(1)中间两个分数不相等，

□□□□

Xj<x2<x3<x4

有C；=5(种)

(2)中间两个分数相等

X,<x2=x3<x4

相同两数分别取90,91,92,对应的排列可以数出来，分别有3,4,3种，.•.有10种。

工共有5+1。=15(种)情况

51.二项式定理

(a+b)n=C>n+C^an-'b+C>n-2b2+-+C^an-rbr+-+C；；bn

-rr

二项展开式的通项公式：Tr+I=CXb(r=0,1……n)

C：为二项式系数(区别于该项的系数)

性质：

(1)对称性：C：=Cr(r=0,1,2,...,n)

(2)系数和：C：+C；+—+C：=2n

C：+C：+C：+…=C"+C：+…=2『|

(3)最值：n为偶数时，n+1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第

”项，二项式系数为C：；n为奇数时，(n+1)为偶数，中间两项的二项式

11n-ln+1

系数最大即第豫项及第卓+i项，其二项式系数为cF=cF

如：在二项式(x-l)”的展开式中，系数最小的项系数为(用数字

表示)

(Vn=ll

共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第i上o=6或第7项

2

由C；*j(-1)\...取r=5即第6项系数为负值为最小：

Y=-C；|=-426

42004

又如：(l-2x广＞=a0+a[X+a2X?+...+a2004x(xeR),则

(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+....+(a0+a2(K)4)=(用数字作答)

(令x=0,得：a0=1

令x=l,得：a0+a2+...+a2004=1

，原式=2OO3ao+(a0+a,+...+a2004)=2003x1+1=2004)

52.你对随机事件之间的关系熟悉吗？

(1)必然事件Q,P(Q)=1,不可能事件叫P((j))=0

(2)包含关系：AuB,“A发生必导致B发生”称B包含A。

(3)事件的和(并)：A+B或AUB”A与B至少有一个发生”叫做A与B

的和(并)

(4)事件的积(交)：“A与B同时发生”叫做A与B的积。

(5)互斥事件(互不相容事件)：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。

A,B=(])

(6)对立事件(互逆事件)：

“A不发生”叫做A发生的对立(逆)事件，入

AUA=Q,Ap|A=(|)

(7)独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立

事件。

A与B独立，A与百，X与B,反与否也相互独立。

53.对某一事件概率的求法：

分清所求的是：(1)等可能事件的概率(常采用排列组合的方法，即

=A包含的等可能结果=m

一一次试验的等可能结果的总数一片

(2)若A、B互斥,则P(A+B)=P(A)+P(B)

(3)若A、B相互独立，则P(A•B)=P(A)•P(B)

(4)P(A)=1-P(A)

（5）如果在一次试验中A发