二次函数的应用课件人教版九年级数学上册

课题

第二十二章

二次函数的应用回顾与思考导入

在日常生活中存在着许许多多与数学知识有关的实际问题，过山车的这一部分是否像一个开口向下的二次函数图象呢？利用二次函数的特征是否可以求出该过山车的最高点呢？

商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求，如果你是商场经理，如何定价才能使利润最大？是否可以转化成二次函数模型来求最大利润呢？

利用二次函数解决实际问题，首先要建立数学模型，把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的等量关系，求出函数解析式，然后利用函数的图象和性质去解决问题.2.用二次函数解实际问题的一般步骤

（1）审；（2）找；（3）列；（4）解；（5）检.1.用二次函数解实际问题的常用方法知识点一:最大利润问题利润＝售价－成本总利润＝每件商品的利润×销量利润率＝

×100%常见销售问题中的数量关系：3.求解最大利润问题时，要熟练掌握利润问题中相关数量的意义以及常用的数量关系.审清题意，根据具体问题，建立函数关系式，解决实际问题.例1（1）【例1】超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件.根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，设销售单价增加x元，每天售出y件.（1）请写出y与x之间的函数表达式；根据这两句话可以列函数关系式；【例1】超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件.根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，设销售单价增加x元，每天售出y件.（1）请写出y与x之间的函数表达式；根据这两句话可以列函数关系式；

例1（2）【例1】超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件.根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，设销售单价增加x元，每天售出y件.（2）当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？根据题中这几句话可以得出结果；【例1】超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件.根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，设销售单价增加x元，每天售出y件.（2）当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？

实际问题中，各个量除了满足一定的数量关系外，还需要考虑各个量的实际意义和已知条件的限制【例1】超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件.根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，设销售单价增加x元，每天售出y件.（3）设超市每天销售这种玩具可获利W元，当x为多少时W最大，最大值是多少？总利润＝每件商品的利润×销量例1（3）【例1】超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件.根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，设销售单价增加x元，每天售出y件.（3）设超市每天销售这种玩具可获利W元，当x为多少时W最大，最大值是多少？

注意：

1.用二次函数解实际问题时，审题是关键，检验容易被忽略，求得的结果除了要满足题中的数量关系，还要符合实际问题的意义.

2.在实际问题中求最值时，解题思路是:列二次函数解析式，

①用配方法把函数解析式化为y＝a(x－h)2＋k的形式求函数的最值；

②针对函数解析式用顶点坐标公式求函数的最值.【巩固】1.某青年公寓有100张床位，每张床位的日租价为10元时，公寓的床位可全部出租.若每张床位的日租价提高1元，则租出的床位就会减少5张，按此种情况，要想获得最大收益，则每张床位的日租价需提高__________元.巩固15【巩固】2.某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x（元/千克）506070销售量y（千克）1008060（1）求y与x之间的函数解析式；【巩固】2.某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x（元/千克）506070销售量y（千克）1008060（2）该商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数解析式（利润＝收入－成本）；（2）由题意可得，W＝（x－40）（－2x＋200）＝－2x2＋280x－8000，即W与x之间的函数解析式是W＝－2x2＋280x－8000．【巩固】2.某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x（元/千克）506070销售量y（千克）1008060（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，

并指出售价为多少时获得最大利润，最大利润是多少？（3）∵W＝－2x2＋280x－8000＝－2（x－70）2＋1800，（40≤x≤80），∴当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，当70＜x≤80时，W随x的增大而减小．当x＝70时，W取得最大值，此时W=1800．答：当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，当70＜x≤80时，W随x的增大而减小．售价为70元/千克时，最大利润是1800元．在日常生活中，经常遇到求某种图形的最大面积问题，这类问题可以利用二次函数的图象和性质解决，也就是把最大面积问题转化为二次函数的最大值问题．求图形的面积时常会涉及线段与线段之间的关系，通常是根据图形中线段的关系，找到相应线段与面积之间的函数关系，将其转化为二次函数问题，就可以用二次函数的图象与性质来解决．

知识点二:图形的面积最值问题【例2】用长为6米的铝合金条制成如图所示的窗框，若窗框的高为x米，窗户的透光面积为S平方米.（铝合金条的宽度不计）（1）S与x之间的函数关系式为

，自变量x的取值范围为

；（2）如何安排窗框的高和长，才能使窗户的透光面积最大？最大面积是多少？例2【例2】用长为6米的铝合金条制成如图所示的窗框，若窗框的高为x米，窗户的透光面积为S平方米.（铝合金条的宽度不计）（1）S与x之间的函数关系式为

，自变量x的取值范围为

；（2）如何安排窗框的高和长，才能使窗户的透光面积最大？最大面积是多少？

【例2】用长为6米的铝合金条制成如图所示的窗框，若窗框的高为x米，窗户的透光面积为S平方米.（铝合金条的宽度不计）（1）S与x之间的函数关系式为

，自变量x的取值范围为

；（2）如何安排窗框的高和长，才能使窗户的透光面积最大？最大面积是多少？【解析】（2）通过S与x的函数关系式，根据二次函数的性质即可求解．

0＜x＜2【例2】用长为6米的铝合金条制成如图所示的窗框，若窗框的高为x米，窗户的透光面积为S平方米.（铝合金条的宽度不计）（1）S与x之间的函数关系式为

，自变量x的取值范围为

；（2）如何安排窗框的高和长，才能使窗户的透光面积最大？最大面积是多少？0＜x＜2

【巩固】1.一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开.已知篱笆总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB＝_________m

时，矩形土地ABCD的面积最大.巩固1150【巩固】2.如图，在一面靠墙的空地上用长24m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的一边AB的长为xm，面积为Sm2.（1）求S与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）当x取何值时，围成的花圃面积最大，最大面积是多少？巩固2（1）建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形的图形放在坐标系中；（2）设出函数解析式，结合图形和已知条件，用待定系数法求函数解析式；（3）利用二次函数的图象与性质求解实际问题．利用二次函数解决抛物线形建筑物问题的一般步骤：知识点三:抛物线形建筑物问题【例3】如图所示，某河面上面有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，宽为20m，若水位上升3m，水面就会达到警戒线CD，这时水面宽度为10m.（1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式；【解析】以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，先求出抛物线的解析式，然后结合抛物线的解析式求解即可．例3解：（1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．设所求抛物线的解析式为：y＝ax2（a≠0），由CD＝10m，可设D（5，b），由AB＝20m，水位上升3m就达到警戒线CD，则B（10，b－3），

【例3】如图所示，某河面上面有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，宽为20m，若水位上升3m，水面就会达到警戒线CD，这时水面宽度为10m.

（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？解：（2）由（1）知CD距拱顶的距离为1m，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，到达拱顶的时间为1÷＝5（h）．所以从警戒线CD开始，再持续5小时到达拱桥顶．注意：

同一个问题中，建立平面直角坐标系的方法有多种，建立适当的平面直角坐标系能简化函数解析式，通常应使已知点在坐标轴上．【巩固】1.小明的父亲在相距2m的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距离地面都是2.5m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1m的小明距较近的那棵树0.5m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距离地面_________m.巩固1

【巩固】2.某菜农搭建一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图所示，若菜农身高为1.6m，则他在不弯腰的情况下在大棚内横向活动的最大范围是___________m.巩固2【巩固】

巩固3解：（1）依题意，函数的顶点为（4，

），故设函数的解析式为：y＝a（x－4）2＋

，∵点（0，1）在抛物线上∴代入得1＝a（0－4）2＋

，解得a＝－则羽毛球经过的路线对应的函数解析式为：y＝－

（x－4）2＋

．【巩固】

【例4】如图，已知一次函数y1＝－x＋m与二次函数y2＝ax2＋bx－3的图象交于A（－1，0），B（2，n）两点，且二次函数的图象与y轴交于点C，P为抛物线顶点，求△ABP的面积.已知y1＝－x＋mA（－1，0）B（2，n）y2＝ax2＋bx－3y1＝－x－1B（2，－3）y2＝x2－2x－3求解S△ABPS△ABP＝S△ADP＋S△BDP求二次函数与一次函数解析式A（－1，0）求出P、D点的坐标B（2，n）y2＝ax2＋bx－3例知识点四:二次函数的综合问题4解：把点A（－1，0）代入y1＝－x＋m，得1＋m＝0，解得m＝－1，∴一次函数的解析式为y1＝－x－1，∵点B（2，n）在一次函数y1＝－x－1的图象上，∴n＝－2－1＝－3，∴点B的坐标为（2，－3），

【巩固】

巩固1解：（1）对于抛物线y＝x2－3x＋

，令y＝0，得x2－3x＋

＝0，解得x1＝

，

x2＝

，∴A（

，0），B（

，0），令x＝0，得y＝

，∴C（0，

）．设直线BC的解析式为y＝kx＋b，【巩固】

巩固1（2）设D坐标为（m，m2－3m＋

），∴点E坐标为（m，－

m＋

），设DE的长为d，∵D是直线BC下方的一点，【巩固】2.

如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）.（1）求m的值