必修一第四章第4节4.4指数函数幂函数对数函数的增长的比较（学生）

4.4指数函数，幂函数，对数函数增长的比较【学习主题】新授课【课时安排】1个课时【学习目标】1.理解三种不同函数的变化快慢比较．2．通过三种函数的增长特征的实际应用，培养数学建模素养【学习重难点】1.了解三种函数的增长特征．(重点)2．初步认识“直线上升”、“指数爆炸”和“对数增长”．(重点)3．尝试函数模型的简单应用．(重点、难点)【学情分析】通过前面的学习，学生已经掌握了三种不同函数的解析式，知道了各自的增减性，为本节课三种函数的纵向比较作了铺垫。一、课前预习，发现问题【学法建议】通过不同的例子，让学生切身一、课前预习，发现问题【学习过程】（一）要求：（1）逐字逐句阅读教材第116页，思考并回答下列问题（写出答案）记录预习发现的问题。预习自测基础知识自测三种函数的增长趋势y＝axeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>1))y＝logaxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>1))y＝xαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α>0))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞))上的增减性增函数图象的变化趋势随x增大，近似与y轴平行．随x增大，近似与x轴平行．α值较小(α<1)，增长较慢；α值较大(α>1)时，增长较快．增长速度①随x增大，y＝ax增长速度越来越快，并且当a越大时，y＝ax增长的速度越快．②随x增大，y＝logax增长速度越来越慢，并且当a越大时，y＝logax增长速度越慢．③当x足够大时，一定有ax>xα>logax.思考：举例说明“指数爆炸”增长的含义？1．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是()ABCD2．下列函数中，增长速度最慢的是()A．y＝6x B．y＝log6xC．y＝x6 D．y＝6x3．当x>4时，a＝4x，b＝log4x，c＝x4的大小关系是________．4．已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f(x)＝a1x2＋b1x＋6，g(x)＝a23x＋b2(a1，a2，b1，b2∈R).(1)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；(2)在同一直角坐标系下画出函数f(x)与g(x)的草图，并根据草图比较今年甲、乙两个工厂的利润的大小情况．（三）完成课本第117页练习，并把学历案上的学习任务完成同时标记疑问题二、二、课中学习，合作探究【学习任务1】函数模型的增长差异(1)当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()A．y＝10000x B．y＝log2xC．y＝x1000 D．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,2)))eq\s\up8(x)(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y2232102432768×106×107×109y32102030405060y42关于x呈指数函数变化的变量是________．【课堂活动】小组合作学习，讨论2分钟时间【课堂展示】请各小组代表回答【教师点拨】注意增长快慢的变化趋势【课堂评价1】下面对函数f(x)＝logeq\s\do2(\f(1,2))x，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(x)与h(x)＝xeq\s\up6(－eq\f(1,2))在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法正确的是()A．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢B．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快C．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢D．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快【课堂活动与展示】引导学生讨论交流，判断【反思总结】常见函数模型及增长特点线性函数模型y＝kx＋beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k>0))的增长特点是直线上升，其增长速度不变．⑵指数函数模型y＝axeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>1))随x增大，y增长速度越来越快，并且当a越大时，y＝ax的函数值增长的越快．对数函数模型y＝logax随x增大，y增长速度越来越慢，并且当a越大时，y＝logax的函数值增长的越慢．【学习任务2】某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本y(单位：元/102kg)与上市时间x(单位：天)的数据如下表：时间x50110250种植成本y150108150(1)根据上述表格中的数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本y与上市时间x的变化关系：y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝a·bx，y＝alogax.(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低的上市天数及最低种植成本．【课堂活动】小组合作学习，讨论5分钟时间【课堂展示】请各小组代表回答：【课堂评价2】某汽车制造商在2020年初公告：公司计划2020年生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：年份201720182019产量8(万)18(万)30(万)如果我们分别将2016，2017，2018，2019定义为第一、二、三、四年．现在有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系？【课堂活动与展示】引导学生思考，讨论交流，求解【反思总结】(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律．因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．【学习任务3】函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数．(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2020)，g(2020)的大小．【课堂活动】小组合作学习，讨论5分钟时间【课堂评价3】变式训练1．若将“函数f(x)＝2x”改为“f(x)＝3x”，又如何求解(1)呢？2．本例条件不变，(2)中条件若改为：试结合图象，判断f(8)，g(8)，f(2019)，g(2019)的大小．【课堂活动与展示】引导学生思考，讨论交流，求解【反思总结】判断函数的增长速度，一个方面是从x增加相同量时，函数值的增长量的变化；另一方面，也可从函数图象的变化判断，图象越陡，增长越快．三三、课后评价，解决问题1.写出今天学习内容的思维导图2.完成本节对应的巩固训练（课代表收齐后上交）.3.完成课本第117页习题（明天课堂检查）【学后反思】1.学习本节课后，你会比较三类不同函数的增长的快慢了吗?2.在课堂上你积极吗?3.在这节课上你的学习目标完成了吗?4.你对本堂课重难点掌握了吗?5.在本节课上你掌握了哪些知识点和题型？4.4指数函数，幂函数，对数函数增长的比较巩固训练一、选择题1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用()A．一次函数 B．二次函数C．指数型函数 D．对数型函数2．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()A．y＝10x B．y＝lgxC．y＝x10 D．y＝10x3．如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好()A．指数函数：y＝2tB．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3D．二次函数：y＝2t24．有一组试验数据如下表所示：x12345y37下列所给函数模型较适合的是()A．y＝logax(a＞1) B．y＝ax＋b(a＞1)C．y＝ax2＋b(a＞0) D．y＝logax＋b(a＞1)5．四人赛跑，假设他们走过的路fi(x)(i∈{1，2，3，4})和时间x(x＞1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x6．今有一组实验数据如下：t23456v12现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据所满足的规律，其中最接近的一个是()A．v＝log2t B．v＝logeq\s\do2(\f(1,2))tC．v＝eq\f(t2－1,2) D．v＝2t－27．四个函数在第一象限中的图象如图所示，a，b，c，d所表示的函数可能是()A．a：y＝2xb：y＝x2c：y＝eq\r(x)d：y＝2－xB．a：y＝x2b：y＝2xc：y＝2－xd：y＝eq\r(x)C．a：y＝x2b：y＝2xc：y＝eq\r(x)d：y＝2－xD．a：y＝axb：y＝x2c：y＝2－xd：y＝eq\r(x)二、填空题8．函数y＝x2与函数y＝xlnx在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．9．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示，给出下列四种说法：①前三年中产量增长的速度越来越快；②前三年中产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的是________．10．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．三、解答题11．某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随销售利润