空间几何体的结构特征表面积与体积讲义-高三数学二轮复习

空间几何体的结构特征、表面积与体积（1）多面体的结构特征源:]（2）旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形任一直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式3．空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)锥体(棱锥和圆锥)台体(棱台和圆台)球4.直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.注：考点1空间几何体的结构特征【例1】下列关于棱锥、棱台的说法：①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③棱锥的侧面只能是三角形；④由4个面围成的封闭图形只能是三棱锥；⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．正确的有．【例2】以下说法正确的有________________①棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面；②棱柱的侧面是平行四边形，但底面不是平行四边形；③有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱；④有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台；⑤圆台平行于底面的截面是圆面；⑥各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；⑦在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；【跟踪训练】1．下列四个命题中，正确的有①棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面；②各个面都是三角形的几何体是三棱锥；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；④四棱锥有4个顶点．A．0个 B．1个 C．3个 D．4个2．以下给出的四个命题中，命题正确的有①两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体叫做棱柱；②以直角三角形的一条边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；③用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台；④空间中，如果两个角的两条边分别垂直，那么这两个角相等或互补．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3．以下关于空间几何体特征性质的描述，正确的是A．以直角三角形一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥 B．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 D．两底面互相平行，其余各面都是梯形，侧棱延长线交于一点的几何体是棱台4.下列命题中正确的是（填序号）．①有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；②棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面；③棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形；④棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形．考点2空间几何体的表面积与体积【例1】（1）一个正四棱锥的侧面是正三角形，斜高为，那么这个四棱锥体积为（）A． B． C． D．（2）圆台的上、下底面的面积分别为，侧面积是，这个圆台的体积是________．（3）为了方便向窄口容器中注入液体，某单位设计一种圆锥形的漏斗，设计要求如下：该圆锥形漏斗的高为10cm，且当窄口容器的容器口是半径为1cm的圆时，漏斗顶点处伸入容器部分的高为2cm，则制造该漏斗所需材料面积的大小约为（）（假设材料没有浪费）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2【例2】现有橡皮泥制作的底面半径为4，高为3的圆锥一个．若将它重新制作成一个底面半径为r，高为h的圆柱（橡皮泥没有浪费），则该圆柱表面积的最小值为（）A．20π B．24π C．28π D．32π【跟踪训练】1.（2021•浙江）一个圆锥的母线与其轴所成的角为60°，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（）A． B． C． D．2.（2021•咸阳）已知某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则它的侧面积为（）A． B． C． D．3.（2020•昌江）如右图所示，在三棱锥A﹣BCD中，△ABC和△BCD都是边长为2的等边三角形，则当此三棱锥的表面积最大时，AD＝．4．（2021•广州）棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1：2（从顶点到截面与从截面到底面）两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于（）A．1：9 B．1：8 C．1：4 D．1：35．（2021•广东）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．现已知该四棱锥的高与斜高的比值为，则该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是（）A． B． C． D．6.（2020•烟台）水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品．如图所示，现有棱长为2cm的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成某饰品，则该饰品的表面积为（）（单位：cm2）A． B． C． D．第6题第7题7．（2020•菏泽）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部，其高度为圆锥高度的cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥沙堆．以下结论正确的是（）A．沙漏的侧面积是 B．沙漏中的细沙体积为cm D．该沙漏的一个沙时大约是1985秒（π≈3.14）考点3直观图【例1】水平放置的，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的，其中，，则面积为（）A． B． C． D．【例2】若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，则原四边形的面积为（）A．12 B．16C． D．【例3】已知四边形的直观图如图所示，，，，为的三等分点，则四边形沿y轴旋转一周所成的空间几何体的体积为（）A． B． C．D．【解题总结】斜二测法下的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系：．【跟踪训练】1.用斜二测画法画一个水平放置的边长为的等边得到的直观图△，则△的面积为A． B． C． D．2.已知水平放置的平面四边形，用斜二测画法得到的直观图是边长为1的正方形，如图所示，则的周长为A．2 B．6 C． D．8第2题图第3题图3.一水平放置的平面四边形用斜二测画法绘制的直观图如图所示，其中，，，四边形的面积为A． B． C．3 D．考点4三视图俯视图拔高法一个立体模型的三视图核心——俯视图，代表着地基，三视图可以从俯视图开始，采用画弧、连线、拔高．画弧：这个是根据工程制图的重要定理，就是俯视图和左视图可以通过弧线连接，找到相对应点．连线：这就是确定各个位置，即主视图和俯视图的重垂线连接，主视图与左视图的水平线连接定位．拔高：各点定位找好后，在俯视图上能拔高的直接立起来，俯视图转化成斜二测图形，并形成直观图．画弧连线拔高墙角体：墙角体的俯视图拔高法，先画弧将俯视图与左视图连接，并将俯视图的三点用数字标记出来．接着将主视图和俯视图连接，发现数字1和2所在的这条重垂线可以拔高，在不知道确切能拔高的点之前，标记上问号，而数字3所在的中垂线看主视图，明显没有高度，不能拔高，标记上Χ．最后判别1和2，通过弧线可知2和3这条线可以拔高，故在2位置标记上〇，而1所在的弧线是不能拔高，故标记上Χ．最后画出直观的墙角体．鳖臑：所谓鳖臑就是四个面均为直角三角形的三棱锥,这个几何体在各类考试中出现的频率最高,感觉没有鳖臑就制作不出一桌满汉全席似的．下面看它的俯视图拔高法画出直观图．画弧+连线拔高阳马：90年代全国卷考过一道试题:四棱锥的四个侧面最多有几个直角三角形?其实，这就是考阳马.阳马就是底面为矩形而四个侧面都是直角三角形的四棱锥．壍堵：正方体(长方体)沿着其对角面"一分为二"就得到两个壍堵.【例1】（2020•柯桥）某几何体的三视图（单位：如图所示，则该几何体的体积为A． B．2 C．4 D．6【例2】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（） B． C． D．5【例3】（2017•新课标Ⅰ）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A．10 B．12 C．14 D．16【解题总结】1.去底座拔高法：主视图和左视图都有的矩形部分叫做底座，故可以在三视图还原时不予考虑，最后加上去这个底座，也就是一个长方体部分，需要注意的是矩形必须为实线．如例2；2.俯视图有虚线时，定是挖去的部分，先按照无虚线还原后，再将虚线部分和拔高点相连的那部分三棱锥去除即可．如例3；3.刚开始不熟练的学生也可以在长方体（正方体）里进行还原拔高，即俯视图画在长方体下（上）底面上，然后按上面例题方法拔高还原即可．【跟踪训练】1.（2021•丰台一模）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长的棱长为A．2 B． C． D．4第1题图第2题图第3题图2．（2021•桂林一模）某几何体的三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，该几何体的体积为（）A．1 B． C． D．或3.（2020•黄山模拟）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A． B． C． D．4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A． B． C． D．1考点5最短路径问题路径最短问题本质是：两点之间线段最短，一般需要将其立方体按一定方向展开成平面图求解．【例1】有一长方体木块，其顶点为，，，，一小虫从长方体木块的一顶点绕其表面爬行到另一顶点，则小虫爬行的最短距离为A． B． C． D．【例2】如图，S﹣ABC是正三棱锥且侧棱长为a，两侧棱SA，SC的夹角为30°，E，F分别是SA，SC上的动点，则三角形BEF的周长的最小值为（）A． B． C． D．【例3】（2018•新课标Ⅰ）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为A． B． C．3 D．2【解题总结】此类最大路径问题：大胆展开，把问题变为平面两点间线段最短问题．【跟踪训练】1.（2020•景德镇模拟）如图，圆锥的母线长为4，点M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为（）A．4π B．5π C．6π D．8π第1题第3题2.（2020•湖南模拟）在高为的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC的边长为2，D为棱B1C1的中点，若一只蚂蚁从点A沿表面爬向点D，则蚂蚁爬行的最短距离为（）A．3 B． C． D．2（2020•岳阳模拟）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＞1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为．则该长方体外接球的表面积为．考点6简单截面问题（拓展提升）截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面．截面形式总共有三种，分别为横截、竖截、斜截．考向一平面截棱锥、棱柱(下图以平面截正方体为例)接下来我们主要重心放在如何画出(补全)截面：类一过不共线的三点做立方体的截面，其中有两点在共面的棱上【例1】已知分别是正方体棱上的中点，请做出过三点的平面与立方体相交的截面，如图图一图二图三图四类二过不共线的三点做立方体的截面，其中任意两点均不在棱上（或点在立方体表面/内部）【例2】已知分别是正方体棱上的中点，请做出过三点的平面与立方体相交的截面，如图图一图二图三图四考向二平面截圆锥、圆柱以上为平面斜截圆柱与圆锥时形成的截面图形（横截与竖截比较简单就不在这里阐述了）【例3】如图圆锥PO，轴截面PAB是边长