指数函数10种常见考法归类

4.2指数函数10种常见考法归类1、指数函数的定义一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.注：为什么底数应满足a>0且a≠1?①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.2、两类指数模型（1）y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当a>1时为指数增长型函数模型．（2）y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当0<a<1时为指数衰减型函数模型．3、指数函数的图象和性质a>10<a<1图象性质定义域R值域(0，＋∞)过定点过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1函数值的变化当x<0时，0<y<1；当x>0时，y>1当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1单调性在R上是增函数在R上是减函数对称性y＝ax与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x的图象关于y轴对称注：（1）指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四象限．（2）指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于底数a.当a>1时，图象具有上升趋势；当0<a<1时，图象具有下降趋势．4、比较幂的大小一般地，比较幂大小的方法有(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断．(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断．(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．5、解指数方程、不等式简单指数不等式的解法(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．(3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解．6、指数型函数的单调性一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反．注：（1）指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性与其底数a有关，当a>1时，y＝ax在定义域上是增函数，当0<a<1时，y＝ax在定义域上是减函数．（2）如何判断形如y＝f(ax)(a>0，a≠1)的函数的单调性？①定义法，即“取值－作差－变形－定号”．其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；②利用复合函数的单调性“同增异减”的规律．7、判断一个函数是否为指数函数的方法①看形式:只需判断其解析式是否符合(a>0，且a≠1)这一结构特征；②明特征：看是否具备指数函数解析式的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．(1)底数的值是否符合要求．(2)ax前的系数是否为1.(3)指数是否符合要求．8、已知某函数是指数函数求参数值的方法①依据指数函数形式列方程：令底数大于0且不等于1，系数等于1列出不等式与方程；②求参数值：解不等式与方程求出参数的值．注：解决指数函数问题时，要特别注意底数大于0且不等于1这一条件.9、求指数函数的解析式或函数值(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．(2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式．10、解决有关增长率问题的关键和措施(1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较．(2)分析具体问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再概括为数学问题，最后求解数学问题即可．(3)在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．11、函数y＝af(x)定义域、值域的求法(1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合．(2)值域：①换元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定义域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．12、利用变换作图法作图要注意：①选择哪个指数函数作为起始函数．②平移的方向及单位长度．③常用的变换作图法主要有：

此外，函数的图象关于y轴对称；函数y＝|ax－b|的图象可由函数y＝ax－b的图象保持在x轴上及其上方的部分不动，把x轴下方的部分翻折到x轴上方得到．13、处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的x，y的值，即可得函数图象所过的定点．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．14、比较幂值大小的3种类型及处理方法15、指数方程的类型可分为：①形如af(x)＝ag(x)(a>0，且a≠1)的方程化为f(x)＝g(x)求解；②形如a2x＋b·ax＋c>0(<0)型不等式，用换元法求解．16、简单的指数不等式的解法(1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，①当a>1时，化为f(x)>g(x)求解；②当0<a<1时，化为f(x)<g(x)求解．若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1)．17、指数型函数的单调性(1)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，利用同增异减原则，求出y＝f(φ(x))的单调性．(2)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．18、指数型函数的奇偶性和单调性的判断方法：(1)奇偶性按照函数奇偶性的定义进行判断，注意定义域优先原则，判断过程中要进行必要的指数幂的运算．(2)单调性按照函数单调性的定义进行判断，先确定单调区间，作差变形后再进行符号的判断．考点一指数函数的概念考点二求指数函数的解析式或函数值考点三指数增长型和指数衰减型函数的实际应用考点四指数函数的定义域和值域考点五指数函数的图象及应用（一）指数函数的图象特征（二）指数函数的图象变换（三）指数函数过定点问题（四）指数函数图象的应用考点六比较大小考点七简单的指数不等式的解法考点八指数型函数的单调性与最值考点九指数型函数的奇偶性考点十指数函数的综合应用考点一指数函数的概念1．（2023·全国·高一专题练习）下列函数为指数函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据指数函数的定义，逐项判定即可求解.【详解】根据指数函数的定义知，可得函数不是指数函数；函数不是指数函数；函数是指数函数；函数不是指数函数.故选：C.2．（2023·全国·高一专题练习）下列函数：①；②；③；④．其中为指数函数的个数是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据指数函数解析式特征直接判断即可.【详解】指数函数解析式为且，对于①②④，、和不符合指数函数解析式特征，①②④错误；对于③，符合指数函数解析式特征，③正确.故选：B.3．【多选】（2023·全国·高一专题练习）（多选）下列函数是指数函数的是（

）A．B．C．D．（且）【答案】AD【分析】根据指数函数的定义逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，为指数函数；对于B选项，不是指数函数；对于C选项，不是指数函数；对于D选项，当且时，且，则（且）为指数函数.故选：AD.4．（2023·全国·高一专题练习）给定下列函数：①；②；③，且；④；⑤；⑥；⑦；⑧.其中是指数函数的有.（填序号）【答案】②⑤【分析】根据指数函数且的形式进行判断即可.【详解】对于①，不符合指数函数且的形式，不是指数函数；对于②，符合指数函数且的形式，是指数函数；对于③，只有当且时是指数函数，，且不是指数函数；对于④，不符合指数函数且的形式，不是指数函数；对于⑤，符合指数函数且的形式，是指数函数；对于⑥，不符合指数函数且的形式，不是指数函数；对于⑦，不符合指数函数且的形式，不是指数函数；对于⑧，不符合指数函数且的形式，不是指数函数.故答案为：②⑤.考点二求指数函数的解析式或函数值5．（2023秋·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）若函数是指数函数，则等于（

）A．或 B． C． D．【答案】C【分析】根据指数函数的定义求解即可.【详解】因为函数是指数函数，所以.故选：C6．（2023·全国·高一专题练习）若函数为指数函数，则（

）A．或 B．且C． D．【答案】C【分析】利用指数函数的定义列方程组求解即可.【详解】因为函数为指数函数，则，且，解得，故选：C7．（2023秋·湖南岳阳·高三校考阶段练习）若函数的图象经过，则（

）A． B． C．3 D．9【答案】B【分析】根据题意，由求得函数解析式求解.【详解】解：因为函数的图象经过，所以，解得，所以，则，故选：B8．（2023·全国·高一课堂例题）已知指数函数的图象经过点，求和．【答案】，．【分析】将代入指数函数表达式中可得，进入代入即可求解.【详解】因为且的图象经过点，所以，解得（负根舍去），于是．所以，．9．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，则（

）A．2 B．4 C．5 D．7【答案】C【分析】利用赋值法,求函数值.【详解】解：令，得，所以.故选：C10．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）已知函数，则（

）A．2 B．1 C． D．【答案】A【分析】先求出，进而可得出答案.【详解】由，得，所以.故选：A.11．（2023秋·贵州黔东南·高三校考阶段练习）设函数，则.【答案】3【分析】根据分段函数每段的定义域求解.【详解】解：因为函数，所以，故答案为：312．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数，则.【答案】【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为，所以，则.故答案为：考点三指数增长型和指数衰减型函数的实际应用13．（2023·山东·校联考模拟预测）某厂1995年的产值为万元，预计产值每年以5%递增，则该厂到2007年的产值（万元）是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】指数函数的实际应用，解答本题只需要从1995年向后写几年就可以得到规律.【详解】∵某厂1995年的产值为万元，预计产值每年以5%递增，∴该厂到1996年的产值(万元)为,该厂到1997年的产值(万元)为,该厂到1998年的产值(万元)为,∴该厂到2007年的产值(万元)为.故选：C．14．（2023秋·河南·高三校联考阶段练习）某化工厂生产过程中产生的废气含有大量的有毒、有害物质，需经过滤后排放．过滤过程中废气中的有毒、有害物质的含量（单位：与时间（单位：）间的关系为（为常数），若在过滤后消除了的有毒、有害物质，则后剩余的有毒、有害物质大约为原来有毒、有害物质的（

）（附：）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数关系求先求出当时的有毒、有害物质的含量，然后由指数运算即可求解.【详解】由题意当时，；当时，；当时，，又，所以，所以，故后的在毒、有害物质大约为原来有毒、有害物质的．故选：B．15．（2023·全国·高二随堂练习）某城市2007年底人口为500万，人均住房面积为，到2023年底该市的人均住房面积翻了一番．假定该市人口的年平均增长率为1％，求这10年中该市每年新增住房的平均面积（精确到）．【答案】877万平方米.【分析】根据人口数和人均住房面积求出住房总面积即可.【详解】2007年住房总面积为：万平方米，2023年该市的人口为：万，2023年住房总面积为：万平方米，则10年中该市每年新增住房的平均面积：万平方米.16．（2023·全国·高一随堂练习）某科研小组培育一种水稻新品种，由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子．写出第n代得到的种子数与n的函数关系式，并求第5代得到的种子数．（结果写成（，n为正整数）的形式，a精确到0.01）【答案】【分析】根据题意，假设第代得到的种子数为，由指数函数的解析式得出函数的解析式，将，代入计算，即可求解.【详解】根据题意，假设第代得到的种子数为，由于第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子，则，当时，粒.考点四指数函数的定义域和值域17．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为.【答案】【分析】根据解析式，列出使解析式有意义条件，解出x的取值范围.【详解】由题意可得，解得：，所以函数的定义域为.故答案为：.18．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域是．【答案】.【分析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，即可求得结果.【详解】由题意得，解得且，所以函数的定义域为，故答案为：.19．（2023·上海·高一专题练习）函数的定义域是.【答案】【分析】根据定义域求法解决即可.【详解】由题知，，解得，所以函数的定义域是，故答案为：20．（2023·全国·高一随堂练习）求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【分析】（1）（2）（3）（4）利用函数有意义列出不等式，结合指数函数单调求解即得.【详解】（1）函数有意义，则，所以的定义域为.（2）函数有意义，则，解得，所以的定义域为.（3）函数有意义，则，即，解得，所以的定义域为.（4）函数有意义，则，即，解得，所以的定义域为.21．（2023·全国·高一课堂例题）求下列函数的定义域和值域：(1)；(2)．【答案】(1)定义域为；值域为(2)定义域为；值域为【分析】（1）根据二次根式和指数函数的性质进行求解即可；（2）根据指数函数的性质进行求解即可.【详解】（1）要使函数式有意义，则，即．因为函数在上是增函数，所以．故函数的定义域为，因为，所以，所以，所以，即函数的值域为；（2）定义域为，因为，所以，又，所以函数的值域为．22．（2023·全国·高一随堂练习）求下列函数的定义域和值域：(1)；(2)；(3)；(4)(5)(6)【答案】(1)定义域为R，值域为(2)定义域为R，值域为(3)定义域为R，值域为(4)定义域为，值域为(5)定义域为，值域为(6)定义域为，值域为【分析】根据指数函数的图象及性质，得到定义域和值域.【详解】（1）的定义域为R，值域为；（2）的定义域为R，值域为；（3）的定义域为R，值域为；（4）中分母不等于0，故的定义域为，由于，故，又，故值域为；（5）中分母不等于0，故，的定义域为，由于，故，又，的值域为（6）中中分母不等式0，故，的定义域为，由于，故，又，故的值域为.23．（2023·全国·高一随堂练习）求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】最大值为9；最小值为.【分析】令，将函数转化为，利用二次函数的性质求解.【详解】解：令，则原函数转化为，当，即时，函数取得最小值为；当，即时，函数取得最大值为.24．（2023·全国·高一专题练习）求函数，在上的值域.【答案】【分析】，令，再根据二次函数的性质即可得解.【详解】，令，函数在上是单调减函数，∴，的对称轴为，∴当时，，即当时，，即，∴在上的值域为.25．（2023·全国·高一专题练习）已知的值域为，则x的取值范围可以为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，根据值域解不等式组可得t的范围，然后解指数不等式可得.【详解】令，则，由题知，，解得或，即或，解得或.故选：D26．（2023秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）函数的值域为.【答案】【分析】根据给定的分段函数，分段求出函数值集合即可得解.【详解】当时，函数的值域为，当时，函数的取值集合为，所以函数的值域为.故答案为：27．（2023·全国·高一专题练习）函数的值域为．【答案】【分析】根据反比例函数求出指数的取值范围，再根据指数函数的单调性求出函数的值域.【详解】设，则且，根据反比例函数性质，从而，所以．故答案为：.28．（2023·全国·高一随堂练习）求下列函数的值域：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用指数函数的性质即可得解；（2）利用二次函数的性质与指数函数的性质，结合复合函数的单调性即可得解.【详解】（1）由于，则，故的值域为.（2）当时，开口向上，对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值为，当时，取得最大值为，则，又为减函数，所以的值域为，即.29．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考开学考试）已知函数在区间上的值域为，则实数的值为.【答案】3【分析】根据图象的变换得到函数，然后根据函数图象求即可.【详解】作出函数的图象如图，函数在上单减，在上为增函数，又，，，若函数在区间上的值域为，则实数.故答案为：3.30．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由于当时，，所以当时，求出的最小值，使其最小值小于等于1即可.【详解】当时，，当时，，因为函数的值域为，所以，得，所以实数的取值范围是，故选：D.考点五指数函数的图象及应用指数函数的图象特征31．（2023·全国·高一专题练习）如图中，①②③④中不属于函数，，中一个的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【分析】根据指数函数的图象的特征即可得答案.【详解】解：由指数函数的性质可知：①是的部分图象；③是的部分图象；④是的部分图象；所以只有②不是指数函数的图象.故选：B.32．（2023秋·江西宜春·高三校考开学考试）函数（，且）的图象可能是（）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】分别讨论或时，图象与y轴的交点的纵坐标，即可得出答案.【详解】A，B选项中，，于是，所以图象与y轴的交点的纵坐标应在之间，显然A，B的图象均不正确；C，D选项中，，于是，图象与y轴的交点的纵坐标应在小于，所以D项符合.故选：D33．【多选】（2023·全国·高一专题练习）已知，则函数的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AD【分析】通过特值法，排除错误选项，通过的取值，判断函数的图象的形状，推出结果即可.【详解】由于当时，，排除B，C，当时，，此时函数图象对应的图形可能为A，当时，，此时函数图象对应的的图形可能为D.故选：AD.34．（2023秋·高一课时练习）函数的图象如图所示，则的图象是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】依题意可得、两个数一个小于，一个大于且小于，再分类讨论，结合指数函数的性质判断即可；【详解】解：令，解得、，根据二次函数图象可知，、两个数一个小于，一个大于且小于，①当，时，则不成立；②当，时，则在定义域上单调递减，且，所以满足条件的函数图象为A.故选：A35．（2023·全国·高一专题练习）函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】先分类讨论化简函数式，然后根据指数函数的单调性排除错误选项．【详解】因为又，根据指数函数的性质知，时，函数为增函数，排除B、D；时，函数为减函数，排除A．故选：C．36．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】利用函数的性质和特值法对不符合题意的选项加以排除，即可得出答案.【详解】因为，所以，定义域为；因为，所以，故，所以为奇函数，排除B，当趋向于正无穷大时，、均趋向于正无穷大，但随变大，的增速比快，所以趋向于，排除D，由，，则，排除C.故选：A.指数函数的图象变换37．（2023·全国·高一课堂例题）说明下列函数的图象与指数函数的图象的关系，并画出它们的示意图：(1)；(2).【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）（2）根据列表法，计算自变量所对应的函数值，即可发现规律,进而根据平移即可画出函数图象.【详解】（1）比较函数与函数，的取值关系，列表如下表所示.x┇┇┇┇012┇┇┇┇一般地，因为函数中对应的y值与函数中对应的y值相等，所以将指数函数的图象向右平移2个单位长度，就得到函数的图象.（2）同样地，因为函数中对应的y值与函数中对应的y值相等，所以将指数函数的图象向左平移2个单位长度，就得到函数的图象.这些函数的图象如下图所示.38．（2023秋·高一课时练习）请画出函数的图象.【答案】图象见解析【分析】讨论和的情况可得函数解析式，结合指数函数图象可得所求函数图象.【详解】当时，；当时，，则函数的图象如图所示，39．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，函数的图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】将原函数变形为分段函数，根据及时的函数值即可得解.【详解】∵，∴时，，当时，函数为上的单调递增函数，且，当时，函数为上的单调递减函数，且，故选：B40．（2023秋·吉林·高三辉南县第一中学校考阶段练习）函数，且的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数图象平移及函数的对称性和单调性易排除错误选项.【详解】由题意知，关于对称，当时，对称轴，时函数单调递增，当时,对称轴，时函数单调递减，排除A,C,D.故选：B.41．【多选】（2023·全国·高一专题练习）函数（，且）与在同一坐标系中的图像可能是（

）A．.

B．

C．

D．

【答案】BD【分析】根据指数函数图像性质直接判断.【详解】由题意得，中若，，则，若，，则；中表示纵截距.对于A，图像中，图像中，故A错误；对于B，图像中，图像中，故B正确；对于C，图像中，图像中，故C错误；对于D，图像中，图像中，故D正确；故选：BD指数函数过定点问题42．（2023秋·福建泉州·高一校考期中）函数（且）的图像一定过点.【答案】【分析】根据指数函数的性质计算可得.【详解】函数（且），令可得，即函数恒过点.故答案为：43．（2023秋·天津滨海新·高一天津市滨海新区塘沽第一中学校考期中）不论且为何值，函数的图象一定经过点，则点的坐标为．【答案】【分析】根据指数函数性质可知时，函数过的点坐标与无关，即可求出.【详解】由题意可知，当时，不论为何值时，此时函数，所以的图象经过点.故答案为：44．（2023·全国·高一专题练习）函数，无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为.【答案】【分析】由指数函数定点求解即可.【详解】则定点坐标为.故答案为:.45．（2023春·江苏淮安·高二江苏省郑梁梅高级中学校考期中）已知幂函数，则过定点（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用幂函数的定义求出的值，进一步分析的解析式即可.【详解】是幂函数，，故则，令，即，得，故过定点.故选：46．（2023秋·江苏盐城·高三盐城市伍佑中学校考阶段练习）若函数（且的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则.【答案】16【分析】先求出函数所过定点坐标，再将其代入幂函数中，求出幂函数解析式，得到答案.【详解】恒过点，故，将其代入中，，解得，故，所以.故答案为：1647．（2023秋·重庆石柱·高三校考阶段练习）已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（

）A．9 B． C． D．【答案】C【分析】根据给定的曲线，求出，再利用“1”的妙用求出最小值作答.【详解】曲线且中，由，得，因此该曲线过定点，即，于是，又，因此，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为16.故选：C指数函数图象的应用48．（2023·福建·高考真题）函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由函数单调性判断与的大小，再由图象与轴的交点位置判断的正负.【详解】由图象可知，函数为减函数，从而有；法一：由图象，函数与轴的交点纵坐标，令，得，由，即，解得.法二：函数图象可看作是由向左平移得到的，则，即.故选：D.49．【多选】（2023·全国·高一专题练习）若函数(且)的图像经过第一、二、三象限，则（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据函数(且)的图像经过第一、二、三象限，判断a，b的范围，再由指数函数的单调性比较大小即可.【详解】解：因为函数(且)的图像经过第一、二、三象限，所以，，所以是增函数，是减函数，则，，故选：BC.50．（2023秋·湖南永州·高二校考阶段练习）已知，则函数的图象恒过（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】分析给定函数图象即可判断得解.【详解】函数中，当时，函数的图象过第一、二象限；当时，函数的图象过第一、二、四象限；当时，函数的图象过第二、四象限；当时，函数的图象过第二、三、四象限，所以函数的图象恒过第二象限.故选：B51．【多选】（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根据函数图象可得出、的取值范围，利用指数函数的基本性质可判断ACD选项，利用不等式的基本性质可判断B选项.【详解】由图象可知，函数（且）在上单调递增，则，且当时，，可得.对于A选项，，A对；对于B选项，，B对；对于C选项，，C错；对于D选项，由题意可知，，则，所以，，D对.故选：ABD.52．（2023·全国·高一随堂练习）设a，b为实数，，.已知函数的图象如图所示，求a，b的取值范围.【答案】a，b的取值范围分别为【分析】从图象获取关键信息即可求解.【详解】由题图可知函数单调递增，即，所以的取值范围为；由图可知当时，有，解得，所以的取值范围为.53．（2023·全国·高一专题练习）若函数的图象不经过第一象限,则的取值范围为.【答案】【分析】图象不经过第一象限,只需,代入解析式,解出不等式即可.【详解】解:由题知,若函数单调递减，其图象不经过第一象限,必有图象与y轴交点不在y轴正半轴上，只需即可,即,解得:.故答案为:54．（2023·全国·高三专题练习）设函数，函数的图像经过第一､三､四象限，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意求得，化简得到，结合指数函数的性质，即可求解.【详解】由函数的的图像经过第一､三､四象限，可得，所以，又因为，所以的取值范围为.故选：A.55．（2023·全国·高一专题练习）若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是．【答案】【分析】分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论交点的情况即可.【详解】当a＞1时，通过平移变换和翻折变换可得如图（1）所示的图象，则由图可知1＜2a＜2，即＜a＜1，与a＞1矛盾；当0＜a＜1时，同样通过平移变换和翻折变换可得如图（2）所示的图象，则由图可知1＜2a＜2，即＜a＜1.综上可知，＜a＜1.故答案为：.考点六比较大小56．（2023·全国·高一随堂练习）比较下列各题中两个数的大小：(1)，；(2)，．【答案】(1)(2)【分析】根据指数函数单调性即可比较大小.【详解】（1）是上的减函数，且，.（2）在指数函数中，因为，所以函数单调递增，所以，即，在指数函数中，因为，所以函数单调递减，即，即，所以.57．（2023·全国·高一随堂练习）比较下列各题中两个数的大小：(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根据指数函数和幂函数的单调性即可比较大小.【详解】（1）函数在上为增函数，（2）函数在上为减函数，（3），函数在上为增函数，，即（4），幂函数在上为增函数，，.58．（2023·全国·高一随堂练习）比较下列各组数的大小：(1)，，；(2)，，．【答案】(1)；(2).【分析】（1）（2）利用指数函数的性质，结合“媒介数”比较大小即得.【详解】（1）函数在R上单调递增，，因此，函数在R上单调递减，，因此，所以.（2）函数在R上单调递减，，因此，函数在R上单调递增，，因此，所以.59．（2023秋·安徽·高二合肥市第六中学校联考阶段练习）已知，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据指数函数的单调性比较的大小，利用幂指数运算可比较大小，即得答案.【详解】因为，且是R上的增函数，故，又，故．故选：D60．（2023秋·北京东城·高一校考期中）已知，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】运用介值法及指数函数单调性比较大小即可.【详解】因为，，又因为在上单调递增，，所以，即.故选：D.考点七简单的指数不等式的解法61．（2023秋·北京海淀·高三校考阶段练习）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式得到集合，然后求交集即可.【详解】，所以.故选：A.62．（2023·全国·高一随堂练习）求使下列不等式成立的实数x的集合：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】根据指数函数单调性即可解出不等式.【详解】（1），，，，不等式成立的实数的集合为；（2），，即，即，则，不等式成立的实数的集合为.63．（2023秋·山东泰安·高一泰安一中校考期中）不等式的解集为.【答案】【分析】由题意可得，解此一元二次不等式即可.【详解】解：由题意可得：，即，，解得，所以原不等式的解集为：.故答案为：64．（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为．【答案】【分析】先化为同底数的指数型函数，利用单调性可求答案.【详解】原式可化为，因为为减函数，所以，即，解得或，所以原不等式的解集为.故答案为：.65．（2023秋·高一课时练习）关于的不等式的解集为．【答案】【分析】结合二次函数值域和指数函数单调性直接求解即可.【详解】，由可得：，解得：，不等式的解集为.故答案为：.66．（2023春·江苏南通·高一金沙中学校考阶段练习）若指数函数的图象经过点，则不等式的解集是．【答案】【分析】设指数函数（且），将点代入求出解析式，然后利用指数函数的单调性转化原不等式为一次不等式即可求解.【详解】由题意设函数（且），因为的图象经过点，所以，解得，所以，因为，即，所以由在上递减得，解得，故答案为：67．（2023秋·浙江·高一期末）设函数则满足的x取值范围为．【答案】.【分析】解分段函数不等式，分类讨论，，时求解即可.【详解】当时，，，则，矛盾；当时，，，则，矛盾；当时，，，则，所以.综述：x取值范围为．故答案为：.68．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，则不等式的解集为．【答案】【分析】利用函数的单调性以及分段函数的性质，化简不等式得出不等式的解集.【详解】构建函数，，可得函数单调递增，，，则函数单调递增，且，因此函数在上是增函数．，，解得，于是不等式的解集为．故答案为：.考点八指数型函数的单调性与最值69．（2023秋·河北唐山·高一唐山市第二中学校考阶段练习）下列函数中，在区间上单调递减的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据指数函数、幂函数等的性质判断区间单调性即可.【详解】A：由幂函数性质知：在上单调递增，不符合；B：由，在上单调递增，不符合；C：由指数函数单调性知：在上单调递减，符合；D：由，在上不单调，不符合；故选：C70．（2023秋·北京东城·高一校考期中）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别用函数奇偶性定义及单调性依次判断各个选项即可.【详解】对于A项，的定义域为R，，所以是奇函数，故A项错误；对于B项，的定义域为R，，所以是偶函数，又因为，所以在上单调递增，故B项正确；对于C项，的定义域为R，，所以不是偶函数，故C项错误；对于D项，的定义域为R，，所以是偶函数，又因为在上单调递减，故D项错误.故选：B.71．【多选】（2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数，则（

）A．函数的定义域为RB．函数的值域为C．函数在上单调递增D．函数在上单调递减【答案】ABD【分析】由函数的表达式可得函数的定义域可判断A；令，则，，结合指数函数的单调性得到函数的值域，可判断B；根据复合函数单调性的判断方法可得函数的单调性可判断C、D.【详解】令，则，对于选项A：的定义域与的定义域相同，均为R，故A正确；对于选项B：因为，的值域为，所以函数的值域为，故B正确；对于选项C、D：因为在上单调递增，且，在定义域上单调递减，所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减，所以C不正确，D正确.故选：ABD.72．【多选】（2023秋·河南·高三荥阳市高级中学校联考阶段练习）设函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的定义域为 B．的单调递增区间为C．的最小值为3 D．的图象关于对称【答案】ABD【分析】根据函数定义域判断A，根据复合函数单调性以及二次函数单调性求单调区间和函数的最小值即可判断B、C，根据函数的对称性判断D.【详解】易知函数的定义域为，选项A正确；由与复合，而为单调递增函数，所以函数的单调递减区间为单调递减区间，函数的单调递增区间为单调递增区间，选项B正确；由选项B可知，故选项C错误；因为，所以的图象关于对称.故选项D正确.故选：ABD.73．（2023秋·江苏扬州·高三统考开学考试）设函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，则是上的增函数，再利用复合函数的单调性求解.【详解】解：设，对称轴为，∵是上的增函数，∴要使在区间单调递减，则在区间单调递减，即，故实数a的取值范围是．故选：A．74．（2023秋·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由复合函数的单调性分析可知，内层函数在上为增函数，结合二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】令，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，因为外层函数为上的减函数，函数在区间上单调递减，所以，函数在上为增函数，所以，，解得.故选：A.75．（2024·黑龙江大庆·统考模拟预测）函数在上单调递减，则t的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据复合函数的单调性可得的单调性，从而可求得t的取值范围.【详解】因为函数在上单调递增，所以根据复合函数的单调性可得函数在上单调递减，则，解得.故选：A76．（2023·全国·高一课堂例题）讨论函数的单调性，并求最值．【答案】在上单调递增，在上单调递减；最小值为2，无最大值【分析】利用换元法，结合二次函数的性质以及复合函数单调性可直接求解.【详解】，其中．设，则，此时有，当时，单调递增，由得．又在上单调递增，所以由复合函数的单调性的判定方法知，原函数在上单调递增．同理，原函数在上单调递减．故原函数有最小值，最小值为2，无最大值．77．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)若，求的单调区间(2)若有最大值3，求的值(3)若的值域是，求的值【答案】(1)函数的单调递增区间是，单调递减区间是；(2)1；(3)0.【分析】（1）根据复合函数单调性判断，结合指数函数、二次函数性质判断单调区间；（2）由（1）及题设知，即可求参数值；（3）根据复合函数的值域，结合指数函数、二次函数性质确定参数值即可.【详解】（1）当时，，令，由在上单调递增，在上单调递减，而在R上单调递减，所以在上单调递减，在上单调递增，即的单调递增区间是，单调递减区间是．（2）令，，由于有最大值3，所以应有最小值，因此必有．解得，即有最大值3时，a为1．（3）由指数函数的性质知，要使的值域为，应使的值域为R，因此只能（因为若，则为二次函数，其值域不可能为R），故a的值为0．78．（2023春·河北石家庄·高一校考期中）已知函数在区间上的最大值比最小值大，则a=【答案】或【分析】分与两种情况，求出最值，列出方程，得到答案.【详解】当时，在上的最大值为，最小值为，故，解得或（舍去）；当时，在上的最大值为，最小值为，故，解得或（舍去），综上或.故答案为：或考点九指数型函数的奇偶性79．（2023秋·云南昆明·高三校考阶段练习）已知奇函数在R上为增函数，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】为奇函数，则，解出，验证奇偶性和单调性即可.【详解】解：因为在R上为奇函数，则，即，解得或.时，，函数定义域为R，由函数和都在R上为增函数，所以在R上为增函数，且，满足函数为奇函数；时，，在R上为减函数，不合题意.所以.故选：A.80．（2023秋·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考开学考试）函数是偶函数，当时，，则不等式的解集为.【答案】或【分析】由函数的单调性与奇偶性求解．