第四单元三角形 测试练习题

第四单元三角形第二十一课时锐角三角函数及其应用1.(2018天津)cos60°的值等于()A.eq\r(3)B.1C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(1,2)2.(2018怀化)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么sinα的值是()A.eq\f(3,5)B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5)D.eq\f(4,3)第2题图第3题图3.(2018长沙中考模拟卷六)如图,在Rt△ABC中,斜边AB的长为m,∠B＝40°,则直角边BC的长是()A.mcos40°B.msin40°C.mtan40°D.eq\f(m,tan40°)4.(2018天水)在正方形网格中△ABC的位置如图所示,则cos∠B的值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),3)第4题图第5题图5.(2018温州)如图,一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米,已知cosα＝eq\f(12,13),则小车上升的高度是()A.5米B.6米C.6.5米D.12米6.(2018宜昌)△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1),AD⊥BC于D,下列四个选项中,错误的是()A.sinα＝cosαB.tanC＝2C.sinβ＝cosβD.tanα＝1第6题图第7题图7.(2018河北)如图,码头A在码头B的正西方向,甲、乙两船分别从A、B同时出发,并以等速驶向某海域．甲的航向是北偏东35°,为避免行进中甲、乙相撞,则乙的航向不能是()A.北偏东55°B.北偏西55°C.北偏东35°D.北偏西35°8.(2018重庆A卷)如图,小王在长江边某瞭望台D处,测得江面上的渔船A的俯角为40°,若DE＝3米,CE＝2米,CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i＝1∶0.75,坡长BC＝10米,则此时AB的长约为(参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84)()A.5.1米B.6.3米C.7.1米第8题图第10题图9.(2018烟台)在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝2,BC＝eq\r(3),则sineq\f(A,2)＝________．10.(2018德阳)如图所示,某拦水大坝的横断面为梯形ABCD,AE、DF为梯形的高,其中迎水坡AB的坡角α＝45°,坡长AB＝6eq\r(2)米,背水坡CD的坡度i＝1∶eq\r(3)(i为DF与FC的比值),则背水坡CD的坡长为________米．11.(8分)(2018恩施州)如图,小明家在学校O的北偏东60°方向,距离学校80米的A处,小华家在学校O的南偏东45°方向的B处,小华家在小明家正南方向,求小华家到学校的距离．(结果精确到1米,参考数据:eq\r(2)≈1.41,eq\r(3)≈1.73,eq\r(6)≈2.45)第11题图12.(8分)(2018安徽)如图,游客在点A处坐缆车出发,沿A—B—D的路线可至山顶D处．假设AB和BD都是直线段,且AB＝BD＝600m,α＝75°,β＝45°,求DE的长．(参考数据:sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,eq\r(2)≈1.41)第12题图13.(8分)(2018芙蓉区二十九中模拟)如图,河的两岸l1与l2相互平行,A、B是l1上的两点,C、D是l2上的两点,某人在点A处测得∠CAB＝90°,∠DAB＝30°,再沿AB方向前进20米到达点E(点E在线段AB上),测得∠DEB＝60°,求C、D两点间的距离．第13题图14.(8分)(2018麓山国际实验学校二模)如图①是一个新款水杯,水杯不盛水时按如图②所示的位置放置,这样可以快速晾干杯底,干净透气；将图②的主体部分抽象成图③,此时杯口与水平直线的夹角为35°,四边形ABCD可以看作矩形,测得AB＝10cm,BC＝8cm,过点A作AF⊥CE,交CE于点F.(1)求∠BAF的度数；(2)求点A到水平直线CE的距离AF的长(精确到0.1cm(参考数据:sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70)第14题图15.(9分)(2018长沙中考模拟卷四)如图,为了测量某建筑物BC的高度,小明先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°,然后在水平地面上向建筑物前进了20m到达D处,此时遇到一斜坡,坡度i＝1∶eq\r(3),沿着斜坡前进40m到达F处测得建筑物顶部的仰角是45°,(坡度i＝1∶eq\r(3)是指坡面的铅直高度FE与水平宽度DE的比)．(1)求斜坡DF的端点F到水平地面AB的距离和斜坡的水平宽度DE分别为多少米？(2)求建筑物BC的高度为多少米？(3)现小亮在建筑物一楼(水面地面上点B处)乘电梯至楼顶(点C),电梯速度为2(eq\r(3)＋3)m/s,同时小明从测角仪处(点A)出发,骑摩托车至斜坡的端点F处,已知,小明在平地上的车速是上坡车速的两倍,小亮所用时间是小明所用时间的一半,求小明上坡时的车速为多少？第15题图答案1.D2.C3.A4.B5.A6.C【解析】:∵网格中每一个小正方形的边长均为1,则AD＝2,BD＝2,CD＝1,AB＝eq\r(AD2＋BD2)＝2eq\r(2),AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝eq\r(5),∴sinα＝eq\f(BD,AB)＝eq\f(\r(2),2),cosα＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(2),2),∴sinα＝cosα,故A正确；tanC＝eq\f(AD,CD)＝2,故B正确；sinβ＝eq\f(CD,AC)＝eq\f(\r(5),5),cosβ＝eq\f(AD,AC)＝eq\f(2\r(5),5),∴sinβ≠cosβ,故C错误；tanα＝eq\f(BD,AD)＝1,故D正确．第7题解图7.D【解析】:如解图,∵两船等速且不能相撞,∴甲与乙所行路程不能相等,∴△ABC不能是等腰三角形,∴∠CBD≠35°,∴乙的航向不能是北偏西35°.第8题解图8.A【解析】:如解图,延长DE交江面AB延长线于点F,可得DF⊥AB,过点C作CG⊥AB于点G,∵迎水坡BC的坡度＝1∶0.75＝4∶3,设BG＝3x,CG＝4x,在Rt△BCG中,∴BC＝5x,∵BC＝10米,即5x＝10,x＝2,∴BG＝3x＝6米,CG＝4x＝8米,∵DF⊥AB,CG⊥AB,∴四边形CEFG是矩形,∴GF＝CE＝2米,EF＝CG＝8米,∴DF＝3＋8＝11米,在Rt△ADF中,∠A＝40°,DF＝11米,∴AF＝eq\f(DF,tan40°)≈eq\f(11,0.84)≈13.10米,∴AB＝AF－BG－GF＝13.10－6－2＝5.10≈5.1米．9.eq\f(1,2)【解析】:由题意可知∠A＝60,∴sineq\f(A,2)＝sin30°＝eq\f(1,2).10.12【解析】:在Rt△ABE中,∠α＝45°,AB＝6eq\r(2),则AE＝6,DF＝AE＝6,在Rt△DFC中,DF＝6,DF∶FC＝1∶eq\r(3),∴∠C＝30°,∴DC＝2DF＝12.第11题解图11.解:如解图,AB⊥OC于点C,在Rt△AOC中,OA＝80,且∠AOC＝90°－60°＝30°,∴AC＝eq\f(1,2)OA＝40,OC＝eq\f(\r(3),2)OA＝40eq\r(3),在Rt△OCB中,OC＝CB＝40eq\r(3),∴OB＝eq\r(2)OC＝40eq\r(6)≈98.答:小华家到学校的距离约为98米．12.解:在Rt△BDF中,由sinβ＝eq\f(DF,BD)可得,DF＝BD·sinβ＝600×sin45°＝600×eq\f(\r(2),2)＝300eq\r(2)≈423(m),在Rt△ABC中,由cosα＝eq\f(BC,AB)可得,BC＝AB·cosα＝600×cos75°≈600×0.26＝156(m),∴DE＝DF＋EF＝DF＋BC≈423＋156＝579(m),答:DE的长为579m.13.解:过点D作l1的垂线,垂足为F,∵∠DEB＝60°,∠DAB＝30°,第13题解图∴∠ADE＝∠DEB－∠DAB＝30°,∴△ADE为等腰三角形,∴DE＝AE＝20,在Rt△DEF中,EF＝DE·cos60°＝20×eq\f(1,2)＝10,∵DF⊥AF,即∠DFB＝90°,∴AC∥DF,由已知l1∥l2,∴CD∥AF,∴四边形ACDF为矩形,CD＝AF＝AE＋EF＝30,答:C、D两点间的距离为30米．14.解:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠D＝∠BCD＝90°,∴∠DAF＝∠DCE＝90°－35°＝55°,∴∠BAF＝90°－55°＝35°；(2)如解图,作BM⊥AF于M,BN⊥EF于N,第14题解图则MF＝BN＝BC·sin35°＝0.57×8≈4.56(cm),∴AM＝AB·cos35°＝10×0.8192≈8.20(cm),∴AF＝AM＋MF＝8.20＋4.56≈12.8(cm)．答:点A到水平直线CE的距离AF的长为12.8cm.15.解:(1)在Rt△DEF中,i＝EF∶DE＝1∶eq\r(3),DF＝40m,设EF＝xm,则DE＝(eq\r(3)x)m,由勾股定理可得:DF＝eq\r(EF2＋DE2),即40＝eq\r(x2＋（\r(3)x）2),解得x＝20,eq\r(3)x＝20eq\r(3),即EF＝20m,DE＝20eq\r(3)m,答:斜坡DF的端点F到水平地面AB的距离和斜坡的水平宽度DE分别为20米、20eq\r(3)米；(2)由题意可得,△CGF为等腰直角三角形,设CG＝ym,则FG＝ym,BC＝(20＋y)m,AB＝(20＋20eq\r(3)＋y)m,在Rt△ABC中,BC＝AB·tanA,∴20＋y＝eq\f(\r(3),3)(20＋20eq\r(3)＋